0.1. SISTEMAS DE ECUACIONES

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1 .. SISTEMS DE ECUCIONES.. SISTEMS DE ECUCIONES... Conceptos previos l comienzo del tema de nimos los sistemas de ecuaciones diferenciales en general. En esta sección vamos a ver el caso particular en el que el sistema de ecuaciones diferenciales es lineal, que es el caso más común en los problemas de Ingeniería. De nición Sistema lineal Un sistema lineal de n ecuaciones diferenciales y n funciones incógnitas y (x); y n (x) es de la forma >< > y (x) a (x)y (x) + a (x)y (x) + + a n (x)y n (x) + F (x) y (x) a (x)y (x) + a (x)y (x) + + a n (x)y n (x) + F (x). y n(x) a n (x)y (x) + a n (x)y (x) + + a nn (x)y n (x) + F n (x) () De nición Solución de un sistema lineal Supongamos que f (x); f (x); ; f n (x) son funciones derivables en un cierto intervalo I. Diremos que dichas funciones son solución en I de () si se veri ca >< > f (x) a (x)f (x) + a (x)f (x) + + a n (x)f n (x) + F (x) f (x) a (x)f (x) + a (x)f (x) + + a n (x)f n (x) + F (x). f n(x) a n (x)f (x) + a n (x)f (x) + + a nn (x)f n (x) + F n (x) x I Vamos a de nir el problema de Cauchy, o problema de valores iniciales, de la misma forma que lo hicimos para una sola ecuación diferencial. De nición 3 Problema de valores iniciales Considerando el sistema de ecuaciones diferenciales () y dado un punto x I y n números reales y ; y ; ; y n ; llamaremos problema de valores iniciales, al cálculo de n funciones f (x); f (x); ; f n (x); de nidas en I; que veri quen el sistema () y cumplan las condiciones f (x ) y ; f (x ) y ; ; f n (x ) y n () dichas condiciones se les denomina condiciones iniciales. Por comodidad en la notación, vamos a ver cómo podemos expresar los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales en forma vectorial o con notación vectorial.

2 Con esta notación (x) a (x) a (x) a n (x) a (x) a (x) a n (x)... a n (x) a n (x) a nn (x) y (x) y (x) Y (x) B y n (x) y y Y B C F (x) y n F (x) F (x). F n (x) El sistema lineal de ecuaciones diferenciales, lo podemos expresar como C Y (x) (x) Y (x) + F (x) El problema de valores iniciales consiste en, dados x I e Y R n, hallar Y (x) que veri que Y (x) (x) Y (x) + F (x) Y (x ) Y Vamos a exponer un teorema que nos permite asegurar la existencia y unicidad de solución, en los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Teorema Teorema de existencia y unicidad Supongamos que son continuas en el intervalo I; las funciones a ij (x); i; j ; ; ; n, y las funciones F i (x); i ; ; ; n Entonces, para todo x I; y para todo Y R n ; existe una y sólo una solución en I, del problema de valores iniciales Y (x) (x) Y (x) + F (x) Y (x ) Y Pasamos a estudiar los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales cuando el término independiente es nulo.

3 .. SISTEMS DE ECUCIONES 3... Sistemas lineales homogéneos Llamaremos sistemas lineales homogéneos, aquellos en los que se cumple que las funciones F i (x) ; i ; ; ; n, o lo que es lo mismo F (x) por lo que serán de la forma y(x) a (x)y (x) + a (x)y (x) + + a n (x)y n (x) >< y(x) a (x)y (x) + a (x)y (x) + + a n (x)y n (x) > En notación vectorial. y n(x) a n (x)y (x) + a n (x)y (x) + + a nn (x)y n (x) Y (x) (x) Y (x) Para resolver los sistemas lineales homogéneos necesitamos el concepto de dependencia lineal de funciones f(x) I R! R n que recordamos brevemente. De nición 4 Dadas las funciones f (x); f (x); ; f m (x) I! R m ; I R; decimos que son linealmente dependientes en I, si existen números reales ; ; ; m, no todos nulos tales que f (x) + f (x); ; m f m (x) ; x I En caso contrario se dice que las funciones son linealmente independientes en I Una vez que hemos recordado el concepto de dependencia lineal en el espacio vectorial de las funciones, veamos cómo podemos hallar las soluciones de un sistema lineal homogéneo. De nición 5 Sistema fundamental de soluciones Dado el sistema lineal homogéneo (3), decimos que el conjunto de soluciones de dicho sistema Y (x); Y (x); ; Y n (x) es un sistema fundamental de soluciones en I si las funciones Y (x); Y (x); ; Y n (x) I! R n ; I R son linealmente independientes en el intervalo I continuación exponemos un teorema, através del cual de nimos los conceptos de solución general y solución particular de un sistema lineal homogéneo.

