Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1

Transcripción

1 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. La erivaa La iea geométrica para introucir el concepto e erivaa e una función f, en un punto a e su ominio, es la e recta tangente a la curva y = f (x) (gráfico e f ) en el punto (a, f (a)). Como caso concreto consieremos la parábola y = x. Esto significa que la función f está efinia por f (x) =x. Cómo efinir la recta tangente a esta curva en el punto (, )? De manera informal poemos pensar en ibujar una recta que toque a la curva exclusivamente en este punto, tal como se aprecia en la figura y x - Para llegar a esta recta se consiera, para caa x 6=, la recta que pasa por (, ) ypor(x, f (x)), cuyapeniente está aa por m x = f (x) f () x = x x Para un x muy próximo e, esta recta secante (e color vere) se aproxima a la recta e color rojo, como se muestra en la figura e la página siguiente. Por esto es razonable pensar que la peniente e la recta roja esté aa por m = f (x) f () lim x x = y así la ecuación e la recta tangente es y = (x ) y = x =lim x x x

2 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. y O 3 4 x En general, se a la efinición e erivaa para una función f : I R, efinia en un intervalo abierto I, enunpuntoa I, comosigue. Definición La erivaa e f en el punto a es el valor el límite f (x) f (a) lim x a x a cuano él existe (como número real). Se enota por f (a). En caso que el límite no exista se ice que la función no tiene erivaa en el punto a, o bien que f no es erivable en a. Así tenemos que f (a) =lim x a f (x) f (a) x a Geométricamente, la erivaa e f en el punto a etermina la peniente e la recta tangente a y = f (x), enelpunto(a, f (a)). La ecuación e esta recta es y f (a) = f (a)(x a) y = f (a)+f (a)(x a)

3 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 3 Ejemplo En el caso e f (x) =x,calculamos f x () = lim x x = Más generalmente, en un punto (a, a ): f (a) = x a lim x a x a = lim (x + a) =a x a lo que nos entrega la erivaa f (a) =a, para cualquier punto a R. Así poemos consierar la función erivaa e f (x) =x,efinia por f (x) =x lo que también se escribe x =x, x R x Observación 3 Cuano una función se representa meiante la fórmula y = f (x) poemos consierar que ésta establece una relación entre la variable inepeniente x y la variable epeniente y. Su función erivaa se enota y x = f (x) para inicar que la variable y se eriva con respecto a la variable x. Ejemplo 4 Calcular la erivaa e la función f (x) = x, x, en caa punto one exista. Según su efinición, ebemos analizar puntos a mayores a cero x a f (a) = lim x a x a x a x + a = lim x a x a x + a = lim = x a x + a a Así, la función erivaa es f (x) =,x>. También se escribe x x ( x)=. x

4 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 4 Con esto poemos encontrar la ecuación e la recta tangente a la curva y = x, en el punto (4, ) : Su peniente es m = f (4) = 4 ylaecuación y = + (x 4) 4 y = 4 x + La curva y su recta tangente se muestran en el siguiente gráfico: y x Ejemplo 5 Quea e ejercicio calcular la erivaa e la función f (x) = mx + b, one m y b son constantes, en caa punto e su ominio. Se ebe obtener la fórmula [mx + b] =m x En particular, [b] =(la erivaa e una función constante es nula) y [x] = x x (la erivaa e la función ientia vale en caa punto). Ejemplo 6 Calcule la erivaa e la función f (x) =sinx. En el punto a =: f () = sin x sin lim x x = sin x lim x x =

5 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 5 En un punto a 6= : f (a) = sin x sin a lim x a x a = sin (a + h) sin a lim h h sin a cosh + cos a sinh sin a = lim h h = lim cos a sinh cosh +sina h h h = cosa (con h = x a) Luego, f (a) =cosa. De lo anterior [sin x] =cosx x Quea e ejercicio encontrar las ecuaciones ³ e las rectas tangentes a la curva 3π y = sinx en los puntos (, ) y,. La gráfica e la curva y estas rectas 4 tangentes se muestrar a continuación: y x - También quea e ejercicio obtener la fórmula [cos x] = sin x x Observación 7 Enelcálculoelaerivaaelafunciónseno,enunpuntoa 6=, seusólasustituciónh = x a para obtener f (a) = f (x) f (a) lim x a x a = f (a + h) f (a) lim h h

6 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 6 Lososlímitesanterioressepueenusarenlaefinición e la erivaa e f en el punto a. Ejemplo 8 Para la función f (x) = x, setiene f x () = lim x x,noexiste La gráfica e y = x no tiene recta tangente en (, ), como seve enlafigura: y x - Cuánto vale f ()? Ejemplo 9 Calcule la erivaa e f (x) = 3 x = x /3. En a 6= : En a =: Por lo tanto, f (a) = x /3 a /3 lim x a x a = u a /3 lim u a /3 u 3 a = u a /3 lim u a /3 (u a /3 )(u + a /3 u + a /3 ) = 3a /3 f x /3 () = lim x x x = lim =+,noexiste x x/3 x /3 =,parax 6= 3x/3 La gráfica muestra que en este caso la recta tangente en (, ) es vertical

7 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 7 y O 3 4 x El siguiente importante teorema establece la relación entre los conceptos e continuia y erivabilia. Teorema Sea f : I R. Setiene: f erivable en a f continua en a. Dem. Suponieno que f (a) existe, se sigue lim [f (x) f (a)] x a = f (x) f (a) lim x a x a = f (a) = (x a) lo que muestra que lim x a f (x) =f (a). Osea,f es continua en a. Observación Esclaroqueelrecíprocoelteoremanoesválio.Bastaconsierarcomocontraejemploalafunciónf (x) = x, que es continua en, peronoes erivable en. También puee ser útil consierar el contrarecíproco (válio) f no continua en a. f no erivable en a. Una vez calculaas las erivaas e las funciones más elementales, meiante la efinición, veremos algunas reglas e erivación que nos permitirán calcular erivaas e otras funciones.. Reglas e erivación.. Algebra e erivaas Elprimerteoremainicacómocalcularlaerivaaeunasuma,unprouctopor escalar, una multiplicación y un cuociente e os funciones erivables, por esto lo llamamos álgebra e erivaas.

