COLEGIO COLOMBO BRITÁNICO Formación en la Libertad y para la Libertad MATEMÁTICAS

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1 COLEGIO COLOMBO BRITÁNICO Formación en la Libertad y para la Libertad MATEMÁTICAS GRADO:6 O DOCENTE: Nubia E. Niño C. FECHA: 14 / 09 / 15 Guía Didáctica 4-2 Desempeños: * Resuelve operaciones, polinomios aritméticos y problemas con números enteros (Z). * Resuelve ecuaciones y problemas que involucren ecuaciones con (Z). APRENDE: 1) Suma con números Z: Vamos a distinguir tres casos: a) Si todos los números son positivos: se suman y el resultado es positivo: = 15 b) Si todos los números son negativos: se suman y el resultado es negativo: ( 3) + ( 4) + ( 8) = 15 c) Si se suman números positivos y negativos: los positivos suman y el resultado es positivo; luego se suman los negativos y el resultado es negativo; luego se restan los dos resultados, quedando el resultado con el signo del mayor valor absoluto: Ejemplo: = 1) sumamos los positivos: = 14 2) sumamos los negativos: ( 4) + ( 7) + ( 12) = = 23 3) restamos los resultados: = 9 Ejemplo: = 1) sumamos los positivos: = 31 2) sumamos los negativos: ( 9) + ( 11) = 9 11= 20 3) restamos los resultados: = 11 2) Resta de números Z: Una resta de números Z se puede resolver como si se tratara de una suma, pero con una particularidad: Si el número que se resta es positivo lo convierte en negativo. Si el número que se resta es negativo lo convierte en positivo. Vamos a ver a continuación cuatro posibles casos: a) A un número positivo le restamos otro número positivo: 3 (2) = al (2) le tenemos que cambiar el signo. Ahora el resultado es: 3 2 = 1 b) A un número positivo le restamos un número negativo: 3 ( 4) = al ( 4) le tenemos que cambiar el signo Ahora el resultado es: = 7 c) A un número negativo le restamos otro número negativo: ( 5) ( 9) = al ( 9) le tenemos que cambiar el signo Ahora el resultado es: = 4 d) A un número negativo le restamos un número positivo: ( 3) (+ 4) = ( 3) 4 = 7

2 3) Multiplicación de números Z: Para multiplicar dos números Z se multiplican sus valores absolutos; si los dos factores tienen igual signo, el producto es positivo, y si los dos factores tienen distinto signo, el producto es negativo. Se debe tener en cuenta los siguientes casos, los cuales se conocen como la ley de signos: Ejemplos: + + = + a) 2 5 = 10 = + b) ( 2) ( 5) = 10 + = c) 2 ( 5) = 10 + = d) ( 2) 5 = 10 Reglas para multiplicar tres o más números Z: Para multiplicar tres o más números Z, a) se multiplican dos de los números Z y el resultado se multiplica por el otro número Z y así sucesivamente hasta multiplicar por todos los factores (el producto tiene la propiedad asociativa, da igual el orden en que se multipliquen los factores), b) o bien se multiplican todos los valores absolutos y si hay una cantidad par de factores negativos, el producto es positivo; si hay una cantidad impar de factores negativos, el producto es negativo. Ejemplo: Hay 3 factores negativos, por tanto el resultado tiene que ser negativo. 4) División de números Z: Para hallar el cociente exacto de dos números Z se dividen sus valores absolutos; si el dividendo y el divisor tienen igual signo, el cociente es positivo, y si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, el cociente es negativo. Se debe tener en cuenta los siguientes casos, los cuales se conocen como la ley de signos: Ejemplos: + + = + a ) = 4 = + b ) ( 2 8 ) ( 7 ) = 4 + = c) 28 ( 7 ) = 4 + = d) ( 2 8 ) 7 = 4 5) Polinomios aritméticos con números Z: Es una expresión matemática en la que se encuentran indicadas varias operaciones que pueden tener o no tener signos de agrupación: x Polinomio sin signos de agrupación {( 14) [ (2 3)]} Polinomio con signos de agrupación a) Polinomios aritméticos con signos de agrupación: Se elimina cada signo de agrupación de adentro hacia afuera teniendo en cuenta el orden de las operaciones y aplicando la ley de signos.

