Derivación bajo la integral

Transcripción

1 Derivación bajo la integral José Alfreo Cañizo Rincón e julio, ntroucción Estas notas contienen una presentación e los teoremas usuales e erivación bajo la integral y la regla e Leibniz. El objetivo es enunciar con precisión y emostrar un resultao que se suele ar por supuesto aunque no aparezca tan comúnmente en los libros e análisis, y que lo hace rara vez enunciao con precisión. Pueen consultarse versiones más generales que incluyen coniciones necesarias y suficientes para intercambiar integral y erivaa en [2]. Un curioso error causao por el uso injustificao e icho intercambio por parte e Cauchy está recogio en []. La regla e erivación bajo la integral es la siguiente iguala: λ f(x, λ) x = (x, λ) x, () que ice esencialmente que cuano se eriva una integral respecto e un parámetro istinto a la variable en la que se integra, erivaa e integral pueen intercambiarse. Según el sentio que se quiera ar a la integral y a la erivaa, este resultao requiere istintas coniciones sobre la función f. A veces esta regla se llama también regla e Leibniz, pero es más común reservar el nombre e regla e Leibniz para la siguiente: λ g(λ) f(x, λ) x = f(g(λ), λ) g (λ) + que también se emuestra en estos apuntes. 2. Resultao clásico g(λ) (x, λ) x, (2) Dese un punto e vista clásico se puee intentar entener lo anterior en términos e la integral e Riemann y la erivaa clásica. Las coniciones naturales para plantearlo parecen ser las siguientes a primera vista: si f es una función real que epene e os variables x, λ, necesitamos que sea Riemann integrable en x para cualquier λ fijo para que el miembro e la izquiera tenga sentio, y también que

2 la erivaa con respecto a λ exista para too x fijo para ar sentio al miembro erecho. Necesitamos también que icha erivaa sea integrable. Qué se obtiene al intentar erivar f(x, λ) λ?. Para h pequeño, h ( f(x, λ + h) x ) f(x, λ) x = (f(x, λ + h) f(x, λ)) x, (3) h y necesitamos pasar al límite en esta última integral. Esto puee hacerse cuano, fijao λ, el límite cuano h 0 entro e icha integral (que es, puntualmente, f (x, λ)) sea uniforme en x. Poemos escribir, gracias al teorema el valor meio, λ para cierto λ x en el intervalo [λ, λ + h]: (f(x, λ + h) f(x, λ)) = h (x, λ x), (4) así que bastaría si (x, λ x) (x, λ) (la iferencia entre este valor y el límite puntual) fuese pequeño inepenientemente e x. Una conición que asegura esto y que es fácil e enunciar es que sea uniformemente continua en sus os variables. En un ominio compacto, es suficiente que sea continua. Esta última conición incluye a la e que la parcial e f sea integrable en λ, así que esto nos a el siguiente resultao, que aparece también en [3]: Teorema 2. (Versión clásica). Sean, J intervalos reales no triviales, con compacto y J abierto. Sea f : J R una función tal que f(, λ) es integrable en para too λ J f(x, ) es erivable en J para too x. Supongamos aemás que es continua en J. Entonces, (, λ) es integrable para too λ J f(x, λ) x es erivable con erivaa continua en J para too x y se cumple la regla e erivación bajo la integral, f(x, λ) x = (x, λ) x λ J (5) λ Observación 2.2. Toas las integrales que aparecen en este teorema son integrales en el sentio e Riemann. Observación 2.3. Las coniciones sobre los intervalos, J son técnicas: se exige compacto porque la integral e Riemann está efinia sólo sobre intervalos compactos (aunque es posible extener el teorema para la integral e Riemann impropia); y se exige J abierto para evitar preocuparse e la erivaa en los extremos, aunque el resultao es válio para cualquier intervalo J. 2

3 Demostración. Fijemos λ J, y emostremos que existe el límite e la erivaa en λ y es el que se pie. Sea ɛ > 0. Tomemos > 0 suficientemente pequeño para que [λ, λ+] J. Como es uniformemente continua en [λ, λ+], poemos elegir 0 < δ tal que (x, λ ) (x, λ 2) ɛ x, λ, λ 2 [λ, λ + ] tales que λ λ 2 δ (6) Tomemos cualquier h R con h δ, h 0. El teorema el valor meio asegura que para caa x hay un cierto λ x en el intervalo elimitao por λ y λ + h tal que (f(x, λ + h) f(x, λ)) = h (x, λ x) y esto nos permite probar que el límite que efine la erivaa e f con respecto a λ es uniforme: h (f(x, λ + h) f(x, λ)) (x, λ) = (x, λ x) (x, λ) Entonces, como es también integrable en (ya que es continua), estamos en conición e probar que el límite e la erivaa existe y es el esperao: ( h f(x, λ + h) x ( = h h ) f(x, λ) x (f(x, λ + h) x f(x, λ)) (f(x, λ + h) x f(x, λ)) (x, λ) x ) (x, λ) x (x, λ) x (6) ɛ. ɛ x = ɛ. Por efinición e erivaa se cumple (7). Falta comprobar que la erivaa es continua. Sea λ J cualquiera, y ao ɛ > 0 elijamos, δ > 0 igual que en (6). Entonces para h R, h < δ, (x, λ) x (x, λ + h) x luego la erivaa es efectivamente continua. (x, λ) (x, λ + h) x ɛ x = ɛ, 3

