Guía de Ejercicios N 1 Abril del 2011

Transcripción

1 Universidad de Santiago de Chile Departamento de Matemática y CC Ingeniería Civil Guía de Ejercicios N 1 Abril del 011 Autores: Ricardo Santander Baeza, Rodrigo Quezada y Rodrigo Vargas Objetivo de la guía La matemática viene impresa en el cerebro y, sólo se hace carne cuando palpita en el corazón Estimados estudiantes, los profesores de nuestra coordinación les proponemos estos ejercicios con el objetivo de que a través del trabajo que significa analizarlos, comprenderlos y finalmente resolverlos, consigan en primera instancia, en el más breve plazo desarrollar competencias adecuadas que les permitan de manera eficiente [1] Operar con polinomios [] Demostrar el valor de verdad de proposiciones lógicas, usando tablas de verdad o bien propiedades [3] Demostrar la validez de fórmulas proposicionales usando el método de Inducción matemática [4] Determinar rápida y eficientemente los elementos de sucesiones numéricas que poseen las propiedades de progresiones aritméticas y geométricas [5] Determinar rápida y eficientemente cualquier término de un desarrollo binomial Y en segunda instancia, la competencia más importante para nosotros, es que consigan expresar de manera clara precisa y estructurada sus conclusiones, sin duda esta es la parte más compleja y difícil de realizar, pero tengan certeza que esta propiedad no viene en el ADN, y por tanto quien ya la obtuvo lo hizo sólo persistiendo en el trabajo, y una buena idea será imitarlo Algunas sugerencias [1] Lea cuidadosamente el problema [] Reconozca lo que es información, de lo que es incognita, o lo que a usted se le consulta y debe hacer [3] Gestione de forma eficiente la información 11 Bases numéricas y Polinomios 1 Ejercicios Propuestos [1] Demuestre que cualquiera sea la base B, el número no es primo [] Demuestre que 11 m) = m+1) ) 10), entiéndase 10 como base decimal [3] a+b) m a m b m es divisible por a+b), si m es impar? Justifique su respuesta [4] Demuestre que el polinomio a 3) n +a ) n 1 es divisible por a 3)a ) [5] Determine m y n de modo que el polinomio qx) = x 4 +mx 3 +9x +nx+4 sea un cuadrado perfecto 1

2 Coordinación de Algebra Ingeniería Civil [6] Determine si existe o no un polinomio px) de grado 3 tal que p1) = 0, y p i) = 9 para i = 1,,3 Si la respuesta es afirmativa, determine px) [7] Determine el conjunto S = { px) R[x] } x 4 +x 3 +3x +x+1 = px) [8] Desarrolle si es posible, el polinomio px) = x 5 4x 4 +3x 3 6x+ en potencias de x [9] Factorización directa de trinomios Descomponga en factores a) px) = x 5 x b) px) = x 3 +6x +10x c) px) = x 3 +6x 10x d) px) = x 4 5x 36 e) px,y) = 3xy +15x y 10 f) px) = xy +6x+y +3 [10] Factorización de trinomios usando sustitución Ideas para resolver Consideremos el trinomio; px) = x ) +3x ) 10entonces podemos desarrollar el siguiente procedimiento o algoritmo: Sea u = x Sustituyendo en px) tenemos que px) = x ) +3x ) 10 qu) = u +3u 10 Resolvemos la ecuación de segundo grado para la variable u qu) = 0 u = 3± 9+40 u = 3±7 u = u = u = 5 q) = 0 q 5) = 0 qu) = u )u+5) Volvemos a la variable original y obtenemos: px) = x ) )x )+5) = x 4)x+3) Usando el procedimiento anterior factorice los siguientes: a) px) = x 3) +10x 3)+4 b) px) = x+1) 8x+1)+15

3 Coordinación de Algebra Ingeniería Civil 3 c) px) = x+1) +3x+1) 8 d) px) = 3x ) 53x ) 36 e) px) = 6x 4) +7x 4) 3 [11] Planteamiento y resolución de ecuaciones polinomiales A modo de ejemplo, consideremos el problema: Una sala de clases posee 78 sillas universitarias Si el número de sillas por fila es uno más que el doble del número de filas entonces determine el número de filas y de sillas por fila Planteamiento del problema Si x es la variable que representa el número de filas entonces xx + 1) representa el número de sillas por fila, así que Resolvemos la ecuación x +x 78 = 0 xx+1) = 78 representa el número total de sillas x +x 78 = 0 x = 1± x = 1±5 4 x = 6 x = 13 Decidimos la factibilidad de los resultados: Como el número de filas es un natural, así que desechamos x = sillas por fila y x = 6 es el resultado posible y hay Resuelva los siguientes problemas: a) Determine dos enteros consecutivos cuyo producto sea 7 b) Determine dos enteros cuyo producto sea 105 y uno de ellos debe ser uno más que el doble del otro c) El perímetro de un rectángulo mide 3 cm y su área es de 60 cm Determine las dimensiones del rectángulo d) Si el largo de un rectángulo excede en cm al triple de su ancho y su área es 56 cm Determine las dimensiones del rectángulo e) La suma de las áreas de dos círculos es 65π centímetros cuadrados Si el radio del círculo mayor mide un centímetro menos que el doble del radio del círculo menor entonces determine el radio de cada círculo [1] División de polinomios Realice las divisiones que se indican: a) x 7x 78) x+6) b) x 3 +x 3x+1) x +x 1) c) 5a 3 +7a a 9) a +3a 4) d) n 4 +3n 3 n +3n 4) n +1)

