0 (0) = 0 (0) = 0. L [ 00 + ]( ) = L [ ( )] ( ) (Linealidad) L [ 00 ]( )+L[ ]( ) = L [ ( )] ( ) (Derivación) 2 ( )+ ( ) =L [ ( )] ( )

Transcripción

1 Ampliación de Matemáticas II Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales 8 de junio 6. Dado el siguiente problema de valor inicial: ()+() = () () = () = a) (.5 puntos) Resuelve el problema utilizando la transformada de Laplace. b) (.5 puntos) Comprueba que la solución cumple las condiciones iniciales la ecuación diferencial del problema. Solución: a) Definimos () =L []() () = () Utilizando las propiedades de linealidad derivación de la transformada de Laplace: Usando las condiciones iniciales: Despejando () Calculamos L [ ()] () L [ + ]() = L [ ()] () (Linealidad) L [ ]()+L[]() = L [ ()] () (Derivación) () () () + () =L [ ()] () ()+ () =L [ ()] () + () =L [ ()] () () = L [ ()] () + Sustituendo en () L [ ()] () = L [ ()] () = (Linealidad) L [ ()] () = L [] () L [ ()] () (Función Heaviside) L [ ()] () = () = ( +) = ( +) ( +) =

2 Tomando la transformada inversa de Laplace encontraremos la solución (). Utilizando linealidad podemos poner () = L [ ()] () () = L ( +) () + (Linealidad) () = L ( () L +) () + si tenemos en cuenta que ha una exponencial en el segundo término, debemos utilizar el segundo teorema de traslación para poner () =L ( () () L +) ( ( ) +) Notar que en ambos sumandos se calcula la inversa de la misma función. Para calcular esta inversa vamos a utilizar residuos. Las singularidades son =, = 3 = que son todo polos simples; así por la fórmula de Bromwich tenemos: L ( +) () =Res () +Res () +Res () Estos residuos se calculan mediante la fórmula general para polos de orden, enestecaso =para todos ellos = Res ( () ) = lím ( ()) = lím ( +) = = Res ( () )=lím( )( ()) = lím (+) = () = Como 3 = es el conjugado de, su residuo será el conjugado del anterior Sumando todos los residuos L ( () =+ +) Finalmente la solución buscada será Res () =Res () = Res ( () )= µ + µ () =( cos ) ( cos ( )) () µ + = = cos o en forma de llave como ( cos () = cos ( ) cos Es posible en encontrar la transformada inversa mediante descomposición en fracciones simples, a que ( +) = + L ( () =L +) () =L () L + () = cos + La segunda se hace del mismo modo que antes usando el segundo teorema de traslación. b) Para comprobar las condiciones iniciales la ecuación diferencial necesitamos calcular () e () : Comprobamos que se cumplen las condiciones iniciales () = sen sen ( ) () () = cos cos ( ) () () = cos ( cos ( )) () = = = () = sen sen ( ) () = = =

3 Comprobamos que se cumple la ecuación diferencial. Resuelve cada uno de los apartados: ()+ () = (cos cos ( ) ()) + ( cos ( cos ( ) ())) = cos cos ( ) ()+ cos ()+cos( ) () = () a) (.5 puntos) Determine la serie de Fourier de la función () = sen [ ] cuando se extiende periódicamente con periodo. b) (.5 puntos) Determine la serie de Fourier de la extensión periódica par de la función () = sen [] c) (.5 puntos) Determine la serie de Fourier de la extensión periódica impar de la función Solución: () = sen [] a) Para obtener la serie de Fourier de () usamos el hecho de que la función es par, a que podemos ver su gráfica a continuación ( ) = sen ( ) = sen () = sen () = () Por tanto =. Para el cálculo de utilizamos las fórmulas correspondientes, en este caso el periodo, tal como dice el enunciado del problema, es = por tanto =, mientrasque () = sen =sen(), a que la función sen () es positiva cuando []. Elcálculode es directo = Mientras que para el cálculo de con Z = sen () = cos Z = = sen cos () = 4 x