8 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 8 Teorema Sean f,g : I R os funciones efiniasenunintervaloabiertoi, que tienen erivaas en un punto a I. Se tiene entonces que: f + g, cf, f g y f g tienen erivaa en a con.- (f + g) (a) =f (a)+g (a)..- (cf) (a) =cf (a). 3.- (f g) (a) =f (a) g (a)+f (a) g (a). ³ 4.- f g (a) = f (a) g (a) f (a) g (a) g (a),siemprequeg (a) 6=. Dem. Para.- Para 3.- (f + g) (f + g)(x) (f + g)(a) (a) = lim x a x a f (x) f (a) g (x) g (a) = lim + x a x a x a f (x) f (a) g (x) g (a) = lim +lim x a x a x a x a = f (a)+g (a) (f g) (a) = (f g)(x) (f g)(a) lim x a x a = f (x) g (x) f (a) g (a) lim x a x a = f (x) g (x) f (x) g (a)+f (x) g (a) f (a) g (a) lim x a x a = g (x) g (a) f (x) f (a) lim f (x) +limg (a) x a x a x a x a = f (a) g (a)+g(a) f (a) El y el 4 quean e ejercicio (el 4 sólo para los mejores). Aplicaciones el teorema Ejemplo 3 Ya vimos anteriormente que [x] = y x aplicar la propiea 3 para eucir x 3 = x x = x x + x x x x = (x) x + x =3x x [x ] = x. x [x] Aplicanoinucciónmatemáticaylapropiea3semuestraque, n N : x [xn ]=nx n Poemos

9 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 9 y por la propiea x [c xn ]=ncx n Por ejemplo, x [5x4 ]=x 3. Ejemplo 4 Ahora poemos usar la propiea para calcular x 7 +3x 4 = x 7 + 3x 4 x x x = 4x 6 +x 3 x 7 +3x 4 5x = x 7 +3x 4 + x x x = 4x 6 +x 3 x 5x El cálculo en el ejemplo anterior muestra la posibilia e generalizar (por inucción) las propieaes y el teorema, para encontrar la erivaa e una combinación lineal e funciones erivables. Esto es, si f,f,..., f n son funciones erivables en el punto a y c,c,..., c n son constantes, entonces la combinación c f + c f c n f n es una función erivable en a con x [c f (x)+c f (x) c n f n (x)] = c x [f (x)] + c x [f (x)] c n x [f n (x)] En particular para un polinomio an x n a x + a x + a = nan x n a x + a x Por ejemplo, x 5 +7x 4 + πx 3 x + = x 4 +8x 3 +3πx x x Ejemplo 5 Conocieno las erivaas e las funciones seno y coseno, poemos obtener la erivaas e las 4 restantes funciones trigonométricas: Usano la regla el cuociente sin x [tan x] = x x cos x [sin x]cosx sin x [cos x] x x = cos x = cos x +sin x = cos x cos x = sec x en el ominio e la función tangente, esto es x R : x 6= π +nπ, one n Nª.

10 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. Quea e ejercicio obtener las erivaas [sec x] x = secx tan x [cot x] x = csc x cot x x [csc x] = cot x Ejemplo 6 Usano la regla el cuociente calcularemos la erivaa e funciones e la forma f (x) =x n,conn N,efinia para x 6=. x x n Note que esta fórmula correspone a = [] x xn x [xn ] x n = nxn x n x n = nx n x = nx n que es la misma regla para calcular la erivaa e una potencia con exponente natural. Por lo tanto, poemos escribir n Z : x [xn ]=nx n Como ejemplos tenemos: x [x 5 ]= 5x 6, x x = 9 9 x Una observación interesante es notar que la regla e erivación anterior también rige para las funciones raíz cuaraa y raíz cúbica, como se eujo anteriormente x = x / = x x x = x / 3 x = x /3 = x x 3 x 3 = 3 x /3 Se puee probar (no lo haremos) que esta regla también vale para raíces e cualquier ínice. Esto es, n N : n x = x /n = x x n x n para ínice par, la fórmula vale para x> y para ínice impar, vale para x 6=.

11 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC... Regla e la caena Problema.- Es posible, con las reglas el teorema anterior, obtener la erivaa e la función h (x) =(x 4 +) 666? Con mucha paciencia, poemos recurrir al teorema el binomio, para expanir esta fórmula a un polinomio e grao = 664, el cual tiene 667 sumanos, y erivar término a término. Es emasiao largo! La alternativa es consierar que la función h se puee obtener como la compuesta e os funciones más elementales. En efecto, con f (x) =x 4 +y ψ (x) =x 666 se tiene (ψ f)(x) =ψ (f (x)) = ψ x 4 + = x O sea, h = ψ f,one sabemos erivar f y ψ. El teorema siguiente, llamao regla e la caena inica cómo calcular la erivaa e una compuesta e os funciones erivables. Teorema 7 Sean f : I R y g : J R os funciones erivables, con f (I) J. Entonces la función compuesta g f es erivable con Dem. Para a I : x [g (f (x))] = g (f (x)) f (x) (g f) (a) = lim x a g (f (x)) g (f (a)) x a g (f (x)) g (f (a)) = lim x a f (x) f (a) f (x) f (a) x a g (f (x)) g (f (a)) f (x) f (a) = lim lim x a f (x) f (a) x a x a g (y) g (f (a)) = lim y f(a) y f (a) g (f (a)) f (a) lim x a f (x) f (a) x a Esta emostración requiere que f (x) 6= f (a) para too x próximo e a, x 6= a. Una importante interpretación e la regla e la caena se tiene al consierar las funciones f y g como relaciones entre una variable inepeniente y una variable epenientecomoseinica: z = g (y), y = f (x)

12 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. Al componer g f se obtiene una relación entre x y z el tipo z = g (f (x)) Las erivaas z y = g (y), y x = f (x) y z x =(g f) (x) verifican Aplicaciones el teorema z x = z y y x Ejemplo 8 Retomano el problema planteao al comienzo, calculamos la erivaa e h (x) =(x 4 +) 666. Con f (x) = x 4 + y g (x) = x 666 tenemos: h = g f, f (x) = 4x 3 y g (x) =666x 665. Luego aplicano la regla e la caena Ejemplo 9 Calcular x h (x) x [g (f (x))] = g (f (x)) f (x) = 666 x x 3 x = 664x 3 x x6 +5 h (3x 6 +5) /i = (3x6 +5) / (8x 5 )= Ejemplo Calcular [sin x (x3 )], x sin 3 x [sin x (x3 )] = cos (x 3 )[3x ] sin 3 x =3sin x cos x x 9x 5 3x6 +5 Ejemplo Calcular x [cos3 (3x 4 +)] En este caso se tiene la compuesta e tres funciones k g f y la regla e la caena quea x [k (g (f (x)))] = k (g (f (x))) g (f (x)) f (x) Por lo tanto, x [cos3 (3x 4 +)]=3cos (3x 4 +) [ sin (3x 4 +)] [x 3 ] Ejemplo Calcular x [xr ], one r es un número racional.

