Saint Gaspar College MISIONEROS DE LA PRECIOSA SANGRE Formando Personas Íntegras Departamento de Matemática RESUMEN PSU MATEMATICA

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1 Saint Gaspar College MISIONEROS DE LA PRECIOSA SANGRE Formando Personas Íntegras Departamento de Matemática RESUMEN PSU MATEMATICA GUÍA NÚMERO ALGEBRA y FUNCIONES EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre paréntesis. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener su factor literal. USO DE PARÉNTESIS En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas: Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signos de los términos que están dentro del paréntesis. Si un paréntesis es precedido por un signo, este se puede eliminar cambiando los signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis. Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los paréntesis desde adentro hacia fuera. OPERATORIA ALGEBRAICA ADICIÓN DE POLINOMIOS Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos semejantes y uso de paréntesis. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS MONOMIO POR MONOMIO:

2 Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usando propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de monomios se multiplica sólo por uno de ellos. Es decir, a (b c) = (a b) c MONOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Es decir, a(b + c + d) = ab + ac + ad POLINOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay. PRODUCTOS NOTABLES: Cuadrado de binomio: (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b Suma por su diferencia: (a + b) (a b) = a b Producto de binomios: (x + a) (x + b) = x + (a + b) x + ab Cubo de binomio: (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3 Cuadrado de trinomio: (a + b + c) = a + b + c + ab + bc + ac (a b c) = a + b + c ab bc - ac Suma de cubos: (a + b) (a ab + b ) = a 3 + b 3 Diferencia de cubos: (a b) (a + ab + b ) = a 3 b 3 EJEMPLO PSU-1: La expresión a b se puede escribir como A) (a b) (a + b) (a b) (a 3 b 3 )(a + b) (a + b )(a b ) (a b)(a 3 + b 3 ) EJEMPLO PSU-: Si n = (a + b) y p = (a b), entonces a b = n p A) n p n p n p (n p)

3 xy x ay a EJEMPLO PSU-3: La expresión : y y A) 0 a xy ax y xa(y 1) xy a y 3 es igual a: EJEMPLO PSU-: Cuál(es) de las siguientes expresiones al ser simplificada(s) resulta(n) 1? a + 3 I) 3 + a A) Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III a b II) (a b) III) a (b a) + b ab EJEMPLO PSU-5: El doble de [ ( a ( b)) ] A) a + b a - b + a + b + a + b -a - b EJEMPLO PSU-6: El largo de un rectángulo mide 3x + y. Si su perímetro mide 10x + 6y, cuánto mide el ancho del rectángulo? A) x + y x + y 7x + y x + y 7 x + y

4 EJEMPLO PSU-7: El área de un rectángulo es x + x -. Si uno de sus lados mide (x - 3), el otro lado mide A) (x + 8) (x + 8) (x - ) (x - 3) (x + ) EJEMPLO PSU-8: Si A) a + 1 b = 9 y a b b 1 = 36, entonces a 1 b EJEMPLO PSU-9: Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) divisor(es) de la expresión algebraica x 6x 0? I) II) (x 5) III) (x + ) A) Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III EJEMPLO PSU-10: Si la base de un triángulo mide z y su altura mide z, entonces cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene igual área que el triángulo? A) z z z z z EJEMPLO PSU-11: Si x = 3, entonces (x )(x 3) = A) x y EJEMPLO PSU-1: Si x e y son números enteros diferentes de 0, entonces + = y x

5 A) x + y xy x + y xy 1 x + y xy EJEMPLO PSU-13: (3w ) (w 3)(w + 3) = A) w 1w - 1 w 1w + w 1w -5 w 1w + 13 w 1w + 1 EJEMPLO PSU-1: Si (3x + 3) = 5(6 + x), entonces x es: A) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-15: Cuál de las siguientes expresiones es un factor de k + k 6? A) k + 1 k + k 6 k 3 k EJEMPLO PSU-16: En la figura, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área de ABCD es a + ab + b II) El área de la región achurada es (a + b) III) El área de AEFD es b + ab A) Solo I Solo II Solo III Solo I y III Solo II y III EJEMPLO PSU-17: Si x es un número entero mayor que 1 y el área de un rectángulo se expresa como (x + 5x 6), cuál de las siguientes opciones puede representar a sus lados? A) (x 1) y (x 5) (x + ) y (x 3) (x 1) y (x + 6)