3 Ejemplo: {( 14) [ (2 3)]} = {( 14) [ 6]} = {( 14) +6} = { 8} = 8 b) Polinomios aritméticos sin signos de agrupación: para realizarlo se siguen los siguientes pasos * Se resuelven las potencias y raíces * Se realizan las multiplicaciones y divisiones * Se solucionan las sumas y las restas Ejemplo: x 3 +5 = = = = 42 6) Ecuaciones lineales con una incógnita con números Z: Una ECUACIÓN es una IGUALDAD en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas INCÓGNITAS. Las incógnitas se representan por cualquier letra del alfabeto a, b, c, d, m, n, x, y, z. etc. Ecuaciones de primer grado con una incógnita: son aquellas en las cuales el mayor exponente de la incógnita es uno, también se llaman ecuaciones simples o lineales. En una ecuación se distinguen dos miembros, a saber: el primer miembro es la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad (=) y el segundo miembro es la expresión que está a la derecha. Veamos: Solución de una ecuación de primer grado con una incógnita: es encontrar el valor de la incógnita que verifica o satisface la ecuación. Para solucionar una ecuación de primer grado con una incógnita, se aplicará el proceso de transposición de términos, así: 1. Reunir en un miembro todos los término que contengan la incógnita y en el otro miembro los demás términos. 2. Cuando se pase un término de un miembro a otro se le cambia de signo: si el término es positivo pasa al otro miembro negativo y si el término es negativo pasa al otro miembro positivo. 3. Se reducen términos semejantes, si los hay. 4. Si la incógnita tiene coeficientes se despeja: si está multiplicando pasa al otro miembro a dividir y si está dividiendo pasa al otro miembro a multiplicar (pasa con el signo que tenga). 5. Si aparecen signos de agrupación, estos se eliminan primero (de adentro hacia afuera) 6. Toda incógnita debe ser siempre positiva: si aparece negativa se le cambia el signo a todos los términos de la igualdad. Ejemplos: 7m + 4 = 5 (m 2) 3x 5 = 13 7m + 4 = 5m 10 3x = m 5m = x = 18 2m = 14 x = 18 3 m = 14 2 m = 7 x = 6

4 APOYO - VÍDEOS RECOMENDADOS: Observa estos vídeos que te ayudarán a aprender y afianzar los conceptos básicos los números enteros (Z). Operaciones con Z: Polinomios con Z - (sin signos agrupación) Polinomios con Z - (Con signos agrupación) Ecuaciones de primer grado con una incógnita: APLICACIÓN: NOTA Todo el taller se desarrolla en el cuaderno; mostrar proceso y dar claramente la(s) respuesta(s). Trabajar ordenadamente. ACTIVIDADES: 1) Resolver los siguientes polinomios aritméticos: a) 3 ( 2) + 45 ( 5) { [ (2 11 4) + (12 3 9)]} = b) {3 2 [1 (63 9) (11 7 3) + 2]} = c) ( 2) + 1 { 8 + [ ( ) + 2 ( )]} = d) ( 22) { 1 2 [2 3 + ( ( 3)) + 2 ( 42 6)]}= e) ( 2) + 1{ 8 [ ( ) + 2 ( )]} = f) ( 3) = g) ( 8) = h) 15 {( ) + ( )} = i) ( 18) + (23) ( 21) + ( ) = j) { 6 + ( ) ( ) } = k) 3 + ( 2) + 1 { 8 + [ ( ) 2 ( )]} = l) ( 63) { 1 2 [ 1 + ( 2 6 ( 3)) + 2 ( 42 6)]} = m) ( 6) + 2 { 4 [ (5 18 9) ( )]} = 2) Leer, analizar y resolver los siguientes problemas: a) Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y murió en el 14 d. C. Cuántos años vivió? b) Pitágoras nació en el año 580 antes de Cristo. En qué año murió si vivió 79 años? c) Un submarino está a 210 metros bajo el nivel del mar. Debido a las fuertes corrientes tiene que descender 74metros. Más tarde decide subir 50 metros. A qué profundidad está el submarino? d) En Alaska se registró una temperatura de 8 o C en la mañana y en la tarde la temperatura subió 5 o C. Qué temperatura marcaba el termómetro en la tarde? e) Camilo vive en el quinto piso. Baja en ascensor 6 pisos para ir al sótano y luego sube 7 pisos para visitar a Felipe. En qué piso vive Felipe? f) Un pequeño submarino que fotografía fauna marina desciende automáticamente 10 metros cada 20 minutos. Si descendió durante 2 horas: a) A qué profundidad se encuentra al cabo de 2 horas? b) Cuántos metros desciende en la primera hora?