13 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 3 Poemos escribir r = p con p, q enteros y q>. Se tiene entonces la compuesta q (x p ) /q y por regla e la caena x p/q = x q (xp ) q px p Luego, cuano r es racional = p q x p q x [xr ]=rx r Por ejemplo, x x 4/5 = 4 5 x /5,váliaparax 6=.. Derivaas e oren superior Si tomamos la función polinomial f (x) =5x 4 x 3 + x +7x 6 sabemos que su erivaa está aa por g (x) =f (x) =x 3 6x + x +7 y la función g también tiene erivaa aa por g (x) =6x x + A esta última, que correspone a la erivaa e la función f, se le llama seguna erivaa e f. Más formalmente, amos la siguiente efinición. Definición 3 Sea f : I R una función con erivaa f : I R. Enunpunto a I se efine la seguna erivaa e f en a por f f (x) f (a) (a) = lim x a x a cuano este límite existe. Es claro que f (a) es la erivaa e f en el punto a y, en consecuencia, para calcular f (a) se porán usar las reglas e erivación, según correspona. En forma inuctiva, si la erivaa e oren n e f, enotaaf (n ), existe en el intervalo I, seefine la erivaa e oren n en el punto a por f (n) f (n ) (x) f (n ) (a) (a) =lim x a x a cuano este límite existe. Para referirse a éstas se habla e erivaas e oren superior e f.

14 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 4 Ejemplo 4 Calcular las erivaas e oren superior e f (x) =5x 4 x 3 + x + 7x 6 x R : f (x) = x 3 6x + x +7 f () (x) = 6x x + f (3) (x) = x f (4) (x) = f (n) (x) =,paratoon 5 Ejemplo 5 Calcular las erivaas e oren superior e f (x) =sinx Aquí se tiene, x R : f (x) = cosx f () (x) = sin x f (3) (x) = cos x f (4) (x) = sinx... Como la cuarta erivaa resultó igual a la función, e ahí en aelante se vuelve a repetir el ciclo. Así por ejemplo f (7) (x) =? Ejemplo 6 Calcular las erivaas e oren superior e f (x) =x 5/3 Se tiene: f (x) = 5 3 x/3, x R f () (x) = 9 x /3, x 6= Note que existe f (),peronoexistef () () f (3) (x) = 7 x 4/3, x 6= etc. Ejemplo 7 Calcular la erivaa e seguno oren e ½ x f (x) = sin x si x 6= si x =

15 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 5 x 6= : f (x) =x sin x cos x y f x sin () = lim x x xµ = lim x sin x x = Ahora, x 6= :f () (x) =sin x cos x x sin x x ycomof no es continua en ( por qué?), f () () no existe..3 Interpretación física e la erivaa Vamos a estuiar el movimiento e un móvil sobre una línea recta L (movimiento rectilíneo), entenieno que caa punto sobre L está representao por un número real. De este moo, en caa instante t, la posición el móvil sobre L está eterminaa por un número real x (t). Esto correspone a escribir el movimiento meiante una función x :[a, b] R,t7 x (t) llamaa función posición. Para que la siguiente iscusión sea más simple e entener, suponremos que el móvil se esplaza e izquiera a erecha sobre L. En el intervalo e tiempo [t,t] se efine la velocia meia por v M = x (t) x (t ) t t = istancia recorria tiempo transcurrio x(to) x(t) x Este concepto correspone sólo a una velocia promeio en un intervalo e tiempo. Por ejemplo, si el móvil recorre metros en 5 segunos, su velocia meia fue e mts Km o 7. Si se tratara e un automovil sabemos que la meición seg h e su velocímetro poría haber cambiao urante esos 5 segunos (por ejemplo, parte el reposo y alcanza rápiamente una velocia e Km ). De qué manera h quea entonces efinia la velocia instantánea que marca el velocímetro en caa instante?

16 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 6 La iea básica es que, consierano el instante t fijo,parauntiempoposteriort muy poco mayor que t,elintervalo[t,t] es muy pequeño y por tanto su velocia casi no cambia, lo que permite consierar la velocia en t practicamente igual a la velocia meia en [t,t]. Esto hace razonable efinir la velocia instantánea en t por v (t )=lim t t x (t) x (t ) t t que es simplemente la erivaa e la función posición en el instante t. Así, erivano la función posición se obtiene la velocia instantánea v (t) =x (t) Un razonamiento similar permite pasar el concepto e aceleración meia al e aceleración instantánea, aa por la erivaa e la función velocia. Esto es, a (t) =v (t) =x (t) y la aceleración es la seguna erivaa e la función posición. Ejemplo 8 La caía libre e un cuerpo (en el vacío), ese una altura h ycon una velocia inicial igual a v, está moelaa por la función altura h (t) =h + v t g t one g =9.8 mt es la aceleración e gravea. seg En el caso que el cuerpo se eje caer ese una altura h se tenrá que v = yportanto h (t) =h 4.9t Problema.- Un cuerpo se eja caer en el vacío ese una altura e mts. Determine cuánto tiempo emora en llegar al suelo y la velocia con que choca contra el suelo. Observación 9 La interpretación física el concepto e erivaa como velocia instantánea puee ser generalizaa en el sentio siguiente: Como hemos visto la función f establece una relación entre la variable inepeniente x ylavariable epeniente y atravéselaecuación y = f (x)

17 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 7 Con respecto a esta relación, la erivaa y x = f (x) se interpreta como la razón e cambio e la variable y con respecto a x. También se usa el término tasa e cambio e y con respecto a x. Por ejemplo, el área e un círculo es función e su raio según La erivaa e esta función es A = πr A r =πr Cuano r es pequeño, laerivaa A es pequeña, luego un incremento en r prouce r un pequeño aumento el área. Cuano r es grane, laerivaa A es grane, luegoelmismoincrementoenr r prouce un gran aumento el área..4 Derivación implícita El concepto e erivaa se efinió para una función f e moo que para y = f (x) se tiene y x = f (x) Sin embargo hay situaciones en las cuales se tiene una ecuación e la forma R (x, y) = la cual, globalmente, sólo efine una relación entre las variables x e y y no una función el tipo y = f (x).. Consiere por ejemplo la ecuación x + y = cuya gráfica es la circunferencia unitaria. Ella efine sólo una relación, lo que quea eterminao por el hecho que existe una recta vertical cortano a la curva en más e un punto (os, en este caso).

