COLEGIO COLOMBO BRITÁNICO Formación en la Libertad y para la Libertad ÁLGEBRA (TIC)

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1 COLEGIO COLOMBO BRITÁNICO Formación en la Libertad y para la Libertad ÁLGEBRA (TIC) GRADO:8 O DOCENTE: Nubia E. Niño C. FECHA: 7 / 09 / 15 Guía Didáctica 4-1 Desempeños: * Factoriza polinomios en los cuales se combinan dos o más casos de factorización. * Comprende y aplica la factorización como un recurso algebraico necesario para simplificar expresiones algebraicas complejas. * Calcula el perímetro y el área de figuras bidimensionales o figuras planas y usa la factorización para resolver ecuaciones cuadráticas. APRENDE: REPASO FACTORIZACIÓN: Factor común es el máximo común divisor entre los términos de un polinomio. Ejemplos:1) 7x 8 + 5x 6 + 2x 2, el factor común es x 2 2) 5x 3 y 2 (a b) + 7w 2 z(a b) 9mn(a b) = (a b) (5x 3 y 2 + 7w 2 z 5mn) Diferencia de cuadrados a 2 b 2 = (a +b) (a b) Ejemplo: 4a 2 b 2 9x 2 y 4 = (2ab + 3xy 2 ) (2ab 3xy 2 ) Suma o diferencia de dos potencias iguales en forma general, una suma o diferencia de potencias iguales se factoriza como el producto de un binomio y un polinomio. Ejemplos: 1) x = (x + 2) (x 4 2x 3 + 4x 2 8x + 16) 2) x 5 y 5 = (x y) (x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 ) 3) x 4 y 4 = (x y) (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 ) 4) x 6 y 6 = (x + y) (x 5 x 4 y + x 3 y 2 x 2 y 3 + xy 4 y 5 ) Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción Ejemplo: Factor común por agrupación de términos Debe tener las siguientes características: * El polinomio debe tener una cantidad par de términos.* Al agrupar los términos, estos deben contar con un factor común. Ejemplo: x 2 ax bx + ab = x ( x a) b (x a) = (x a) (x b) Suma y diferencia de cubos a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 = (a b) (a 2 + ab + b 2 ) Ejemplos: 1) 27x 3 y 6 + c 12 = (3xy 2 + c 4 ) (9x 2 y 4 3c 4 xy 2 + c 8 ) 2) 64a 3 b 6 27x 9 y 12 = (4ab 2 3x 3 y 4 ) (16a 2 b ab 2 x 3 y 4 + 9x 6 y 8 ) Trinomio cuadrado perfecto x 2 2xy + y 2 Ejemplo: Trinomio Forma: x 2 + bx + c Es una expresión que resulta del producto: (x + m) (x + n), siendo m y n números reales, tales que: mn = c, m + n = b Ejemplos:1)x 2 + 7x + 10 = (x + 5) (x + 2) 2) a 2 7a 30 = (a 10) (a + 3) Trinomios Forma ax 2 + bx + c Se pueden expresar como el producto de dos binomios de la siguiente manera: ax 2 + bx + c = (px + r) (qx + s) Ejemplos:1) 15x 4 23x = (3x 2 4) (5x 2 1) 2)3x 2 5x 2 = (x 2) (3x + 1)

2 Cubo perfecto de binomios (x y) 3 = x 3 3x 2 y + 3xy 2 y 3 Ejemplos: 1) x 3 + 9x x + 27 = (x + 3) 3 2) 27x 3 54x x 8 = (3x 2) 3 REPASO - ECUACIONES CUADRÁTICAS (FACTORIZACIÓN): Ecuación cuadrática o de segundo grado, es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. Ecuaciones cuadráticas completas: son ecuaciones de la forma ax 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = 0, que tienen un término en x 2, un término en x y un término independiente de x. Ecuaciones cuadráticas incompletas: son ecuaciones de la forma ax 2 + c = 0 que carecen del término en x de la forma ax 2 + bx = 0 que carecen del término independiente. En general puede demostrarse o aplicar: que si el producto de los dos factores es cero, al menos uno de esos factores debe ser cero, lo denominaremos: propiedad del factor cero o Teorema del factor cero o Principio del producto cero. Si A B = 0, entonces A = 0 B = 0 (o ambas = 0) Ejemplo: resolver la siguiente ecuación cuadrática aplicando factorización (x + 3) (2x 1) = 9 2x 2 x + 6x 3 = 9; multiplicamos los binomios 2x 2 + 5x 3 = 9 Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero: 2x 2 + 5x 3 9= 0 2x 2 + 5x 12 = 0; Ahora podemos factorizar esta ecuación (2x 3) (x + 4) = 0 Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas: 2x 3 = 0 x + 4 = 0 2x = 3 x = 3 2 x = 4 S = { 3 2, 4} APOYO - VÍDEOS RECOMENDADOS: Observa estos vídeos que te ayudarán a recordar y diferenciar los casos de factorización y la solución de las ecuaciones cuadráticas factorizando: Resumen de factorización = Trinomio Cuadrado perfecto por adición y sustracción = Suma y diferencia de cubos = Suma o Diferencia de dos potencias iguales = Ecuaciones cuadráticas factorización = Ecuaciones cuadráticas factorización = APLICACIÓN: NOTA Todo el taller se desarrolla en el cuaderno; mostrar proceso y dar claramente la(s) respuesta(s). Trabajar ordenadamente. ACTIVIDADES: Para cada ejercicio realice el proceso que justifique su respuesta.