4 4 Teorema Cualquier solución del sistema (3); en el intervalo I; la podemos expresar como combinación lineal de Y (x); Y (x); ; Y n (x), siendo Y (x); Y (x); ; Y n (x) un sistema fundamental de soluciones; en el intervalo I; de (3), por lo que a la expresión Y (x) C Y (x) + C Y (x) + + C n Y n (x) con C ; C ; ; C n ; constantes arbitrarias, le llamaremos solución general. cada una de las soluciones que obtenemos a partir de la solución general, dando valores concretos a las constantes arbitrarias le llamaremos solución particular. cabamos de ver que para hallar la solución general del sistema lineal homogéneo (3) tendremos que hallar n soluciones y comprobar que son linealmente independientes, es decir comprobar que forman un sistema fundamental de soluciones. Por ello vamos a estudiar a continuación algunos conceptos y teoremas que nos permitirán comprobar la independencia lineal. De nición 6 Wronskiano Dadas las funciones f (x); f (x); ; f n (x) I! R n ; I R; de la forma f (x) f (x) f n (x) f (x) f (x) B ; f f (x) (x) B ; ; f f n (x) n(x) B f n (x) f n (x) f nn (x) se llama wronskiano de dichas funciones a la función W I f (x) f (x) f n (x) f (x) f (x) f n (x) W (x)... f n (x) f n (x) f nn (x)! R Teorema 3 Sean las funciones Y (x); Y (x); ; Y n (x) I que estas funciones son soluciones, en I, de! R n ; I R Supongamos Y (x) (x) Y (x) Entonces dichas funciones son linealmente dependientes en I, si y sólo si se veri ca que W (x) ; x I

5 .. SISTEMS DE ECUCIONES 5 Corolario Caracterización de las soluciones linealmente independientes Las soluciones Y (x); Y (x); ; Y n (x) I! R n ; I R del sistema Y (x) (x) Y (x) son linealmente independientes en I, si existe x I tal que W (x) 6. Vamos a enunciar un teorema que nos permitirá ampliar el teorema anterior, facilitándonos el estudio de la independencia lineal de las soluciones. Teorema 4 Fórmula de Liouville Sean Y (x); Y (x); ; Y n (x) I! R n ; I R soluciones en I de Y (x) (x) Y (x) Denotemos por W (x) al wronskiano de dichas funciones y sea x I Entonces Z x W (x) W (x ) e x T r[(t)]dt; x I siendo es decir la traza de la matriz T r [(t)] a (t) + a (t) + + a nn (t) la vista de esta fórmula es inmediato deducir el siguiente corolario. Corolario O bien W (x) para todo x I, o bien W (x) 6 para todo x I Teniendo en cuenta lo anterior, se deduce fácilmente el siguiente teorema. Teorema 5 Caracterización de las soluciones linealmente independientes La condición necesaria y su ciente para que las soluciones Y (x); Y (x); ; Y n (x) del sistema Y (x) (x) Y (x) sean linealmente independientes en el intervalo I es que W (x) 6 para todo x I Pasamos a continuación a estudiar los sistemas homogéneos de coe cientes constantes.

6 6..3. Sistemas lineales homogéneos de coe cientes constantes Estos sistemas de ecuaciones diferenciales son de la forma y(x) a y (x) + a y (x) + + a n y n (x) >< y(x) a y (x) + a y (x) + + a n y n (x) >. y n(x) a n y (x) + a n y (x) + + a nn y n (x) en donde los coe cientes son constantes, es decir a ij R; i; j ; ; ; n Podemos expresarlo en forma vectorial como siendo Y (x) Y (x) a a a n a a a n... a n a n a nn una matriz cuyos términos son números reales. Para hallar la solución, deben distinguirse dos casos, dependiendo que la matriz sea diagonalizable o no lo sea. En este libro estudiaremos sólo el caso en el que es diagonalizable. Remitimos al lector a textos especializados en ecuaciones diferenciales para el estudio del segundo caso Matriz diagonalizable Cuando la matriz es diagonalizable la solución depende de cómo sean los valores propios. Valores propios reales Teorema 6 Valores propios reales Supongamos que tenemos n vectores propios V ; V ; ; V n ; de la matriz ; linealmente independientes, asociados a los valores propios reales ; ; ; n Entonces e x V ; e x V ; ; e nx V n C (4) es un sistema fundamental de soluciones del sistema Y (x) (x) Y (x), y por tanto la solución general será Y (x) C e x V + C e x V + + C n e nx V n Demostración Vamos a ver que cada e ix V i es solución de Y (x) (x) Y (x) Sabemos que debido a que V i es un vector propio de la matriz asociado al valor propio i, se veri ca que V i i V i