5 g) La llave de una bañera está dañada y pierde 2 litros de agua cada día. Cuando la arreglaron había perdido 24 litros. Cuántos días estuvo dañada la llave? h) En una estación de esquí el termómetro marcaba 14º bajo cero a las 8 de la mañana; al medio día la temperatura había subido 10 grados y a las 19:00 horas había bajado 5 grados respecto al mediodía. Cuál era la temperatura a esa hora? i) Un alpinista se encuentra en la cima del Popocatepetl cuya altura es de 5452 metros. Desciende 476 metros. Otro alpinista se encuentra al pie del volcán y asciende 892 metros. Cuál es la diferencia entra las alturas a las que se encuentran los dos alpinistas? j) Un día de invierno amaneció a 3 grados bajo cero. A las doce del mediodía la temperatura había subido 8 grados, y hasta las cuatro de la tarde subió 2 grados más. Desde las cuatro hasta las doce de la noche bajó 4 grados, y desde las doce a las 6 de la mañana bajó 5 grados más. Qué temperatura hacía a esa hora? 3) Solucionar cada ecuación y verificar o comprobar 2 de ellas: a) x 2 = 2 x 2 3 b) x 3x 4 = x 7 x 4 3x c) + + x= 21 d) 4(x 10) = 6(2 x) 6x 2 (x 2) e) (1 x) 2 = 1 f) 21 7w = 14 g) 8 + 6y = 3y + 2 h) 15 k = i) w 3(w + 5) = 3w + 10 j) m + ( 4 2) = 39 k) 45 = w l) 48 3x = 5x m) x 3x = x 3 (x 2) + 3 ñ) (1 x) 2 = 1 4) Completar el siguiente cuadro, reemplazando los valores según se indique y hallar el resultado final en cada caso: Valores a b + c d = ( a) + b ( c) + ( d) = a b c d ) Representar las siguientes operaciones en la recta numérica: a) 5 + ( 3) = b) ( 4) + ( 6) = c) ( 9) + 7 = d) = 6) Leer, analizar y resolver los siguientes problemas; (del a al e plantear la ecuación). a) El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. Cuál es el número? b) La suma de dos números naturales consecutivos es 97, cuáles son los números? c) Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. Cuál es el número? d) Un número más su doble es igual a su mitad más quince. Cuál es el número?

6 e) El perímetro de un rectángulo es 12 metros, si su base mide 4 metros. Cuánto mide la altura? 7) La suma de los 3 números de cada segmento debe ser cero. Te animas a completarla? APOYO ACTIVIDADES INTERACTIVAS (LÚDICAS): En estas páginas encontraras actividades interesantes (Interactivas) para el estudio de los números enteros (Z). Operaciones con Z: Operaciones con Z: Ecuaciones con enteros: Fuentes Bibliográficas: Salazar Suárez, Francia. Hipertexto 6, Editorial Santillana, 2010 Rodríguez Sáenz, Benjamín. Matemáticas Prentice Hall 6, Editorial Pearson, 2000 Salgado Ramírez, Diana. Nuevas Matemáticas 6, Editorial Santillana Nubia Esmeralda Niño Cárdenas

7 Imágenes de: "El sentido común es el arte de resolver los problemas, no de plantearlos." Yoritomo Tashi