3 1) Factorizar las siguientes expresiones, aplicando los casos vistos, nombrar el caso o los casos que se aplican en cada ejercicio: 1) 8x 3 36 x x 27 2) m 2 12m ) 64x x x ) 4x 2 + 7x + 3 5) 2ax 2 + 6ax 20a 6) a 2 2a + 1 b 2 7) 2x ) 2x 3 y + 4x 2 y 2 6xy 3 9) 1 12a + 48a 2 64a 3 10) 4x 2 31x ) x 2 5x 14 12) a 9 + 3a 2 + 3a+1 13) x ) m m5 15) 4y 2 24y ) 9x 4 36x 2 y y 6 17) 1 + a + 8ab + 8b 18) 36x 2a y b 24x a + 1 y b x a y 2b 19) 8a 3 64b 3 20) 27x ) 3x 3 27x x 22) 9y 3 + 3y 2 6y 23) 3x ) 24x ) 4x 2 32x ) 2x 3 y + 4x 2 y 2 6xy 3 27) 9 25 a b2 28) 2x ) 27x 3 y 6 + c 12 30) 64a 3 b 6 27x 9 y 12 31) x 6 y 6 32) 1 27r 3 w 9 33) 3x ) a2 37) x x 16y 2 38) 1 + 2b 3 + b a ) x2 + 2xy + y 2 m 2 36) x 8 + 4x 4 y y 8 39) x 4 25x 2 40) 25x 2 30xy + 9y 2 41) m 2 12m ) x x 6x 2 43) a 2 2a + 1 b 2 44) x ) x 3 + x 2 9x 9 46) x 3 + y 3 + 2x + 2y 47) x 3 + 2x 2 + 2xy + 2y 2 y 3 48) 3x 3 27x x 49) 2x ) 4a 2 32a ) 27a b 3 52) 27x 3 54x x 8 53) 6x 2 7x 5 54) 16m 2 n 2 9p 2 55) 2x 5 32x 56) 64 y 3 57) 4m ) x 3n + 7x 2n 8x n 59) 5x 7 a 3 45ax 3 60) a 8 x ) 8x 6 36x 4 y 3 + 5x 2 y 6 27y 9 62) a 2 b 3 m 5 + a 2 b 3 x 2 m 5 x 2 3a 2 b 3 x + 3m 5 x 63) 81x 4 y 4 72x 2 y Respuestas: 1) (2x 3) 3 2) (m 9) (m 3) 3) (4x + 3) 3 4) (4x + 3) (x + 1) 5) 2a (x + 5) (x 2) 6) (a 1 + b) (a 1 b) 7) 2 (x + 3) (x 3) 8) 2xy (x + 3y) (x y) 9) (1 4a) 3 10) (4x 15) (x 4) 11) (x 7) (x + 2) 12) (a 3 + 1) 3 13) (x ) (x 3 5 ) 14) 2 3 m5 (m + 2) 15) (2y 6) 2 16) (3x 2 6y 3 ) 2 17) (a + 1) (8b + 1) 18) 12x a y b (3x a 2xy + y b ) 19) (2a 4b) (4a 2 + 8ab + 16b 2 ) 20) (3x 2 + 1) (9x 4 3x 2 + 1) 21)3x (x 3) (x 6) 22) 3y (3y 2) (y + 1) 23) 3(x + 3) (x 3) 24) 3(2x + 1) (4x 2 2x + 1) 25) 4(x 5)(x 3) 26) 2xy(x + 3y) (x y) 27) ( 3 5 a b) (3 5 a 7 6 b) 28) 2(x 2) (x2 + 2x + 4) 29) (3xy 2 + c 4 ) (9x 2 y 4 3c 4 xy 2 + c 8 ) 30) (4ab 2 3x 3 y 4 ) (16a 2 b ab 2 x 3 y 4 + 9x 6 y 8 ) 31) (x y) (x 5 + x 4 y + x 3 y 2 + x 2 y 3 + xy 4 + y 5 ) 32) (1 3rw 3 ) (1 + 3rw 3 + 9r 2 w 6 ) 33) 3(x + 3) (x 2 3x + 9) 34) ( a 2 + 4)2 35) (x + y + m) (x + y m) 36) (x 4 + 4y 4 + 2x 2 y 2 ) (x 4 + 4y 4 2x 2 y 2 ) 37) (x 3 + 4y) (x 3 4y) 38) (1 + b 3 )2 39) x 2 (x + 5) (x 5) 40) (5x 3y) 2 41) (m 9) (m 3) 42) (x 2) 3 43) (a 1 + b) (a 1 b) 44) (x 3) (x + 3) (x 2 + 9) 45) (x + 1) (x + 3) (x 3) 46) (x + y) (x 2 xy + y 2 + 2) 47) (x 2 + xy + y 2 ) (x y + 2) 48) 3x(x 3) (x 6) 49) 2(x + 6) (x 6) 50) (2a 8) 2 51) (3a + 5b) (9a 2 15ab + 25b 2 ) 52) (3x 2) 3 53) (3x 5) (2x + 1)