7 .. SISTEMS DE ECUCIONES 7 por lo tanto e ix V i e ix i V i e ix V i e ix V i es decir que en efecto e ix V i ; i ; ; ; n, son soluciones del sistema (4). demás de ser soluciones veamos que e x V ; e x V ; ; e nx V n son linealmente independientes. En efecto, el wronskiano W (x) de estas funciones en x coincide con el determinante de la matriz cuyas columnas serían los vectores V ; V ; ; V n y dicho determinante es distinto de cero, por ser los vectores linealmente independientes, es decir W () 6 ; por lo que e x V ; e x V ; ; e nx V n constituyen un sistema fundamental de soluciones del sistema Y (x) (x) Y (x), que es lo que queríamos demostrar. { Ejemplo Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales < y 3y + y + y 3 y y 3y + y 3 y3 y + y 3y 3 Solución Como vimos anteriormente el sistema lo podemos expresar como Y (x) (x) Y (x), ; Y y (x) y (x) y 3 (x) En primer lugar hallamos el polinomio característico de 3 ()+()+(3) j Ij ( ) 3 ( + ) ( + ) 4 4 ( + )( 4 ) ( + )( + 4) Por lo que los valores propios serán (Simple) y 4 (doble). continuación calculamos los vectores propios asociados.

8 Las ecuaciones del subespacio propio asociado x x x + x ) + x 3 x x x + x 3 3 3x + 3x ) x x x 3 Por tanto una base de vectores propios para este subespacio es Por otra parte, las ecuaciones del subespacio propio x x ) x + x + x 3 x 3 4 son Por tanto como base de vectores propios para este subespacio, podemos escoger ; V Una vez que hemos hallado los vectores propios, sabemos que un sistema fundamental de soluciones es 9 < e ; e ; e ; Por lo que la solución general es Y (x) C e + C e + C 3 e Si desarrollamos los vectores, podemos expresar la solución general de la siguiente forma < y (x) C e x + C e 4x + C 3 e 4x y (x) C e x C e 4x y 3 (x) C e x C 3 e 4x Nota. Obsérvese que aunque tenemos dos valores propios iguales, debido a que hay tres vectores propios linealmente independientes la matriz es diagonalizable. Ejemplo Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales < y 3y + y y 3 y y + 3y y 3 y3 3y + 3y y 3

9 .. SISTEMS DE ECUCIONES 9 Solución Como vimos anteriormente el sistema lo podemos expresar como Y (x) (x) Y (x), 3 3 ; Y y (x) y (x) 3 3 y 3 (x) En primer lugar hallamos el polinomio característico de 3 () () + j Ij ( ) 3 ( ) ( )( 3 + ) ( ) ( ) Por lo que los valores propios serán (simple) y (doble). continuación calculamos los vectores propios asociados. Las ecuaciones del subespacio propio asociado a 3 x x x 3 ) x + x x 3 x + x x 3 ) x x x 3 3x Por tanto una base de vectores propios para este subespacio es 3 Por otra parte, las ecuaciones del subespacio propio asociado x x ) x + x x x 3 Por tanto como base de vectores propios para este subespacio, podemos escoger ; V Una vez que hemos hallado los vectores propios, sabemos que un sistema fundamental de soluciones es 9 < ; e ; e ; 3 Por lo que la solución general es Y (x) C e 3 + C e + C 3 e

10 Si desarrollamos los vectores, podemos expresar la solución general de la siguiente forma < y (x) C e x + C e x y (x) C e x + C 3 e x y (x) 3C e x + C e x + C 3 e x Valores propios complejos Vamos a comprobar que cuando la matriz posee valores propios complejos, si a+bi es un valor propio complejo asociado al vector propio V R + Si, entonces a bi; es un valor propio asociado a V R Si En efecto si es valor propio de la matriz asociado al vector propio V, se veri ca que V V ) R + Si R + Si Si ahora tomamos conjugados en los dos miembros de la igualdad anterior y tenemos encuenta que es una matriz real, se obtiene que ( R + Si ) ( R + Si ) ) R + Si (R + Si) ) R Si (a bi) R Si Por lo que en efecto a bi es valor propio asociado al valor propio V R Si Por este motivo en el sistema fundamental de soluciones aparecerán las soluciones Y (x) e (a+bi)x V e (a+bi)x R + Si Y (x) e (a bi)x V e (a bi)x R Si Teniendo en cuenta la fórmula de Euler estas soluciones las podemos expresar de la siguiente forma Y (x) e ax (cos bx + i sen bx) R + Si e ax cos bxr e ax sen bxs + i e ax sen bxr + e ax cos bxs Y (x) e ax (cos bx i sen bx) R Si Teniendo en cuenta que e ax cos bxr e ax sen bxs i e ax sen bxr + e ax cos bxs e ax cos bxr e ax sen bxs Re Y (x) e ax sen bxr + e ax cos bxs Im Y (x) se cumple que Y (x) Re Y (x) + i Im Y (x) Y (x) Re Y (x) i Im Y (x)

