Aproximación constructiva: números irracionales y trascendentes
|
|
|
- Carla Nieto Castilla
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Aproximación constructiva: números irracionales y trascendentes B. de la Calle Ysern Dpto. de Matemática Aplicada, E.T.S. Ingenieros Industriales, Universidad Politécnica de Madrid Encuentro Iberoamericano p. 1/2
2 La cuadratura del círculo Problemas clásicos de la Antigüedad: La trisección del ángulo. La duplicación del cubo. La cuadratura del círculo. Encuentro Iberoamericano p. 2/2
3 La cuadratura del círculo Problemas clásicos de la Antigüedad: La trisección del ángulo. La duplicación del cubo. La cuadratura del círculo. Antecedentes: { Magnitudes inconmensurables. Construcciones con regla y compás. Encuentro Iberoamericano p. 2/2
4 La cuadratura del círculo Números constructibles o euclídeos son aquellos que se pueden construir mediante el uso combinado de la regla y el compás a partir de una magnitud unitaria. Los denotaremos por E. Encuentro Iberoamericano p. 2/2
5 La cuadratura del círculo Números constructibles o euclídeos son aquellos que se pueden construir mediante el uso combinado de la regla y el compás a partir de una magnitud unitaria. Los denotaremos por E. Dificultades: { No todo número real es constructible: R E. Carencia de nociones algebraicas. Encuentro Iberoamericano p. 2/2
6 La cuadratura del círculo Números constructibles o euclídeos son aquellos que se pueden construir mediante el uso combinado de la regla y el compás a partir de una magnitud unitaria. Los denotaremos por E. Son aquellos números que se obtienen a partir de Q mediante las operaciones de cuerpo y extracción de raíces cuadradas. Encuentro Iberoamericano p. 2/2
7 La cuadratura del círculo Números constructibles o euclídeos son aquellos que se pueden construir mediante el uso combinado de la regla y el compás a partir de una magnitud unitaria. Los denotaremos por E. El polinomio mínimo de z C es, si existe, el de menor grado entre los polinomios mónicos y con coeficientes en Q que tienen a z como raíz. Se caracteriza por ser irreducible en Q. Encuentro Iberoamericano p. 2/2
8 La cuadratura del círculo Números constructibles o euclídeos son aquellos que se pueden construir mediante el uso combinado de la regla y el compás a partir de una magnitud unitaria. Los denotaremos por E. El polinomio mínimo de z C es, si existe, el de menor grado entre los polinomios mónicos y con coeficientes en Q que tienen a z como raíz. Se caracteriza por ser irreducible en Q. El polinomio mínimo de un número constructible tiene grado 2 m Encuentro Iberoamericano p. 2/2
9 La cuadratura del círculo Wantzel (1837). Imposibilidad de la duplicación del cubo y la trisección del ángulo: El polinomio x 3 2 es irreducible de grado 3. Si π/3 se pudiera trisecar entonces 2 cos(π/9) sería constructible. Además es raíz de x 3 3x 1, polinomio irreducible de grado 3. Encuentro Iberoamericano p. 3/2
10 La cuadratura del círculo Llamaremos números algebraicos a aquellos que sean raíz de algún polinomio con coeficientes en Q. El grado de un número algebraico es el grado de su polinomio mínimo. El conjunto de números algebraicos lo denotaremos por A. Encuentro Iberoamericano p. 3/2
11 La cuadratura del círculo Llamaremos números algebraicos a aquellos que sean raíz de algún polinomio con coeficientes en Q. El grado de un número algebraico es el grado de su polinomio mínimo. El conjunto de números algebraicos lo denotaremos por A. Q E A C Encuentro Iberoamericano p. 3/2
12 La cuadratura del círculo Llamaremos números algebraicos a aquellos que sean raíz de algún polinomio con coeficientes en Q. El grado de un número algebraico es el grado de su polinomio mínimo. El conjunto de números algebraicos lo denotaremos por A. Los elementos de C \ A se llaman números trascendentes. Existen números trascendentes? Cuántos hay? Cómo se prueba que un número es trascendente? Es π trascendente? Encuentro Iberoamericano p. 3/2
13 Números irracionales Sea a un número real y {p n /q n } Q una sucesión tal que i) Para todo n N, q n a p n 0, ii) lim q n a p n = 0 a p n = o n q n Entonces a es un número irracional. ( 1 q n ), n. Encuentro Iberoamericano p. 4/2
14 Números irracionales Sea a un número real y {p n /q n } Q una sucesión tal que i) Para todo n N, q n a p n 0, ii) lim q n a p n = 0 a p n = o n q n Entonces a es un número irracional. ( 1 q n ), n. Aproximación rápida por racionales implica irracionalidad Encuentro Iberoamericano p. 4/2
15 Números irracionales Sea a un número real y {p n /q n } Q una sucesión tal que i) Para todo n N, q n a p n 0, ii) lim q n a p n = 0 a p n = o n q n Entonces a es un número irracional. El número e es irracional. ( 1 q n ), n. 0 e N n=0 1 n! e θ (N + 1)! < 3 (N + 1)! = 3 N N! Encuentro Iberoamericano p. 4/2
16 Números irracionales Sea a un número real y {p n /q n } Q una sucesión tal que i) Para todo n N, q n a p n 0, ii) lim q n a p n = 0 a p n = o n q n Entonces a es un número irracional. ( 1 q n ), n. El polinomio de Taylor no proporciona en general aproximaciones rápidas. π 6 = arcsen 1 2 = Encuentro Iberoamericano p. 4/2
17 Números irracionales Sea a un número real y {p n /q n } Q una sucesión tal que i) Para todo n N, q n a p n 0, ii) lim q n a p n = 0 a p n = o n q n Entonces a es un número irracional. ( 1 q n ), n. Cómo conseguir buenos aproximantes racionales? Encuentro Iberoamericano p. 4/2
18 Algoritmo euclídeo de división Utilizando el algoritmo euclídeo para encontrar el máximo común divisor de dos números enteros, se tiene = = = Encuentro Iberoamericano p. 5/2
19 Algoritmo euclídeo de división Utilizando el algoritmo euclídeo para encontrar el máximo común divisor de dos números enteros, se tiene = = = Por tanto, todo número racional p/q se puede representar como p q = a 0 + a a a n a n Encuentro Iberoamericano p. 5/2
20 Algoritmo euclídeo de división El proceso se puede repetir con cualquier número real: 2 = = = Encuentro Iberoamericano p. 5/2
21 Algoritmo euclídeo de división El proceso se puede repetir con cualquier número real: 2 = = = = = Encuentro Iberoamericano p. 5/2
22 Fracciones continuas Una fracción continua es una expresión del tipo a 0 + a 1 + b 1 a 2 + b 2 b 3 a 3 + donde a n, b n C. Se llama simple si para todo n N, a n N y b n = 1. Encuentro Iberoamericano p. 6/2
