Ejercicios resueltos.
|
|
- Ángela Domínguez Valverde
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 E.T.S. Arquitectura Curvas y super cies. Ejercicios resueltos.. Sea la curva intersección de la super cie z = xy con el cilindro parabólico y = x. Se pide: (a) En el punto P de coordenadas (0; 0; 0), obtener la ecuación del plano osculador de la super cie en P y la recta normal a la super cie en P. Solución. Una parametrización de dicha curva es la siguiente: Se tiene: (t) = t; t ; t 3 ; t R: 0 (t) = ; t; 3t ; t R; k 0 (t)k = p + 4t + 9t 4 6= luego no es la parametrización natural. (b) En el punto P de coordenadas (0; 0; 0), obtener las proyecciones de la curva sobre los planos del Triedro de Frenet. Solución. Hallamos los planos del triedro de Frenet en P. Primero calculamos el vector tangente, el normal y el binormal en P. Tenemos: t; t ; t 3 = (0; 0; 0) =) t = 0, luego P = (0); 00 (t) = (0; ; 6t) ; ~t(t) = p +4t ; t; 3t luego ~t(0) = (; 0; 0) +9t 4 i j k 0 (t) ^ 00 (t) = t 3t 0 6t = 6t ; 6t; ; ~ b(t) = p 4+36t 6t ; 6t; luego ~ b(0) = p +36t 4 4 (0; 0; ) = (0; 0; ); ~n(0) = ~ i j k b(0) ^ ~t(0) = 0 0 = (0; ; 0) : 0 0 Por tanto, las ecuaciones de los planos del Triedro de Frenet en el punto P son:
2 Plano osculador: z = 0. Plano normal: 0. Plano recti cante: y = 0. P X ~ b(0) = 0 () (x; y; z) (0; 0; ) = 0 () P X ~t(0) = 0 () (x; y; z) (; 0; 0) = 0 () x = P X ~n(0) = 0 () (x; y; z)(0; ; 0) = 0 () Luego las proyecciones de la curva sobre los planos del triedro de Frenet son: Proyección sobre el plano osculador: (t) = t; t ; 0, t R. Nótese que es la parábola y = x en el plano z = 0. Proyección sobre el plano normal: (t) = 0; t ; t 3, t R. Proyección sobre el plano recti cante: 3 (t) = t; 0; t 3, t R. (c) En el punto P de coordenadas (0; 0; 0), obtener la curvatura y la torsión de la curva. Solución. La torsión en P es: Teniendo en cuenta 8 >< >: (0) = [0 (0); 00 (0); 00 (0)] k 0 (0) ^ 00 (0)k : 0 (t) = ; t; 3t 00 (t) = (0; ; 6t) 000 =) (t) = (0; 0; 6) 0 (t) ^ 00 (t) = 6t ; 6t; tenemos: (0) = La curvatura en P es: k(0; 0; )k 8 >< >: (0) = k0 (0) ^ 00 (0)k k 0 (0)k 3 : 0 (0) = (; 0; 0) 00 (0) = (0; ; 0) 000 (0) = (0; 0; 6) 0 (0) ^ 00 (0) = (0; 0; ) = 4 = 3: Teniendo en cuenta 0 (0) = (; 0; 0) 0 (0) ^ 00 (0) = (0; 0; ) tenemos: (0) = k0 (0) ^ 00 (0)k k 0 (0)k 3 = :
3 . Sea la curva del parabolide z = x + y que se proyecta verticalmente sobre la parábola y = x, z = 0. Se pide el ángulo que forman las rectas tangentes en los puntos P = (0; 0; 0) y P = (; ; ). Solución. Una parametrización de dicha curva es la siguiente. La curva es la intersección del parabolide z = x + y con el cilindro parabólico y = x. Como y = x, tomo x = t y por tanto, z = t +(t ) = t +t 4. Tenemos: (t) = t ; t; t + t 4 ; t R: Luego, y 0 (t) = t; ; t + 4t 3 ; t R; (0; 0; 0) = t ; t; t + t 4 =) t = 0 luego P = (0); (; ; ) = t ; t; t + t 4 =) t = luego P = (): Por tanto, de 0 (0) 0 () = k 0 (0)k k 0 ()k cos ; 0 (0) = (0; ; 0) ; 0 () = (; ; 6) ; obtenemos: cos = p = p 4 :
4 3. Sea S la super cie de revolución obtenida al girar alrededor del eje X la curva de ecuaciones cartesianas: y = e x, z = 0. Se pide: (a) Una representación paramétrica regular de S. Solución. La matriz de giro alrededor del eje X es: cos sin A 0 sin cos y una parametrización de la curva es: (t) = (t; e t ; 0), t R. Por tanto, 0 t e t cos sin A = t e t cos e t sin : 0 sin cos Una representación regular de S es: ~r(t; ) = t; e t cos ; e t sin ; t R; [0; ). (b) Puntos singulares de dicha parametrización. Solución. Tenemos: Luego, ~r t (t; )^~r (t; ) = ~r t (t; ) = ; e t cos ; e t sin ; ~r (t; ) = 0; e t sin ; e t cos : i j k e t cos e t sin 0 e t sin e t cos = (et ; e t cos ; e t sin ): Como e t > 0, el vector ~r t (t; ) ^ ~r (t; ) no se anula para ningún valor de t ni de. (c) Clasi car los puntos de la super cie. Solución. Tenemos: ~N(t; ) = ~r t(t;)^~r (t;) k~r t (t;)^~r (t;)k = p e t (et ; e t cos ; e t sin ) = p (; cos ; sin ) ~r tt (t; ) = 0; e t cos ; e t sin ; ~r t (t; ) = 0; e t sin ; e t cos ; ~r (t; ) = 0; e t cos ; e t sin :