11 .. SISTEMS DE ECUCIONES por lo que en la solución general aparecerían los sumandos Y (x) + K Y (x) + K Y (x) + + K Re Y (x) + i Im Y (x) + K Re Y (x) i Im Y (x) + + (K + K ) Re Y (x) + (K K )i Im Y (x) + Renombramos las constantes arbitrarias de la siguiente forma K + K C y (K K )i C, con lo que la solución general será de la forma Y (x) + C Re Y (x) + C Im Y (x) + h i h i + C Re e (a+bi)x V + C Im e (a+bi)x V + Por tanto si al hallar los valores propios de la matriz diagonalizable ; tenemos valores propios complejos, la forma de hallar el sistema fundamental de soluciones lo podemos resumir de la siguiente forma. Teorema 7 Valores propios complejos Si tenemos los valores propios complejos a bi, hallamos únicamente el vector propio V, correspondiente al valor propio a + bi Entonces en el sistema fundamental de soluciones del sistema Y (x) (x) Y (x) aparecerán las funciones reales Re e (a+bi)x V y Im e (a+bi)x V, es decir será de la forma n h i h i o ; Re e (a+bi)x V ; Im e (a+bi)x V ; Ejemplo 3 Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales y y 5y y y 4y Solución Como vimos anteriormente el sistema lo podemos expresar como Y (x) (x) Y (x), siendo 5 4 y (x) ; Y (x) y (x) En primer lugar hallamos el polinomio característico de j Ij ( + ) + Por lo que los valores propios serán + i y i. continuación calculamos el vector propio asociado a a + bi + i.

12 Las ecuaciones del subespacio propio asociado a + i son 3 i 5 x (3 i) x 5x ) 3 i x x + ( 3 i) x (3 i) x 5x ) x 3 i 5 x Si escogemos x 5, el vector propio asociado es 5 V 3 i Por lo que e (a+bi)x V e ( +i)x 5 3 i e x 5 cos x e x sen x 3 De aquí obtenemos h i Re e ( +i)x V e x 5 cos x 3 h i Im e ( +i)x V e x 5 sen x 3 e x 5 (cos x + i sen x) 3 + i e x sen x e x sen x + e x cos x e x cos x Por lo que un sistema fundamental de soluciones es 5e x cos x 5e 3e x cos x + e x ; x senx senx 3e x senx e x cos x La solución general es 5e Y (x) C x cos x 3e x cos x + e x sen x + C i 5e x cos x 3e x cos x + e x sen x 5e x sen x 3e x sen x e x cos x 5e x sen x 3e x sen x e x cos x Si desarrollamos los vectores, podemos expresar la solución general de la siguiente forma y (x) 5C e x cos x + 5C e x sen x y (x) C (3e x cos x + e x sen x) + C (3e x sen x e x cos) x Ejemplo 4 Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales y y + 4y y y + y Solución

13 .. SISTEMS DE ECUCIONES 3 El sistema lo podemos expresar como Y (x) (x) Y (x), siendo 4 y (x) ; Y (x) y (x) En primer lugar hallamos el polinomio característico de j Ij ( ) + 4 Por lo que los valores propios serán + i y i continuación calculamos el vector propio asociado a a + bi + i Las ecuaciones del subespacio propio asociado a + i son i 4 x ix + 4x ) ) x i x ix ix Si escogemos x, el vector propio asociado es i V x Por lo que e x cos x e (a+bi)x V e (+i)x i e x (cos x + i sen x) + e x sen x + i e x sen x i + e x cos x De aquí obtenemos h i Re e (+i)x V e x cos x h i Im e (+i)x V e x sen x e x sen x + e x cos x e x sen x e x cos x e x cos x e x sen x Por lo que un sistema fundamental de soluciones es e x sen x e e x ; x cos x cos x e x sen x La solución general es Y (x) C e x sen x e x cos x + C e x cos x e x sen x