18 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 8.5 y x ³ Al consierar un punto sobre esta curva, como por ejemplo. 3, yunpequeño círculo con centro en este punto, el arco e circunferencia unitaria en el interior e este círculo correspone al gráfico e una función e la forma y = f (x) y x Por esto se ice que la ecuación x + y =efine ³ implícitamente a la variable y como función e la variable x, alreeor el punto. 3. Debe consierarse que esta es una propiea e carácter local en este punto. Ahora, si aemás suponemos que la función f es erivable, poemos escribir y erivar con respecto a x para obtener x +[f (x)] = x +f (x) f (x) = yespejar f (x) = x f (x)

19 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 9 Esta ³ fórmula permite encontrar la ecuación e la recta tangente a la curva en el punto, 3, cuya peniente es µ m = f = / 3/ Así la ecuación está aa por y = 3 3 = µ x 3 Este métoo para calcular la erivaa e la función (esconocia) y = f (x) se llama erivación implícita. Se efectúa en forma más irecta partieno e la ecuación x + y = y erivano implícitamente con respecto a x: x +y y x = yasí y x = x y (note que y ebe ser istinto e cero). Una observación interesante en este sencillo ejemplo es consierar que en la ecuación e la circunferencia poemos espejar y = x y = x y = x y como el punto consierao está en la semicircunferencia superior la función f es f (x) = x, lo que nos permite erivar (explícitamente) f (x) = x / ( x) = x x y obtener el mismo resultao encontrao en forma implícita. Esto ocurre porque la ecuación es lo suficientemente simple para permitir espejar y como función e x. Casos más interesantes e uso el proceso e erivación implícita se muestran en los siguientes ejemplos.

20 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. Ejemplo 3 Encontrarlaecuaciónelarectatangentealacurva 3 x + y =xy en el punto (3, ). Note primero que el punto inicao efectivamente satisface la ecuación. Se eriva implícitamente la ecuación, con respecto a x para obtener yseespeja y x 6 x + y µ x +y y x x x + y +y x + y y x y x = y x (x + y ) y (x + y ) x = y +x y x = y +xy x Ahora calculamos la erivaa en (3, ) para obtener la peniente m = 36 () () 3 = 3 9 y la ecuación e la recta tangente en (3, ) : y = 3 9 (x 3) Lemniscata Ejercicio Encontrar la recta tangente a la curva x 3 + y 3 6xy =en el punto 4, Esta curva se llama Folio e Descartes.

21 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. Usano erivación implícita es posible obtener la fórmula para la erivaa e las funciones trigonométricas inversas, siempre que aceptemos que estas funciones son erivables. Por ejemplo, para la función arco tangente: i arctan : R π, π h x 7 arctan x es la inversa e la restricción tan : i π, π h R luego se tiene x R, x i π, π h : y = arctan x x =tany y erivano implícitamente, la ecuación e la erecha, con respecto a x, quea = sec y y x y x = sec x = = Así, la erivaa e arcotangente es x + tan x + [arctan x] = x x +, x R Los siguientes gráficos corresponen a tangente (negro) y arcotangente (azul). La recta y = x (vere)essólopararecorarlarelaciónesimetríaelososgráficos. - - x - -

22 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. Recuere también el comportamiento asintótico e estas curvas lim x π = + (x = π es asíntota vertical) lim x π + = (x = π es asíntota vertical) lo que se trauce para su inversa a lim x + = π (y = π es asíntota horizontal) lim x = π (y = π es asíntota horizontal) Ejercicio Quea e ejercicio eucir e la manera anterior las erivaas e las otras funciones trigométricas inversas, principalmente arcoseno y arcocoseno..5 Variaciones relacionaas. Entenieno que la erivaa y e la función y = f (x) representa una tasa e x cambio o variación e la variable y con respecto a la variable x, poemos estuiar un tipo e problemas, principalmente el ámbito e la física, que analizan estas variaciones. A manera e ejemplo introuctorio consiere el siguiente problema. Un globo e forma esférica se infla, meiante un compresor, e manera que su volumen y su raio están aos, respectivamente, por las funciones t 7 V (t) t 7 r (t) one la variable t representa el tiempo. Las os variables V y r epenen el tiempo. Porotrolao,sabemosqueelvolumeneunaesferasecalculaapartiresu raio meiante la fórmula V = 4 3 πr3 lo que inica que el volumen es función el raio. Esto permite escribir V (t) = 4 πr (t)3 3 Si se eriva esta relación, con respecto a t, se obtiene V t (t) =4πr (t) r t (t)

23 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 3 que es una relación entre las variaciones V y r. Conocia una se puee calcular t t la otra. Pregunta.- Si el globo se infla arazóne4 lts, con qué rapiez crece su raio min (se expane) cuano éste es e cm.? Si el globo se infla emooquesuvolumenaumentaarazóne4 lts min =4cm3 min Poemos calcular la variación e su raio e la fórmula r t (t) = V (t) t 4πr (t) = πr (t) Portanto,enelinstantet para el cual r (t )=cm. r t (t )= cm =3.8 π min Observación 3 Otra manera e entener este proceimiento es: Si el volumen epene el raio y el raio epene el tiempo, entonces el volumen epene el tiempoylareglaelacaenaestableceque V t V t = V r r t = 4πr r t Observación 3 Toos los problemas enominaos e variaciones relacionaas tienen en común el hecho que a partir e una relación entre os funciones, erivano, se obtiene una relación entre sus variaciones (erivaas). Lossiguientesejemplosilustranesteestuio. Ejemplo 33 Una piera se eja caer sobre un estanque en reposo y prouce onas circulares concéntricas. El raio r e la ona exterior crece a una tasa constante e 3 cm/seg. Cuano su raio es cm. A qué ritmo está crecieno el área total A e la zona perturbaa? El área el círculo e raio exterior r está aa por A (r) =πr Ahora si el raio r yeláreaa el círculo están cambiano en el tiempo, ellos están eterminaos por funciones t 7 r (t) t 7 A (t)