6 (x + 1) y (x 6) (x ) y (x 3) EJEMPLO PSU-18: Dada la expresión x y + x y + xy + x, cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) factor(es) de ella? I) xy + 1 II) x + 1 III) y + 1 A) Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III Sólo II y III EJEMPLO PSU-19: Si n es un número natural, una expresión equivalente a n 3 n ( 3 3 ) A) es: (n 3) (n 3) (n 3) (n 3) (n 3) EJEMPLO PSU-0: a [a a (a a) a a] : a = A) a a a a a - 5a + a 6 EJEMPLO PSU-1: = 3a 6 a

7 A) a (a ) a 5 3(a ) a + 5 3(a ) a 3 3(a ) 3a a 10 EJEMPLO PSU-: Si mx mp = 1 y x p = m, entonces (x + p) = A) 1 1 m 1 m 1 3 m 1 m EJEMPLO PSU-3: a a(1 a) A) 1 - a a 0 a a EJEMPLO PSU-: Si a b = 10 y a + b = 9, entonces el valor de (a b) es: A) No se puede determinar el valor EJEMPLO PSU-5: Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a (m + n) mn? A) (m n) m + n m mn + n m mn + n m mn + n EJEMPLO PSU-6: Sea m 0, al simplificar la expresión m mr resulta: m

8 A) 0 r 1 r m r 1 mr x x EJEMPLO PSU-7: Al sumar con m se obtiene, entonces cuál es el valor de t t + de m? A) 0 x t(t + ) x t + x t(t + ) t(t + ) EJEMPLO PSU-8: (30 + 5) (30 + 5)(30 5) = A) EJEMPLO PSU-9: Jorge compró tres artículos distintos en $(a + b). El primero le costo $a y el segundo $(a b). Cuánto le costo el tercero? A) $ a $ 7a $ (3a b) $ (3a + b) $ (a + b) EJEMPLO PSU-30: El promedio de un número entero positivo y su antecesor es 6,5 entonces, el sucesor de ese número entero es: A)

9 Ninguno de los anteriores EJEMPLO PSU-31: Si el ancho de un rectángulo es ancho. Cuánto mide su perímetro? 9x A) 3x 9x 9x 6x 3x y el largo es el doble del EJEMPLO PSU-3: Si equivale a: a =, b = y c =, entonces la expresión x (a + b + c) x x 6x 1x 11 A) 1x x 7 1x 11x x 7 1x EJEMPLO PSU-33: Dada la siguiente figura: Se sabe que a y b son positivos y a > b. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. El área del cuadrado de lado (a + b) es igual al área achurada.

10 II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las áreas del cuadrado de lado a y el lado de b. III. a(a + b) > a + b A) Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III EJEMPLO PSU-3: El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinas cuatro cuadrados de lado x cada uno. Cuál es el área achurada? A) 8 x 6 x 6 x 8 x 6 x EJEMPLO PSU-35: Si a b = (a + b) y a# b = (a + b ), a cuánto equivale la expresión A) -m + 8p -m + 6mp + 8p 8m + 6mp p -m + 3mp + 8p Ninguna de las anteriores EJEMPLO PSU-36: Si m = y b = 5, entonces {m - (m - b)} es igual a A) EJEMPLO PSU-37: Si se desea construir un cilindro M que sea cuatro veces el volumen de otro cilindro P, entonces I) la altura del cilindro M debe ser cuatro veces la altura del cilindro P y los radios deben ser iguales. II) el radio de la base del cilindro M debe ser el doble del radio del cilindro P y las alturas deben ser iguales. III) el radio de la base del cilindro M debe ser cuatro veces el radio del cilindro P y las alturas deben ser iguales. Es (son) verdadera(s)

11 A) sólo I. sólo II. sólo III. sólo I y II. sólo I y III n EJEMPLO PSU-38: Si n = 3, entonces n + 3n es igual a: 3 A) EJEMPLO PSU-39: x + y x y = 3 3 A) x y 3 x y 9 x y 9 x y 6 Ninguna de las expresiones anteriores EJEMPLO PSU-0: En la figura, si ABCD es un rectángulo, entonces el área de la región achurada se expresa como: A) x(z y) x(y z) xz xy x(z + y) 3 x + y 1 x y EJEMPLO PSU-1: para que la expresión = sea positiva, se debe cumplir x + y 1 + x y necesariamente que: A) xy < 0 x < 0 xy > 0 y < 0 x > y

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