14 4 Si desarrollamos los vectores, podemos expresar la solución general de la forma siguiente y (x) C e x sen x C e x cos x y (x) C e x cos x + C e x sen x Finalizamos esta sección indicando que el caso en el que la matriz no es diagonalizable, que debe resolverse apoyándose en la triangularización de matrices, no lo abordaremos en este libro. El alumno interesado deberá acudir a textos más especializados sobre ecuaciones diferenciales. Ejercicio Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales < y y + y y 3 y y + y 3 y3 y + y 3 Solución < y (x) C (e x cos x + e x sen x) + C (e x sen x y (x) C e x sen x + C e x cos x y 3 (x) C e x cos x C e x sen x e x cos x) + C 3 e x Ejercicio Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales y y + 3y y 3y y Solución y (x) C e x cos 3x + C e x sen 3x y (x) C e x sen 3x + C e x cos 3x Ejercicio 3 Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales < y 3y y + y 3 y y + 5y y 3 y3 y y + 3y 3 Solución < y (x) C e x + C e 3x + C 3 e 6x y (x) C e 3x C 3 e 6x y 3 (x) C e x + C e 3x + C 3 e 6x Ejercicio 4 Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales < y 3y + y y 3 y y y + y 3 y3 y y 3 Solución < y (x) C e x + ( B) cos x ( + B) sen x y (x) B cos x + sen x y 3 (x) C e x + cos x B sen x

15 .. SISTEMS DE ECUCIONES Sistemas lineales no homogéneos Volvamos a considerar los sistemas no homogéneos, es decir aquellos de la forma y(x) a (x)y (x) + a (x)y (x) + + a n (x)y n (x) + F (x) >< y(x) a (x)y (x) + a (x)y (x) + + a n (x)y n (x) + F (x) >. y n(x) a n (x)y (x) + a n (x)y (x) + + a nn (x)y n (x) + F n (x) () Recordemos que con la notación a (x) a (x) a n (x) a (x) a (x) a n (x) (x) B a n (x) a n (x) a nn (x) y (x) F (x) y (x) Y (x) B ; F (x) F (x) B ; Y. y n (x). F n (x) y y. y n C el sistema lineal de ecuaciones diferenciales no homogéneo, lo podemos expresar como Y (x) (x) Y (x) + F (x) Veamos un teorema que nos permitirá hallar la solución general del sistema no homogéneo, habiendo hallado previamente la solución del sistema homogéneo asociado. Teorema Dado el sistema lineal de ecuaciones diferenciales Y (x) (x) Y (x) + F (x) () suponiendo que Y p (x) es una solución particular del mismo y que Y (x); Y (x); ; Y n (x) es un sistema fundamental de soluciones del sistema homogéneo asociado Y (x) (x) Y (x); entonces se veri ca que la solución general del sistema lineal no homogéneo () es Y (x) C Y (x) + C Y (x) + + C n Y n (x) + Y p (x) Demostración Vamos a demostrar que en efecto la solución general del sistema lineal no homogéneo es igual a la solución general del sistema homogéneo asociado más una solución particular del no homogéneo. Para ello en el sistema () realizemos el cambio de variable siguiente Y (x) Z(x) + Y p (x)

16 6 Efectuando el cambio de variable obtenemos Z(x) + Y p (x) (x) Z(x) + Y p (x) + F (x) Z (x) + Y p(x) (x) Z(x) + (x) Y p (x) + F (x) Debido a que Y p (x) es solución particular de () se veri ca y por tanto Y p(x) (x) Y p (x) + F (x) Z (x) (x) Z(x) que es el sistema lineal homogéneo asociado, cambiando la variable Y (x) por Z(x). Debido a que Y (x); Y (x); ; Y n (x) es un sistema fundamental de soluciones de este sistema lineal homogéneo, su solución general es Z(x) C Y (x) + C Y (x) + + C n Y n (x) Por último si deshacemos el cambio de variable obtenemos Y (x) Z(x) + Y p (x) Y (x) C Y (x) + C Y (x) + + C n Y n (x) + Y p (x) que es lo que queríamos demostrar. { Por tanto para hallar la solución general de un sistema lineal no homogéneo necesitamos hallar, en primer lugar, la solución general del sistema homogéneo asociado y posteriormente una solución particular del no homogéneo, a continuación vamos a ver un método que nos permitirá hallar esta solución particular. Teorema 9 Método de variación de las constantes Dado el sistema lineal de ecuaciones diferenciales Y (x) (x)y (x)+f (x) y suponiendo que Y (x); Y (x); ; Y n (x) es un sistema fundamental de soluciones del sistema homogéneo asociado Y (x) (x) Y (x), entonces se veri ca que Y p (x) C (x)y (x) + C (x)y (x) + + C n (x)y n (x) () es solución particular del sistema no homogéneo si las funciones C i (x); i ; ; ; n veri can C (x)y (x) + C (x)y (x) + + C n(x)y n (x) F (x) () Demostración Para demostrarlo hallamos en primer lugar Y p(x) Y p(x) C (x)y (x) + C (x)y (x) + + C n (x)y n(x)+ +C (x)y (x) + C (x)y (x) + + C n(x)y n (x)