24 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 4 relacionaas por A (t) =πr (t), y luego sus erivaas (variaciones) están relacionaas por A t (t) =πr (t) r t (t) Aemás, como se sabe que r t (t) =3, t ;enelinstantet para el cual r (t ) = se tenrá A t (t ) = π () 3 = 7π = cm seg Ejemplo 34 Unaviónquevuela(horizontalmente)a8km. ealturapasajusto sobre una antena e raar. Cuano el avión está a 5 km. e la antena, el raar etecta que la istancia está cambiano a razón e 35 km/h. Cuál es la velocia el avión?.6 La Diferencial Ahora volvemos al estuio e la erivaa, explicano en mayor profunia el concepto e recta tangente. Consiere una función f erivable en el punto a. Se tiene : lim x a f (x) f (a) lim x a x a f (x) f (a) lim f (a) x a x a f (x) f (a) f (a)(x a) x a = f (a) = = ysihacemosg (x) =f (a)+f (a)(x a), notano que la gráfica e g es la recta que pasa por (a, f (a)) y tiene peniente f (a) (anteriormente efinia como recta tangente al gráfico e f en el punto (a, f (a)) ), entonces la conición anterior se escribe f (x) g (x) lim = x a x a

25 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 5 De acuero a la efinición e límite tenemos: ao ε >, δ > tal que x : f (x) g (x) < x a < δ < ε x a f (x) g (x) < ε x a Como esta conición es vália para too ε > (piense por ejemplo en ε = ), vemos que suficientemente cerca e a, la iferencia f (x) g (x) es muchísimo más pequeña que x a. Esto justifica la aproximación f (x) g (x) =f (a)+f (a)(x a) vália cercael puntoa. Esta aproximación también puee escribirse e interpretarse como f (x) f (a) f (a)(x a) y f (a) x one x = x a y y = f (x) f (a) son las variaciones en x e y (y = f (x)) respectivamente. Recuere también que f (a) y x y x=a =lim x a x y f'(a ) x x Tenieno en cuenta las aproximaciones anteriores se efine la aplicación f a : R R f a (h) =f (a) (x a) Su gráfica es la recta que pasa por el origen y tiene peniente f (a) (es paralela a la recta tangente a y = f (x) en (a, f (a)) ). Esta aplicación se enomima la iferencial e f en al punto a yverifica f (x) f (a) f a (x a) obien, f (x) f (a)+f a (x a)

26 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 6 Ejercicio 3 Se esea pintar el exterior e una cúpula semiesférica e raio mts., con una capa e pintura e, 5 cm. e espesor. Use la iferencial para aproximar la cantia e pintura que se necesita. Lafórmulaparacalcularelvolumeneunasemiesferaeraior es V (r) = 3 πr3 Luego la cantia exacta e pintura estará aa por y se aproxima por el valor V (, 5) V () V () (, 5) one V (r) =πr. Así entonces, la cantia aproximaa es π () (, 5) = 4π = cm 3 Esta aproximación la comparamos con el valor exacto 3 π (.5)3 3 π ()3 = 4π = cm 3 Máximos y mínimos. Introucción Problema.- Con un trozo cuarao e cartón, e,5 mts. e lao, se construye una caja rectangular como se inica: en caa esquina se corta un cuarao el mismo tamaño y se pliegan las aletas sobrantes en caa lao. La siguiente figura muestran el proceso cuano en caa esquina se cortan cuaraos e lao x cm.:

27 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 7 Es claro que el volumen (tamaño) e la caja epene el valor e x. Se presenta entonces el problema e encontrar qué valor e x etermina el mayor volumen. Para esto se calcula el volumen e la caja anterior y se encuentra la función V (x) =x (5 x) Los valores amisibles para x serán naturalmente: < x < 75. Sinembargo también poemos consierar x =y x =75corresponieno a casos extremos en que el volumen e la caja es nulo. De este moo, la función y su ominio son V (x) =4x 3 6x + 5x, x 75 Nuestro problema ahora es, encontrar x [, 75] tal que x [, 75] : V (x ) V (x) Este punto x,seenominarámáximo absoluto e V en el intervalo [, 75]. Al hacer un análisis en la gráfica e la función y.5e+5 e+5.5e+5 e+5 5e x puee apreciarse que ella tiene un punto e máximo absoluto entre y 3. Aemás en este punto la erivaa es nula porque la recta tangente es horizontal. Note que estas conclusiones se han obtenio mirano la gráfica e la función. Ejercicio 4 Resolver la ecuación V (x) =y encontrar las imensiones e la caja e mayor volumen que se puee construir como se inicó en el problema. Aemás etermine el volumen e esta caja. El principal soporte teórico para resolver el problema anterior es el teorema enominao e los valores extremos: Teorema 35 Si f :[a, b] R es continua, entonces existen x,x [a, b] tales que x [a, b] :f (x ) f (x) f (x )

28 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 8 x y x se llaman, respectivamente, puntos e mínimo y e máximo absolutos para f,enelintervalo[a, b] y los valores asumios por f en estos puntos, f (x ) y f (x ) se llaman valores extremos. El teorema garantiza su existencia, pero no inica cómo encontrarlos. Ejercicio 5 En relación a las hipótesis (necesarias) en el teorema, quea e ejercicio iscutir la existencia e los valores extremos e f para los siguientes casos: f (x) = x, con <x función continua sobre un intervalo acotao, pero no cerrao. ½ x si x< f (x) = x si x función no continua sobre un intervalo cerrao y acotao.. Máximos y mínimos relativos Comenzaremos estuiano el problema e los puntos extremos (máximos y mínimos) en un sentio local. Definición 36 Sea f : I R efinia en un intervalo abierto I. ) Se ice que x esunpuntoemínimorelativoparaf cuano existe un δ > tal que x (x δ,x + δ) :f (x ) f (x). ) Se ice que x esunpuntoemáximorelativoparaf cuano existe un δ > tal que x (x δ,x + δ) :f (x) f (x ). Como el δ > puee ser muy pequeño, las imágenes f (x) se comparan con f (x j ) sólo para x en una (pequeña) vecina el punto x j. Esto hace que el concepto e extremos relativos sea e carácter local (no global). Lossiguientesgráficos muestran algunos puntos e extremos relativos que no son extremos absolutos y x -. -.