23 Fracciones continuas Los convergentes P n /Q n son las fracciones P n Q n = a 0 + a 1 + b 1 a 2 + b 2 b n 1 a n 1 + b n a n Si lim n P n/q n = L entonces se dice que la fracción continua es convergente y converge a L. Encuentro Iberoamericano p. 6/2
24 Fracciones continuas Una fracción continua es una expansión del número z C si z = a 0 + b 1 z 1, z 1 = a 1 + b 2 z 2,... z n = a n + b n+1 z n+1,... Encuentro Iberoamericano p. 6/2
25 Fracciones continuas Una fracción continua es una expansión del número z C si z = a 0 + b 1 z 1, z 1 = a 1 + b 2 z 2,... z n = a n + b n+1 z n+1,... Cuidado! una expansión puede no ser convergente o converger a un número distinto del que se obtuvo la expansión. Encuentro Iberoamericano p. 6/2
26 Fracciones continuas Una fracción continua es una expansión del número z C si z = a 0 + b 1 z 1, z 1 = a 1 + b 2 z 2,... z n = a n + b n+1 z n+1,... z + 1 z = a z = a 1 z = a 1 a 1 z = a a 1 1 a 1 a... Encuentro Iberoamericano p. 6/2
27 Fracciones continuas Una fracción continua es una expansión del número z C si z = a 0 + b 1 z 1, z 1 = a 1 + b 2 z 2,... z n = a n + b n+1 z n+1,... z + 1 z = a z = a 1 z = a 1 a 1 z = a a 1 1 a 1 a... 1 z = a ( 1 ) = a 1 z a 1 1 a 1 a... Encuentro Iberoamericano p. 6/2
28 Relación con series infinitas Para todo n 1 se cumplen las relaciones de recurrencia P n = a n P n 1 + b n P n 2 P 1 = 1, P 0 = a 0, Q n = a n Q n 1 + b n Q n 2 Q 1 = 0, Q 0 = 1. Encuentro Iberoamericano p. 7/2
29 Relación con series infinitas Para todo n 1 se cumplen las relaciones de recurrencia P n = a n P n 1 + b n P n 2 P 1 = 1, P 0 = a 0, Q n = a n Q n 1 + b n Q n 2 Q 1 = 0, Q 0 = 1. Los convergentes P n /Q n de la fracción continua resultan ser las sumas parciales de la serie a 0 + b 1 Q 1 b 1 b 2 Q 1 Q 2 + b 1 b 2 b 3 Q 2 Q 3 b 1 b 2 b 3 b 4 Q 3 Q 4 + Encuentro Iberoamericano p. 7/2
30 Relación con series infinitas a 0 + b 1 Q 1 b 1 b 2 Q 1 Q 2 + b 1 b 2 b 3 Q 2 Q 3 b 1 b 2 b 3 b 4 Q 3 Q 4 + Teorema. Supongamos que, para todo n N, a n y b n son números enteros tales que 1 b n a n. Entonces i) La fracción continua es convergente. ii) El límite es un número irracional. (El teorema es cierto si b n < 0 y 2 b n + 1 a n, n N). Encuentro Iberoamericano p. 7/2
31 Aproximantes óptimos Sea x R. Los convergentes de la expansión de x en fracción continua simple son fracciones irreducibles y cumplen x P n < 1 < 1. Q n Q n+1 Q n Q 2 n Encuentro Iberoamericano p. 8/2
32 Aproximantes óptimos Sea x R. Los convergentes de la expansión de x en fracción continua simple son fracciones irreducibles y cumplen x P n < 1 < 1. Q n Q n+1 Q n Q 2 n Además son óptimos en el sentido de que si A/B Q con B Q n, entonces x P n < x A B. Q n Encuentro Iberoamericano p. 8/2
33 Aproximantes óptimos Sea x R. Los convergentes de la expansión de x en fracción continua simple son fracciones irreducibles y cumplen x P n < 1 < 1. Q n Q n+1 Q n Q 2 n Convergentes de π: 3, 22 7, , , ,... 0 < π < , Encuentro Iberoamericano p. 8/2
34 Aproximantes óptimos Sea x R. Los convergentes de la expansión de x en fracción continua simple son fracciones irreducibles y cumplen x P n < 1 < 1. Q n Q n+1 Q n Q 2 n Calendarios Juliano y Gregoriano. 365 días 6 h. 365 días 5 h = días por año Encuentro Iberoamericano p. 8/2
35 Aproximantes óptimos Sea x R. Los convergentes de la expansión de x en fracción continua simple son fracciones irreducibles y cumplen x P n < 1 < 1. Q n Q n+1 Q n Q 2 n Calendarios Juliano y Gregoriano. 365 días 6 h. 365 días 5 h = días por año = un día cada 130 años. Encuentro Iberoamericano p. 8/2
36 De nuevo, números irracionales Euler probó en 1737 la irracionalidad de e mediante su expansión en fracción continua simple: e = Encuentro Iberoamericano p. 9/2
37 De nuevo, números irracionales Expansión en fracción continua simple del número π: π = Encuentro Iberoamericano p. 9/2
38 De nuevo, números irracionales En el año 1768 Lambert consiguió calcular una expansión de tan x en fracción continua tan x = sin x cosx = x x x x2 2 + x4 24 = x 1 x2 2 + x x2 6 + x4 120 Encuentro Iberoamericano p. 9/2
39 De nuevo, números irracionales tan x = sin x cosx = x x x x2 2 + x4 24 = x 1 x2 2 + x x2 6 + x4 120 = 1 x 2 x 3 x x2 6 + x4 120 = 1 x x 2 1 x x Encuentro Iberoamericano p. 9/2
40 De nuevo, números irracionales tan x = 1 3 x x 2 x 2 5 x2 7 Encuentro Iberoamericano p. 9/2
41 De nuevo, números irracionales Lambert (1768). Si x 0 es un número racional, entonces tanx es irracional. tan p q = 1 3 p/q p 2 /q 2 p 2 /q 2 5 p2 /q 2 7 = q 3q p p 2 5q p 2 p2 7q Encuentro Iberoamericano p. 9/2
42 De nuevo, números irracionales Lambert (1768). Si x 0 es un número racional, entonces tanx es irracional. tan p q = 1 3 p/q p 2 /q 2 p 2 /q 2 5 p2 /q 2 7 = q 3q p p 2 5q p 2 p2 7q ( π tan 4) = 1 π es irracional Encuentro Iberoamericano p. 9/2
43 De nuevo, números irracionales Lambert (1768). Si x 0 es un número racional, entonces tanx es irracional. tan p q = 1 3 p/q p 2 /q 2 p 2 /q 2 5 p2 /q 2 7 = q 3q p p 2 5q p 2 p2 7q Análogamente, tanh x verifica la misma propiedad y como expx = 1 + tanh(x/2) 1 tanh(x/2), también se cumple que expx es irracional si x 0 es racional. Encuentro Iberoamericano p. 10/2
44 Los trascendentes de Liouville Liouville (1844). Sea α un número algebraico de grado m 2. Entonces existe C(α) (0,1) tal que C(α) q m α p q para toda fracción p q. Encuentro Iberoamericano p. 11/2
45 Los trascendentes de Liouville Liouville (1844). Sea α un número algebraico de grado m 2. Entonces existe C(α) (0,1) tal que C(α) q m α p q para toda fracción p q. Aproximación muy rápida por racionales implica trascendencia Encuentro Iberoamericano p. 11/2
46 Los trascendentes de Liouville Liouville (1844). Sea α un número algebraico de grado m 2. Entonces existe C(α) (0,1) tal que C(α) q m α p q para toda fracción p q. Primeros ejemplos de números trascendentes: x = es trascendente ya que 1/10 n! n=1 x N n= n! = n=n n! < n=(n+1)! 1 10 n < 2 10 (N+1)! = 2 q N+1. Encuentro Iberoamericano p. 11/2
47 Los trascendentes de Liouville Liouville (1844). Sea α un número algebraico de grado m 2. Entonces existe C(α) (0,1) tal que C(α) q m α p q para toda fracción p q. Cuál es el menor exponente que se puede elegir en la fracción C(α)/q m de modo que el teorema de Liouville siga siendo cierto? Encuentro Iberoamericano p. 11/2
48 Los trascendentes de Liouville Liouville (1844). Sea α un número algebraico de grado m 2. Entonces existe C(α) (0,1) tal que C(α) q m α p q para toda fracción p q. Cuál es el menor exponente que se puede elegir en la fracción C(α)/q m de modo que el teorema de Liouville siga siendo cierto? Thue (1909): m/ ε, con ε arbitrario. Encuentro Iberoamericano p. 11/2
