EC = ½. m i. ( r i ) 2 2. EC = ½. m i r i. 2 + ½. m 2 r 2 EC TOTAL = ½.

Transcripción

1 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Facultad Regional Rosario UDB Física Cátedra FÍSICA I Capitulo Nº 9: ROTACIÓN DE CUERPOS RÍGIDOS Energía en el movimiento rotacional Para deducir esta relación, consideramos el cuerpo de la Figura 9-1 que está formado por un gran número de partículas, con masas m 1, m,, a distancias r 1, r, del eje de rotación. Rotulamos las partículas con el subíndice i: la masa de la i-ésima partícula es m i y su distancia con respecto al eje de rotación es r i. Las partículas no tienen que estar todas en el mismo plano, así que especificamos que r i es la distancia perpendicular de la partícula i- ésima al eje. Cuando un cuerpo rígido gira sobre un eje fijo, la rapidez v i de la i- ésima partícula está dada por la ecuación, vi = r i, donde es la rapidez angular del cuerpo. Diferentes partículas tienen distintos valores de r, pero v es igual para todas (si no, el cuerpo no sería rígido). La energía cinética de la i-ésima partícula es: EC = ½. m i. v i EC = ½. m i. ( r i ) EC = ½. m i r i. Figura 9-1 La energía cinética total del cuerpo es la suma de las energías cinéticas de todas sus partículas: EC TOTAL = ½. m 1 r 1. + ½. m r. + = ½. m i r i. Sacando el factor común ½. de esta expresión: EC TOTAL = ½. (m i r i ) La cantidad entre paréntesis, que se obtiene multiplicando la masa de cada partícula por el cuadrado de su distancia al eje de rotación y sumando los productos, se denota con I y es el momento de inercia del cuerpo para este eje de rotación: I = (m i r i ) = m 1 r 1 + m r + = (m i r i ) [Definición de momento de Inercia] El momento de inercia depende de la distribución espacial de la masa del cuerpo. Para un cuerpo con un eje de rotación dado y una masa total dada, cuanto mayor sea la distancia del eje a las partículas que constituyen el cuerpo, mayor será el momento de inercia. En un cuerpo rígido, las distancias r i son constantes, en tanto que I es independiente de cómo gira el cuerpo en torno al eje dado. La unidad del momento de inercia en el SI es el kilogramo-metro cuadrado (kg.m ). En términos del momento de inercia I, la energía cinética rotacional EC de un cuerpo rígido es: EC = ½. I. (energía cinética rotacional de un cuerpo rígido) La energía cinética dada por la ecuación La energía cinética dada por la ecuación no es una nueva 1

2 forma de energía; es simplemente la suma de las energías cinéticas de las partículas que constituyen el cuerpo rígido en rotación. Al usar esta ecuación, debe medirse en radianes por segundo, no revoluciones ni grados por segundo, con la finalidad de obtener EC en Joules; la razón es que usamos vi = r i en la deducción. Esta ecuación ofrece una interpretación física sencilla del momento de inercia: Cuanto mayor sea el momento de inercia, mayor será la energía cinética de un cuerpo rígido que gira con una rapidez angular. En el capítulo 6 vimos que la energía cinética de un cuerpo es igual al trabajo efectuado para acelerar ese cuerpo desde el reposo. De esta manera, cuanto mayor sea el momento de inercia de un cuerpo, más difícil será ponerlo a girar si está en reposo, y más difícil será detener su rotación si ya está girando. Por esta razón, también se denomina inercia rotacional La Figura 9- muestra cómo el cambio de la posición de las masas afecta el valor de. Masa cerca del eje Momento de inercia pequeño Es fácil poner a girar al sistema Masa más lejos del eje Mayor Momento de inercia Es más difícil poner a girar al sistema Eje de rotación Eje de rotación Figura 9- Cálculo del momento de inercia en un sistema continuo En el caso de un objeto continuo: 1. Se divide el objeto en muchos elementos infinitesimales de masa Dm i. Aproximamos el momento de inercia del sólido continuo a partir de la expresión para un sistema discreto I = (m i. r i ) donde r i es el cuadrado de la distancia entre el elemento de masa finita y el eje de giro 3. Tomamos el límite de la suma cuando m i 0. En este caso, la suma se convierte en una integral. 4. Generalmente es más fácil calcular momentos de inercia en términos de volumen de los elementos, más que en sus masas. Podemos hacer la transformación ya que = dm/dv Si el sistema es homogéneo r es contante y la integral se puede evaluar para una geometría dada.