4 2.. Regla e erivación e Leibniz Lema 2.4. Sean, J intervalos reales no triviales, con compacto y J abierto. Sea f : J R una función continua tal que f(x, ) es erivable en J para too x. Supongamos aemás que es continua en J. Fijemos. Entonces, la función G : J R (t, λ) t f(x, λ) x es erivable en el sentio e Fréchet en cualquier punto el interior e J. Demostración. Calculemos las erivaas parciales e G y veamos que son continuas; entonces, resultaos usuales prueban que G es Fréchet erivable en los puntos interiores. El teorema funamental el cálculo ice que para (t, λ) J, t f(x, λ) x = f(t, λ), t una función continua. Por otro lao, la función f está en las hipótesis el teorema 2. en cualquier conjunto [, t] J con t, luego G tiene erivaa parcial con respecto a λ y t t f(x, λ) x = λ (x, λ) x (observar que se cumple sin importar si t es mayor o menor que ). Veamos que esta función es continua en J. Sea (t, λ) J, y ɛ > 0. Elijamos δ > 0 tal que [λ δ, λ + δ] J y para too h con h < δ, (x, λ) x (x, λ + h) x < ɛ 2 (sabemos que esto puee hacerse; ver final e la emostración e 2.). Elijamos también una cota M > 0 e f en el compacto [λ δ, λ + δ]. Entonces, para h, h 2 R tales que h ɛ, h 2M 2 δ, t t+h (x, λ) x (x, λ + h 2) x t (x, λ) x (x, λ + h t 2) x + t+h (x, λ + h 2) x (x, λ) x (x, λ + h 2) x + h M ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ 4

5 Corolario 2.5 (Regla e erivación e Leibniz). Sean, J intervalos reales no triviales, con compacto y J abierto. Sea f : J R una función continua en J tal que f(x, ) es erivable en J para too x. Supongamos aemás que es continua en J. Sea y g : J una función erivable. Entonces, (, λ) es integrable para too λ J g(λ) f(x, λ) x es erivable en J para too x y se cumple la regla e erivación e Leibniz, λ g(λ) f(x, λ) x = f(g(λ), λ) g (λ) + g(λ) (x, λ) x λ J (7) Demostración. La función λ g(λ) f(x, λ) x no es más que la composición e la función G el lema anterior con la función F : J J λ (g(λ), λ). La regla e la caena usual emuestra entonces el resultao. 3. Versión para la integral e Lebesgue 3.. Primera versión La principal ificulta en la emostración anterior es justificar el paso al límite e la integral. La función es erivable, y el límite usual converge puntualmente a su erivaa, pero justifica eso la convergencia e las integrales?. No en general, ese luego. Una e las ventajas que siempre se mencionan e la integral e Lebesgue sobre la e Riemann es que los teoremas e convergencia son más generales. Si consieramos las integrales anteriores como integrales e Lebesgue poemos intentar aplicar el teorema e la convergencia ominaa en lugar e buscar una convergencia uniforme. De hecho, tenieno en cuenta la convergencia puntual entro e la integral en (3) y la iguala (4), bastaría con exigir que (x, λ) m(x) para too (x, λ) y cierta función m integrable. Ésta es la iea funamental; el enunciao el resultao y su emostración son consecuencias e ella. Ni siquiera hace falta usar el teorema el valor meio, con lo que la iferenciabilia que se requiere es ligeramente más ébil: en su lugar, poemos escribir h (f(x, λ + h) f(x, λ)) = h λ+h λ (x, s) s, lo que nos permitirá probar que la convergencia es ominaa e forma muy parecia. 5