49 Los trascendentes de Liouville Liouville (1844). Sea α un número algebraico de grado m 2. Entonces existe C(α) (0,1) tal que C(α) q m α p q para toda fracción p q. Cuál es el menor exponente que se puede elegir en la fracción C(α)/q m de modo que el teorema de Liouville siga siendo cierto? Thue (1909): m/ ε, con ε arbitrario. Siegel (1921): 2 m. Encuentro Iberoamericano p. 11/2
50 Los trascendentes de Liouville Liouville (1844). Sea α un número algebraico de grado m 2. Entonces existe C(α) (0,1) tal que C(α) q m α p q para toda fracción p q. Cuál es el menor exponente que se puede elegir en la fracción C(α)/q m de modo que el teorema de Liouville siga siendo cierto? Thue (1909): m/ ε, con ε arbitrario. Siegel (1921): 2 m. Roth (1955): 2 + ε!, con ε arbitrario. Encuentro Iberoamericano p. 11/2
51 Los trascendentes de Liouville Aproximación por racionales algo más rápida de lo normal implica trascendencia Encuentro Iberoamericano p. 12/2
52 Los trascendentes de Liouville Aproximación por racionales algo más rápida de lo normal implica trascendencia El conjunto de números trascendentes que se pueden aproximar por racionales a velocidad 2 + ε tiene medida nula! Encuentro Iberoamericano p. 12/2
53 Cantor Cantor (1874). El conjunto A de números algebraicos tiene cardinal numerable. Encuentro Iberoamericano p. 13/2
54 Cantor Cantor (1874). El conjunto A de números algebraicos tiene cardinal numerable. Dada una sucesión cualquiera de números reales es posible construir un número real que no pertenece a la sucesión. En particular existen infinitos números trascendentes. Encuentro Iberoamericano p. 13/2
55 Cantor Cantor (1874). El conjunto A de números algebraicos tiene cardinal numerable. Dada una sucesión cualquiera de números reales es posible construir un número real que no pertenece a la sucesión. En particular existen infinitos números trascendentes. El conjunto R de números reales tiene cardinal no numerable. Encuentro Iberoamericano p. 13/2
56 Cantor Cantor (1874). El conjunto A de números algebraicos tiene cardinal numerable. Dada una sucesión cualquiera de números reales es posible construir un número real que no pertenece a la sucesión. En particular existen infinitos números trascendentes. El conjunto R de números reales tiene cardinal no numerable. Casi todos los números reales son trascendentes Encuentro Iberoamericano p. 13/2
57 Aproximación simultánea Sea a R. Supongamos que para todo m N y para cualesquiera números enteros c 0,c 1,...,c m existen m sucesiones de números racionales tales que { p (1) n /q n }, i) Para todo n N, c 0 q n + ii) { p (2) n /q n },..., m k=1 c k p (k) n 0, lim q n a k p (k) n n = 0, k = 1,2,...,m. Entonces a es un número trascendente. { p (m) n /q n } Encuentro Iberoamericano p. 14/2
58 Aproximación simultánea La idea es aproximar el número real a y sus potencias por sucesiones que tengan el mismo denominador. Este tipo de aproximación se llama simultánea. Encuentro Iberoamericano p. 14/2
59 Aproximación simultánea La idea es aproximar el número real a y sus potencias por sucesiones que tengan el mismo denominador. Este tipo de aproximación se llama simultánea. Aproximación simultánea rápida por números racionales implica trascendencia Encuentro Iberoamericano p. 14/2
60 Aproximación simultánea La idea es aproximar el número real a y sus potencias por sucesiones que tengan el mismo denominador. Este tipo de aproximación se llama simultánea. Aproximación simultánea rápida por números racionales implica trascendencia Cómo construir sucesiones de números racionales que aproximen simultáneamente las potencias de un número real? Encuentro Iberoamericano p. 14/2
61 Aproximantes de Padé Sea f función analítica en un entorno de z 0 C y P n el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n. El polinomio de Taylor T n (f) de f en z 0 es el elemento de P n que tiene mayor orden de contacto con f en z 0. Encuentro Iberoamericano p. 15/2
62 Aproximantes de Padé Sea f función analítica en un entorno de z 0 C y P n el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n. El polinomio de Taylor T n (f) de f en z 0 es el elemento de P n que tiene mayor orden de contacto con f en z 0. Sea R n = {P/Q : gr P,Q n} el conjunto de cocientes de polinomios de grado menor o igual que n. El aproximante de Padé diagonal Π n (f) de f en z 0 es el elemento de R n que tiene mayor orden de contacto con f en z 0. Encuentro Iberoamericano p. 15/2
63 Aproximantes de Padé El aproximante racional se construye buscando polinomios p n y q n tales que q n (z)f(z) p n (z) = o ( (z z 0 ) 2n), z z 0 y entonces Π n (f) = p n /q n. Encuentro Iberoamericano p. 15/2
64 Aproximantes de Padé El aproximante racional se construye buscando polinomios p n y q n tales que q n (z)f(z) p n (z) = o ( (z z 0 ) 2n), z z 0 y entonces Π n (f) = p n /q n. Por ejemplo, si z 0 = 0 entonces (b 0 + b 1 z + b 2 z b n z n )(f 0 + f 1 z + + f 2n z 2n +...) (a 0 + a 1 z + + a n z n ) = c 2n+1 z 2n , Encuentro Iberoamericano p. 15/2
65 Aproximantes de Padé El aproximante racional se construye buscando polinomios p n y q n tales que q n (z)f(z) p n (z) = o ( (z z 0 ) 2n), z z 0 y entonces Π n (f) = p n /q n. Por ejemplo, si z 0 = 0 entonces (b 0 + b 1 z + b 2 z b n z n )(f 0 + f 1 z + + f 2n z 2n +...) (a 0 + a 1 z + + a n z n ) = c 2n+1 z 2n , Siempre existe solución no trivial y la fracción Π n (f) es única. Encuentro Iberoamericano p. 15/2
66 Aproximantes de Padé Es frecuente que la aproximación Padé se haga en z 0 = si f es analítica en un entorno de, por lo que tiene una expansión del tipo f(z) = n=0 a n z n+1. Encuentro Iberoamericano p. 16/2
67 Aproximantes de Padé Es frecuente que la aproximación Padé se haga en z 0 = si f es analítica en un entorno de, por lo que tiene una expansión del tipo f(z) = n=0 a n z n+1. Entonces los polinomios p n y q n se eligen de modo que q n (z)f(z) p n (z) = o ( ) 1 z n, z y Π n (f) = p n /q n es el aproximante de Padé diagonal de f en Encuentro Iberoamericano p. 16/2
68 Aproximantes de Padé Pueden construirse los aproximantes p n /q n+1 de modo que aproximen la función f en varios puntos a la vez: q n+1 (z)f(z) p n (z) = o((z z 0 ) n ), z z 0, q n+1 (z)f(z) p n (z) = o((z z 1 ) n ), z z 1. Encuentro Iberoamericano p. 16/2
