1 Parametrización de super cies

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1 Dpto. Matemática Aplicada E.T.S. Arqitectra, U.P.M. Crvas y Sper cies HOJA DE PROBLEMAS: SUPERFICIES 1 Parametrización de sper cies 1. Obtener dos parametrizaciones reglares para cada na de las sigientes cádricas y representar ss respectivas familias de líneas coordenadas: (a) El paraboloide circlar de ecación cartesiana: z = x + y. (b) El paraboloide elíptico de ecación cartesiana: z = 4x + y. (c) El paraboloide hiperbólico de ecación cartesiana: z = x y.. Obtener na parametrización reglar para cada na de las sigientes cádricas y representar ss respectivas familias de líneas coordenadas: (a) Esfera de radio 1 y centro el origen de coordenadas. (b) Esfera de radio 3 y centro el pnto (; 1; 0). (c) Elipsoide de ecación cartesiana: x + (y ) + z = 1. 4 (d) Hiperboloide hiperbólico (o de na hoja) de ecación x + y z = 1. (e) Hiperboloide elíptico (o de dos hojas) de ecación x + y = z 1. (f) La hoja del cilindro hiperbólico de ecación cartesiana: x y = 1, con x > 0. (g) Cono de ecación cartesiana: z = x + y. 3. Señalar las cádricas de los ejercicios 1 y qe son sper cies de revolción y sper cies regladas. 4. Obtener na parametrización reglar para cada na de las sigientes sper cies de revolción y representar ss respectivas familias de líneas coordenadas: (a) El toro es la sper cie de revolción generada por na circnferencia qe gira alrededor de na recta exterior a la circnferencia (esto es, qe no la corta) y coplanaria. (b) Parametrizar la catenoide obtenida al girar la catenaria con parametrización () = ( cosh ; 0; ) alrededor del eje OZ. Representar ss líneas coordenadas en n pnto reglar y hallar el ánglo qe forman, tilizando la primera forma fndamental.

2 Crvas y Sper cies. 5. Obtener na parametrización reglar para cada na de las sigientes sper cies de regladas y representar ss respectivas familias de líneas coordenadas: (a) Sper cie cónica con base la circnferencia de ecaciones cartesianas x + y = 4, z = 0 y vértice el pnto (0; 1; 1). (b) Sper cie helicoidal formada por rectas qe se apoyan en na hélice y en el eje de la misma y qe son ortogonales al eje. (c) La sper cie formada por rectas qe se apoyan en la elipse de ecaciones cartesianas: = 1, z = 0, y son paralelas a la recta de ecaciones: x y +z = 1, x z = 0. x + y Obtener y representar las respectivas familias de líneas coordenadas de las sigientes sper cies (a) Banda de Moëbis (Möbis y Listing, 1858) con parametización: r(; v) = v sen sen(); v sen [0; ), v [ 1; 1]. cos(); v cos (b) Botella de Klein (Felix Klein, 188) (con MAPLE) con parametrización: r(; v) = a(; v)cos(); a(; v)sen(); sen sen(v) + cos a(; v) = + cos sen(v) sen sen (v) [0; ), v [0; 4) ; sen (v) 7. Obtener na parametrización reglar de la sper cie reglada formada por las rectas tangentes a la crva con parametrización: ; r() = (cos(); sen(); ) ; [0; 4]; y hallar la crva intersección de dicha sper cie con el plano z = Obtener na parametrización reglar de la sper cie tblar formada por circnferencias sitadas en el plano normal a la crva con parametrización r() = (cos(); sen(); ) ; y con centro el correspondiente pnto de la crva. coordenadas de dicha sper cie. [0; 4]; Representar las familias de líneas

3 Crvas y Sper cies. Estdio local de sper cies 1. Demostrar qe la primera forma fndamental de na sper cie S en n pnto P depende de la parametrización de la sper cie elegida. (Pista: Dar dos parametrizaciones distintas de na sper cie.). Se considera la esfera de radio R y centro el origen de coordenadas. Se pide: (a) Dar na parametrización de la esfera. (b) Calclar la longitd de la crva imagen de la crva parámetro = k 1 (constante) sobre la esfera. (c) Calclar la longitd de la crva imagen de la crva parámetro v = k (constante) sobre la esfera. 3. Se considera la sper cie con parametrización: r(; v) = (e cos v; e sin v; ). Se pide: (a) Hallar el plano tangente y la recta normal a la sper cie en P = p (b) Hallar las crvas coordenadas en el pnto P. Qé ánglo forman? ; p ; 0. (c) Hallar el ánglo formado por las crvas imagen de v = 4 + y v = 4. (d) Indicar la integral doble qe representa el área de la sper cie imagen mediante la parametrización dada de [ 1; 0] [0; ]. 4. Estdiar si hay pntos en la sper cie con parametrización: r(; v) = ( cos v + sin v; cos v sin v; ); R; v ( ; ); en los qe las crvas coordenadas se corten ortogonalmente. 5. Calclar la matriz de la primera forma fndamental y el área de las sigientes sper cies: (a) r(; v) = ( cos v; sin v; ), (; v) [0; 3] [0; ). (b) z = xy, con (x; y) D = f(x; y) R jx + y 1g. (c) r(; v) = ( cos v; sin v; v), 0 1, 0 v. (d) r(; v) = ( cos v; sin v; + 1), 3, 0 v. 6. Dada la sper cie con parametrización r(; v) = ( + v ; 3 ; v 3 ), con (; v) R, se pide: (a) La ecación del plano tangente a la sper cie, paralelo al plano 3x y z = 0. (b) El vector nitario normal a dicha sper cie en el pnto P = (; 1; 1). (c) Las crvas coordenadas en el pnto P y el ánglo qe forman dichas crvas.

