Péndulo de torsión y momentos de inercia

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Josefa Navarro Bustos
hace 6 años
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1 Práctica 4 Péndulo de torsión y momentos de inercia 4.1 Objetivo.- Determinación de los momentos de inercia de diversos sólidos a partir de la medida de su período de oscilación sobre un péndulo de torsión previamente caracterizado. 4.2 Fundamento teórico Rotación de un sólido rígido: Un sólido rígido se define como un sistema de puntos materiales que tiene la propiedad de que la distancia entre cada par de puntos se conserva constante a lo largo del tiempo. Cuando un sólido rígido experimenta un movimiento de rotación permanente alrededor de un eje de dirección u, todos los puntos del sólido que pertenecen a dicho eje se hallan en reposo permanente, mientras que todos los puntos del sólido que no pertenecen a dicho eje describen trayectorias circulares completas o incompletas alrededor de él. La rotación permanente de un sólido queda cinemáticamente caracterizada por el conocimiento de su eje de rotación y por el valor instantáneo de su vector velocidad angular ω: ω = dφ u (4.1) dt siendo Φ(t) unángulo representativo de la desviación del sólido respecto a una posición de referencia. Por otra parte, el teorema del momento cinético establece que la relación entre el momento cinético L del sólido y el momento resultante τ de las fuerzas aplicadas a él (con L y τ medidos respecto a un punto fijo en un sistema inercial) viene dada por: τ = d L (4.2) dt En general, L no es paralelo al eje de rotación (ni, por tanto, a ω). Sin embargo, en cada sólido y para cada punto, existen al menos tres ejes de rotación, mutuamente perpendiculares, para los cuales L es paralelo a ω. Estos ejes se denominan ejes principales de inercia y coinciden con los ejes de simetría cuando estos últimos existen. Por ejemplo, para una esfera, son principales todos los ejes que pasan por su centro; para un cuerpo de simetría cilíndrica, son principales el eje de simetría y cualquier eje que lo corte perpendicularmente. Entonces, cuando un cuerpo rígido rota permanentemente alrededor de un eje principal de inercia, se puede escribir: L = I ω (4.3) 1

2 donde I es un escalar (en realidad, es una componente de un tensor de segundo orden) al que se denomina momento de inercia del sólido respecto a ese eje principal (o momento principal de inercia). A partir de (4.1), (4.2) y (4.3), y teniendo en cuenta que todos los vectores tienen la misma dirección (la del eje de rotación u), se obtiene: τ = I d2 Φ (4.4) dt Péndulo de torsión: Se trata de una espiral arrollada en torno a un eje giratorio. El momento τ de la fuerza recuperadora ejercida por un péndulo de torsión cuando se le imponen pequeñas desviaciones angulares Φ respecto a su posición de equilibrio, se puede expresar como: τ = DΦ (4.5) donde D es la constante recuperadora o constante elástica del péndulo de torsión. (Nota: el signo negativo en (4.5) denota que el sentido de τ es opuesto al de la rotación. Por tanto, tomando módulo, se puede escribir: τ = DΦ). Cuando la desviación del péndulo de torsión se debe a larotación de un sólido alrededor de su eje, las ecuaciones (4.4) y (4.5) conducen a: d 2 Φ dt = D 2 I Φ (4.6) ecuación diferencial ordinaria de segundo orden cuya solución corresponde a un movimiento armónico simple de período: I T =2π (4.7) D Finalmente, despejando en (4.7), obtenemos una expresión que nos permite una estimación dinámica del momento de inercia (llamaremos I d a esta estimación): I d = DT 2 (4.8) 4π Momentos de inercia: Por otra parte, los momentos de inercia de algunos cuerpos de revolución homogéneos, con respecto a sus ejes de revolución, se pueden estimar a partir de funciones sencillas de su masa y de sus medidas geométricas (llamaremos I g aestasestimaciones geométricas del momento de inercia): Cilindro macizo, demasam yradior: Disco delgado, demasam yradior: Esfera maciza, demasam yradior: I g = 1 2 MR2 (4.9) I g = 1 2 MR2 (4.10) I g = 2 5 MR2 (4.11) 2