69 Aproximantes de Padé Pueden construirse los aproximantes p n /q n+1 de modo que aproximen la función f en varios puntos a la vez: q n+1 (z)f(z) p n (z) = o((z z 0 ) n ), z z 0, q n+1 (z)f(z) p n (z) = o((z z 1 ) n ), z z 1. Entonces Π n (f) = p n /q n+1 es el aproximante de Padé multipuntual de f en z 0 y z 1. Encuentro Iberoamericano p. 16/2
70 Aproximantes de Padé O pueden construirse aproximantes p n /q 2n y t n /q 2n de modo que aproximen varias funciones f 1,f 2 simultáneamente: q 2n (z)f 1 (z) p n (z) = o ( (z z 0 ) 2n), z z 0, q 2n (z)f 2 (z) t n (z) = o ( (z z 0 ) 2n), z z 0. Encuentro Iberoamericano p. 17/2
71 Aproximantes de Padé O pueden construirse aproximantes p n /q 2n y t n /q 2n de modo que aproximen varias funciones f 1,f 2 simultáneamente: q 2n (z)f 1 (z) p n (z) = o ( (z z 0 ) 2n), z z 0, q 2n (z)f 2 (z) t n (z) = o ( (z z 0 ) 2n), z z 0. { pn Entonces, t } n son los aproximantes Hermite-Padé de f 1 q 2n q 2n y f 2 respectivamente en z 0. Encuentro Iberoamericano p. 17/2
72 Hermite y la trascendencia de e Hermite (1873). Encuentra los aproximantes simultáneos de Padé a las potencias de la función exponencial en z 0 = 0. Sean los polinomios Q y P j, j = 1,...,m, tales que Q(z)e z P 1 (z) = o ( z mp+p 1), Q(z)e 2z P 2 (z) = o ( z mp+p 1), Q(z)e mz P m (z) = o ( z mp+p 1), donde gr Q mp, gr P j mp 1, j = 1,...,m.. Encuentro Iberoamericano p. 18/2
73 Hermite y la trascendencia de e Entonces Q(z) = λz mp+p T(x)e zx dx, P j (z) = λe j z z mp+p m con T(x) = x p 1 (x j) p. j=1 0 j T(x)e zx dx, Encuentro Iberoamericano p. 18/2
74 Hermite y la trascendencia de e Entonces Q(z) = λz mp+p P j (z) = λe j z z mp+p m con T(x) = x p 1 (x j) p. j=1 0 T(x)e zx dx, j T(x)e zx dx, Si se eligen z = 1, λ = 1/(p 1)! y p primo suficientemente grande, se obtienen sucesiones de números racionales que convergen con rapidez y simultáneamente a las sucesivas potencias de e. Encuentro Iberoamericano p. 18/2
75 Hermite y la trascendencia de e Entonces Q(z) = λz mp+p T(x)e zx dx, P j (z) = λe j z z mp+p m con T(x) = x p 1 (x j) p. j=1 0 j T(x)e zx dx, El número e es trascendente Encuentro Iberoamericano p. 18/2
76 Lindemann Lindemann (1882). Sean β 1,β 2,...,β m números algebraicos distintos. Entonces e β 1,eβ 2,...,eβ m son l. i. sobre A. Encuentro Iberoamericano p. 19/2
77 Lindemann Lindemann (1882). Sean β 1,β 2,...,β m números algebraicos distintos. Entonces e β 1,eβ 2,...,eβ m son l. i. sobre A. e πi + e 0 = 0 π es trascendente. Encuentro Iberoamericano p. 19/2
78 Lindemann Lindemann (1882). Sean β 1,β 2,...,β m números algebraicos distintos. Entonces e β 1,eβ 2,...,eβ m son l. i. sobre A. e πi + e 0 = 0 π es trascendente. Si β 0 y a son algebraicos, e β + a 0 e β es trascendente. Encuentro Iberoamericano p. 19/2
79 Lindemann Lindemann (1882). Sean β 1,β 2,...,β m números algebraicos distintos. Entonces e β 1,eβ 2,...,eβ m son l. i. sobre A. e πi + e 0 = 0 π es trascendente. Si β 0 y a son algebraicos, e β + a 0 e β es trascendente. Si β 0 es algebraico sen β, senh β,... son trascendentes. Encuentro Iberoamericano p. 19/2
80 Lindemann Lindemann (1882). Sean β 1,β 2,...,β m números algebraicos distintos. Entonces e β 1,eβ 2,...,eβ m son l. i. sobre A. e πi + e 0 = 0 π es trascendente. Si β 0 y a son algebraicos, e β + a 0 e β es trascendente. Si β 0 es algebraico sen β, senh β,... son trascendentes. Funciones trascendentes suelen tomar valores trascendentes en argumentos algebraicos no especiales Encuentro Iberoamericano p. 19/2
81 Trascendencia en el siglo XX En 1900 Hilbert plantea veintitrés problemas, el séptimo dice: Sea α un número algebraico distinto de 0 y 1. Sea β un número algebraico irracional. Demostrar que α β es trascendente. Encuentro Iberoamericano p. 20/2
82 Trascendencia en el siglo XX En 1900 Hilbert plantea veintitrés problemas, el séptimo dice: Sea α un número algebraico distinto de 0 y 1. Sea β un número algebraico irracional. Demostrar que α β es trascendente. Gelfond (1934) y Schneider (1935). Resuelven el séptimo problema de Hilbert. En particular, e π es trascendente. Encuentro Iberoamericano p. 20/2
83 Trascendencia en el siglo XX En 1900 Hilbert plantea veintitrés problemas, el séptimo dice: Sea α un número algebraico distinto de 0 y 1. Sea β un número algebraico irracional. Demostrar que α β es trascendente. Gelfond (1934) y Schneider (1935). Resuelven el séptimo problema de Hilbert. En particular, e π es trascendente. e π = i 2i Encuentro Iberoamericano p. 20/2
84 Trascendencia en el siglo XX Baker (1966). Sean α 1,α 2,...,α m números algebraicos distintos de 0 y 1. Sean 1,β 1,β 2,...,β m números algebraicos l. i. sobre Q. Entonces α β 1 1 αβ 2 2 α β m m es trascendente. Encuentro Iberoamericano p. 20/2
85 Trascendencia en el siglo XX Baker (1966). Sean α 1,α 2,...,α m números algebraicos distintos de 0 y 1. Sean 1,β 1,β 2,...,β m números algebraicos l. i. sobre Q. Entonces α β 1 1 αβ 2 2 α β m m es trascendente. No se sabe si π π, e e ó π e son trascendentes. Tampoco se sabe si πe ó π + e son trascendentes aunque sí se sabe que al menos uno de ellos lo es. Encuentro Iberoamericano p. 20/2
86 Trascendencia en el siglo XX Baker (1966). Sean α 1,α 2,...,α m números algebraicos distintos de 0 y 1. Sean 1,β 1,β 2,...,β m números algebraicos l. i. sobre Q. Entonces α β 1 1 αβ 2 2 α β m m es trascendente. No se sabe si π π, e e ó π e son trascendentes. Tampoco se sabe si πe ó π + e son trascendentes aunque sí se sabe que al menos uno de ellos lo es. No se sabe si π y e son algebraicamente independientes sobre Q, es decir, si existe un polinomio P Q[x,y] tal que P(π,e) = 0. Encuentro Iberoamericano p. 20/2
87 Bibliografía Abstract Algebra and Famous Impossibilities, A. Jones, S. A. Morris y K. R. Pearson, Springer-Verlag, New York Encuentro Iberoamericano p. 21/2
88 Bibliografía Abstract Algebra and Famous Impossibilities, A. Jones, S. A. Morris y K. R. Pearson, Springer-Verlag, New York Making Transcendence Transparent: an Intuitive Approach to Classical Transcendental Number Theory, E. B. Burger y R. Tubbs, Springer-Verlag, New York Encuentro Iberoamericano p. 21/2
89 Bibliografía Abstract Algebra and Famous Impossibilities, A. Jones, S. A. Morris y K. R. Pearson, Springer-Verlag, New York Making Transcendence Transparent: an Intuitive Approach to Classical Transcendental Number Theory, E. B. Burger y R. Tubbs, Springer-Verlag, New York Galois Theory, I. Stewart, Chapman and Hall, Londres Encuentro Iberoamericano p. 21/2
