Algebra II: Resumen Teórico

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1 Algebra II: Resumen Teórico Diego Martín Nieto Cid 7 de julio de 2009

2 Índice 1 Espacios vectoriales 2 11 Subespacios 2 12 Combinación Lineal 2 13 Independencia Lineal 2 14 Base 2 15 Coordenadas 2 16 Matriz de cambio de base 3 2 Wronskiano 3 3 Producto interno 3 31 Denición 3 32 Desigualdad de Schwarz 3 33 Desigualdad triangular 3 34 Teorema de Pitágoras 3 35 Igualdad del paralelogramo 4 36 Propiedades varias 4 4 Proyección ortogonal 4 41 Denición 5 42 Gram-Schmidt 5 43 Matriz de proyección 5 5 Cuadrados minimos 5 51 Regresión lineal 6 6 Transformaciones lineales 6 61 Denición 6 62 Teorema de las transformaciones lineales 7 63 Clasicación 7 64 Matriz de la transformación 7 7 Ecuaciones diferenciales 7 71 Lineales de primer orden Generales A coecientes constantes Principio de superposición Problemas a valores iniciales Sistemas de ecuaciones 9 72 Lineales de segundo orden a coecientes constantes Solución homogenea Solución particular Problemas a valores iniciales 11 8 Autovectores y Autovalores 11 9 Diagonalización Semejanza Aplicación a transformaciones lineales 12 1

3 10Matrices unitarias y ortogonales 12 11Matrices simétricas y hermíticas 13 12Teorema espectral 13 13Formas cuadráticas Clasicación Optimización 14 14Descomposición en valores singulares (DVS) DVS Reducida Observaciones Pseudo inversa de Moore-Penrose Propiedades 16 15Observaciones de la práctica 16 2

4 1 Espacios vectoriales 11 Subespacios Sea V un espacio vectorial y S V, S es subespacio si y sólo si 0 V S u + v S u, v S λu S u S; λ K 12 Combinación Lineal Sea el conjunto {v 1,, v n } V y w V, w es combinación lineal de {v 1,, v n } si existen λ 1,, λ n K tales que w = λ 1 v λ n v n 13 Independencia Lineal El conjunto {v 1,, v n } V es linealmente independiente si y sólo si 14 Base n λ i v i = 0 λ i = 0 El conjunto {v 1,, v n } V es una base de V si y sólo si {v 1,, v n } genera V {v 1,, v n } es linealmente independiente Además dim (V) = n 15 Coordenadas Sea B = {v 1,, v n } una base de V y v V se denomina coordenadas al n conjunto {λ 1,, λ n } / v = λ i v i Se dene la siguiente función: c B : V K n Propiedades: c B (v) = λ 1 λ n i c B (v) = 0 K n v = 0 V c B (v + u) = c B (v) + c B (u) c B (λv) = λc B (v) {v 1,, v n } LI {c B (v 1 ),, c B (v n )} LI 3

5 16 Matriz de cambio de base Sean B = {v 1,, v n } y B = {w 1,, w n } bases de V C BB = [ c B (v 1 ) c B (v n ) ] cambio de base B a B C B B = [ c B (w 1 ) c B (w n ) ] = [C BB ] 1 cambio de base B a B 2 Wronskiano Sean φ 1, φ 2 C 1 W (φ 1, φ 2, x 0 ) = φ 1(x 0 ) φ 2 (x 0 ) φ 1 (x 0 ) φ 2 (x 0 ) Si x 0 / W (φ 1, φ 2, x 0 ) = 0 = {φ 1, φ 2 } LI 3 Producto interno 31 Denición Sea V un R espacio vectorial,, : V V R es producto interno si x, y = y, x αx + βy, z = α x, z + β y, z α, β R x, x 0 x, x = 0 x = 0 V Sea V un C espacio vectorial,, : V V C es producto interno si x, y = y, x αx + βy, z = α x, z + β y, z α, β C x, x 0 x, x = 0 x = 0 V 32 Desigualdad de Schwarz 33 Desigualdad triangular, PI = x, y x y 34 Teorema de Pitágoras x + y x + y u v = x + y 2 = x + x + y 4