5 Por tanto, los coe cientes de la segunda forma fundamental de S en un punto arbitrario son: L(t; ) = ~r tt (t; ) ~ N(t; ) = p e t ; M(t; ) = ~r t (t; ) ~ N(t; ) = 0; N(t; ) = ~r (t; ) ~ N(t; ) = p e t : Por tanto, la matriz de la segunda forma fundamental en un punto arbitrario P de la super cie es: p II P = e t 0 0 p e t : Como det II P < 0 todos los puntos de la super cie son hiperbólicos. (d) Direcciones asintóticas en cualquier punto P de la super cie. Solución. Las direcciones asintoticas son aquellas direcciones (h; k) del plano tangente tales que II P (h; k) = 0, por tanto, cumplen lo siguiente: II P (h; k) = h k p e t 0 h 0 p e t k = p e t h + p e t k = p e t k h = p e t (k + h) (k h) = 0 luego son las direcciones (; ) y (; ). (e) Son ortogonales las direcciones asintóticas en cualquier punto P de la super cie? Solución. Calculamos la matriz de la primera forma fundamental en un punto P arbitrario. Tenemos: ~r t (t; ) ~r t (t; ) = + e t ; ~r t (t; ) ~r (t; ) = 0; ~r (t; ) ~r (t; ) = e t ; y, por tanto, la matriz de la primera forma fundamental en un punto arbitrario P de la super cie es: + e t 0 I P = 0 e t : Por tanto, el ángulo que forman las direcciones asintóticas (; ) y (; ) son: cos = I P ((; ); (; )) I P ((; ); (; )) = I P ((; ); (; )) =
6 Como I P ((; ); (; )) = + e t 0 0 e t las dos direcciones asintóticas no son ortogonales. = 6= 0 (f) Curvaturas principales y direcciones principales en un punto P arbitrario. Solución. La matriz de la aplicación de Weingarten es: + e A = (I P ) t 0 p e t 0 II P = 0 e t 0 p e t = p e t 0 0 p e t (e t + ) Por tanto, las curvaturas principales son k = p e t y k = p e t (e t + ). Y las correspondientes direcciones principales son: ~v = (; 0) y ~v = (0; ). :
7 4. Se considera la super cie reglada engendrada por la rectas paralelas al plano x z = 5 que se apoyan en las siguientes curvas: Se pide: C = (x; y; z) : y = x ; z = 0 ; C = (x; y; z) : y = z ; x = 0 : (a) Obtener una parametrización de dicha super cie. Solución. Parametrizamos primero las curvas dadas. Tenemos: (t) = t; t ; 0 ; (s) = s ; 0; s : Las rectas que unen un punto arbitrario de C con cualquier otro de C es de la forma: (t) (s) = s t; t ; s : Como queremos rectas paralelas al plano x z = 5 que tiene vector característico (; 0; ) (los vectores del plano son ortogonales al vector (; 0; )) imponemos la siguiente condición: 0 = (t) (s) (; 0; ) = s t; t ; s (; 0; ) = s t s: Por tanto, t = s s y las rectas de la super cie en cada punto tienen la dirección del vector: ~w(s) = (s) (s) = s; s + s ; s : Luego una parametrización de la super cie es: luego ~r(s; ) = ~(s) + ~w(s) con ~(s) = (s) y ~w(s) = ~r(s; ) = ~(s) + ~w(s) = = s + s; (s) (s) s ; 0; s + s; s + s ; s s + s ; s + s ; s R; [0; ]: (b) Estudiar si es alabeada o desarrollable. Solución. Tenemos: p(s) = ~ 0 (s); ~w(s); ~w 0 (s) s 0 = s s + s s s + s (s + )
8 Restando la tercera columna a la primera y sacando fuera del determinante el factor s + s de la segunda columna obtenemos: s 0 s s + s s s + s (s + ) = s + s s 0 0 s + s s 0 (s + ) = s + s ( s ) s + s + s (s + ) = s + s ( s ) s (3s + ) 6= 0: Por tanto, como p(s) 6= 0 la super cie es no desarrollable. (c) Clasi car los puntos de la super cie. Solución. Sabemos que para los valores de s en los que p(s) = 0 los puntos son parabólicos y en el resto de caso son hiperbólicos. Por tanto, como p(s) = s (s + ) ( s ) (3s + ) = 0 si y sólo si: s = 0, s =, s = = y s = =3 entonces sustituyendo en la expresión de la parametrización tenemos: ~r(0; ) = (0; 0; 0) ; 8 [0; ]; ~r( ; ) = ( ; 0; ) ; 8 [0; ]; ~r( =; ) = ( =4 =; =6; = =) ; 8 [0; ]; ~r( =3; ) = ( =9 =3; 4=8; =3 =3) ; 8 [0; ]: Las curvas anteriores son curvas de puntos parabólicos.