90 Bibliografía Abstract Algebra and Famous Impossibilities, A. Jones, S. A. Morris y K. R. Pearson, Springer-Verlag, New York Making Transcendence Transparent: an Intuitive Approach to Classical Transcendental Number Theory, E. B. Burger y R. Tubbs, Springer-Verlag, New York Galois Theory, I. Stewart, Chapman and Hall, Londres Rational Approximation and Orthogonality, E. M. Nikishin y V. N. Sorokin, AMS, Providence, Rhode Island Encuentro Iberoamericano p. 21/2
Fracciones continuas. Bernardo de la Calle Ysern. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid
Fracciones continuas Bernardo de la Calle Ysern Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid ...but the question of what is the driving mechanism for, and how it
Aproximantes de Padé. Bernardo de la Calle Ysern. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid
Aproximantes de Padé Bernardo de la Calle Ysern Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid Esquema de la lección 1. Fracción continua de una función 2. Aproximación
NUMEROS ALGEBRAICOS Y TRASCENDENTES
página NUMEROS ALGEBRAICOS Y TRASCENDENTES Eugenio P. Balanzario. Julio, 23. Instituto de Matemáticas, UNAM-Morelia. Apartado Postal 6-3 (Xangari). 5889, Morelia Michoacán, MEXICO. e-mail address: ebg@matmor.unam.mx..
LA CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS.
LA CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS. Se puede decir que la necesidad de los números aparece cuando el hombre intenta resolver problemas del día a día, actividades que tienen que ver con medir ó contar, y que
Fórmula integral de Cauchy
Fórmula integral de Cauchy Comentario: de acuerdo con esta fórmula, uno puede conocer el valor de f dentro del entorno, conociendo únicamente los valores que toma f en el contorno C! Fórmula integral de
Fórmula integral de Cauchy
Fórmula integral de Cauchy Comentario: de acuerdo con esta fórmula, uno puede conocer el valor de f dentro del entorno, conociendo únicamente los valores que toma f en el contorno C! Fórmula integral de
CURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García
INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES CURSO CERO DE MATEMATICAS Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica
5.1. Aproximación de números reales por racionales
Capítulo 5 Aproximación de números reales por racionales En la antigua Grecia los números tenían un carácter mágico y divino. El primer lugar de la jerarquía lo ocupaban los números enteros. Había otros
ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO 6. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE.
ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142 Primer Semestre CAPITULO 6. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Polinomio Sea K (Q,
Capítulo 4 Desarrollos en Serie de Taylor y de Laurent.
Capítulo 4 Desarrollos en Serie de Taylor y de Laurent. El desarrollo en serie de potencias, que comúnmente se restringe a potencias positivas en el campo real toma forma definitiva en el campo complejo
TRABAJO PRÁCTICO Nº 4: POLINOMIOS
TRABAJO PRÁCTICO Nº : POLINOMIOS EJERCICIOS A DESARROLLAR Clase ) Dados los polinomios reales P(x) =.x ; Q(x) = 3x3 x + y los polinomios complejos R(x) = i.x ; S(x) = x + ( + i).x i, calcular: a) 3x. P(x)
1. El Teorema de Rolle Generalizado.
Proyecto III: Los Teoremas de Rolle y del valor Medio Objetivos: Profundizar el estudio de algunos teoremas del cálculo diferencial 1 El Teorema de Rolle Generalizado La formulación más común del Teorema
Aproximación constructiva: aproximantes de Padé y polinomios ortogonales
Aproximación constructiva: aproximantes de Padé y polinomios ortogonales B. de la Calle Ysern Dpto. de Matemática Aplicada, E.T.S. Ingenieros Industriales, Universidad Politécnica de Madrid Encuentro Iberoamericano
Expresiones algebraicas
Polinomios Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es cualquier combinación de números y letras relacionados por operaciones aritméticas: suma, resta, producto, división y potenciación. Ejemplos
El número real y complejo
El número real y complejo Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga Sistema de números reales Números naturales N = {0,1,2,3,...} Números enteros Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} { } p Números racionales
ALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA , Segundo Semestre CAPITULO 6: POLINOMIOS.
ALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA 520135, 522115 Segundo Semestre CAPITULO 6: POLINOMIOS. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Polinomio Sea K
Tema 5. Series de Potencias
Tema 5. Series de Potencias Prof. William La Cruz Bastidas 21 de noviembre de 2002 Tema 5 Series de Potencias Definición 5.1 La sucesión de números complejos {z n } tiene un límite o converge a un número
Propedéutico de Matemáticas
Propedéutico de Matemáticas TEMARIO DEL MODULO I, ARITMÉTICA Y ALGEBRA CAPÍTULO 1: CONCEPTOS ELEMENTALES DE ARITMÉTICA Número primo absoluto o simple. Número compuesto. Múltiplo. Submúltiplo, factor o
CURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García
INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES CURSO CERO DE MATEMATICAS Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica
Extensiones finitas.
2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS. Hemos dividido este tema en dos secciones: Extensiones finitas, y Clausura algebraica. En la primera relacionamos extensión finita y extensión algebraica: probamos que toda
José F. Fernando y José Manuel Gamboa
ECUACIONES ALGEBRAICAS, CURSO 2016-2017 José F. Fernando y José Manuel Gamboa Polinomios en varias variables 1. Calcular la suma de los cubos de las raíces en C del polinomio f(t) := t 3 2t 2 + 3t 4? 2.
Polinomios y fracciones algebraicas. Resolución de ecuaciones polinómicas y racionales.
Polinomios y fracciones algebraicas. Resolución de ecuaciones polinómicas y racionales. Índice de contenido Polinomios y fracciones algebraicas: nociones básicas...2 Qué es y qué no es un polinomio...2
Funciones reales de variable real
Tema Funciones reales de variable real Introducción El objetivo fundamental de este tema es recordar conceptos ya conocidos acerca de las funciones reales de variable real.. Conceptos Generales Definición.
1. Método de bisección
Cálculo Infinitesimal y Numérico. E.T.S. de Ingeniería Informática. Universidad de Sevilla 1 Tema 1: resolución de ecuaciones. Ejercicios y Problemas Nota: Abreviación usual en estos ejercicios: C.D.E.