6 35 Igualdad del paralelogramo 36 Propiedades varias x + y 2 x y 2 = 2 ( x 2 + y 2) x T y producto canónico en R n x T y producto canónico en C n x 2 = x, y d(x, y) = x y ( distancia de x a y ) x y x, y = 0 α / cos(α) = x,y x y ( ángulo subtendido entre x e y ) {v 1,, v n } es un conjunto ortogonal si v i, v j i = j {v 1,, v n } es un conjunto ortonormal si es ortogonal y v i, v i = 1 Si {v 1,, v n } es un conjunto ortogonal = es LI Sea B = {v 1,, v n } base de V, x V, y V y, es PI entonces x, y = c B (x)gc B (y) v 1, v 1 v 1, v n donde G = simétrica en R, hermítica en C y v n, v 1 v n, v n denida positiva 4 Proyección ortogonal Complemento ortogonal: Sea S V, el complemento ortogonal, S, es el conjunto S = {v V / v, s = 0 s S} S es subespacio Si S = V entonces S = {0 V } S = S V = S S i 5

7 41 Denición Sea V un espacio vectorial con PI, S V, x V y x V x = proy S x S x x S Si proy S x = x d(x, x ) d(x, s) = x es único s S Sea B = {v 1,, v k } una base ortogonal de S k proy S x = α i v i donde α i = v i, x v i, v i proy S x = 0 V x S Si x S = proy S x = x Si x V entonces x = proy S x + proy S x x proy S x = proy S x 42 Gram-Schmidt Sea S V y B = {v 1,, v n } base de S = B = {u 1,, u n } base ortogonal de S donde: u 1 = v 1 u i = v i proy Si 1 v i ; S i 1 = gen {u 1,, u i 1 } ; 2 i n 43 Matriz de proyección Una matriz P de proyección verica 1 P = P T 2 P 2 = P 3 P x = proy col(p ) x Sea S R n con el PI canónico y B = v 1,, v k base ortonormal de S Si Q = [v 1 v k ] entonces P = QQ T proyecta sobre S 5 Cuadrados minimos Sea A R m n Si b col(a) entonces Ax = b es compatible Si b / col(a) es posible encontrar x 0 / Ax 0 = proy col(a) b La solución del sistema Ax = b por cuadrados mínimos cumple A T Ax = A T b Ecuaciones normales Observaciones: 6

8 Nul(A) = Nul(A T ) rango(a T A) = rango(a) Si rango(a) = n entonces A # = (A T A) 1 A T, denominada pseudo-inversa de A, es tal que 51 Regresión lineal A # A = I AA # = matriz de proyección Dado el conjunto de puntos {(x 1, y 1 ),, (x n, y n )} la recta que mejor ajusta a los puntos es y = mx + b donde n n x i n x i n x 2 i [ ] b = m 6 Transformaciones lineales 61 Denición n y i n x i y i Sean V y W K espacios vectoriales Una función T : V W es una transformación lineal si para v 1, v 2 V y λ K se verican T (v 1 + v 2 ) = T (v 1 ) + T (v 2 ) T (λv 1 ) = λt (v 1 ) Observaciones: T (0 V ) = 0 W TL Sean T : V W y G : W U, la composición G T : V U es una transformación lineal Nu(T ) = {v V / T (v) = 0 W } subespacio de V Im(T ) = {w W / w = T (v) para algún v V} Propiedades: {T (v 1 ),, T (v n )} LI = {v 1,, v n } LI subespacio de W dim(nu(t )) + dim(im(t )) = dim(v) 7

9 62 Teorema de las transformaciones lineales Sea V un espacio vectorial, B = {v 1,, v n } base de V y dado el conjunto {w 1,, w n } W,! TL T : V W / T (v i ) = w i i 63 Clasicación Monomorsmo: T inyectiva; v 1 = v 2 = T (v 1 ) = T (v 2 ) Epimorsmo: T sobreyectiva; Im(T ) = W Isomorsmo: T biyectiva Propiedades: T es monomorsmo Nu(T ) = {0 V } T es monomorsmo = dim(v) dim(w) T es epimorsmo = dim(w) dim(v) T es isomorsmo = dim(v) = dim(w) T es isomorsmo = T 1 : W V TL T es isomorsmo y {v 1,, v n } base de V de W = {T (v 1 ),, T (v n )} base 64 Matriz de la transformación Sean B = {v 1,, v n } base de V y B = {w 1,, w n } base de W c B (T (v)) = [T ] BB c B (v) Observaciones: [T ] BB = [ c B (T (v 1 )) c B (T (v 1 )) ] rango([t ] BB ) = dim(im(t )) Las columnas de [T ] BB son las coordenadas de los generadores de Im(T ) Si T es isomorsmo = [ T 1] B B = [T ] BB 1 7 Ecuaciones diferenciales 71 Lineales de primer orden 711 Generales y + a(t)y = b(t) y C 1 Si b(t) = 0, la ecuaión es homogenea a(t), b(t) C 8