9 5. Se considera el punto P de coordenadas 3 ; 0; de la super cie mínima de Enneper con parametrización: u 3 ~r(u; v) = u 3 + v 3 uv ; v 3 + u v; u v ; (u; v) R : Se pide: (a) Hallar la segunda forma fundamental de la super cie en el punto P. Solución. Se tiene: ~r(u; v) = 3 ; 0; () 8 < : u u uv = 3 v v u v = 0 u v = 8 >< () >: u u 3 v 3 + uv = u = 0 u v = v v Por tanto, ó v = 0 ó 3 +u = 0. Si v = 0, de la tercera ecuación obtenemos que o bien u = o bien u =. Sustituyendo v = 0 y u = en la primera ecuación obtenemos: + 3 = 3 6= 3 luego no puede ser que u =. Si u = entonces la primera ecuación se satisface. Luego: ~r(; 0) = P. Tenemos Por tanto, ~N(; 0) = ( ; 0; 0); ~r u (u; v) = u + v ; uv; u ; ~r v (u; v) = uv; v + u ; v ; ~r uu (u; v) = ( u; v; ) ; ~r uv (u; v) = (v; u; 0) ; ~r vv (u; v) = (u; v; ) : ~ru (; 0) = (0; 0; ) ; ~r v (; 0) = (0; ; 0) ; 8 < : ~r uu (; 0) = ( ; 0; ) ; ~r uv (; 0) = (0; ; 0) ; ~r vv (; 0) = (; 0; ) ; y la matriz de la segunda forma fundamental en P es: II P = = ~r uu (; 0) N(; ~ 0) ~r uv (; 0) N(; ~ 0) ~r uv (; 0) N(; ~ 0) ~r vv (; 0) N(; ~ 0) 0 : 0
10 (b) Hallar las curvaturas principales y las direcciones principales. Solución. La matriz de la primera forma fundamental es: ~ru (; 0) ~r I P = u (; 0) ~r u (; 0) ~r v (; 0) ~r u (; 0) ~r v (; 0) ~r v (; 0) ~r v (; 0) 4 0 = : 0 4 Luego la matriz de la aplicación de Weingarten es: A = = = 0 : 0 Las curvaturas principales son: k = que se alcanza en la dirección (; 0) y k = que se alcanza en la dirección (; 0). (c) Hallar las direcciones asintóticas. Solución. Vamos a calcular en qué dirección la curvatura es cero. Por el teorema de Euler tenemos que la curvatura en una dirección que forma un ángulo con la dirección principal ~e = = (; 0) es: k = k cos + k sin : Por tanto, si k = 0 tenemos: 0 = cos sin () cos = sin () = 4 : Por tanto, en la dirección del vector ~v = cos( 4 )(0; )+sin( 4 )(; 0) = ( p =; p =) la curvatura es cero. La dirección (0; p =; p =) es una dirección asintótica. Comprobación: las coordenadas del vector ~v en la base (~r u (; 0); ~r v (; 0)) son (cos( 4 ); sin( 4 )) = (p =; p =) y tenemos: ( p =; p 0 =) 0 p = p = = 0: (d) Clasi car el punto P. Solución. El punto P es un punto hiperbólico.
11 6. Hallar la arista de retroceso de la super cie desarrollable con parametrización: ~r(s; t) = 3t s t 3 3t ; 4ts t 4t ; s Solución. Tenemos: Por tanto, ~r(s; t) = 3t s t 3 3t ; 4ts t 4t ; s = t 3 3t ; t 4t ; + s 3t ; 4t; ; = ~(t) + s~w(t): ~(t) = t 3 3t ; t 4t ; ; ~w(t) = 3t ; 4t; ; ~ 0 (t) = 6t 6t; 4t 4; 0 ; ~w 0 (t) = (6t; 4; 0) ; ~ 0 (t) ^ ~w(t) = = ( t ) i j k 6t 6t 4t 4 0 3t 4t i j k 6t 4 0 3t 4t = ( t ) 4; 6t; 4t t = ( t ) ; 3t; 6t ; i j k ~w 0 (t) ^ ~w(t) = 6t 4 0 3t 4t = 4; 6t; t (~w 0 (t) ^ ~w(t)) (~ 0 (t) ^ ~w(t)) = 4( t ) ; 3t; 6t ; 3t; 6t = 4( t ) 4 + 9t + 36t 4 k~w 0 (t) ^ ~w(t)k = 4; 6t; t 4; 6t; t = 4(4 + 9t + 36t 4 ): Por tanto, (~w 0 (t) ^ ~w(t)) (~ 0 (t) ^ ~w(t)) k~w 0 (t) ^ ~w(t)k = 4( t ) 4 + 9t + 36t 4 4(4 + 9t + 36t 4 ) = ( t ):
12 Por tanto, la arista de retroceso es: ~ (t) = ~(t) ( t )~w(t) = ~(t) + (t + )~w(t):
1 Estudio local de curvas
E.T.S. Arquitectura. Curvas y Super cies.1 1 Estudio local de curvas Sea una curva C R 3 con representación paramétrica regular ~r(t), t 2 I R, de clase mayor o igual a 3 y sea s = s(t) = Z t t 0 k~r 0
Más detalles1 Parametrización de super cies regladas
Dpto. Matemática Aplicada E.T.S. Arquitectura, U.P.M. Curvas y Super cies HOJA DE PROBLEMAS: SUPERFICIES REGLADAS 1 Parametrización de super cies regladas Parametrizar las siguientes super cies regladas:
Más detallesP = (0) = (0; 1; 1) ; 0 (t) = 1; e t ; ae at ; 0 (0) = (1; 1; a) :
E.T.S. rquitectura Curvas y super cies. Curso 07/8. Examen enero PELLIDOS... NOMBRE... Grupo... Exp... Duración del examen horas y media. No se pernmite el uso de calculadora.. ( puntos) Se considera la
Más detalles1 Super cies regladas
1 Super cies regladas 1.1 De nición y ejemplos Vamos a estudiar una clase importante de super cies que son aquellas generadoas por una recta que se mueve a lo largo de una curva. Por tanto, son aquellas
Más detalles1 Estudio local de una super cie
1 Estudio local de una super cie Sea S R 3 una super cie con parametrización regular: Se tiene ~r : D R 2! R 3 ; ~r(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) : ~r u (u; v) = (x u (u; v); y u (u; v); z u (u;
Más detalles3 Curvas alabeadas. Solución de los ejercicios propuestos.