C alculo Noviembre 2010
Cálculo Noviembre 2010 Series numéricas. Sucesiones Definición Una sucesión es una aplicación a : IN IR. Denotamos simplificadamente a n en vez de a(n). El límite de la sucesión (a n ) es l R si para
Capítulo 4: Polinomios
Capítulo 4: Polinomios Miguel Ángel Olalla Acosta miguelolalla@us.es Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Diciembre de 2015 Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de
Preliminares Interpolación INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN POLINOMIAL
INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN POLINOMIAL Contenido Preliminares 1 Preliminares Teorema 2 Contenido Preliminares Teorema 1 Preliminares Teorema 2 Teorema Preliminares Teorema Teorema: Serie de Taylor Supongamos
x (0) si f (x) = 2s 1, s > 1 d) f 3. Analizar la existencia de derivadas laterales y de derivada en a = 0, para las siguientes funciones:
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 7 1. Usando sólo la definición de derivada,
Álgebra Enero Laboratorio #1 Ecuaciones Cuadráticas I. I.- Resolver las ecuaciones siguientes usando el método Factorización.
Laboratorio #1 Ecuaciones Cuadráticas I I.- Resolver las ecuaciones siguientes usando el método Factorización. 6x 2 + 11x = 10 4y 2 + 30 = 29y 8x 2 + 19x 27 = 0 60y 2 35 = 85y II.- Resolver las ecuaciones
Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.
Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas 1 Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. 1.- Factorización de polinomios. M. C. D y m.c.m de polinomios. Un número a es raíz de un polinomio es 0.
Llamaremos número real a cualquier fracción decimal. Las fracciones decimales periódicas se llaman números racionales, así:
Capítulo 1 Números Reales 1.1. Introducción Llamaremos número real a cualquier fracción decimal. Ejemplos:, 0;, 3333...;, 5; 0,785; 3, 14159...;,718818...; 1,414136... Las fracciones decimales periódicas
Fracciones Continuas
Fracciones Continuas Capítulo 5 5. Introducción Las fracciones continuas son uno de los temas más interesantes dentro de la teoría de números, así como también uno de los más antiguos. Su origen se remonta
I.E.S. El Galeón Curso CONTENIDOS MÍNIMOS MATEMÁTICAS 1º E.S.O.
Números naturales y enteros: -Comparar y ordenar números. -Representar en la recta. MATEMÁTICAS 1º E.S.O. -Realización de las cuatro operaciones (suma, resta, multiplicación y división) -Potencias con
FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE CONCEPTOS FUNDAMENTALES
FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE Índice Presentación... 3 Conjunto de los números reales... 4 Los intervalos... 6 Las potencias... 7 Los polinomios... 8 La factorización de polinomios (I)... 9 La factorización
Matemáticas II CC II PARCIAL INBAC UNIDAD DIDÁTICA #3
UNIDAD DIDÁTICA #3 INDICE PÁGINA Las Letras Como Números Generalizadores -----------------------------------------------------2 Clasificación de las expresiones algebraicas------------------------------------------------------4
Se suponen conocidos los siguientes conceptos previos desarrollados en las secciones 1, 2, 3.1 y 3.2:
112 Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras. 15 Mayo 2006. TERCERA PARTE. SINGULARIDADES Y TEORÍA DE LOS RESIDUOS. Resumen Se estudian las singularidades aisladas: evitables, polos y esenciales
Límite y Continuidad de funciones de una variable
Introducción Límite y de funciones de una variable Departamento de Matemática Aplicada Universitat Politècnica de València, España Fundamentos Matemáticos para la Ingenieria Civil Límite y de funciones
Funciones racionales. Tema 5: Integración. Integrales reducibles a racionales. Primera reducción. Primeros ejemplos. Definición
Funciones racionales Funciones racionales Tema 5: Integración. Integrales racionales y reducibles a racionales Análisis Matemático Grado en Física Definición Una función f se dice que es racional si f
Reconocimiento de la relación de orden en los números reales.
Grado Matematicas - Unidad Operando en el conjunto de los números reales. Tema Reconocimiento de la relación de orden en los números reales. Nombre: Curso: El definir el conjunto de fue uno de los problemas
Laboratorio #1 Ecuaciones Cuadráticas I. II.- Resolver las ecuaciones siguientes usando el método Completando Cuadrados.
Laboratorio #1 Ecuaciones Cuadráticas I I.- Resolver las ecuaciones siguientes utilizando el método de Factorización. 1) 121 25x = 0 2) 27az 2 75a 3 = 0 3) 15y 2 = 21y II.- Resolver las ecuaciones siguientes
2. Los números naturales, enteros y racionales 1
- Fernando Sánchez - - Cálculo I 2Los números naturales, enteros y racionales Números naturales 24 09 2015 Se llaman números naturales a los elementos del conjunto N = {1, 2, 3,...}. En este conjunto hay
Funciones de Variable Compleja
U Contenido Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Eléctrica Departamento de Electrónica, Computación y Control Variable Compleja y Cálculo Operacional Funciones de Variable Compleja (Continuidad,
Un resumen de la asignatura. Junio, 2015
Un resumen de la asignatura Departamento de Matemática Aplicada a las Tecnologías de la Información y las Comunicaciones ETSIT (UPM) Junio, 2015 1 Los Números Reales(R) Los números Irracionales Continuidad
TALLER DE MATEMÁTICAS 1 ECUACIONES POLINÓMICAS
TALLER DE MATEMÁTICAS 1 ECUACIONES POLINÓMICAS NOTAS Toda expresión algebraica del tipo a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 es un polinomio de grado n, si a n 0. Es bien conocida la fórmula que da las
Análisis Complejo: 1.1 Series de Mittag-Lefler
Contents : 1.1 Series de Mittag-Lefler Universidad de Murcia Curso 2011-2012 Contents 1 Desarrollos Mittag-Lefler Objetivos Desarrollos Mittag-Lefler Objetivos Objetivos Desarrollos Mittag-Lefler Objetivos
TEMA 4. Series de potencias
TEMA 4 Series de potencias. Introducción En el tema anterior hemos estudiado la aproximación polinómica local de funciones mediante el polinomio de Taylor correspondiente. En particular, vimos para la
Índice La División Entera El Máximo Común Divisor Algoritmo de Euclides Ecuaciones Diofánticas Factorización. Aritmética I.
Leandro Marín Septiembre 2010 Índice La División Entera El Máximo Común Divisor Algoritmo de Euclides Ecuaciones Diofánticas Factorización Los Números Enteros Llamaremos números enteros al conjunto infinito
Universidad Nacional Autónoma de México Licenciatura en Economía Cálculo Diferencial e Integral Preliminares
1 Universidad Nacional Autónoma de México Licenciatura en Economía Cálculo Diferencial e Integral Preliminares Prof. Adán Salas Gutiérrez Álgebra 1. El factorial de un número n N es el producto de todos
CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA: ÁLGEBRA
http:/// CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA: ÁLGEBRA DESARROLLA EN FORMA RESUMIDA CADA UNIDAD CON: I. GUIONES DE CONFERENCIAS II. FICHAS DE ESTUDIO III. LABORATORIOS DE EJERCICIOS Trata las unidades siguientes:
1º ESO B Contenidos para la convocatoria extraordinaria de septiembre
1º ESO B 2011-2012 Contenidos para la convocatoria extraordinaria de septiembre U1 Los números naturales Lectura y escritura de números Aproximación por redondeo Resolver problemas con números naturales
Problemas de VC para EDVC elaborados por C. Mora, Tema 4
Problemas de VC para EDVC elaborados por C. Mora, Tema 4 Ejercicio Determinar las funciones enteras f para las que Solución f( + w) = f()f(w), w C. En primer lugar, f(0) = f(0 + 0) = f(0)f(0) = f(0) 2,
Contenidos IB-Test Matemática NM 2014.