4 54) (4mn + 3p) (4mn 3p) 55) 2x (x 2 + 4) (x + 2) (x 2) 56) (4 y) (16 + 4y + y 2 ) 57) 4(m 2) (m 2 + 2m + 4) 58) x n (x n 1)(x n + 8) 59) 5x 3 a (x 2 a + 3) (x 2 a 3) 60) (a 4 x 2 + 4) (a 2 x + 2) (a 2 x 2) 61) (2x 2 3y 3 ) 3 62) (a 2 b 3 m 5 ) (1 3x + x 2 ) 63) (9x 2 y 2 4) 2 2) Al escribir una expresión en forma factorizada, para calcular el área de la superficie de los cuatro lados de la caja que se muestra a continuación; (no se toma en cuenta la tapa superior ni la base), la solución es: Respuesta: la superficie de los cuatro lados en forma factorizada es: 2(a + b) (a b) 3) La expresión en forma factorizada para calcular el área de la región sombreada en la siguiente figura es: Respuesta: el área de la región sombreada en forma factorizada es: 2 (x 2 8) 4) La expresión en forma factorizada para el perímetro de la siguiente figura es: Respuesta: 4 (x + 4) 5) Después de hallar el área del rectángulo mayor y factorizarla encontramos que las dimensiones de dicho rectángulo son: Respuesta: (3a + 2m) (x + y)

5 6) Determinar una expresión en forma factorizada, para calcular el perímetro y el área de la región sombreada, en la siguiente figura: Respuesta: Perímetro = 6a + 10b Área sombreada = 2a 2 + 7ab + 3b 2 7) Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas factorizando. 2 2 x 6 x 4 1) ) x 1 2 = x + 3 x+1 3 2) 5x 3 7 x x x 2 7) 6 x 4 4 x = ) 7x = 15 30x 2 11) 8x 65 = x x 18 3) 3x 18 4) x 8 5) 5 0 2x 3 x 3 x 8) 6 x 2 9 x = 4 3 9) 3x+2 4 = 5 9x+14 12x Respuestas: 1) 6 y 6 2) 1 y 1 3) 0 y 2 9 9) 14 3 y ) 5 6 y 3 5 4) 5 y 3 5) 6 y 9 6) 4 y 3 7) 12 y ) 13 y 5 8) 6 y 3 4 8) Leer, analizar y resolver los siguientes problemas aplicando ecuaciones cuadráticas por factorización: a) Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números pares consecutivos. Hallar los valores de dichos lados. Respuesta: 1 er cateto=6 cm; 2º cateto = 8 cm; Hipotenusa=10 cm b) Calcular las dimensiones de la altura y la base en el siguiente rectángulo, sabiendo que la hipotenusa mide 75m. Respuesta: base = 60 m y la altura = 45m c) La base de un rectángulo mide 5cm más que la altura. Si disminuimos la altura en 2cm, el área del nuevo rectángulo será 60cm 2. Hallar los lados del nuevo rectángulo. Respuesta: altura = 5cm base = 12cm

6 APOYO ACTIVIDADES INTERACTIVAS (LÚDICAS): En estas páginas encontraras actividades interesantes (Interactivas) para el estudio de la materia Fuentes Bibliográficas: Baldor, Aurelio. Álgebra Elemental, Editorial Mediterráneo, 1971 Rueda La Rota, Fernando y Otros. Nuevas Matemáticas 8 Álgebra, Editorial Santillana, 2007 Bello, Ignacio. Álgebra, Thomson Editores, 2004 Rubiano Cifuentes, Julián. Hipertexto 8, Editorial Santillana, 2010 Bustos Mancera, Luis Alejandro y otros. Zoom 8, Editorial Libros y Libros, 2012 Nubia Esmeralda Niño Cárdenas Imágenes de: Bustos Mancera, Luis Alejandro y otros. Zoom 8, Editorial Libros y Libros, 2012 Nubia Esmeralda Niño Cárdenas El secreto de la vida; No Es hacer lo que a uno le gusta, sino sentir gusto EN lo que hacemos Random