3 Curvas alabeadas. Solución de los ejercicios propuestos.. Se considera el conjunto C = {(x, y, z R 3 : x y + z = x 3 y + z = }. Encontrar los puntos singulares de la curva C. Solución: Llamemos f (x,
Más detallesr v (1; v) = (1; 2v; 1) ; p 9u (3u + 2v) 2 dudv:
E.T.S. Arquitectura Curvas y Suer cies. Curso 6/. Segundo Control APELLIDOS... NOMBRE... Gruo... Ex.... Se considera la suer cie S arametrizada or Se ide r(u; v) = u + v; u v ; v ; (u; v) R R (a) Indicar,
Más detallesSuper cies. 1 Representación analítica de super cies Representación explícita o de Monge... 6
Super cies M. Eugenia Rosado María Departamento de Matemática Aplicada Escuela Técnica Superior de Arquitectura, UPM Avda. Juan de Herrera 4, 28040-Madrid, Spain E-mail: eugenia.rosado@upm.es Índice 1
Más detallesProblemas resueltos del Boletín 1
Boletines de problemas de Matemáticas II Problemas resueltos del Boletín Problema. Dada la curva r (t) = t [0, π], parametrizarla naturalmente. ( (cos t + t sen t), (sen t t cos t), t ), con En primer
Más detallesGeometría Diferencial
1.- a) Se denomina cicloide a la curva descrita por un punto P de una circunferencia que rueda, sin deslizar, a lo largo de una recta. Si P está inicialmente en el origen O(,) y a es el radio de la circunferencia,
Más detallesSuperficies. Conceptos generales
Repaso Superficies. Conceptos generales Dpto. Matemática Aplicada I E.T.S. de Arquitectura Universidad de Sevilla Curso 2005 2006 REPASO: Superficies. Conceptos generales 1. Conceptos generales Definición
Más detalles1 Parametrización de curvas
Dpto. Matemática Aplicada E.T.S. Arquitectura, U.P.M. Curvas y Super cies HOJA DE PROBLEMAS: CURVAS 1 Parametrización de curvas 1. Obtener una parametrización de cada una de las siguientes cónicas: (a
Más detallesMATEMÁTICAS II Geometría diferencial Curso de las curvas en el espacio
1.- a) Se denomina cicloide a la curva descrita por un punto P de una circunferencia que rueda, sin deslizar, a lo largo de una recta. Si P está inicialmente en el origen O(,) y a es el radio de la circunferencia,
Más detallesCURVAS Y SUPERFICIES Hoja 1: Curvas
CURVAS Y SUPERFICIES Hoja 1: Curvas 1. Sea σ (t) = (cos t, sen t, t) con t [0, π] y sea f(x, y, z) = x + y + z. Evaluar la integral σ fdσ. (Sol.: π 3 (3 + 4π )).. Sea σ : [0, π/] R 3 la curva σ(t) = (30
Más detalles1 Super cies regladas
E.T.S. Arquitectura. Curvas y Super cies.1 1 Super cies regladas En la lección anterior de nimos las super cies regladas asi como las super cies cónicas, cilíndricas (cónicas cuyo vértice es un punto del
Más detallesP. A. U. LAS PALMAS 2005
P. A. U. LAS PALMAS 2005 OPCIÓN A: J U N I O 2005 1. Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 4x 2 + 5x 2 y la rectas y = 0, x = 1 y x = 3. x 3 4x 2 + 5x 2 es una función polinómica
Más detallesETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía
Grupo A Examen de Evaluación Continua de Geometría Diferencial Curso 2011-12 El examen consta de dos partes y tiene un valor de 2/3 de la nota de Geometría Diferencial que supone el 10% de la nota total
Más detallesRectas y Parábolas. Sistemas de coordenadas rectangulares (Plano Cartesiano)
Rectas y Parábolas Prof. Gabriel Rivel Pizarro Sistemas de coordenadas rectangulares (Plano Cartesiano) El sistemas de coordenadas rectangulares se representa en un plano, mediante dos rectas perpendiculares.
