Matemáticas. Sesión #6. Funciones exponenciales y logarítmicas y el uso de las progresiones aritméticas y geométricas.

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1 Matemáticas Sesión #6. Funciones exponenciales y logarítmicas y el uso de las progresiones aritméticas y geométricas.

2 Contextualización Las funciones exponenciales y logarítmicas se les conoce como trascendentes, ya que no se pueden definirse en términos de las operaciones aritméticas en función de una variable x. Tienen gran importancia en matemáticas y se aplican en casi todos los campos de trabajo del hombre En esta sesión aprenderemos a conocer e interpretar las funciones exponenciales y logarítmicas y entender que entre ellas hay una estrecha relación siendo que una es la inversa de la otra. También reconoceremos las condiciones que tenemos para que una sucesión o progresión sea aritmética o geométrica y para que su suma exista. Además aprenderemos a encontrar el término n y la suma parcial hasta un término n en cada progresión.

3 Introducción. Consideremos los siguientes cuestionamientos: En qué áreas de trabajo se aplican las funciones exponenciales y logarítmicas? Estas funciones pueden trabajarse como ecuaciones? y se podrá obtener su solución? Las funciones exponencial y logarítmica son funciones que se aplican ampliamente en el campo laboral del hombre; resultando especialmente útiles en los campos de la química, biología, física e ingeniería, donde contribuyen a describir cómo crecen o decrecen las magnitudes de la naturaleza.

4 Introducción Una sucesión es una secuencia de cosas, una tras otra en un cierto orden y con una característica entre ellas. Pueden ser finitas o infinitas. Podremos considerar que una sucesión es una progresión? Qué es un término n en una progresión? Qué es la suma parcial dé n términos en una sucesión? Éstas y muchas preguntas son las tenemos por responder en el análisis del concepto de sucesión o progresión.

5 Función exponencial. Definición de la función exponencial general: Si f(x) = a x para todo x en el conjunto de los reales, donde a>0 y a 0.

6 Una de las aplicaciones que podemos darle a la función exponencial es la de solucionar ecuaciones. Ejemplo 1. Resuelve la ecuación Solución: Por el teorema de funciones exponenciales biunívocas sabemos que si dos ecuaciones exponenciales tienen la misma base tendrán el mismo exponente.

7 Entonces en nuestra ecuación consideremos que para que las bases sean iguales debemos de transformar el 16 en forma exponencial como 42, por lo tanto: Al tener bases semejantes, se igualan los exponentes: 5x-8 = 2(x+2) Despejamos de esta ecuación x obtenemos: x= 4.

8 Aplicaciones prácticas de la función exponencial. Crecimiento de bacterias. Las funciones exponenciales resultan útiles para describir el crecimiento de ciertas poblaciones. Como ilustración supongamos que a nivel experimental se observa que el número de bacterias de un cultivo se duplica cada día. Si hay 1000 ejemplares en el comienzo, se obtiene la tabla siguiente, donde t es el tiempo en días y f(t) es el conteo de bacterias en el tiempo t. T(tiempo en días) f(t)(conteo de bacterias)

9 Está claro que f(t) = (1000)2 t Con esta fórmula se puede predecir la cantidad de bacterias presentes en cualquier tiempo t; por ejemplo en t=1.5 F (1.5) = (1000)2 1.5 = Definición de función exponencial natural. Está definida por f(x) = ex para todo número real x. Aplicación práctica. Interés compuesto continuamente.

10 Funciones logarítmica. Definición: sea a un número real positivo diferente de 1. El logaritmo de x con base a se define como y= log a x si y solo si x=a y Para toda x>0 y todo número real en y. Notaras que las ecuaciones de la definición son equivalentes. El diagrama que viene puede ayudarte en dominar esta conversión de una en otra. Extraído de: solo para fines educativos.

11 Progresiones aritmética y geométrica. Sucesión aritmética: Es aquella sucesión donde la diferencia entre cada uno de los términos es el mismo valor constante. Ejemplo: 1,5,9,13,17,21.. Esta progresión tiene una diferencia de 4 entre cada dos términos. Fórmulas utilizadas: N-ésimo termino:,diferencia común: Suma de los n primeros términos: o

12 Ejemplo1: Determine el término 23 de la progresión aritmética 5, 11, 17, 23.y la suma parcial hasta el término 16. Si n = 23, a 1 = 5 y d= 6 a n = a 1 +(n-1)d a 23 = (5)+ (23-1) (6) a 23 = 137 La suma parcial hasta n=16, a 1 = 5 y d= 6 S n = (16/2) [(2) (5) + (16-1) (6)] S n = (8) (100) = 800

13 Progresiones geométricas. Es una serie en la cual cada término se obtiene de multiplicar el anterior por un valor fijo, llamado razón de la progresión. Ejemplo: 2,6,18, 54 en esta serie se inicia en 2 y éste se multiplica por 3 para hallar el segundo término que es 6 y así sucesivamente. Formulas por utilizar: N-ésimo término: Razón común: Suma de primeros n términos:

14 Ejemplo: Calcula el séptimo término de la progresión geométrica donde su primer término es 4 y su razón es 3. a 1 =4 y r= 3 entonces se sustituyen los datos en la fórmula:

15 Conclusión En esta sesión aprendimos a resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas, a interpretar sus gráficas y reconocer que una es inversa de la otra. Se resolvió un problema de aplicación para la función exponencial que es uno de los usos más importantes de esta función. Además entendimos que no existe diferencia entre los términos sucesión y progresión. Una manera de distinguir las sucesiones aritméticas de las geométricas es que la primera tiene una diferencia constante entre cada uno de los términos y la segunda tiene una razón o cociente entre cada uno de los términos. Debemos de considerar que estas sucesiones tienen gran aplicación en la economía, finanzas y ciencias sociales entre otras. En la siguiente sesión aprenderemos a utilizar los diferentes métodos para la solución de los Sistemas de ecuaciones lineales.

16 Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Formulas y ejercicios resueltos con sucesiones aritméticas y geométricas: Recuperado el día 10 de abril del 2014 de: Funciones exponenciales y logarítmicas: Recuperado el día 10 de abril del 2014 de: ones3/impresos/quincena10.pdf Recuperado el día 10 de abril del 2014 de: 20Exponencial%20y%20Logaritmica.pdf

17 Para aprender más Video con la explicación de las funciones de crecimiento exponencial: Recuperado el día 10 de abril del 2014 de: thmic_func/exp_growth_decay/v/exponential-growth-functions Recuperado el día 10 de abril del 2014 de: thmic_func/exponential-modeling/v/word-problem-solving-- exponential-growth-and-decay Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

18 Bibliografía Swokowski, E., Cole, J. (2002). Algebra y trigonometría con geometría analítica. México. Thomson Learning. Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A.

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