6 Dao que la integral e Lebesgue se efine en circunstancias más generales es natural enunciar el teorema integrano sobre un espacio e meia cualquiera en lugar e un intervalo. El resultao es el siguiente: Teorema 3.. Sea J un intervalo real y (, A, µ) un espacio e meia. Sea f : J R tal que. f(x, ) es absolutamente continua en J para casi too x 2. Para too λ J, existe (x, λ) para casi too x 3. f(, λ) es integrable en para too λ J. En particular, estas coniciones implican que (x, λ) está efinia en casi too (x, λ) J. Supongamos que existe una función m, integrable en, tal que (x, λ) m(x) (x, λ) J one (x, λ) esté efinia. (8) Entonces (, λ) es integrable en para too λ J, f(x, λ) x es erivable en J y se cumple f(x, λ) x = (x, λ) x λ J. λ Observación 3.2. Si vemos f como una función istinta para caa valor el parámetro λ, la erivabilia que se le pie a f significa que esta función cambia e forma erivable con λ en casi toos sus puntos. Las os primeras coniciones sobre f se cumplen en particular si, para too x, f(x, ) es erivable con erivaa integrable en J. Obsérvese también que la conición el teorema implica que para casi too λ, existe para casi too x, lo cual es ligeramente más ébil que la conición 2. Demostración. Fijemos λ J cualquiera. La conición 2 sobre f asegura que (x, λ) existe en casi too x, y ao que (x, λ) = lím (f(x, λ + h) f(x, λ)) para casi too x, h 0 h icha parcial es límite puntual c.p.. e funciones meibles en y es por tanto meible en. Su cota m asegura que es aemás integrable en. Poemos usar el 6

7 teorema funamental el cálculo para la integral e Lebesgue para cualquier x para el que f(x, ) sea absolutamente continua (por la conición, para casi too x): (f(x, λ + h) f(x, λ)) h = h h λ+h λ λ+h λ (x, s) s (x, s) s h λ+h λ m(x) s = m(x), y vemos que la convergencia puntual está ominaa por m. Por el teorema e la convergencia ominaa, f(x, λ) x λ = lím h 0 T CD (f(x, λ + h) f(x, λ)) x = h (x, λ) x λ J Seguna versión Si en lugar e buscar la erivaa en too punto usamos el concepto e erivaa que va asociao e forma natural a la integral e Lebesgue por meio el teorema funamental el cálculo, el enunciao e erivación bajo la integral se convierte en un enunciao sobre el intercambio el oren e las integrales. En este caso el resultao es ligeramente más ébil, como lo son también las coniciones. En esencia, poemos quitar la conición 2 el teorema anterior si estamos ispuestos a aceptar erivabilia sólo en casi too punto: Teorema 3.3. Sea J un intervalo real (en el que usaremos siempre la meia usual e Lebesgue) y (, A, µ) un espacio e meia. Sea f : J R tal que f(x, ) es absolutamente continua en J para casi too x f(, λ) es meible en para casi too λ J, y es integrable para al menos un cierto λ 0 J. Estas coniciones implican que (x, λ) está efinia en casi too (x, λ) J. Supongamos que existe una función m, integrable en, tal que (x, λ) m(x) (x, λ) J one (x, λ) esté efinia. (9) Entonces f(, λ) es integrable para too λ J, 7

8 es integrable en J para cualquier J J compacto (en particular, es integrable en x para casi too λ), f(x, λ) x es absolutamente continua en J y se cumple f(x, λ) x = (x, λ) x p.c.t. λ J. λ Observación 3.4. Las integrales el teorema anterior se entienen en el sentio e Lebesgue. Notemos que en este caso la última iguala se tiene sólo en casi too punto, a iferencia e los teoremas anteriores. Observación 3.5. La conición () puee sustituirse por la siguiente conición más ébil: (x, λ) es integrable en cualquier J con J J compacto. La emostración puee hacerse e la misma forma, ya que () sólo se usa para eucir precisamente esto. No he incluio esta conición en el enunciao simplemente porque es menos común encontrarla en los libros e análisis. Lema 3.6. Sea J un intervalo real y (, A, µ) un espacio e meia. Sea f : J R tal que f(, λ) es meible para casi too λ J fijo f(x, ) es continua para casi too x fijo Entonces f es meible en J. Demostración. Para hacer la emostración poemos suponer que J = [a, b], ya que el que f sea meible en J equivale a que lo sea en en too J con J J un subintervalo compacto. Dao n natural, iviimos el intervalo J = [a, b] en n intervalos iguales Jn i = [a + i n (b a), a + i (b a)[ para i =,..., n n Jn n = [a + n (b a), b] n y elegimos puntos λ i n Jn i tales que f(, λ i n) es meible. Definimos la función f n : J R como f n (x, λ) = f(x, λ i n) λ Jn i que es meible en J porque lo es en caa J i n. La sucesión e funciones f n converge puntualmente a f en casi too punto e J (e hecho, converge en too punto (x, λ) tal que f(x, ) es continua), luego f es meible. 8