10 Todas las soluciones de la ecuación se pueden escribir y = y H + y P donde y P es una solución de la ecuación e y H son las soluciones de la ecuación homogenea siendo y P = e λ(t) B(t) y H = Ke λ(t) y = Ke λ(t) + e λ(t) B(t) λ(t) = a(t) B(t) = e λ(t) b(t) 712 A coecientes constantes Método de los coecientes indeterminados ( sólo si b(t) = e kt P m (t) ) Si a = k: y P = e at P m+1 donde gr(p m+1 ) = gr(p m ) + 1 Si a = k: y P = e kt Q m (t) donde gr(q m+1 ) = gr(p m ) Luego reemplazando y P en la ecuación diferencial se obtienen los coecicentes de P m+1 o Q m 713 Principio de superposición y 1 / y 1 + ay 1 = b 1 (t) y 1 / y 2 + ay 2 = b 2 (t) Sumando se obtiene: (y 1 + y 2 ) + a(y 1 + y 2 ) = b 1 (t) + b 2 (t) Entonces y 1 + y 2 es solución de y + ay = b 1 (t) + b 2 (t) 714 Problemas a valores iniciales { y + a(t)y = b(t) y(t 0 ) = y 0 1 Se obtiene y G 2 Reemplazando t por t 0 resulta y G (t 0 ) = y 0, de donde se obtiene el valor de K 9

11 715 Sistemas de ecuaciones El sistema de ecuaciones diferenciales n x 1 = x i α i1 n x n = x i α in puede interpretarse matricialmente como donde x = x = Ax α 11 α 1n A = α n1 α nn x 1 x = x n x 1 x n Si A es diagonalizable, A = QDQ 1 con Sea y = Q 1 x, y = Q 1 x: quedando el sistema en y: D = λ λ n Q = [ v 1 v n ] y = Q 1 x = Q 1 QDQ 1 x = Dy que tiene solución inmediata y x = Qy y 1 = λ 1 y 1 y n = λ n y n y = k 1 e λ 1t k n e λ nt 10

12 72 Lineales de segundo orden a coecientes constantes 721 Solución homogenea y + ay + by = c(t) P (x) = x 2 + ax + b Sean λ 1 y λ 1 las raices de P (x) Si λ 1 = λ 2 Si λ 1 = λ 2 Si λ 1 = λ 2 λ 1 = α + iβ λ 2 = α iβ λ 1, λ 2 R λ 1, λ 2 R λ 1, λ 2 C polinomio caractrístico de la ecuación S H = gen { e λ 1t, e λ 2t } S H = gen { te λ1t, e λ1t} S H = gen { e λ 1t, e λ 2t } Empleando una combinación lineal adecuada de estos generadores es posible obtener la siguiente solucion: S H = gen { e αt cos βt, e αt sen βt } 722 Solución particular Coecientes indeterminados( c(t) = P m e kt ) y P = e kt Q(t) gr(p m ) si λ 1 = λ 2 = k donde gr(q(t)) = gr(p m ) + 1 si λ 1 = k = λ 2 λ 2 = k = λ 1 gr(p m ) + 3 si λ 1 = λ 2 = k Método de variación de las constantes y H = K 1 φ 1 + K 2 φ 2 y P = c 1 (t)φ 1 + c 2 (t)φ 2 { c 1 φ 1 + c 2 φ 2 = 0 c 1 φ 1 + c 2 φ 2 = c(t) Resolviendo el sistema por regla de cramer: c 1 = c(t)φ 2(t) W (φ 1, φ 2 ) c 2 = c(t)φ 1(t) W (φ 1, φ 2 ) De donde se obtienen c 1 y c 2 por integración de sus respectivas derivadas 11