4 Crvas y Sper cies. 7. Consideramos la sper cie generada al girar alrededor del eje OZ la crva z = log x contenida en el plano y = 0. (a) Obtener na parametrización de la sper cie. (b) Determinar el vector normal y el plano tangente en el pnto P = (1; 0; 0). (c) Hallar las crvas paramétricas en el pnto P. Son ortogonales? (d) Se considera la crva contenida en la sper cie dada por (t) = r(t + 1; t) con t [0; ] qe pasa por P. Qé ánglo forma con las crvas paramétricas en P? 8. Sea S la sper cie con parametrización r(; v) = (; +v; 3 v ) y sea (t) = (0; t; t ) contenida en S. Hallar el ánglo qe forma la crva con las crvas coordenadas en el pnto P = (0; 1; 1). 9. Calclar la primera y segnda forma fndamental y clasi car los pntos de las sigientes sper cies: (a) Esfera: r(; v) = (R cos cos v; R cos sin v; R sin ), con (; v) ( =; =) [0; ). (b) Helicoide: r(; v) = ( cos v; sin v; 4v), > 0, v > 0. (c) Toro: r(; v) = ((3 + cos ) cos v; (3 + cos ) sin v; sin ), con (; v) [0; ) [0; ). (d) Paraboloide hiperbólico: z = x 16 (e) Banda de Moebis: r(; v) = v sin sin ; v sin con (; v) [0; ) [ 1; 1]. 10. Hallar las crvas asintóticas del paraboloide hiperbólico z = x y. 11. Determínense los pntos mbílicos del elipsoide x + 4y + z = 4. y 5. cos ; v cos, 1. Determínense las direcciones principales de la sper cie engendrada por la crva x =, y =, z = 3 al trasladarse a lo largo del eje OX. 13. Se considera el pnto P de coordenadas ( ; 0; 1) de la sper cie mínima de Enneper 3 con parametrización: r(; v) = v v ; v v ; v ; (; v) R : Se pide: (a) Hallar las crvatras principales y direcciones principales en el pnto P. (b) Direcciones asintóticas (si las hay) en el pnto P. (c) Clasi car el pnto P. (d) Si la crvatra media de na sper cie en no de ss pntos es nla, pede a rmarse qe las direcciones asintóticas en dicho pnto son perpendiclares? Razonar la respesta.

5 Crvas y Sper cies. 14. Se considera la sper cie obtenida al girar de la crva () = (cosh ; 0; sinh ) alrededor del eje OZ. Se pide: (a) Comprobar qe la crva está contenida en el cilindro hiperbólico de ecación x y = 1 y en el plano de ecación y = 0. (b) Clasi car los pntos de la sper cie precisando, en s caso, las líneas de pntos parabólicos. (c) Obtener las líneas de crvatra principal. Qé tipo de crvas son? (d) Existen direcciones asintóticas en algún pnto de la sper cie? Si las hay, obtener las ecaciones paramétricas de las líneas asintóticas de la sper cie. 15. Se considera la sper cie S con representación paramétrica r(; v) = v; e v ; v ; [1; ]; v [0; ): Se pide: (a) Hallar el ánglo qe forman las dos crvas coordenadas qe contienen al pnto P = (0; 1; ). (b) Direcciones asintóticas en el pnto P. (c) Crvatras principales en el pnto P. 16. Se considera la sper cie con parametrización: Se pide: r(; v) = ( cos v; sin v; + 1): (a) Líneas coordenadas y ánglo qe forman en n pnto genérico de la sper cie. (b) Determinar las crvatras principales y clasi car los pntos reglares de la sper cie. (c) Direcciones principales y asintóticas (como vectores de R 3 ) en el pnto (1; 0; ). 17. Sea S la sper cie qe se obtiene al girar la crva C = fx = 1 + z ; y = 0g alrededor del eje OZ. Se pide: (a) Dar na parametrización de la sper cie S. (b) Hallar la ecación cartesiana del plano tangente en el pnto P = (1; 0; 0). (c) Clasi car el pnto P. (d) Calclar las crvatras y direcciones principales en P, expresando estas últimas como vectores de R 3. (e) Calclar la crvatra de Gass y crvatra media en P. (f) Obtener las direcciones asintóticas en P, expresadas como vectores de R 3. (g) Calclar la crvatra en la dirección qe forma n ánglo =4 con la dirección de crvatra mínima.

6 Crvas y Sper cies. 18. Se considera la sper cie S con representación paramétrica y el pnto P = (1; 1; 0). Se pide: r(; v) = ( + v + ; ; (v + 1) ); (; v) R (a) Calclar todos los pntos singlares de S. (b) Determinar la ecación del plano tangente a S en P. (c) Determinar na parametrización de la recta normal a S en P. (d) Calclar la matriz de la primera forma fndamental. (e) Determinar na parametrización de las crvas coordenadas de S qe contienen a P. Qé ánglo forman estas líneas coordenadas? (f) Se considera la crva contenida en la sper cie dada por (t) = r(t 1; t ) con t R qe pasa por P. Calclar el ánglo forma con la crva paramétrica = 1. (g) Calclar la matriz de la segnda forma fndamental de S en P. (h) Hallar las direcciones principales expresadas como vectores de R 3 y las crvatras principales de S en P. (i) Calclar la crvatra de Gass y la crvatra media en P. Clasi car el pnto P. (j) Hallar las direcciones asintóticas de S en P, expresadas como vectores de R 3.