4 utilizamos la relaciones trigonométricas correspondientes para expresar La primera integral es directa: sen cos () = (sen (( + ) )+sen(( ) )) Z = sen cos () = = µz sen (( + ) ) + Z sen (( + ) ) = + Z Z cos (( + ) ) (sen (( + ) )+sen(( ) )) sen (( ) ) = = = ( cos ( +)) + sabiendo que para N se cumple cos =( ) entonces Z sen (( + ) ) = ( cos ( +)) = ³ + ( ) = ( + ( ) ) Para la segunda integral ha que distinguir el caso = Si = Z sen (( ) ) = Z sen () = notar que en este caso la primera integral también vale Z Si = sen (( + ) ) = + ( + ( ) ) Mientras que para 6= Z sen (( ) ) = pero la función cos () es par, por tanto cos (( ) ) = = Z =; = =; = ( cos ( ) ) cos ( ) =cos ( ) =cos( ) =( ) el valor de la integral será Z sen (( ) ) = ( cos ( ) ) = ³ ( ) = ( + ( ) ) loscoeficientes serán Si = = ³ + ( + ( ) ) ( + ( ) ) Si 6= simplificando La serie de fourier sería ( =) Si = = ³ ( + ( ) ) Si 6= () = X = (+( ) ) cos ()

5 Para simplificar el sumatorio hacemos notar que todos los coeficientes de la serie que son impares son, mientras que los pares no lo son, los coeficientes quedan: (+( ) Si =, par ) cos () = 4 () 4 cos () (+( ) ) cos () = la serie de Fourier se puede poner (+( ) Si =, impar ) cos (( ) ) = ( ) () = X = 4 4 cos () b) Podemos comprobar cómo la extensión periódica par de sen () es precisamente la función anterior; la función está definida en la siguiente gráfica haciendo simetría par x x por tanto la serie de Fourier de la extensión periódica par de sen () noesotraquelamismaquesehaobtenido en el apartado anterior () = X 4 4 cos () =

6 c) La extensión periódica impar de sen con [] coincide con la propia función sen () definida sobre todo R, los vemos en la gráfica haciendo extensión impar x x por tanto la serie de Fourier de la extensión periódica impar de () es la serie de Fourier de la función sen coincide con la propia función sen, puesto que si la serie de Fourier es de la forma X sen () podemos conseguir los coeficientes tomando = =para. = 3. (. puntos) Indica si es posible utilizar el método de separación de variables para resolver cada una de las siguientes ecuaciones en derivadas parciales. En caso negativo indica porqué en caso afirmativo describe el proceso hasta encontrar las diferenciales ordinarias asociadas a los mismos. a) + = + b) = Solución:

7 a) La respuesta es afirmativa, a que si suponemos que = () (), entonces sustituendo en la ecuación si agrupamos = () () = () () = () () = () () () ()+ () () = () ()+ () () ()( ()+ ()) = ( ()+ ()) () dividimos por () (), suponiendo que ninguna de las dos funciones es nula con el fin de obtener soluciones no triviales de la ecuación ()+ () () = ()+ () () como el miembro de la izquierda depende de, mientras que el de la derecha sólo depende de, siendo ambas variables independientes, debe ocurrir ()+ () () = ()+ () () = siendo una constante real. Las dos ecuaciones diferenciales sería ()+ ()+ () = ()+ ()+ () = Las soluciones del mismo serán del mismo tipo, a que es la misma EDO. b) La respuesta es afirmativa, a que si suponemos que = () (), entonces sustituendo en la ecuación = () () = () () = () () = () () = ( () ()) ( () ()) = ( () ()) ( () ()) () () () = () () () () dividiendo por () () () obtenemos () () = () () como el miembro de la izquierda depende de, mientras que el de la derecha sólo depende de, siendo ambas variables independientes, debe ocurrir () () = () () = siendo una cosntante real. Las dos ecuaciones diferenciales sería ()+ () = parala ()+ () = Al dividir por () () () se supone que ninguna de las funciones implicadas es nula o nos daría la solución trivial. Sin embargo si ocurre () =, es decir la función () = R, entonces la EDP admitiría soluciones de la forma ( ) = () siendo un número real () cualquier función de la variable.