17 .. SISTEMS DE ECUCIONES 7 Teniendo en cuenta las hipótesis del teorema, se veri ca Y p(x) C (x)(x) Y (x) + C (x)(x) Y (x) + + C n (x)(x)! Y n (x) + F (x) (x) C (x)y (x) + C (x)y (x) + + C n (x)y n (x) + F (x) (x) Y p (x) + F (x) que es lo queríamos demostrar. { Para aplicar el método de variación de las constantes, en primer lugar hallamos un sistema fundamental de soluciones del sistema homogéneo asociado Y (x); Y (x); ; Y n (x) y posteriormente planteamos el sistema () de n ecuaciones con n incógnitas, en el que las incógnitas son las funciones Ci (x); i ; ; ; n Una vez halladas dichas incógnitas, integrando, hallamos C i (x); i ; ; ; n. Por último sustituyendo en () obtenemos la solución particular. Obsérvese que () es un sistema de n ecuaciones con n incógnitas compatible y determinado, debido a que el determinante de los coe cientes es el wronskiano de Y (x); Y (x); ; Y n (x) y por tanto distinto de cero por ser un sistema fundamental de soluciones de un sistema lineal homogéneo. Ejemplo 5 Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales < y y y + y 3 y y y + y 3 + e x y3 y y + y 3 + e x Solución El sistema lo podemos expresar como Y (x) (x) Y (x) + F (x), siendo y ; Y y (x) ; F e x y 3 (x) e x En primer lugar resolvemos el sistema homogéneo asociado y para ello hallamos el polinomio característico de () () j Ij ( ) ( )

18 Por lo que los valores propios serán (simple) y (doble). continuación calculamos los vectores propios asociados. Las ecuaciones del subespacio propio asociado x x x 3 ) x x + x 3 ) x x + x 3 Por tanto como base de vectores propios para este subespacio, podemos escoger ; Las ecuaciones del subespacio propio asociado a x x x + x ) 3 x x x 3 Por tanto una base de vectores propios para este subespacio es V x3 x ) x x Una vez que hemos hallado los vectores propios, sabemos que un sistema fundamental de soluciones es 9 < Y ; Y ; Y 3 (x) e ; Calculemos ahora una solución particular del sistema no homogéneo por el método de variación de las constantes. Buscamos la solución particular de la forma Y p (x) C (x)y (x) + C (x)y (x) + C 3 (x)y 3 (x) teniendo que veri carse el sistema de ecuaciones C (x)y (x) + C (x)y (x) + C 3(x)Y 3 (x) F (x) Sustituyendo los valores obtenidos la solución particular es de la forma Y p (x) C (x) + C (x) + C 3 continuación planteamos el sistema de ecuaciones + + C3(x)e < ) C(x) + C3(x)e x C(x) + C(x) + C3(x)e x C(x) + C3(x)e x e e e x e x )

19 .. SISTEMS DE ECUCIONES 9 Resolviendo el sistema obtenemos e x + C (x) e x ) C (x) ) C 3 (x) C (x) e x Integrando hallamos C (x) C 3 (x) y C (x) x obtenemos la solución particular Y p (x) x e + e e x Sustituyendo estos valores x e Por lo que la solución general es Y (x) + + C 3 e + x e Si desarrollamos los vectores, podemos expresar la solución general de la siguiente forma < y (x) C + C 3 e x y (x) C + C + C 3 e x + x y 3 (x) C + C 3 e x + x e x e x Ejemplo 6 Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales < y y + y y 3 y y y + y 3 + x y3 y + y y 3 + x Solución El sistema lo podemos expresar como Y (x) (x) Y (x) + F (x), ; Y y (x) y (x) ; F x y 3 (x) x En primer lugar resovemos el sistema homogéneo asociado y para ello hallamos el polinomio característico de j Ij ( + ) ( + )

20 Por lo que los valores propios serán (simple) y (doble). continuación calculamos los vectores propios asociados. Las ecuaciones del subespacio propio asociado x x ) x + x x 3 x 3 Por tanto como base de vectores propios para este subespacio, podemos escoger ; Las ecuaciones del subespacio propio asociado a x x x + x ) + x 3 x x + x 3 Es decir x3 x x x Por tanto una base de vectores propios para este subespacio es V Una vez que hemos hallado los vectores propios, sabemos que un sistema fundamental de soluciones es 9 < Y ; Y ; Y 3 (x) e ; Calculemos ahora una solución particular del sistema no homogéneo por el método de variación de las constantes. Buscamos la solución particular de la forma Y p (x) C (x)y (x) + C (x)y (x) + C 3 (x)y 3 (x) teniendo que veri carse el sistema de ecuaciones C (x)y (x) + C (x)y (x) + C 3(x)Y 3 (x) F (x) Sustituyendo los valores obtenidos la solución paticular es de la forma + C 3 (x)e x Y p (x) C +