29 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 9 y x -.5 Enseguia veremos qué caracteristicas tiene un punto extremo relativo cuano la función f es erivable en este punto. Teorema 37 Si f es erivable en x y f (x ) 6=,entoncesx no es un punto extremo relativo. Dem. Supongamos f (x )=a>. Como existe δ > tal que yluego f f (x) f (x ) (x )= lim = a x x x x x : x (x δ,x + δ) f (x) f (x ) x x > x (x δ,x ) f (x) <f(x ) x (x,x + δ) f (x) >f(x ) lo que muestra que x no es un extremo relativo. El contrarecíproco e este teorema (también veraero) es: Corolario 38 x extremo relativo e f f (x )= f (x ) no existe. En virtu e este resultao se efine el concepto e punto crítico Definición 39 Para f efinia en el intervalo abierto I, x I es punto crítico e f cuano f (x ) no existe, o bien, f (x )=

30 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 3 Con esto el corolario quea x extremo relativo e f x punto crítico e f y así el conjunto e extremos relativos e una función es subconjunto el conjunto e puntos críticos. Es posible que en un extremo relativo e f la función no tenga erivaa. Por ejemplo, para f (x) = x, x =es un mínimo relativo y f () no existe (recorar la gráfica e y = x ). Debe observarse que, en el caso e estuiar una función erivable, la eterminación el conjunto e puntos críticos se obtiene resolvieno la ecuación f (x) = También es importante notar que un punto crítico puee ser máximo relativo, mínimo relativo,o incluso puee no ser un extremo relativo. Quea e ejercicio encontrar toos los puntos críticos e la funciones inicaas y analizar su naturaleza: f (x) =x, g (x) = x, h (x) =x 3. El último ejemplo muestra que, en general x punto crítico e f ; x extremo relativo e f La iscusión anterior nos inica que una vez encontrao el conjunto e puntos críticos ebe aplicarse algún criterio para eciir cuáles e ellos son máximos o mínimos relativos y cuáles no son extremos relativos. Este criterio aparece como consecuencia e uno e los resultaos más importantes el cálculo iferencial, conocio como Teorema el valor meio..3 Teorema el valor meio Una primera versión e este teorema es el llamao teorema e Rolle que se enuncia acontinuación. Teorema 4 (e Rolle).- Sea f :[a, b] R. Si f es continua en [a, b], erivable en too punto el intervalo ]a, b[ yaemásf (a) =f (b), entonces c ]a, b[ tal que f (c) =. Dem. Si f es constante, no hay naa que emostrar.( por qué?) En caso contrario, aplicamos teorema e los valores extremos a f (continua) sobre el intervalo [a, b] yescojemosc ]a, b[ un punto extremo absoluto y relativo. Como f es erivable en c, se ebe tener f (c) =.

31 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 3 Obs.- Dibuje a su antojo una gráfica e C : y = f (x), curva continua y suave con f (a) =f (b), y convénzase que ebe haber al menos un punto one la recta tangente es horizontal. Teorema 4 (el valor meio).- Sea f :[a, b] R. Si f es continua en [a, b] y erivable en too punto el intervalo ]a, b[, entonces c ]a, b[ tal que f f (b) f (a) (c) = b a Dem. SeaplicateoremaeRollealafunción h (x) =f (x) f (a) f (b) f (a) b a (x a) f (b) f (a) Observación.- El cuociente correspone a la peniente e la recta que b a pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)). Luego,elteoremainicaqueenalmenos un punto e la gráfica e y = f (x) la recta tangente es paralela a la recta anterior. A moo e ejemplo consiere la gráfica e y =sinx, en el intervalo [, π/]. Encuentre el punto c ao por el teorema el valor meio. y x Otra interpretación interesante, ese el punto e vista físico, se a cuano la función x :[a, b] R, t 7 x (t) correspone a la función posición para el movimiento x (b) x (a) e un objeto sobre una línea recta. En este caso el cuociente es la b a velocia meia en el intervalo consierao y el teorema el valor meio inica que, en algún instante t la velocia instantánea x (t ) coincie con la velocia meia..4 Aplicaciones el Teorema el valor meio Los siguientes resultaos son toos consecuencias el teorema el valor meio.

32 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC Antierivaas Teorema 4 Sea f efinia en el intervalo I. x I : f (x) = x I : f (x) =C (o sea, f es constante) Dem. Sean a, b I, cona<b, cualquier par e puntos. Se aplica TVM a f sobre el intervalo [a, b] yseconcluyeque c I tal que f (b) f (a) = f (c) = b a yluegof (a) =f (b), loquemuestraquef es constante sobre I. Corolario 43 Sean f,g efinias en el intervalo I. x I : f (x) =g (x) x I : f (x) =g (x)+c (o sea, f ifiereegenuna constante) Dem. Se aplica teorema anterior a la función h (x) =f (x) g (x). Definición 44 Daa una función f sobre un intervalo I, se ice que F es una antierivaa e f cuano x I : F (x) =f (x). Por ejemplo, una antierivaa e la función f (x) =x es la función F (x) = 3 x3,x R. El teorema anterior ice que toas la antierivaas e la función nula (sobre un intervalo) son las funciones constantes. El corolario establece que conocia una antierivaa F e la función f, sobre un intervalo I, entonces toas las otras antierivaas e f son e la forma F (x)+c, con C R. Así entonces, toas las antierivaas e f (x) =x son las funciones 3 x3 + C, conc R. Una aplicación física e este resultao se tiene en el estuio el movimiento rectilíneo uniformamente acelerao: cuano un objeto se mueve sobre una línea recta con aceleración constante a, entonces para la función posición t 7 x (t) se tiene: x (t) =a v (t) =x (t) =at + C one la constante C se etermina evaluano en el instante inicial t =, con C = v () = v : velocia inicial. Así, v (t) =x (t) =v + at yluego x (t) =v t + at + D con D = x () = x : posición inicial. Por lo tanto, la posición sobre la línea recta estáaapor x (t) =x + v t + at