3 Ejemplos de Momentos de Inercia Figura 9-3 Cálculo del momento de inercia: En los ejemplos 1 y se consideran que los radios de las esferas son mucho más pequeños que las distancias a y b al eje de rotación. Ejemplo Nº 1: La Figura 9-4 muestra cuatro pequeñas esferas que están unidas a las cuatro esquinas de un marco de masa despreciable que está situado sobre el plano xy. Si la rotación se produce alrededor del eje y con celeridad angular. a) Calcula el momento de inercia y con respecto al eje y b) Calcula la energía cinética de rotación con respecto a dicho eje. Las dos esferas de masa m que están situadas en el eje y no contribuyen a y Figura 9-4 a) y= (m i. r i ) = M. a + M. a =. M. a b) EC = ½.. = ½.. M. a. = M. a. Las dos esferas de masa m no se mueven alrededor del eje y y, por tanto, no tienen energía cinética 3

4 Ejemplo Nº : La Figura 9-5 muestra cuatro pequeñas esferas que están unidas a las cuatro esquinas de un marco de masa despreciable que está situado sobre el plano xy. Si la rotación se produce alrededor del eje z con rapidez angular w. a) Calcula el momento de inercia z con respecto al eje z b) Calcula la energía cinética de rotación con respecto a dicho eje. Dado que r i representa la distancia perpendicular al eje de giro a) z= (m i. r i ) = M. a + M. a + m. b + m. b =. M. a +. m. b b) EC = ½.. = ½. (. M. a +. m. b ). EC = (M. a + m. b ). Figura 9-5 Analogía entre la energía cinética asociada con las rotaciones y la energía cinética asociada con movimiento lineal: La energía cinética de traslación La energía cinética rotacional EC T = ½. m. v EC R = ½. I. El papel de lo juega m v El momento de inercia es una medida de la resistencia de un objeto a cambiar su estado de movimiento rotacional Analogías y diferencias entre masa y momento de inercia masa Momento de inercia Es una medida de la resistencia de un objeto a cambiar su estado de movimiento lineal Es una propiedad intrínseca del objeto (asumiendo velocidades no relativistas) Analogías Diferencias Es una medida de la resistencia de un objeto a cambiar su estado de movimiento rotacional Depende de la elección del eje de rotación (no hay un valor único del momento de inercia de un objeto). No sólo depende de la masa, sino de cómo está distribuida la masa alrededor del eje de giro. Teorema de Steiner Los momentos de inercia de sólidos rígidos con una geometría simple (alta simetría) son relativamente fáciles de calcular si el eje de rotación coincide con un eje de simetría. Sin embargo, los cálculos de momentos de inercia con respecto a un eje arbitrario puede ser engorroso, incluso para sólidos con alta simetría. El Teorema de Steiner (o teorema del los ejes paralelos) a menudo simplifican los cálculos. 4

5 Premisa: Supongamos que conocemos el momento de inercia con respecto a un eje que pase por el centro de masas de un objeto, Teorema: Entonces podemos conocer el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo al primero y que se encuentra a una distancia d = CM + M. d El momento de inercia de un cuerpo que está girando respecto a un eje cualquiera que no pase por su centro de masa es igual a su momento de inercia con respecto a otro eje paralelo que pase por el centro de masa (cm), más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre ambos ejes (d). Aplicación del Teorema de Steiner: Ejemplo Nº 3: Consideremos la varilla uniforme de masa m y longitud L (Figura 9-6). Calcularemos el momento de inercia con respecto a un eje perpendicular a la barra que pasa por uno de sus extremos. Como la distancia entre el centro de masas y el eje y es d= L/ el teorema de Steiner da: = CM + M. d = 1. m.l + m. L = 1. m. L 1 3 Es cuatro veces más difícil cambiar el estado de rotación de una varilla que gira con respecto a uno de sus extremos que cambiar el estado de rotación de una varilla que gira con respecto a su centro. y y L/ L x CM Ejemplo Nº 4: Consideremos un cilindro macizo de masa m y radio R (Figura 9-7). Calcularemos el momento de inercia con respecto al eje y. Como la distancia entre el centro de masas y el eje y es d= R el teorema de Steiner da: = CM + M. d = 1. m.r + m. R = 3/. m R y Figura 9-6 y R x CM Figura 9-7 5

6 Demostración del Teorema de Steiner Supongamos que un objeto rota en el plano xy alrededor del eje z. Supongamos además que las coordenadas del centro de masas son x cm e y cm Tomemos un elemento de masa dm situado en las coordenadas x e y y y i - b b y i d P mi Elemento de masa mi Segundo eje de rotación paralelo al eje que pasa por el C. M. Eje de rotación que pasa por el C.M. y es perpendicular al plano x-y de la figura C.M. a x i - a x i x Rebanada de un cuerpo de masa M La distancia desde este elemento al eje de rotación (eje z) es: r = x i + y i Y el momento de inercia con respecto al eje z vale: I CM = m i r = m i (x i + y i ) El momento de inercia de la rebanada alrededor del eje que pasa por CM es: P = m i [ (x i - a) + (y i - b) ] En estas expresiones no intervienen las coordenadas z i, medidas perpendicularmente a las rebanadas, así que podemos extender las sumatorias para incluir todas las partículas de todas las rebanadas. Así, P será el momento de inercia de todo el cuerpo para un eje que pasa por P. Expandiendo los cuadrados y reagrupando: P = m i [ (x i + y i ) -. a m i. x i -. b m i. y i + (a + b ) m i La primera sumatoria es CM. Por la definición de centro de masa, la segunda y la tercera sumatorias son proporcionales a x CM y y CM, que son cero porque tomamos el origen en el centro de masa. El último término es d multiplicada por la masa total, es decir, M. d. Queda demostrado que: = CM + M. d 6