21 .. SISTEMS DE ECUCIONES continuación planteamos el sistema de ecuaciones C < ) + C (x) Resolviendo el sistema + C3(x)e C(x) + C3(x)e x C(x) C3(x)e x x C(x) + C(x) + C3(x)e x x C (x) + C (x)e x x ) C 3(x) x x C (x) C (x) x Integrando hallamos C (x) C 3 (x) y C (x) x Sustituyendo estos valores obtenemos la solución particular Y p + + e Por lo que la solución general es Y (x) + + C 3 e + Si desarrollamos los vectores, podemos expresar la solución general de la siguiente forma < y (x) C + C 3 e x y (x) C C 3 e x + x y 3 (x) C + C + C 3 e x + x Ejercicio 5 Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales y y 5y + sen x + cos x y y y + sen x Solución y (x) C ( cos x sen x) + (C + x)( sen x + cos x) y (x) C cos x + (C + x) sen x Ejercicio 6 Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales y y + y y y + y + e x Solución y (x) C e x cos x + C e x sen x + e x y (x) C e x sen x + C e x cos x

22 ..5. Sistemas de Cramer Vamos a ver a continuación un método muy sencillo, para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales que consiste en utilizar el operador derivada, que ya utilizamos anteriormente, D d dx Supongamos que tenemos que resolver un sistema de ecuaciones diferenciales, que expresado a través del operador D; es de la forma >< > a (D)y + a (D)y + + a n (D)y n F (x) a (D)y + a (D)y + + a n (D)y n F (x) a n (D)y + a n (D)y + + a nn (D)y n F n (x) en donde los coe cientes a ij (D) son polinomios, en el operador D d dx ; de coe cientes reales. Se puede demostrar que el número de constantes independientes que deben intervenir en la solución general del sistema es "m", siendo m el grado del polinomio a (D) a (D) a n (D) a (D) a (D) a n (D).... a n (D) a n (D) a nn (D) El método de resolución consiste en despejar las incógnitas y ; y ; ; y n por el método de Cramer, de la forma que veremos en los ejemplos, que exponemos a continuación. Si al hallar las incógnitas aparecen más de m constantes arbitrarias, habrá que hallar la relación entre ellas, para reducirlas a m Ejemplo 7 Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales y + y + 3y + y 4x y + y + y 4 Solución Denotando D d dx, podemos escribir las anteriores ecuaciones como (D + 3)y + (D + )y 4x (D + )y + D y 4 con lo cual, para hallar la solución del sistema aplicamos la regla de Cramer para calcular y es decir y y y para no dividir por el operador D la escribimos como y y

23 .. SISTEMS DE ECUCIONES 3 Utilizamos el mismo procedimiento para calcular y D + 3 D + D + D y 4x D + 4 D D + 3 D + D + D y D + 3 4x D + 4 es decir (D D )y D (4x ) (D + )(4) (D D )y (D + 3)(4) (D + )(4x ) con lo que, haciendo operaciones resulta (D )(D + )y (D )(D + )y 4 4x La solución general de la primera ecuación diferencial es mientras que la de la segunda es y c e x + c e x y k e x + k e x + y p (x) siendo y p (x) una solución particular de (D D )y 4 4x, que vamos a calcular por el método de los coe cientes indeterminados. sí, sustituimos en la ecuación diferencial, resultando y p x + Bx + C x B x Bx C 4 4x de lo que deducimos 4; B ; B C 4, con lo cual ; B ; C ( B 4) ) u p x x + y la solución del sistema debe ser de la forma y c e x + c e x y k e x + k e x + x x + hora bien, teniendo en cuenta que el determinante del sistema, D D, es un polinomio en D de grado dos, en la solución general del mismo sólo deben aparecer dos constantes arbitrarias. Para encontrar la relación entre las constantes obtenidas, impondremos que las funciones y e y calculadas veri quen, efectivamente, el sistema. Si sustituimos en la primera de las ecuaciones, obtendremos 5c e x + c e x + 4k e x + k e x + 4x 4x