8 4. (. puntos) Calcula mediante la definición la transformada de Fourier de la siguiente función: ( 4 [ ] () = [ ] Solución: Aplicamos la definición para poner: Si 6= ( ()) () = Z () = Z 4 = 4 = = = 4 = 8sen Para el caso = la transformada es ( ()) () = () = Z () = Z ( 8sen 6= 6 = 4 =6 5. Dado el siguiente problema de optimización: Optimizar sujeto a ( ) = + sea Ω su conjunto factible. Resuelve cada uno de los apartados: + a) (.5 puntos) Comprueba que todo punto ( ) Ω es regular para las restricciones. b) (. puntos) Encuentra los puntos ( ) Ω que cumplan las condiciones necesarias de Karush-Kuhn-Tucker de primer orden. c) (.5 puntos) Elige un punto de entre los obtenidos en el apartado anterior comprueba si dicho punto cumple las condiciones del Hessiano sobre el plano tangente ampliado (condiciones suficientes de segundo orden). d) (.5 puntos) Con los resultados obtenidos en los apartados anteriores, encuentra las soluciones globales del problema calcula los valores óptimos asociados. Solución: Un análisis inicial permite deducir que el problema tiene solución para ambos objetivos, minimizar maximizar, a que la función objetivo es continua el conjunto factible Ω es compacto (cerrado, porque contiene a la frontera que está expresada mediante igualdades acotado, porque está contenido en una bola de centro ( ) radio, así que por el teorema de Weierstrass existirán tanto el mínimo como el máximo de la función sobre el conjunto. a) Comprobaremos que todos los puntos son regulares. Como ha dos restricciones de desigualdad, tendremos que estudiar qué ocurre con cuando cada una de las restricciones es activa de forma individual también de forma conjunta. Veamos qué puntos pueden ser irregulares, ( ) no es regular ( )= { ( )} linealmente dependiente o ( )= { ( )} linealmente dependiente o ( )= ( )= { ( ) ( )} linealmente dependientes Recordemos que un único vector es linealmente dependiente si sólo si es el vector nulo. ) Caso I: activa es el vector nulo. El gradiente ( )=( ) no se anula nunca, luego no ha puntos irregulares que cumplan este caso. ) Caso II: activa es el vector nulo. El gradiente ( )=( ) no se anula nunca, luego no ha puntos irregulares que cumplan este caso.

9 3) Caso III: son activas { } son linealmente dependientes. ( )= = ( )= + = ( )= ( ) ( ) = ( ) Los puntos puntos en los que están activas las dos restricciones se obtienen del sistema = + = cua solución se obtiene fácilmente despejando = +, de la primera ecuación sustituendo en la segunda + = ( +)+ = = = Luego los puntos son =() =( ) para ellos n = =() ( ) = ( ) = = No ha solución n = =( ) ( ) = ( ) = = No ha solución No ha puntos irregulares que cumplan estas condiciones. De esta forma todos los puntos factibles son regulares. NOTA: También se puede decir que el conjunto es convexo con interior no vacío, es decir, se cumple la hipótesis de cualificación de Slater por tanto todos los puntos son regulares. b) Reescribimos el problema para ponerlo en forma estándar Optimizar sujeto a ( ) = + + siendo ( ) = ( ) = +. Se construe la función Lagrangiana usando multiplicadores ( ) =( + )+ + + se plantean cada una de las condiciones necesarias de primer orden: ) Condición Estacionaria: ) Condición de factibilidad: = + = [] = + + = [] 3) Condición de holgura: + () = = [3] () = + = [4] 4) Condición de signo: Para mínimo Para máximo

10 Ha que resolver el sistema formado por las ecuaciones [], [], [3] [4]: + = + + = = + = A partir de [3] [4] se obtienen cuatro posibles casos: ( = = ( = = = + = = + = Caso I Caso II Caso III Caso IV ) Caso I ( =, =): Sustituendo en [] comprobamos que este caso no puede darse, a que conduce =. ) Caso II =, + = : Sustituendo =en las ecuaciones del sistema obtenemos: + = [5] + = [6] + = [7] De [5] obtenemos el valor de =, que se sustitue en [6] para obtener el valor de =. Este valor se sustitue en [7] para encontrar = 3 4. Tendremos un punto para este caso: µ 3 = 4 =( ) 3) Caso III =, = : Sustituendo =en las ecuaciones del sistema obtenemos: = [8] + = [9] = [] De [8] obtenemos el valor de =, que se sustitue en [9] para obtener el valor de =. Este valor se sustitue en [] para encontrar = 3 4 tendremos un punto para este caso: µ = 3 4 =() 4) Caso IV =, + = : El sistema queda como + = [] + + = [] = [3] + = [4] Sumando [3] [4] + + = = = = ±