Más detallesAVANCE DE CONCEPTOS GEOMETRÍA DIFERENCIAL
AVANCE DE CONCEPTOS GEOMETRÍA DIFERENCIAL Índice 1. Introducción a las curvas en E 3 2 1.1. Definición matemática de curva.............................. 2 1.2. Cambio de parámetro....................................
Más detallesLíneas y Planos en el Espacio
Líneas y Planos en el Espacio Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM de enero de Índice..Introducción.................................................Ecuación paramétrica de la recta.....................................ecuación
Más detallesCurvatura y torsión de una curva de R 3
Capítulo II Curvatura y torsión de una curva de R 3 A lo largo de todo este capítulo, cuando digamos Sea σ = σt, t I, una curva entenderemos que se trata de una curva en R 3, esto es, que tenemos σ : I
Más detalles3 Curvas alabeadas (curvas en R 3 )
3 Curvas alabeadas (curvas en R 3 ) El estudio de curvas en el espacio es, en varios aspectos, similar al de curvas en el plano. En este capítulo consideraremos como parametrización (I, α) a un par formado
Más detallesSUPERFICIES. 2.4 Forma y curvatura: Curvatura normal. Curvaturas principales, fórmula de Euler. Curvatura de Gauss y media. Clasificación de puntos
SUPERFICIES. 2.4 Forma y curvatura: Curvatura normal. Curvaturas principales, fórmula de Euler. Curvatura de Gauss y media. Clasificación de puntos 2.1 Superficie parametrizacida. Ecuaciones implícitas.
Más detallesque se conocen como ecuaciones cartesianas implícitas de la curva.
CAPÍTULO 9: INTRODUCCIÓN A CURVAS 9.1- Definición, expresiones analíticas. Sea R = {O; ı, ȷ, k } una referencia afín en A 3 siendo B = {ı, ȷ, k } una base ortonormal. Diremos que una curva es una aplicación
Más detallesJUNIO 2010. Opción A. 1 1.- Dada la parábola y = 3 área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola.
Junio 00 (Prueba Específica) JUNIO 00 Opción A.- Dada la parábola y 3 área máima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola., y la recta y 9, hallar las dimensiones
Más detallesPruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León
Selectividad Junio 05 Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES:.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de
Más detallesBLOQUE II GEOMETRÍA. Resolución a) Para que los tres vectores formen una base, han de ser L.I. Veámoslo:
II BLOQUE II GEOMETRÍA Página 6 Considera los vectores u(3,, ), v ( 4, 0, 3) y w (3,, 0): a) Forman una base de Á 3? b) Halla m para que el vector (, 6, m) sea perpendicular a u. c) Calcula u, ì v y (
Más detallesTEMA 6 Ejercicios / 3
TEMA 6 Ejercicios / 1 TEMA 6: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1. Ecuaciones de los planos cartesianos en forma vectorial, paramétrica e implícita. Ecuaciones del plano XY: Punto del plano P 0, 0, 0 Vectores
Más detalles1 Parametrización de super cies
Dpto. Matemática Aplicada E.T.S. Arqitectra, U.P.M. Crvas y Sper cies HOJA DE PROBLEMAS: SUPERFICIES 1 Parametrización de sper cies 1. Obtener dos parametrizaciones reglares para cada na de las sigientes
Más detallesCurvas en paramétricas y polares
Capítulo 10 Curvas en paramétricas y polares Introducción Después del estudio detallado de funciones reales de variable real expresadas en forma explícita y con coordenadas cartesianas, que se ha hecho
Más detallesGEOMETRÍA (Selectividad 2014) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2014
GEOMETRÍA (Selectividad 014) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 014 1 Aragón, junio 014 Dados el punto P (1, 1, 0), y la recta: x+ z 1= 0 s : 3x y 3= 0 Ax + By
Más detallesFunciones de varias variables.
Funciones de varias variables. Definición. Hasta ahora se han estudiado funciones de la forma y = f (x), f :D Estas funciones recibían el nombre de funciones reales de variable real ya que su valor y dependía
Más detallesExamen de Junio de 2011 (Común) con soluciones (Modelo )
Opción A Junio 011 común ejercicio 1 opción A ['5 puntos] Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a 54 m. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que éste
Más detallesECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO CONTENIDO 1. Definición de cónica y cono de revolución. Determinación de las cónicas por medio de sus coeficientes.1 Determinación del tipo de curva considerando los coeficientes
Más detallesC/ Fernando Poo 5 Madrid (Metro Delicias o Embajadores).
UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS, MADRID PRUEBA DE ACCESO PARA MAYORES DE 25 AÑOS MATEMÁTICAS II AÑO 2010 OPCIÓN A Ejercicio 1 a) (1 punto) Hallar los valores del parámetro para los que la siguiente matriz
Más detallesGEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA PROF. ANNA LUQUE
Ejercicios resueltos de la Recta 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135º. SOLUCION: Graficamos La ecuación de la recta se busca por medio
Más detallesDicho punto fijo se llama centro, a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se acostumbra a llamar radio.