24 4 de donde hallamos 5c + 4k ; c + k ) k 5 4 c ; k c y concluimos que la solución del sistema es y c e x + c e x y 5 4 c e x c e x + x x + Ejemplo 9 dx 4x y 36t > dt dy + x y et >; dt Obtener la solución tal que x ; y para t. Solución Denotaremos D d dt con lo cual obtenemos el sistema algebraico Dx 4x y 36t (D 4)x y 36t Dy + x y e t ) x + (D )y e t plicamos la regla de Cramer para calcular x; esto es, x x y para no dividir por el operador D la escribimos como x x D 4 D x 36t e t D (D 5D + 6)x (D )( 36t) e t x 5x + 6x t e t Hemos reducido el sistema a una ecuación lineal de segundo orden con coe cientes constantes. Como el determinante del sistema es un polinomio de grado dos, en la solución general del mismo sólo deben aparecer dos constantes arbitrarias. Resolvemos en primer lugar la ecuación homogénea asociada x 5x + 6x La ecuación característica k 5k + 6 tiene por raíces k y k 3; luego x h c e t + c e 3t

25 .. SISTEMS DE ECUCIONES 5 Buscamos ahora una solución particular de la ecuación completa. Como el segundo miembro es f(t) t e t ; descomponemos en f(t) f (t) + f (t) Para f (t) 36t 36 ensayamos x t P (t) (t + B)Tenemos x t + B; x, x De donde 5 + 6(t + B) 36t ! B 36! B x p 6t De igual modo para f (t) e t ensayamos x t e t P (t) e t. Tenemos x e t, x e t, x e t. De donde Es decir la solución particular buscada es Luego Si sustituimos en la primera ecuación e t 5e t + 6e t e t! x p e t x p x p + x p 6t e t x(t) c e t + c e 3t + 6t e t y dx dt 4x + 36t y c e t + 3c e 3t + 6 e t 4 c e t + c e 3t + 6t e t + 36t y(t) c e t c e 3t + 3e t + t + sí obtenemos y(t) en función de las mismas constantes arbitrarias c y c. En cuanto a la solución particular x ; c + c para t ) y ; c c + 3 c +! c c Ejemplo 9 Resolver mediante el método de Cramer el sistema de ecuaciones diferenciales y + y y 4y e x y + y y e 4x Solución

26 6 Denotando D d dx, podemos escribir las anteriores ecuaciones como (D )y + (D 4)y e x Dy + (D )y e 4x y hallamos la solución del sistema aplicando la regla de Cramer. D D 4 D D y e x D 4 e 4x D es decir con lo que, haciendo operaciones resulta (D + )y (D ) e x (D 4) e 4x (D + )y La solución general de esta ecuación diferencial es y ce x Para calcular y operamos en el sistema de la siguiente forma y + y y 4y e x y + y y e 4x ) y y 4y e x e 4x ) y 3 e4x e x y Por tanto la solución general del sistema es y ce x y 3 e4x e x ce x Ejemplo Resolver mediante el método de Cramer el sistema de ecuaciones diferenciales y y 3y x y + y + 3y + y Solución Denotando D d dx, podemos escribir las anteriores ecuaciones como (D 3)y Dy x (D + 3)y + (D + )y y hallamos la solución del sistema aplicando la regla de Cramer. D 3 D D + 3 D + y x D D + es decir (D + D 3)y (D + ) x + D () + x

27 .. SISTEMS DE ECUCIONES 7 con lo que, haciendo operaciones resulta (D + D 3)y x + 4 La solución general de esta ecuación diferencial lineal de segundo orden es y c e x + c e 3x Para calcular y operamos en el sistema de la siguiente forma y y 3y x y + y + 3y + y ) 4y + y x + ) y (x + 4y ) Por tanto la solución general del sistema es x y c e x + c e 3x x 3 y c e x + 3 c e 3x + x + 5 Ejercicio 7 Resolver mediante el método de Cramer el sistema de ecuaciones diferenciales y y x + y + y 3y + y x Solución y c +c e x +c 3 e 3x 6 x 4 9 x; y 3c +c e x 3c 3 e 3x x 4 3 x Ejercicio Resolver mediante el método de Cramer el sistema de ecuaciones diferenciales y + y + y 3x y + y y y 3x x 3 Solución y c e x + c e x ; y 3c e x c e x + x 3 Ejercicio 9 Resolver mediante el método de Cramer el sistema de ecuaciones diferenciales x (t) x(t) + y (t) + y(t) Solución x e t ; y 3 5 e t x (t) + x(t) + y (t) + y(t) Ejercicio Resolver mediante el método de Cramer el sistema de ecuaciones diferenciales x (t) + x(t) + y (t) 5e t Solución x Be t + e t ; y 4e t x (t) x(t) + y (t) 3e t