33 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC Monotonía Teorema 45 Sea f efinia en el intervalo abierto I. a) x I : f (x) > f es estrictamente creciente en I. b) x I : f (x) < f es estrictamente ecreciente en I. Dem. Basta iscutir la emostración en el caso a). Supongamos entonces que f (x) > en too el intervalo I y elijamos os puntos a, b I con a<b. Al aplicar el TVM a f sobre [a, b] ( se cumplen coniciones e hipótesis?) se tiene que existe c (a, b) tal que f (b) f (a) b a = f (c) > Luego f (b) f (a) > yasíf (a) <f(b) ;loquemuestraquefesestrictamente creciente Quea e ejercicio analizar qué conclusión se obtiene si la hipótesis en a) se reemplaza por: x I : f (x). En forma resumia el teorema ice que el signo e f, en un intervalo, etermina si la f crece o ecrece (una propiea e la función f ). Ejemplo 46 Sea f (x) =3x 4 4x 3,x R. Determine: a) los puntos críticos e f. b) intervalos one f crece y one ecrece. Deuzca e lo anterior la naturaleza e los puntos críticos. x R : f (x) =x 3 x =x (x ). Luego f (x) = x = x = y hay os puntos críticos. Aemás, x x ++ f (x) ++ & & % Luego, f ecrece (estrictamente) en el intervalo (, ) y en el intervalo (, ). Sieno aemás f continua en toa la recta, se concluye que f es estrictamente ecreciente en el intervalo ], ]. También se obtiene que f es estrictamente creciente en el intervalo [, + [. Se puee eucir entonces que x =es un mínimo relativo y x =no es extremo relativo.

34 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 34 Con la información obtenia en el ejemplo anterior intente un esbozo para la gráfica e y =3x 4 4x 3. Un razonamiento importante en el ejemplo anterior fue el análisis sobre la naturaleza e los puntos críticos e la función a partir e la tabla e signos e su erivaa. Más precisamente, a la izquiera e la erivaa es negativa (entre y ) y a la erecha e la erivaa es positiva. Diremos que f cambia e a + en x cuano existe δ > tal que: x : x δ <x<x f (x) < y x : x <x<x + δ f (x) >. Cuáno iremos que f cambia e + a en x? Con esto poemos enunciar, como consecuencia el teorema anterior, el llamao criterio e la primera erivaa para puntos críticos: Corolario 47 Sea f una función continua en el punto x. a) f cambia e a + en x x es un mínimo relativo e f. b) f cambia e + a en x x es un máximo relativo e f. Lo inicao por el corolario es intuitivamente claro, cuano f es continua en x : que f sea ecreciente a la izquiera e x y creciente a la erecha (caso a) etermina obviamente que x es un mínimo relativo. Sin embargo, es importante que construya un ejemplo e una función no continua en un punto x, one no se cumpla la implicación a) el corolario..4.3 Concavia Otro aspecto importante a consierar al graficar una función es la formacomose curva la gráfica y se estuiará meiante el concepto enominao concavia. Es una propiea que se efine en un punto e la gráfica y tiene que ver con la iea simple e si la curva se obla hacia arriba o hacia abajo. Las siguientes os curvas ilustran los casos e: concavia hacia arriba y concavia hacia abajo. y y x x cóncavo hacia arriba cóncavo hacia abajo En el caso e una función erivable, esta propiea está eterminaa por la posición relativa e la gráfica con respecto a su recta tangente. Es claro que, en

35 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 35 el caso e la concavia hacia arriba la recta tangente en el punto quea situaa por ebajo e la gráfica (a lo menos alreeor el punto e tangencia). Se tiene entonces: Definición 48 Sea f : I R erivable en x. Se ice que el gráfico e f es cóncavo hacia arriba en el punto (x,f(x )) si para too x próximo e x : f (x) f (x )+f (x )(x x ) Aemás se ice que el gráfico e f es cóncavo hacia arriba en el intervalo I cuano éste es cóncavo hacia arriba en too punto corresponiente a este intervalo. La concavia hacia abajo se efine cambiano por en la esiguala anterior. El criterio para eterminar concavia e un gráfico en un intervalo está ao en el siguiente Teorema 49 Sea f : A R e I un intervalo, I A. a) x I : f (x) graf(f) es cóncavo hacia arriba en I. b) x I : f (x) graf(f) es cóncavo hacia abajo en I. Dem. Comentaremos sólo la emostración e la parte a): Como f, se sigue que f es una función creciente. Por otro lao, según el TVM, para x fijo: ao x existe t x entre x y x tal que luego para x>x se tiene t x >x y f (x) f (x ) x x = f (t x ) f (x) f (x ) x x = f (t x ) f (x ) implica f (x) f (x )+f (x )(x x ) Quea e ejercicio mostrar que la misma esiguala se obtiene para x<x. Por lo tanto, el gréfico e f es cóncavo hacia arriba en too punto (x, f (x)) para x I. Ejemplo 5 Complete el ejemplo anterior eterminano intervalos e concavia para la gráfica e la función f (x) =3x 4 4x 3 y hacieno un esbozo e la curva De la seguna erivaa e f f (x) = x 3 x f (x) = 36x 4x =x (3x )

36 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 36 tenemos la tabla e signos /3 x x ++ f (x) con la concavia inicaa. Luego, consierano la información obtenia anteriormente sobre puntos críticos, extremos relativos e intervalos e crecimiento y la pequeña tabla e valores x /3 f (x) 6 7 tenemos la gráfica y x - Observación.- Con respecto a la gráfica anterior, un hecho importante ocurre en los puntos (, ) y, 6 3 7, one cambia la concavia. Esto es consecuencia el cambio e signo e f en los puntos x =y x =, como se aprecia en la tabla e 3 signos e f. En general, un punto e la gráfica e y = f (x), onef seacontinuaycambie la concavia e la curva, se enomina un punto e inflexión. A veces se confune un punto e inflexión con un punto one se anula la seguna erivaa. Un ejemplo para aclarar esta situación se tiene con f (x) =x 4, one f () = ysinembargox =no es un punto e inflexión..4.4 Criterio e la seguna erivaa Otra aplicación el TVM es el siguiente criterio, para analizar la naturaleza e un punto crítico. Teorema 5 Sea x con f (x )=. a) f (x ) < x esunpuntoemáximorelativoef. b) f (x ) > x esunpuntoemínimorelativoef.