3 4.3 Montaje experimental.- La presente práctica consta de dos partes bien diferenciadas: Caracterización del péndulo de torsión: Consideraremos caracterizado el péndulo de torsión una vez conozcamos su constante recuperadora D. Antes que nada, debe corregirse el posible error de cero que tenga el dinamómetro. A continuación, se acopla sobre el péndulo una barra delgada, y tirando de ella con ayuda del dinamómetro (mantenido siempre perpendicular a la misma) se obliga al péndulo de torsión a desviarse un cierto ángulo respecto a su posición de equilibrio. Como consecuencia de esta desviación, el péndulo ejercerá un momento de fuerza recuperador sobre la barra, momento que es de igual módulo y dirección, pero de sentido contrario, que el que estamos aplicando nosotros mediante el dinamómetro. Por tanto, el módulo del momento de fuerza puede ser medido como el producto de la fuerza que indique el dinamómetro por la distancia que haya desde el punto de medición de la fuerza hasta el eje de giro. Esta experiencia se repetirá para distintos ángulos de desviación según se indica en el apartado de Resultados. Una posibilidad para poder medir los ángulos de desviación, manteniendo una referencia de la posición de equilibrio del péndulo, es colocar el disco escalado debajo del péndulo de torsión Determinación de momentos de inercia de distintos sólidos: Una vez caracterizado el péndulo de torsión, éste puede servir para realizar estimaciones dinámicas de los momentos de inercia de distintos sólidos convenientemente acoplados a su eje de giro. Para ello, basta provocar en cada caso desviaciones angulares moderadas del péndulo, y medir el período de oscilación del sólido mediante un cronómetro. El proceso de medida del período debe ser reiterado y promediado. Una vez conocido el período, la ecuación (4.8) permite determinar el momento de inercia correspondiente. 3

4 4.4 Resultados.- 1. Mida la distancia d entre el punto de medición de las fuerzas (punto de la barra en el que va a enganchar el dinamómetro) y el eje de giro del péndulo de torsión. Tirando del dinamómetro, desvíe la barra, respecto a su posición de equilibrio, ángulos Φ desde 0 hasta 3π radianes, de π/2 enπ/2 radianes, y anote para cada ángulo la fuerza F que marca el dinamómetro. Nota: Aunque el comportamiento del péndulo de torsión es simétrico, se recomienda por razones técnicas provocar las desviaciones del equilibrio en el sentido de apertura del resorte. Calcule el módulo del momento recuperador τ para cada ángulo como τ = F d. d = Φ(rad) F τ 0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π Cuáles son los errores absolutos de d, y de cada medida de F? E d = E F = Represente gráficamente (papel milimetrado) τ frente a Φ. Calcule el coeficiente de correlación lineal r, la pendiente con su error b (±E b ), y la ordenada en el origen a de la recta de mínimos cuadrados τ = b Φ+a. Sobre la misma gráfica anterior, trace la recta de mínimos cuadrados que acaba de calcular. A partir de los valores obtenidos para la pendiente y su error b (±E b ), calcule la constante recuperadora y su error D (±E D ). r= b(±e b )= a= D(±E D )= 2. Instale sucesivamente sobre el péndulo de torsión: el cilindro macizo, la esfera y el disco (acoplado al eje de giro en su orificio central). En cada caso, mida 5 veces con el cronómetro manual el tiempo 5T correspondiente a 5 oscilaciones. Obtenga el promedio 5T, y a partir de él, el período T (quinta parte de 5T ). Realice una estimación dinámica (I d ) del momento de inercia de cada uno de los cuerpos (usando la ecuación (4.8)). 4

5 Compare estas estimaciones dinámicas (I d ) de los momentos de inercia con las estimaciones geométricas (I g ) de los mismos obtenidas mediante (4.9), (4.10) y (4.11), respectivamente. Nota: Las medidas y errores de las masas M (±E M )ydiámetros 2R (±E 2R )del cilindro, la esfera y el disco son facilitados directamente al alumno en el laboratorio. Cuerpo 5T 5T T I d I g Cilindro Esfera Disco Para uno cualquiera de los cuerpos utilizados (usted elige), calcule el error absoluto de I d e I g. Para ello, en primer lugar, obtenga o escriba los errores absolutos asociados a las medidas de 5T, T, D, M y R correspondientes a ese cuerpo; y, en segundo lugar, deduzca la expresión de E Id en función de D, E D, T y E T,yla expresión de E Ig en función de M, E M, R y E R. Cuerpo elegido: E 5T = E T = E D = E M = E R = Exprese la función E Id (D, E D,T,E T ): Valor numérico (y unidades) de E Id = Exprese la función E Ig (M,E M,R,E R ): Valor numérico (y unidades) de E Ig = Se solapan las bandas de error de I d e I g (marque lo que proceda)? si no Nota: Se dice que existe solapamiento de las bandas de error si los intervalos numéricos [I d E Id,I d + E Id ] y [I g E Ig,I g + E Ig ] poseen intersección no nula. 5

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