4 4 Coordinación de Algebra Ingeniería Civil e) x 5 +1) x+1) f) x 5 1) x 1) [13] Ecuaciones con radicales Resuelva las ecuaciones a) x+ = 7 x+9 b) x +13x+37 = 1 c) d) e) 3 x+1 = 4 3 3x 1 = 4 3 3x 1 = 3 5x 1 Lógica [1] Determine el valor de verdad de las proposiciones p,q,r y s si se sabe que la siguiente proposición es verdadera [s r r) r r)))] [ p q) s r] [] Demuestre usando propiedades que {[p = q r)] [p q = r)]} {p q) [r r q) p]} p q [3] Si p y q son proposiciones lógicas Demuestre que [ x) : px) x) : qx)] / [ x) : p q)x)] [4] Si p y q son proposiciones lógicas, y A es un conjunto entonces niegue la proposición x),x A) : [px) qx)] [5] Para A y B conjuntos: Determine la veracidad o falsedad de las proposiciones a) A A B) b) A B) A B) c) A B) c B c d) A B) c A B) c e) B A B) f) A B) c A c g) A B) B = B

5 Coordinación de Algebra Ingeniería Civil 5 [6] Para A y B conjuntos: Simplifique las proposiciones a) A B) A c B) b) A B) c A c B) c) A B A d) A ) A) c e) A B) A B c ) A B) [7] Para A y B conjuntos: Demuestre que a) A A B) = A b) A [B A B)] = c) [A B c ) c A B c )] A B) = B [8] Si A n y B n n;n N), son conjuntos Demuestre que B n = ) n ) A i, n N = B i = A i 13 Inducción Matemática 10 [1] Determine si existe c R tal que x c) = 1050, si se tiene que: 9 x = x = x = 180, [] Demuestre que para todo número natural n se tiene que: ) n Donde = n!!n )! n+1 ) = = [3] Demuestre que para todo número natural n se tiene que: n+1 1) n+ 3 [4] Demuestre usando Inducción matemática que las siguientes fórmulas proposicionales son verdaderas: n ) 1 n 1 a) Fn) : i +i) = n n;n N) n+1 b) Fn) : n N impar = 7 n +1 es divisible por 8 n;n N) c) Fn) : 5n 3 +7n es divisible por 6 n;n N) d) Fn) : 10 n 1 es divisible por 9 e) Fn) : 4 n 1 es divisible por 3 f) Fn) : 8 n 5 n es divisible por 3 g) Fn) : 10 n n +1 es divisible por 3 h) Fn) : nn+1)n+5) es divisible por 6 i) Fn) : 3n +15n+6 es divisible por 6

6 6 Coordinación de Algebra Ingeniería Civil j) Fn) : n +5 es divisible por 8 ) Fn) : x n 1 +y n 1 es divisible por x+y l) Fn) : 3 n+ n+1 es divisible por 7 m) Fn) : n+1)n+) n+n) = n n 1)! n;n N) n 1))! n) Si U n+1 = 1+x)U n nx, n;n N), y U 1 = 0 entonces U n = 1 x [1+nx 1+x)n ] n;n N) o) Fn) : n 1 n! n;n N) n ) n p) Fn) : 1) = 0 n;n N) =0 ) n q) Fn) : 0 r n) = N n;n N) r r) Si Fn) : x,y R, con 0 < x < y, entonces x n < y n s) Fn) : n > n, n 4 t) Fn) : 4 n > n 4, n 5 u) Fn) : 3 n > 1+n v) Fn) : n > 1+1/n) n, n 3 w) Fn) : α n 1 > nα 1), α > 0 x) Fn) : 1+x) n 1+nx, x > 0 y) Fn) : n 1 < n! z) Fn) : n! > n, n 4 14 Progresiones [1] Cuántos términos hay que considerar en la progresión aritmética 5, 9, 13, 17, para que su suma sea 10877? [] Determine 5 números reales en progresión geométrica, tales que la suma de los dos primeros es 4, y la razón es la cuarta parte del primer número [3] Si en una progresiónaritmética A, se verificaque: El producto del segundo con el quinto término es 364, y además la diferencia de estos mismos términos es 15 entonces determine, si es posible la progresión A { } a+b 3a b [4] Dada la progresión T =,a,, a) Calcule S 1 La suma de los primeros 1 términos b) Exprese S n usando el operador sumatoria [5] Sea S = {b 1,b,} una sucesión de numeros reales, tales que: a) b m = n; b n = m y n m b) Si además construimos una progresión aritmética A = {a 1,a,,} tal que a i = 1 b i i;i N) entonces demuestre que la diferencia de la progresión es d = 1 mn [6] Dada la progresión A = {a,a+d,a+d,,} y S la suma de sus n+1 primeros términos Demuestre que n ) n a+d) = n S n+1 =0 [7] La suma de tres números en progresión geométrica es 70 Si se multiplican los números ubicados en los extremos por 4 y el número ubicado en el centro 5, se obtiene una progresión aritmética Determine ambas progresiones n 1 [8] Sea A = {a 1,a,} R una progresión aritmética Si a i = S 1, n n 3 a i = S y a i = S 3 Demuestre que:

7 Coordinación de Algebra Ingeniería Civil 7 S 1 n 1 n n 3 )+ S n n 3 n 1 )+ S 3 n 3 n 1 n ) = 0 [9] El crecimiento de cierto tipo de bacteria se realiza de la siguiente manera: Cada media hora, cada bacteria se divide en dos Si en cierto momento t 0 existe una cantidad B de bacterias, qué cantidad de bacterias existirían pasadas 6 horas desde t 0? [10] Sea {a n n 1} una sucesión que se encuentra en progresión aritmética Si a 1 = 4, a n = 34 y la suma de los primeros n términos de la sucesión es 47, determinar el valor de n 15 Teorema del Binomio n [1] Resolver la ecuación n ) n = 7 n 1 [] En el desarrollo binomial + 3 3) 5 determine el conjunto ) donde n es un número natural E = { Z t Z}, donde t es el término de orden [3] Determine el término independiente de x si existe) en el desarrollo binomial x 3 1 x ) 30 [4] Determine el valor de a en el desarrollo binomial igual al coeficiente de x [5] En el desarrollo binomial x a + 1 ) 0, de tal forma que el término independiente de x sea x x x+ 1 x ) n el coeficiente binomial del 3 er término es mayor que el coeficiente binomial del do término en 44 unidades Determine, si existe, el término independiente de x [6] Muestre que el coeficiente del término central del desarrollo binomial 1+x) n, es igual a la suma de los coeficientes de los dos términos centrales del desarrollo binomial 1+x) n 1 [7] Dados los desarrollos binomiales x + x) 1 n, y x ) n x Determine el conjunto T = {n N Los terceros términos de los binomios sean iguales} [8] Si en el desarrollo binomial 1+x) 43, los coeficientes de la posición m+1) y m+) son iguales Determine, si es posible, el valor de m [9] Determine el coeficiente de x n en el desarrollo binomial 1 x+x )1+x) n+1 [10] En el desarrollo del producto [11] Encuentre el coeficiente de x15 y 6 [1] Encuentre el coeficiente de x11 [13] En el desarrollo binomial x a y) 15, el término que contiene a y presenta el coeficiente numérico Determine el valor de a [14] Demuestre que y 9 n ni ) = n i=0 x+ ) 3x + 13 xy y)

8 8 Coordinación de Algebra Ingeniería Civil [15] Considere los reales positivos p y q tales que, p+q = 1 Demuestre que ) n n r = p q n 0 n) = r ) = n p 16 Relaciones [1] Sea A = {0, 1,, 3, 4, 5, 6} y PA) = {X X A} Defina en PA) la siguiente relación =0 Demuestre que R es relación de equivalencia X R Y X {0, 1,, 4} = Y {0, 1,, 4} Determine las clases de y {5} [] Sea A = {0, 1,, 3, 4} y PA) = {X X A} Defina en PA) la siguiente relación X R Y X Y Determine las propiedades que cumple R y confeccione un diagrama que la represente [3] Si R y S son dos relaciones entonces demuestre que R S) 1 = R 1 S 1 S R) 1 = R 1 S 1 [4] Sea R una relación Demuestre que R es transitiva R R R [5] Diremos que una relación R es circular si verifica la siguiente propiedad arb brc = cra demuestre que R refleja y circular = R es relación de equivalencia [6] Sean R A y S A dos relaciones de equivalencia Es R S? una relación de equivalencia [7] Sea W = {x,y,z) R 3 z = 0} Define en R 3 la relación x 1,y 1,z 1 ) R x,y,z ) x 1 x,y 1 y,z 1 z ) W Demuestre que R es una relación de equivalencia Demuestre que W = 0,0,0) } Determine R 3 = {x,y,z) x,y,z) R 3 [8] Sea W = {x,y,z) R 3 x+y+3z = 0} Define en R 3 la relación x 1,y 1,z 1 ) R x,y,z ) x 1 x,y 1 y,z 1 z ) W Demuestre que R es una relación de equivalencia Demuestre que W = 0,0,0)

9 Coordinación de Algebra Ingeniería Civil 9 } Determine R 3 = {x,y,z) x,y,z) R 3 [9] Sea W = {px) = a 0 +a 1 x+a x R [x] a 0 a 1 = 0} Define en R [x] la relación px) R qx) px) qx)) W Demuestre que R es una relación de equivalencia Demuestre que W = 0+0x+0x Determine R [x] = { } px) px) R [x] BUEN TRABAJO!!!