37 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 37 Dem. Se muestra sólo a). La hipótesis (consierano que f es la erivaa e f )inicaque f (x ) = lim x x f (x) f (x ) x x f (x) = lim <, x x x x lo que permite concluir que en una (pequeña) vecina ]x δ,x + δ[ e x : luego, f (x) x x < x : x ]x δ,x [ f (x) > x : x ]x,x + δ[ f (x) < Esto muestra que f cambia e signo, e + a, enx yasí,x es punto e máximo relativo e f. Observación.- En el caso que f (x )=(y f (x )=), el criterio no entrega información. Para ver esto basta consierar las funciones: f (x) =x 4,g(x) = x 4 y h (x) =x 3. Para caa una e ellas, el punto x =es crítico con seguna erivaa nula y, en caa caso, la naturaleza es istinta. Ejercicio 6 Dibuje la gráfica e una función f que sea continua sobre [, 3] y tenga las propieaes aas:. Máximo absoluto en, mínimo absoluto en 3, mínimo local en ymáximo local en. Máximo absoluto en y mínimo absoluto en. 3. es un punto crítico, pero no tiene extremos relativos. 4. Mínimo absoluto en, máximo absoluto en, máximosrelativosen y, mínimo relativo en.5. Ejercicio 7 Trace la gráfica e una función que tenga las siguientes características:. Un máximo local en y sea continua pero no erivable en.. Un máximo local en y no sea continua en. 3. Dominio el intervalo [, ], que tenga un máximo absoluto, pero no mínimo absoluto.

38 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 38 Ejercicio 8 Aplique el teorema el valor intermeio para funciones continuas y el teorema e Rolle para emostrar que la ecuación tiene una y solo una raíz real. x 3 + x = Ejercicio 9 Demuestre que la ecuación x 4 +4x + c =tiene a lo más os raíces reales. Ejercicio Sea f (x) = x. Demuestre que no hay un valor e c tal que f (3) f () = f (c)(3 ). Por qué esto no contraice el teorema el valor meio? Ejercicio Use el teorema el valor meio para emostrar que sin a sin b a b, a, b R Ejercicio Para las siguientes funciones, etermine los intervalos one f crece y one ecrece, sus estremos relativos, intervalos e concavia el gráfico y puntos e inflexión. Con esta información bosqueje la gráfica e f..- f (x) =x 3 3x x.- f (x) =x 4 6x 3.- f (x) =+8x 3 + x f (x) =x x f (x) =x 3x /3 6.- f (x) =x +cosx, π x π Ejercicio 3 La gráfica siguiente correspone a la erivaa f e un función f, en el intervalo [, 9] Determine: Intervalos e crecimiento y e ecrecimiento e la función f. Qué valores e x corresponen a extremos relativos para f? Intervalos e concavia e f. Las abscisas e los puntos e inflexión e f. Haga un esbozo e una gráfica para f. y x - -

39 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC Problemas e máximos y mínimos absolutos. Se consierarán os situaciones posibles:.5. Funciones continuas efinias sobre un intervalo cerrao y acotao.- Para una f :[a, b] R continua, el teorema e los valores extremos garantiza la existencia e puntos e máximo y e mínimo absolutos. Cómo se encuentran estos puntos? Si un punto e extremo absoluto pertenece al intervalo abierto ]a, b[, entonces es claro que él también es un extremo relativo y por tanto es un punto crítico. La otra posibilia es que el punto extremo esté en la frontera el intervalo cerrao [a, b], esto es, correspona al punto a oalpuntob. Por lo tanto, el proceimiento para encontrar los extremos absolutos e f sobre el intervalo [a, b] es: () Se eterminan toos los puntos críticos e f en ]a, b[. () Se evalúa f en caa uno e los puntos obtenios en () y también se evalúa en a yenb. Se elije el mayor y el menor e toos los valores encontraos. Ejemplo 5 Un granjero ispone e 8 metros e cerca y esea cercar un terreno rectangular que limita con un río recto. Suponieno que no necesita cercar a lo largo el río, cuáles son las imensiones el terreno e mayor área? Río y x Si x e y son las imensiones el terreno, entonces se ebe tener yeláreaelterrenoestáaapor x +y = 8 x = 8 y A = xy A (y) = 8y y, y 4 Se ebe encontrar el máximo absoluto e A en [, 4]. ()PuntoscríticoseA en ], 4[ : A (y) = 8 4y = y =

40 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 4 () Se evalúa A en los puntos críticos y en los bores el intervalo A () = 6 8 = 8 A () = A (4) = Luego, y =es el máximo absoluto e A en [, 4]. Las imensiones el terreno son x =4mts., y =mts..5. Funciones continuas sobre un intervalo que no es cerrao y acotao.- En este caso no se ispone el teorema e los valores extremos, por lo que la existencia e los extremos absolutos no está garantizaa. Sin embargo hay muchas situaciones en que la función tiene un único punto crítico x en el intervalo I : (a) Si f (x) > para toa x<x y f (x) < para toa x>x, entonces x es un máximo absoluto e f. (b) Si f (x) < para toa x<x y f (x) > para toa x>x, entonces x es un mínimo absoluto e f. Estos criterios se pueen reemplazar por: (a) x I : f (x) < x es un máximo absoluto e f. (b) x I : f (x) > x es un mínimo absoluto e f. Ejemplo 53 Una empresa va a envasar su proucto en una lata cilínrica e 4 cm 3. Qué imensiones e la lata minimizan la cantia e material necesaria para su fabricación? h r LacapaciaelalataesV = πr h =4yluegoh = 4 πr. La cantia e material que se requiere está aa por A = πr +πrh A (r) = πr + 8,r> r

41 Héctor Palma Valenzuela. Dpto. e Matemática UeC. 4 Se ebe encontrar el mínimo absoluto e A en ], [. ()PuntoscríticoseA en ], [ : A (r) = 4πr 8 r = r = 3 r π 3.99 () r >:A (r) =4π + 6 >. Luego,elgráfico e A es cóncavo hacia arriba r 3 en too su ominio y el único punto crítico es un mínimo absoluto. Las imensiones el tarro que requiere la menor cantia e material es r r = cms. π 4 h = π / cms. π