13 723 Problemas a valores iniciales y + ay + by = c(t) y(t 0 ) = y 0 y (t 0 ) = y 1 1 y G = y P + K 1 φ 1 + K 2 φ 2 2 Reemplazando t por t 0 resulta y G (t 0 ) = y 0 y y G (t 0 ) = y 1, de donde se obtiene el valor de K 1 y K 2 8 Autovectores y Autovalores v = 0, v K n es autovector de A K n n si λ K / Av = λv Y se dice que λ es el autovalor de A asociado al autovector v Polinomio Característico: P A (λ) = det(a λi) P A tiene grado n y sus raíces son los autovalores de A S λ = Nul(A λi): autoespacio de A asociado a λ (generado por autovectores asociados a λ) Multiplicidad algebraica: (ma) multiplicidad de λ como raiz de P A Multiplicidad geométrica: (mg) dimensión de S λ Observaciones: Si λ = 0 es autovalor de A A es singular Si A es trianguar superior o inferior o diagonal Los elementos de la diagonal son los autovalores de A trz A = n λ i det A = n λ i k i Si λ i = λ j {v i, v j } LI dondek i esmadeλ i Sea P : K n n K n n y p : K K P (A) = a i A i y p(x) = a i x i Si λ es autovalor de A asociado a v p(λ) es autovalor de P (A) asociado a v P A (λ) = P A T (λ) autovalores de A = autovalores de A T Además, si λ es autovalor de A de mg k λ es autovalor de A T de mg k 9 Diagonalización A es diagonalizable A = P DP 1 base de K n formada por autovectores de A Siendo: P = [ v 1 v n ] v 1 v n autovectoresdea D = I λ 1 λ n λ 1 λ n autovaloresdea 12

14 91 Semejanza A es semejante a B, y se lo nota A B, si y solo si Q tal que A = QBQ 1 Sean A, B, semejantes y B, C, semejantes, entonces: P A (λ) = P B (λ) dim(s λi,a) = dim(s λi,b) Av i = λ i v i B(Q 1 v i ) = λ i (Q 1 v i ) v i v k LI Q 1 v i Q 1 v k LI A C (relación transitiva) Si A diagonalizable A D (donde D es la matriz diagonal de autovalores) 92 Aplicación a transformaciones lineales v = 0 es autovector de la transformación T : V V, si T (v) = λv B = {v 1 v n } base de autovectores [T ] B = I v es autovector de T asociado a λ c B (v) es autovector de [T ] B a λ para cualquier base B Observaciones: λ 1 λ n asociado [T ] BB [T ] B B T es diagonalizable si existe B base de autovectores de T 10 Matrices unitarias y ortogonales ( Con producto interno canónico ) U es unitaria si U 1 = U H T = U P es ortogonal si P 1 = P T Si P es ortognal P es unitaria Propiedades: det(u) = 1 U, V, unitarias UV, unitaria } sus columnas son una BON U, unitaria (u, v) = (Uu, Uv) Se dice que U çonserva el producto interno" conserva norma y ángulo Si λ, autovalor de U, unitaria λ = 1 Si B = {v 1 v n } BON de C n y B = {w 1 w n } BON de C n C BB, unitaria 13

15 11 Matrices simétricas y hermíticas A R n n es simétrica si A T = A A C n n es hermítica si A H = A = A es simétrica A es hermítica Propiedades: A T A, hermítica x T Ax R x C n Si λ es autovalor de A, hermítica λ R Si A es hermítica y λ i = λ j autovalores de A v i v j Si S C n es invariante por A S es invariante por A 12 Teorema espectral A es simétrica si y solo si P ortogonal tal que A = P DP T A es hermítica si y solo si U unitaria tal que A = UDU T 13 Formas cuadráticas F (x) = x T Ax con A simétrica Las formas cuadráticas más sencillas resultan cuando A es diagonal: Elipses: x2 a + y2 2 b = 1 2 Hipérboles: x2 a y2 2 b = 1 2 Si A no es diagonal resultan elipses o hipérboles rotadas respecto de los ejes cartesianos: x x 1 x 2 + x 2 2 Empleando el siguiente cambio de variable se logra obtener una expresión sencilla respecto de los ejes apropiados: Sea y = P T x, y T = x T P : Faltan 3 grácos 131 Clasicación Q(x) = x T Ax x T Ax = c x T P DP T x = c A simétrica A = P DP T x T Ax = y T Dy = c Denida positiva si: x T Ax > 0 x = 0 Denida negativa si: x T Ax < 0 x = 0 Semi-denida positiva si: x T Ax > 0 x 0 14