GEOMETRIA ANALITICA Capítulo 9 La Circunferencia 9.1. Definición Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo del mismo plano. Dicho punto fijo
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios españoles El precio
Más detallesVeamos sus vectores de posición: que es la ecuación vectorial de la recta:
T.5: ECUACIONES DE LA RECTA 5.1 Ecuación vectorial de la recta Una recta queda determinada si se conoce un vector que lleve su dirección (de entre todos los vectores proporcionales), llamado vector director,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detalles1. Determinar las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de las rectas que pasan por el punto A y con el vector de dirección dado:
CAPÍTULO. GEOMETRÍA AFÍN.. Problemas. Determinar las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de las rectas que pasan por el punto A y con el vector de dirección dado: a) A(,, ), v = (,, ) ; b) A(0,
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA: CÓNICAS
GEOMETRÍA ANALÍTICA: CÓNICAS 1.- GENERALIDADES Se define lugar geométrico como el conjunto de puntos que verifican una propiedad conocida. Las cónicas que estudiaremos a continuación se definen como lugares
Más detallesCapítulo 8. Geometría euclídea. 8.1 Problemas métricos
Capítulo 8 Geometría euclídea 81 Problemas métricos Espacios vectoriales El plano: R 2 = { (x,y : x,y R } El espacio: R 3 = { (x,y, z : x, y, z R } Si u = λv para algún λ 0 diremos que son proporcionales:
Más detallesMATEMATICAS. BC2 TEMA 6: Rectas y Planos en R 3
MATEMATICAS. BC2 TEMA 6: Rectas y Planos en R 3 1. Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Hallar las
Más detalles8.- GEOMETRÍA ANÁLITICA
8.- GEOMETRÍA ANÁLITICA 1.- PROBLEMAS EN EL PLANO 1. Dados los puntos A = (1, 2), B = (-1, 3), C = (3, 4) y D = (1, 0) halla las coordenadas de los vectores AB, BC, CD, DA y AC. Solución: AB = (-2, 1),
Más detallesGeometría Diferencial. Curva
Curva La curva en el espacio representa intuitivamente la trayectoria de un punto en movimiento. Por ejemplo, la trayectoria de un planeta en el espacio, nos sugieren la idea de curva. También la forma
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico 2 Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO 010-011 Opción A Ejercicio 1, Opción A, Modelo especifico de Junio de 011 [ 5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo
Más detallesÁLGEBRA LINEAL II Práctica 3.1-3.2
ÁLGEBRA LINEAL II Práctica 3.1-3.2 Geometría afín. (Curso 2014 2015) 1. En el espacio afín IR 3 se considera la referencia canónica R y la referencia R = (1, 0, 1); (1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 0, 0)}. Denotamos
Más detallesHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
real de con Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura real de con Índice real de con real de con.
Más detallesCurvas. 1 Representación analítica de curvas Cambio admisible de parámetro... 7
Curvas M. Eugenia Rosado María Deartamento de Matemática Alicada Escuela Técnica Suerior de Arquitectura, UPM Avda. Juan de Herrera 4, 8040-Madrid, Sain E-mail: eugenia.rosado@um.es Índice 1 Reresentación
Más detallesOCW-Universidad de Málaga, (2014). Bajo licencia. Creative Commons Attribution- NonComercial-ShareAlike 3.
OCW-Universidad de Málaga, http://ocw.uma.es 14. Bajo licencia Creative Commons Attribution- NonComercial-ShareAlike 3. Spain Matemáticas III Relación de ejercicios Tema 3 Ejercicios Ej. 1 Reparametriza
Más detallesIES Fco Ayala de Granada (Modelo 2 del 2012) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada (Modelo del 01) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO 011-01 Opción A Ejercicio 1, Opción A, Modelo de 01 Sea la
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 9 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesPONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS. Cálculo 3 Práctica N 3 Semestre Académico
Práctica N 3 Semestre Académico 014-1 1. a. Parametrizar la curva : b. Dadas las curvas: x 1 y z y x ; z 0. pts C 1 : Ft e t, 1, lnt 1, t 0, y 1 t C : Gr r, 9 r, ln r, r 0,. Hallar la ecuación de la recta
Más detallesTeoría de las superficies
Capítulo VI Teoría de las superficies. Fórmulas de Gauss y de Weingarten Consideremos una parametrización regular ϕ : U R 3, ϕ = ϕu, v, de clase C de una superficie S = Im ϕ de R 3. Del mismo modo a como
Más detalles1. Sea f una función definida en I = [1, 2] [1, 4] del siguiente modo: (x + y) 2, x y 2x, 0, en el resto.
La integral múltiple Problemas resueltos. Sea f una función definida en I [, ] [, 4] del siguiente modo: { (x + y), x y x, f(x, y), en el resto. Indique, mediante un dibujo, la porción A del rectángulo
Más detallesUniversidad Alonso de Ojeda. Facultad de Ingeniería GUIA DE ESTUDIO ALGEBRA LINEAL.