REDLAND SCHOOL MATHEMATICS DEPARTMENT 3 MEDIO NM 1.- Estadística y probabilidad. Contenidos IB-Test Matemática NM 2014. 1.1.- Conceptos de población, muestra, muestra aleatoria, y datos discretos y continuos.
CONTENIDOS MÍNIMOS 1ºESO. -Realización de las cuatro operaciones (suma, resta, multiplicación y división) mediante los algoritmos tradicionales.
DEPARTAMENTO DE: MATERIA: CONTENIDOS MÍNIMOS Matemáticas Matemáticas 1ºESO Números naturales y enteros: -Comparar y ordenar números. -Representar en la recta. -Realización de las cuatro operaciones (suma,
Variable Compleja I Tema 5: Funciones elementales
Variable Compleja I Tema 5: Funciones elementales 1 La exponencial 2 Logaritmos El conjunto de los logaritmos El problema del logaritmo holomorfo Ejemplos de logaritmos holomorfos Desarrollos en serie
Funciones de Variable Real
Tema 1 Funciones de Variable Real 1.1. La Recta Real Los números reales se pueden ordenar como los puntos de una recta. Los enteros positivos {1, 2, 3, 4,...} que surgen al contar, se llaman números naturales
Límite de una sucesión
Límite de una sucesión Idea intuitiva del límite de una sucesión En la sucesión a n = 1/n, observamos que los términos se van acercando a cero. Consideremos que 0 es el límite de la sucesión porque: 1
Números trascendentes y construcciones imposibles con regla y compás
AVANZA. Vol. iii. Fm - Iit, Uacj (213) 99 128. Isbn: 978-67-9224-52-3 Números trascendentes y construcciones imposibles con regla y compás Arilin Haro, Luis Loeza Resumen El trabajo realizado tiene como
Funciones, Límites y Continuidad
Tema Funciones, Límites y Continuidad Introducción El objetivo fundamental de este tema es recordar conceptos ya conocidos acerca de las funciones reales de variable real, así como de los límites en dichas
TEORÍA DE NÚMEROS Curso 2004/2005 Lista 1
TEORÍA DE NÚMEROS Curso 2004/2005 Lista 1 Repaso de congruencias y divisibilidad 1. Sea H = {5, 9, 13, 17, 21,... }. Decimos que n H es H-primo si no tiene divisores propios en H. Demostrar que la factorización
Soluciones en series de potencias
GUIA 8 Soluciones en series de potencias El Teorema Fundamental de existencia y unicidad de soluciones permite definir una función x = xt) como la única solución de un problema de valores iniciales. Un
FISICA MECANICA DOCUMENTO DE CONTENIDO MATEMATICAS PARA FISICOS
FISICA MECANICA DOCUMENTO DE CONTENIDO MATEMATICAS PARA FISICOS Objetivo general: Brindar algunas herramientas matemáticas que los estudiantes de física necesitan para su buen desempeño en el curso de
Dada f : [a, b] R R, continua, se plantea el problema de encontrar ceros de f, es decir raíces de la ecuación
![Dada f : [a, b] R R, continua, se plantea el problema de encontrar ceros de f, es decir raíces de la ecuación](/thumbs/59/43345437.jpg "Dada f : [a, b] R R, continua, se plantea el problema de encontrar ceros de f, es decir raíces de la ecuación")
Tema 8 Ceros de funciones Versión: 23 de abril de 2009 8.1 Introducción Dada f : [a, b] R R, continua, se plantea el problema de encontrar ceros de f, es decir raíces de la ecuación f(x) = 0. (8.1) La
Objetivos de la materia:
Objetivos de la materia: Desarrollar formal y sistemáticamente competencias y habilidades de cálculo diferencial e integral necesarias como herramienta fundamental para la ingeniería y concurrentemente
Notas sobre polinomios
Notas sobre polinomios Glenier Bello 1. Definiciones y conceptos básicos 1.1. Un polinomio es una función f : C C del tipo f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, donde n es un entero no negativo
Números de Bernoulli: Algunas aplicaciones a la. David J. Fernández Bretón. Escuela Superior de Física y Matemáticas, Instituto Politécnico Nacional,
Números de Bernoulli: Algunas aplicaciones a la Teoría de Números David J. Fernández Bretón. Escuela Superior de Física y Matemáticas, Instituto Politécnico Nacional, México. Definición Se define la sucesión
El teorema de Lüroth
Abstraction & Application 11 (2014) 52 56 UADY El teorema de Lüroth Antonio González Fernández, Rodrigo Jiménez Correa, Jesús Efrén Pérez Terrazas Facultad de Matemáticas, Universidad Autónoma de Yucatán,
Coincidencias en sucesiones generalizadas de
Coincidencias en sucesiones generalizadas de Lucas Eric F. Bravo Universidad del Cauca Trabajo conjunto con Jhon J. Bravo y Florian Luca Álgebra, Teoría de Números, Combinatoria y Aplicaciones (ALTENCOA
Series de Laurent. En la práctica, los coeficientes de una serie de Laurent se obtienen por métodos distintos a las expresiones integrales a n
Series de Laurent En la práctica, los coeficientes de una serie de Laurent se obtienen por métodos distintos a las expresiones integrales a n y b n dadas anteriormente. Además se puede demostrar que la
Capítulo 3. Polinomios
Capítulo 3 Polinomios 29 30 Polinomios de variable real 31 Polinomios de variable real 311 Evaluación de polinomios Para el cálculo eficiente de los valores de un polinomio se utiliza el algoritmo de Horner,
Series numéricas (I) 1 Convergencia y divergencia. 2 Series importantes. 3 Propiedades generales. 4 Series de términos positivos
Convergencia y divergencia Series numéricas (I Definición Sea { } una sucesión de reales y sea la sucesión asociada {S n } de sumas parciales, S n = a + a 2 + a 3 + +. LLamaremos serie a la pareja formada
ÍNDICE. Unidad I Conjuntos 10. Unidad II Sistemas de numeración 70. Presentación... 9
ÍNDICE Presentación... 9 Unidad I Conjuntos 10 Antes de empezar... 12 1 Idea intuitiva de un conjunto... 13 2 Cardinalidad de un conjunto... 20 3 Concepto de conjunto universal, subconjunto; conjuntos
Contenido. Números Complejos 3
Números Complejos Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Eléctrica Departamento de Electrónica, Computación y Control Variable Compleja y Cálculo Operacional Marzo,
Escuela Universitaria Politécnica Examen de Cálculo - Febrero - Curso 01/02
Escuela Universitaria Politécnica Examen de Cálculo - Febrero - Curso 0/02 x 2 + y 4. (a) Comprueba que el siguiente límite no existe lim (x,y) (0,0) x 2 + y. 2 (b) Busca una trayectoria a través de la
Funciones de Una Variable Real II: Cálculo de Primitivas
Universidad de Murcia Departamento Matemáticas Funciones de Una Variable Real II: Cálculo de Primitivas B. Cascales, J. M. Mira y L. Oncina Universidad de Murcia http://webs.um.es/beca Grado en Matemáticas
Anexo: El anillo de polinomios K[x].