11 Y se sustitue estos valores en [3] o [4] para calcular = = = Tendremos dos puntos 3 = ( ) 4 = ( ) Y calculamos sus multiplicadores asociados mediante [] []. Para 3 =() : + = + + = De la primera se obtiene sustituendo en la segunda =+ + + = +(+ )+ = = 3 4 portanto = 3 4 = 4 Para 4 =( ) : + = = De la primera se obtiene de nuevo sustituendo en la segunda =+ = (+ ) = = 4 portanto = 4 = 3 4 Se expone a continuación una tabla resumen con los resultados obtenidos en la resolución del sistema, donde se ha incluido la factibilidad de los puntos el signo de sus correspondientes multiplicadores: P =( ) μ =( ) Factibilidad Signo μ Carácter = 3 4 =( ) SI Negatividad Máximo = 3 4 =() SI Positividad Mínimo 3 =( ) = SI NO - 4 =( ) = SI NO - Los puntos 3 4 son factibles pero no tiene multiplicadores de Karush-Kuhn-Tucker de signo constante, por tanto tampoco cumplen las condiciones del teorema. Los puntos son factibles sus multipllicadores de Karush-Kuhn-Tucker tienen signo constante, en el caso de sería un punto de posible máximo a que, mientrasque sería un punto de posible mínimo puesto que.

12 c) Vamos a comprobar si se cumple la condición del Hessiano en los puntos. Para ello tenemos que construir la matriz ( ) en cada punto considerarla sobre el espacio tangente correspondiente ( ). Comenzamos por definir la matriz en cada punto: (x) = (x)+ (x)+ (x) = = ³ ( + ) Para ( )= ³ ³ + ³ + ³ que es una matriz semidefinida positiva sobre R,portanto cumple las condiciones necesarias de segundo orden para ser máximo. Para ³ ( )= que es una matriz semidefinida positiva sobre R,portanto cumple las condiciones necesarias de segundo orden para ser máximo. Vamos a comprobar si se cumplen las condiciones suficientes. Para necesitamos el espacio tangente ampliado definido usando las restricciones activas no degeneradas en ese punto: µ 3 4 = = 3 µ 3 4 = = sólo es activa la restricción su multiplicador es³ =, por tanto el espacio tangente ampliado estará definido usando el gradiente de esa restricción = f ( ) = ( ) R ( ) ( )= ª = = ( ) R + = ª = {( )} Aplicamos la matriz ( ) a estos vectores: ³ ( ) n ( ) R ³ o ( ) = ³ ³ =( ) = cumple las condicione suficientes. Para necesitamos el espacio tangente ampliado definido usando las restricciones activas no degeneradas en ese punto: µ 3 4 = 4 µ 3 = 4 µ 3 4 = 4 µ + 3 = 3 4 sólo es activa la restricción su multiplicador ³ es =, por tanto el espacio tangente ampliado estará definido usando el gradiente de esa restricción = f ( ) = ( ) R ( ) ( )= ª n = ( ) R ³ o ( ) = = ( ) R = ª = {( )} Aplicamos la matriz ( ) a estos vectores: ³ ( ) cumple las condicione suficientes. ³ ³ =( ) =

13 d) Como se ha comprobado en el apartado a) todos los puntos factibles son regulares, así que es imposible que exista un mínimo o máximo local que no cumpla las condiciones necesarias de primer segundo orden. Como son los únicos puntos que cumplen estas condiciones serán el máximo mínimo del problema respectivamente. Los valores óptimos mínimo máximo de ( ) sobre Ω se obtienen al evaluar la función objetivo en cada uno de ellos Valor Óptimo Mínimo ( )= 3 4 = 4 Valor Óptimo Máximo ( )= 3 4 = 4 Relaciones trigonométricas sen()cos() =sen( )+sen( + ) cos()cos() =cos( )+cos( + ) sen()sen() =cos( ) cos ( + ) () [ ()] () para =! ( ) + Re sin () cos () sinh () cosh () ( ) + Re ( ) + Re ( ) +Re ( ) +Re