16 Semi-denida negativa si: x T Ax < 0 x 0 Indenida si: x 1, x 2 tal que x T 1 Ax 1 > 0 y x T 2 Ax 2 < 0 Q(x) denida positiva Leftrightarrow λ i > 0 i, con λ i autovalores de A 132 Optimización Q(x) = x T Ax con restricción x 2 = 1 maxq(x) x 2 = 1 o minq(x) x 2 = 1 maxq(x) x 2 = 1 = λ max Q(x) = λ max x = v (autovector) minq(x) x 2 = 1 = λ mix Q(x) = λ mix x = v (autovector) Si la restricción es x 2 = k, expresando x como x 2ˆv con ˆv = siendo λ min ˆv T Aˆv λ max x T Ax = x 2 2ˆvT Aˆv x 2 2 λ min x T Ax x 2 2 λ max Si la restricción es x T BX = 1: (si fuera x T Cx = k x T Bx = 1 B = C ) k B = SDS T con D = I λ 1 λ n Sea D = D 1 D 1 con D 1 = I λ1 λn x x 2 = x T Bx = x T SD 1 D 1 S T x = 1 resulta: Al introducirse la variable z: z = D 1 S T x, la restricción se convierte, en z, a z 2 = 1 Ya que: x T = z T D 1 S T x = SD 1 1 z x T Bx = z T D 1 S T SD 1 1 z = zt z Sustituyendo en la forma cuadrática se reduce el problema a la restricción z 2 = 1: Q(x) = x T Ax Q(z) = z T Cz siendo C = D 1 1 ST ASD 1 1 x = SD 1 1 z 15

17 14 Descomposición en valores singulares (DVS) Propiedad: si A R m n A T A R n n es simétrica y semi-denida positiva Se llama valor singular de A a σ = λ, siendo λ autovalor de A T A Si A R m n, rg(a) = r U y V tal que A = UΣV T, donde Σ R m n, Σ = σ 1 0 con σ 1 σ 2 σ r > 0: valores singulares de A σ r 0 0 U R m m, ortogonal U = [μ 1 μ r μ r+1 μ n ] con μ i = Avi σ i i {1 r} y {μ r+1 μ n } tal que {μ 1 μ n } es BON de R m y v i autovector de A T A asociado a λ i 141 DVS Reducida V R n n, ortogonal V = [v 1 v n ] con A = U r Σ r V T r U r = [μ 1 μ r ] σ 1 Σ r = I σ r V r = [v 1 v r ] 142 Observaciones {v 1 v r } BON F il(a) {v r+1 v r } BON Nul(A) {μ 1 μ r } BON Col(A) {μ r+1 μ r } BON [Col(A)] 143 Pseudo inversa de Moore-Penrose Sea A = U r Σ r Vr T, se dene A = V r Σ rur T o A = V Σ U T donde [ ] Σ Σ 1 0 =

18 144 Propiedades U r U T r = Matriz de proyección sobre Col(A) U T r U r = I r r V r V T r = Matriz de proyección sobre F il(a) AA = U r U T r A A = V r V T r A(A A) = A A AA = A A R m n, rg(a) = n A = A # (A # = (A T A) 1 A) A R n n, no singular A = A 1 Relación con mínimos cuadrados: Ax = b incompleto = Aˆx = proy Col(A) b AA es la matriz de proyección = Aˆx = AA b x = A b es solución del problema de cuadrados mínimos de menor norma y todas las soluciones se escriben ˆx = x + x n, con x n Nul(A) 15 Observaciones de la práctica P S v v v P S v = v v S Householder (ver gura 1) H = I 2 w T w wwt Sea P R n n la matriz de proyección sobre S, I P es matriz de proyección sobre S A R n n, rg(a) = k, k < n 0 es autovalor de mg n k Sea λ autovalor de A, rλ es autovalor de ra Sea λ autovalor de A y k N, λ k es autovalor de A k Sea λ autovalor de A, λ 1 es autovalor de A 1 Sea λ autovalor de A, λ + r es autovalor de A + ri Sea λ autovalor de A, rλ es autovalor de ra Si A R n n posee n autovalores distintos entonces A es diagonalizable Si A 2 = A y x Col(A), Ax = x Sea T (x) = P x con P R n n y ortogonal Si S es invariante por T, T (S) = S y T (S ) = S 17

19 v w Hv Figura 1: Matriz de Householder x H Qy = (x, y), con Q C n n hermítica, dene un productoo interno Q es denida positiva A R n n, det(a) = σ i A B A tiene los mismos valores singulares que B 18