UNIDAD IV: VECTORES EN R2 Y R3 VECTOR Se puede considerar un vector como un segmento de recta con una flecha en uno de sus extremos. De esta forma lo podemos distinguir por cuatro partes fundamentales:
Más detallesMatemáticas 4 Enero 2016
Laboratorio #1 Vectores I.- Calcule el producto escalar de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. 1) u = 3i + 2j 4k; v = i + 5j 3k 2) u = i + 2j 3k; v = 1i 2j + 3k 3) u = 1 2 i + 1 3 j +
Más detallesUNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA BÁSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
0 TIPO DE 0 er PROPÓSITO Con este curso, ubicado en el tercer semestre del plan de estudios, se da continuidad a la formación básica obtenida con los cursos iniciales. En el mismo, se tratan contenidos
Más detallesSuperficies. Primera Forma Fundamental
Tema Superficies. Primera Forma Fundamental Dpto. Matemática Aplicada I E.T.S. de Arquitectura Universidad de Sevilla Curso 005 006 Tema. Superficies. Primera Forma Fundamental 1. Curvas sobre superficies
Más detallesSUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 Métrica sobre una superficie: Primera forma fundamental y aplicaciones.
SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 Métrica sobre una superficie: Primera forma fundamental y aplicaciones. 2.1 Superficie parametrizacida. Ecuaciones implícitas. Curvas paramétricas. 2.2
Más detallesGEOMETRÍA: ESPACIO AFÍN
GEOMETRÍA: ESPACIO AFÍN.- ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO..- Ecuación vectorial Sea Pab (, ) un punto de la recta r, v = ( v, v) dirección que r, y, sea (, ) en el siguiente dibujo: un vector, no nulo,
Más detallesCurvatura. t Rdt = Rt s = Rt t = s R. y r (s) =
Introducción a las Funciones Vectoriales Funciones de R R n ) Curvatura En una recta, el vector unitario tangente T no cambia su dirección y por tanto T =. Si la curva no es una linea recta, la derivada
Más detallesEjercicios resueltos del capítulo 1
Ejercicios resueltos del capítulo Ejercicios impares resueltos..b Resolver por el método de Gauss el sistema x +x x +x 4 +x = x x +x 4 = x +x +x = x +x x 4 = F, ( ) F 4, () F, ( ) F, () 8 6 8 6 8 7 4 Como
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 015 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesTEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO
2.1 Distancia entre dos puntos1 TEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO Sean P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P 1 y P 2 denotada por d = esta dada por: (1) Demostración
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción A Reserva, Ejercicio
Más detallesx + x 2 +1 = 1 1 = 0 = lím
UNIDAD Asíntota horizontal: 8 +@ + + = y = es asíntota horizontal hacia +@ (y > ). + + + + = = = 0 8 @ 8 +@ y = 0 es asíntota horizontal hacia @ (y < 0). CUESTIONES TEÓRICAS 30 Qué podemos decir del grado
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 005 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesTEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA
Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO EJERCICIO : Halla el punto medio del segmento de extremos P, y Q4,. Las coordenadas del punto medio,
Más detallesDefinición de vectores
Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre
Más detallesCónicas 1.- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas:
.- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas: a) x + 4y 4xy + 4x + y + 45 = b) x 8xy + y 4x 4y + = c) x 4xy + 4y x + 8y = d) 4x + y 4xy + x + 4y =.- Hallar la ecuación de la cónica que pasa por
Más detallesMatemáticas II - Geometría
PAU Matemáticas II - Geometría 2008.SEPTIEMBRE.1.- Dados los dos planos π 1 : x + y + z = 3 y π 2 : x + y αz = 0, se pide que calculeis razonadamente: a) El valor de α para el cual los planos π 1 y π 2
Más detallesResumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones.
Resumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones. 0.. Concepto de derivada. Definición. Sea f : S R R, a (b, c) S. Decimos que f es derivable en a si existe: f(x) f(a)
Más detallesGeometría Diferencial Preguntas de la teoría para el examen
Geometría Diferencial - 2015 Preguntas de la teoría para el examen Observaciones: Una pregunta del examen puede ser sólo una parte de una de las preguntas siguientes. Si en esta lista una pregunta tiene
Más detallesTema 8. Geometría de la Circunferencia
Tema 8. Geometría de la Circunferencia 1. Definición la circunferencia. Ecuación de la circunferencia 1.1 Ecuación de la circunferencia centrada en el origen 1. Ecuación de la circunferencia con centro
Más detallesCálculo diferencial DERIVACIÓN
DERIVACIÓN Definición de límite Entorno Definición. Se le llama entorno o vecindad de un punto a en R, al intervalo abierto (a - δ, a + δ ) = {a a - δ < x < a + δ }, en donde δ es semiamplitud a radio
Más detallesSEPTIEMBRE 2003 PRUEBA A
PROBLEMAS SEPTIEMBRE 003 PRUEBA A 1.- a) Discutir en función de los valores de m: x 3y 0 x y+ z 0 x + y + mz m b) Resolver en los casos de compatibilidad el sistema anterior..- Calcular el área de la región
Más detallesTEMA 12. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA.