9 Demostración el teorema. Done está efinia, (x, λ) = lím (f(x, λ + h) f(x, λ)), h 0 h un límite puntual e funciones meibles en J (por el lema anterior), así que es meible en J. La cota () nos permite asegurar que es integrable en J para cualquier J compacto contenio en J. Sea λ J. Por el teorema e Fubini poemos calcular sus integrales iteraas en cualquier oren en el conjunto [λ, λ 0 ] y obtener que λ λ (x, s) x s = (x, s) s x. (0) λ 0 λ 0 Para cualquier x para el que f(x, λ) es absolutamente continua (en particular, para casi too x ) el teorema funamental el cálculo nos ice que λ λ 0 (x, s) s = f(x, λ) f(x, λ 0). Tanto el miembro izquiero como f(x, λ 0 ) son integrables en, luego f(x, λ) es integrable en para too λ J y eucimos e (0) que λ (x, s) x s = f(x, λ) x f(x, λ 0 ) x λ J λ 0 De nuevo por el teorema funamental el cálculo, esto es equivalente a que (x, s) x sea absolutamente continua y que se cumpla f(x, λ) x = (x, λ) x para casi too λ J λ 3.3. Regla e erivación e Leibniz, seguna versión Aquí incluyo una versión un tanto incompleta e la regla e Leibniz que exige coniciones más ébiles sobre la función (e hecho, las mismas que las el teorema anterior). Es incompleta porque no incluye una función cualquiera en los límites e la integral. Sin embargo, la he incluio porque me resultaba útil en otro contexto. La emostración es irecta: no usa la erivación bajo la integral como en el caso clásico, sino que más bien generaliza la forma e la prueba anterior. No sé si es posible obtener un resultao el tipo el lema 2.4 ni qué tipo e regularia tiene la función G efinia en icho lema en este caso. Teorema 3.7 (Regla e erivación e Leibniz, seguna versión). Sea J un intervalo real no trivial. Sea f : J J R una función tal que 9

10 f(, λ) es meible en J para casi too λ J, y es integrable para al menos un cierto λ 0 J. f(x, ) es absolutamente continua en J para casi too x J. Estas coniciones implican que (x, λ) está efinia en casi too (x, λ) J J. Supongamos que existe una función m, integrable en J, tal que (x, λ) m(x) (x, λ) J J one (x, λ) esté efinia. () Sea J. Entonces, f(, λ) es integrable para too λ J, es integrable en J J para cualquier J J compacto (en particular, es integrable en x para casi too λ), λ f(x, λ) x es absolutamente continua en J, y se cumple la regla e erivación bajo la integral, λ λ f(x, λ) x = f(λ, λ) + (x, λ) x p.c.t. λ J. (2) λ Demostración el teorema. Toas las afirmaciones salvo la última son parte el teorema 3.3. Probar que λ f(x, λ) x es absolutamente continua y que su erivaa es la que se ice es equivalente, por el teorema funamental el cálculo, a probar la corresponiente iguala integral. Para cualquier t, integremos el seguno término e la suma en (2) (que es integrable gracias al seguno punto e la conclusión y al teorema e Fubini) entre y t : t s t λ (s, λ) s λ = t t s (s, λ) λ s = t (f(s, t ) f(s, s)) s, one en el primer paso hemos cambiao el oren e integración tenieno en cuenta el conjunto en el que se integra. Esta aplicación el teorema e Fubini prueba que (s, λ) λ es integrable en s, y como f(s, t ) es integrable en s, la iguala t s (s, λ) λ = f(s, t ) f(s, s) prueba que f(s, s) es integrable en s. Poemos entonces integrar el miembro erecho e (2) y obtener t t λ f(λ, λ) λ + (s, λ) s λ t 0 t = f(λ, λ) λ + t (f(s, t ) f(s, s)) s = t f(s, t ) s. Esta es la forma integral e la afirmación (2), que se obtiene erivano respecto a t los miembros primero y último e esta iguala. 0

11 4. Sobre este texto Para comentarios escribe a José Alfreo Cañizo <canizo@mat.uab.cat>. Son útiles, en particular, correcciones e errores o sugerencias sobre ampliaciones e los resultaos. Puees encontrar la última versión e este ocumento en Este trabajo puee istribuirse en las coniciones e la licencia Attribution Non- Commercial ShareAlike e Creative Commons. Para ver una copia e esta licencia ve a Esencialmente, esto significa que puees usar este trabajo como quieras siempre que menciones a su autor, no recibas inero por el resultao y permitas la copia y istribución e la misma forma en que se hace aquí. Para etalles sobre las coniciones puees leer la licencia antes mencionaa. Referencias [] Talvila, Erik, Some ivergent trigonometric integrals. Amer. Math. Monthly 08 (200), no. 5, [arxiv:math.ca/000] [2] Talvila, Erik, Necessary an sufficient conitions for ifferentiating uner the integral sign. Amer. Math. Monthly 08 (200), no. 6, [ar- Xiv:math.CA/0002] [3] Richar Courant y Fritz John, ntrouction to Calculus an Analysis, Volume /2. Springer, 2000