![Anexo: El anillo de polinomios K[x].](/thumbs/67/56852452.jpg "Anexo: El anillo de polinomios K[x].")
El anillo de polinomios K[x] 1 Anexo: El anillo de polinomios K[x]. 1. Construcción del anillo de polinomios K[x]. Dado un cuerpo K, se define m K[x] = { a i x i a i K, i = 0,..., m, m N {0}}, i=0 donde
1.IV Aproximación numérica de valores y vectores propios.
.IV Aproximación numérica de valores y vectores propios. Manuel Palacios Departamento de Matemática Aplicada Centro Politécnico Superior. Universidad de Zaragoza Primavera 2007 Contents Introducción 2
Construcciones con regla y compás
Universidad de Buenos Aires - CONICET Semana de la Matemática - 2009 Algunos ejemplos Vamos a hacer algunos dibujos usando un papel, un lápiz, un compás y una regla sin medidas marcadas. Algunos ejemplos
CONCRECIÓN DE LOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN Curso: PRIMERO de BACHILLERATO CIENCIAS Asignatura: MATEMÁTICAS I Profesor: ALFONSO BdV
CONCRECIÓN DE LOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN Curso: PRIMERO de BACHILLERATO CIENCIAS Asignatura: MATEMÁTICAS I Profesor: ALFONSO BdV 1. Números reales. Aritmética y álgebra 1.1. Operar con fracciones de números
Las funciones. 1. Constantes y variables.- Constante es una letra o símbolo que representa un número fijo y determinado.
Las funciones 1. Constantes y variables.- Constante es una letra o símbolo que representa un número fijo y determinado. Variable es una letra o símbolo que representa cada uno de los números de un conjunto.
Conjuntos Abiertos y Cerrados
Conjuntos Abiertos y Cerrados 1. (a) En la prueba de que la intersección de una colección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto, dónde se uso la hipótesis de que la colección es finita? 2.
01. Identifica, en un conjunto de números, los que son enteros.
3.3.4 Criterios específicos de evaluación. 01. Identifica, en un conjunto de números, los que son enteros. 02. Coloca distintos números naturales y enteros en un diagrama que representa a los conjuntos
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS B. SUCESIONES B.1 Diversos conjuntos numéricos. En
Cardinalidad IIC1253. IIC1253 Cardinalidad 1 / 23
Cardinalidad IIC1253 IIC1253 Cardinalidad 1 / 23 Conjuntos con la misma cardinalidad Definición Decimos que dos conjuntos A y B son equinumerosos, denotado como A B, si existe una biyección f : A B. IIC1253
Cálculo en varias variables
Cálculo en varias variables Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga Resumen Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 1 Límites y continuidad
Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 =
1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite
Álgebra Parte de las matemáticas que tiene que ver con el estudio y resolución de las ecuaciones.
Álgebra Parte de las matemáticas que tiene que ver con el estudio y resolución de las ecuaciones. Binomio Polinomio que consta de dos términos. x+3, x-5, 2x 2-4,... son binomios Clase de equivalencia Se
4.1. Qué es un número complejo. Representación geométrica.
Tema Números complejos.. Qué es un número complejo. Representación geométrica. Un número complejo z C C es el conjunto de los números complejos es una expresión de la forma z a + b i en la que a, b R a
4.1. Polinomios y teoría de ecuaciones
CAPÍTULO 4 Polinomios y teoría de ecuaciones 4.1. Polinomios y teoría de ecuaciones Un polinomio real en x, o simplemente polinomio en x es una expresión algebraica de la forma a n x n + a n 1 x n 1 +
3. Elementos neutros axb N. Para la suma es el cero ya que: a + 0 = a 2. Asociatividad:
INTRODUCCIÓN Las primeras ideas de número aparecen en los albores de la civilización. Los antiguos babilonios y egipcios conciben las fracciones. Con Pitágoras, los griegos descubren la necesidad de adoptar
Introducción histórica. Números irracionales
Introducción histórica A finales del siglo V a.c., la Escuela de Pitágoras descubrió que no existían dos números naturales m y n, cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado de un cuadrado y
Números famosos III: El número e.
Introducción Números famosos III: El número e. Si ingresamos en un banco 1 al 100 por 100 anual, al cabo de un año tendremos 1+1=2. Si el abono de intereses se realiza mensualmente, al cabo del año tendremos
Tesis de Licenciatura. El Séptimo Problema de Hilbert. Antecedentes, soluciones y ampliaciones
UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemática Tesis de Licenciatura El Séptimo Problema de Hilbert. Antecedentes, soluciones y ampliaciones Emiliano Battaglia
Criterios de evaluación. Tema 1. Matemáticas. 5º Primaria
Criterios de evaluación. Tema 1. Matemáticas. 5º Primaria Leer, escribir, descomponer y comparar números de hasta nueve cifras Aproximar números naturales a distintos órdenes. Utilizar las aproximaciones
Álgebra. Curso de junio de Grupo B
Álgebra. Curso 2008-2009 9 de junio de 2009. Grupo B Primera parte Ejercicio. 1. Sea D un dominio noetheriano que no es un cuerpo. Demuestra que son equivalentes: (a) D es un dominio de Dedekind. (b) Todo
CURSO CONTENIDOS MÍNIMOS. Los números naturales. Operaciones y problemas. Cálculo y operaciones de potencias y raíces cuadradas.
CURSO 2009-2010 DEPARTAMENTO: MATEMÁTICAS CURSO: 1º ESO ÁREA: MATEMÁTICAS Los números naturales. Operaciones y problemas. Cálculo y operaciones de potencias y raíces cuadradas. Cálculo del m.c.d. y m.c.m.
Entre primos anda el juego
Marzo 2011 Universidad Autónoma de Madrid Qué es la Teoría de Números? Conjeturas. La Teoría de Números es la parte de las Matemáticas que estudia los números enteros y sus propiedades. Carl Friedrich
Colegio Militar Eloy Alfaro Nombre Del Macroproceso: GESTION EDUCATIVA COLEGIO MILITAR ELOY ALFARO UNIDAD EDUCATIVA EXPERIMENTAL
Colegio Militar Eloy Alfaro Nombre Del Macroproceso: GESTION EDUCATIVA Nombre Del Proceso PLANIFICACIÓN Fecha: 1-09-2008 Código: C01-2.1-02-00-00-P01 Versión:1.0 Página: 1 de 13 UNIDAD DIDACTICA No. 1
PRUEBA EXTAORDINAORIA DE SEPTIEMBRE DE 2014 CONTENIDOS MÍNIMOS DE MATEMÁTICAS
IES SAN BENITO PRUEBA EXTAORDINAORIA DE SEPTIEMBRE DE 2014 CONTENIDOS MÍNIMOS DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS 1º ESO *SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL. N OS NATURALES. POTENCIAS Y RAICES Ordenación de los números
4 ESO. Mat B. Polinomios y fracciones algebraicas
«El que pregunta lo que no sabe es ignorante un día. El que no lo pregunta será ignorante toda la vida» 4 ESO Mat B Polinomios y fracciones algebraicas ÍNDICE: 0. EL LENGUAJE SIMBÓLICO O ALGEBRAICO 1.