TEMA 12. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA. Un sistema de referencia en el espacio está formado por un punto y tres vectores linealmente independientes. A partir de ahora consideraremos el sistema de referencia
Más detallesUNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA
C u r s o : Matemática Material N 6 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma, o que
Más detallesFunciones Vectoriales
Funciones Vectoriales Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Mecánica Universidad Nacional de Ingenieria Calculo Vectorial Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 27 CONTENIDO Longitud de Arco Reparametrización
Más detallesEjercicios Resueltos de Derivadas y sus aplicaciones:
Ejercicios Resueltos de Derivadas y sus aplicaciones: 1.- Sea la curva paramétrica definida por, con. a) Halle. b) Para qué valor(es) de, la curva tiene recta tangente vertical? 2.- Halle para : a) b)
Más detalles1 Funciones reales de una variable real
E.T.S. Arquitectura. Cálculo diferencial. Funciones reales de una variable real Sea f R! R una función real de variable real.. Continuidad De nición. La función f es continua en a 2 R si f(x) = f(a) x!a
Más detallesFUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO. El Tª de Bolzano es útil para determinar en algunas ocasiones si una ecuación tiene soluciones reales:
FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO Teoremas de continuidad y derivabilidad Teorema de Bolzano Sea una función que verifica las siguientes hipótesis:. Es continua en el intervalo cerrado [, ]. Las imágenes
Más detalles(3 p.) 3) Se considera la superficie z = z(x, y) definida implícitamente por la ecuación. 3x 2 z x 2 y 2 + 2z 3 3yz = 15.
Universidade de Vigo Departamento de Matemática Aplicada II E.T.S.I. Minas Cálculo I Curso 2012/2013 21 de junio de 2013 4 p.) 1) Se considera la función fx) = x 4 e 1 x 2. a) Calcular los intervalos de
Más detalles2. Determine el área del triángulo cuyos vértices son los extremos de los vectores u, v y w u = (1,0,-2) v = (-1,1,0) w = (2,-1,1)
2011 ÁLGEBRA II (L. S. I. P. I.) Guíía de Trabajjos Prácttiicos Nºº 4 Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO Prroducctto Veeccttorriiall.. Reecctta.. Pllano
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO TEMA 5: GEOMETRÍA AFÍN PROBLEMAS MÉTRICOS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 5: GEOMETRÍA AFÍN PROBLEMAS MÉTRICOS º BACHILLERATO ÍNDICE. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO.... 4.. SISTEMAS DE REFERENCIA... 4.. COORDENADAS DE UN PUNTO... 4.3. COORDENADAS
Más detallesAutor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
Ejercicio: 4. 4. El intervalo abierto (,) es el conjunto de los números reales que verifican: a). b) < . - Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales, a < < b. 4. El intervalo
Más detallesI.P.A.O. Granada EXAMEN ANDALUCÍA 2000. JARR
PROCEDIMIENTO SELECTIVO PARA EL INGRESO AL CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA. CONVOCATORIA 2000. MATEMÁTICAS EJERCICIO 1: Construir un triángulo conociendo los lados "b" y "c" y la bisectriz
Más detallesProblemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás
Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid Resueltos Isaac Musat Hervás 22 de mayo de 213 Capítulo 11 Año 21 11.1. Modelo 21 - Opción A Problema 11.1.1 3 puntos Dada la función: fx
Más detallesHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de innovación didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Índice Puntos y vectores en En R 3, conviene distinguir
Más detallesSELECTIVIDAD. Exámenes de PAU de Matemáticas II de la Comunidad de Madrid.
SELECTIVIDAD Exámenes de PAU de Matemáticas II de la Comunidad de Madrid. Contenido del fichero: Modelos de examen y pruebas de las convocatorias de junio y septiembre desde el curso 2001-2002 hasta 2012-2013.
Más detallesLas superficies serán: Tapa y superficie lateral S 1 = ( x 2 +4xy ) cm 2 Superficie de la base: S 2 = x 2 cm 2
MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 8 cm. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta /cm y para la base
Más detallesCÁLCULO DE PRIMITIVAS Y ÁREAS POR INTEGRALES
CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y ÁREAS POR INTEGRALES RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD º DE BACHILLERATO CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS TERESA GONZÁLEZ GÓMEZ .-Hallar una primitiva
Más detallesVECTORES EN EL ESPACIO
VECTORES EN EL ESPACIO Página 133 REFLEXIONA Y RESUELVE Relaciones trigonométricas en el triángulo Halla el área de este paralelogramo en función del ángulo a: cm a cm Área = sen a = 40 sen a cm Halla
Más detallesRELACION DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/97.
RELACION DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 996/97. º. - Explica cómo se puede hallar el área de un triángulo, a partir de sus coordenadas, en el espacio
Más detallesCurso de Álgebra Lineal
Curso de Álgebra Lineal 1. NÚMEROS COMPLEJOS 1.1 Definición, origen y operaciones fundamentales con números complejos Definición. Un número complejo, z, es una pareja ordenada (a, b) de números reales
Más detallesTema 4: Movimiento en 2D y 3D
Tema 4: Movimiento en 2D y 3D FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica Departamento de Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Índice
Más detallesINSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN
UNIVERSIDADES P ÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO 215-216 MATERIA: MATEMÁTICAS II MODELO INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN Después
Más detallesExpresiones de velocidad y aceleración en distintas coordenadas
Apéndice B Expresiones de velocidad y aceleración en distintas coordenadas Índice B.1. Coordenadas cartesianas............... B.1 B.2. Coordenadas cilíndricas y polares......... B.2 B.3. Coordenadas esféricas................
Más detalles