02_01_02 NOTACIÓN DE VOIGT, ESTRUCTURA DE PROPIEDADES, PROPIEDADES EN UNA DIRECCIÓN

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1 0_0_0 NOTACIÓN DE VOIGT, ESTRUCTURA DE PROPIEDADES, PROPIEDADES EN UNA DIRECCIÓN Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos

2 Notación de Voigt La notación de Voigt es en general aplicable a cualquiera pareja de índices respecto a la cual la propiedad correspondiente es simétrica. Notación de Voigt: para los dos índices de τ ιj y ε ij, para los dos últimos índices de d ijk y para las dos parejas de índices de c ijkl, s ijkl es: Índice del tensor y y y Índice en notación matricial Como regla mnemotécnica sencilla, recordar el diagrama: Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos

3 Notación de Voigt La notación n de Voigt facilita la visualización, simplifica las operaciones pero las variables con índices de Voigt no se transforman como tensores Para cambiar de coordenadas es preciso volver a la notación n completa y aplicar la regla de transformación n de coordenadas de tensores. Tensores de segundo orden T ij simétricos se representan como vectores 6 6 Tensores de tercer orden T ijk simétricos respecto a un par de índices se representan como matrices 6 6 (simétrico en j y k) ) o 6 (simétrico en i y j) Tensores de cuarto orden T ijkl simétricos respecto a los dos pares de índices (simétrico en i y j y en k y l) ) se representan como matrices 6 66 Muy importante La notación n de Voigt es cómoda c pero hay que usarla con cuidado Los datos experimentales casi siempre se encuentran en notación n de Voigt Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos

4 Notación de Voigt Para que se mantenga la forma de las ecuaciones constitutivas, se introduce un factor de en algunos: Deformación Esfuerzo ε ε ij m m = εij = ε m ij si m es, o si m es 4, 5 o 6 según la tabla τ m ij = τ m ij según la tabla Módulos piezoeléctricos d d im im = d = d ijk ijk si m es, o si m es 4, 5 o 6 jk m según la tabla Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 4

5 Notación de Voigt s s s mn mn mn = s = s ijkl = 4 s Complianza ijkl ijkl ij m kl n si m y n son, o si m o n, pero no los dos, son 4, 5 o 6 si m y n son 4, 5 o 6 según la tabla Rigidez (módulos) c mn = c ij m kl n ijkl según la tabla Con estas definiciones (y gracias a los factores de y 4) se puede escribir: En vez de: P = dτ P = d τ i ij j P = d : τ P = d τ i ijk kj T T ε = Ed ε = Ed i j ji ε = Ed ε ij = Ed k kij τ = cε τ = c ε i ij j τ = c: ε τ = c ε ij ijkl lk ε = sτ ε = s τ i ij j ε = s: τ ε = s ij τ ijkl lk Notación de Voigt o matricial Notación tensorial Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 5

6 Notación de Voigt donde: s variable subrayada: tensorial, orden = nº de subrayados. Se transforma según la regla de transformación de tensores cartesianos. s ε variable subrayada con tilde: matriz (p.ej. ortogonal, de rotación) o variable tensorial de er orden representada como matriz por medio de la notación de Voigt. No se transforma como tensor. Para transformarla a otros ejes, volver primero a la notación tensorial normal, transformar como tensor y retornar a la notación de Voigt. variable con flecha superior de vector: no es tensor de er orden sino variable tensorial de º orden representada como vector por medio de la notación de Voigt. No se transforma como tensor. Transformación como en el punto anterior. Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 6

7 Propiedades de er orden Propiedades como la piroelectricidad y la polarización eléctrica bajo presión (esfuerzo hidrostático) son propiedades tensoriales de er orden. Sólo aquéllos materiales que pertenecen a las clases polares pueden tener propiedades de este orden. Representándolas como vectores, tienen las estructuras que se muestran en las siguientes páginas. Se han usado los símbolos: elemento nulo elemento no nulo Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 7

8 Propiedades de er orden Sistema, en orientación convencional Clases Material orientado o compuesto análogo Estructura, en forma de vector Número de componentes independientes TRICLÍNICO MONOCLÍNICO ORTORRÓMBICO TRICLÍNICO MONOCLÍNICO m mm MONOCLÍNICO ORTOTRÓPICO, LÁMINA BIORIENTADA NO EQUIBIAXIAL Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 8

9 Propiedades de er orden Sistema, en orientación convencional Clases Material orientado o compuesto análogo Estructura, en forma de vector Número de componentes independientes TETRAGONAL, HEXAGONAL, TRIGONAL, m 4, 4mm,m 6,6mm Cerámica PZT polarizada Polímero semicristalino polarizado Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 9

10 Propiedades de º orden, tensor simétrico Propiedades como la difusividad másica, la conductividad térmica, la conductividad y resistividad eléctrica, la permitividad eléctrica, las susceptibilidades eléctrica y magnética son propiedades tensoriales de º orden simétricas que relacionan dos tensores de er orden. Otras, como los coeficientes de expansión térmica relacionan un escalar con un tensor de campo de º orden. Todas estas propiedades son simétricas (sólo se representa la parte triangular superior). Representándolos como matrices, tienen las estructuras que se muestran en las siguientes páginas. Se han usado los símbolos: elemento nulo elemento no nulo elementos iguales Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 0

11 Propiedades º orden, simétricas Sistema, en orientación convencional Clases Material orientado o compuesto análogo Estructura, en forma de matriz Número de componentes independientes TRICLÍNICO todas TRICLÍNICO 6 MONOCLÍNICO todas MONOCLÍNICO. 4. ORTORRÓMBICO todas ORTOTRÓPICO, LÁMINA BIORIENTADA NO EQUIBIAXIAL, COMPUESTO LAMINAR UNIDIRECCIONAL (láminas perpendiculares al eje ), MADERA... Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos

12 Propiedades º orden, simétricas Sistema, en orientación convencional Clases Material orientado o compuesto análogo Estructura, en forma de matriz Número de componentes independientes TETRAGONAL, HEXAGONAL, TRIGONAL, m, / m,, / mm, todas FILAMENTO ORIENTADO UNIAXIALMENTE, FIBRA (dirección de orientación coincidente con el eje ) COMPUESTO LAMINAR CUASI-ISOTRÓPICO (láminas perpendiculares al eje ) COMPUESTO REFORZADO CON FIBRA (fibras alineadas en dirección )... CÚBICO, MATERIAL todas COMPUESTO ISÓTROPO ISÓTROPO ( ) m... Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos

13 Piezoelectricidad (props. er orden) En notación de Voigt, la matriz de módulos piezoeléctricos para las distintas clases cristalográficas y morfologías de compuestos tienen las estructuras que se muestran en las siguientes páginas. Se han usado los símbolos: o elemento nulo elemento no nulo elementos iguales elementos iguales en módulo, signo contrario - veces el valor del elemento al que está conectado Los materiales pertenecientes a clases centrosimétricas no pueden presentar efecto piezoeléctrico. En las tablas siguientes se omiten por tanto las clases centrosimétricas. Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos

14 Piezoelectricidad Sistema, en orientación convencional Clases Material orientado o compuesto análogo Estructura de d ij Número de componentes independientes TRICLÍNICO TRICLÍNICO 8 MONOCLÍNICO MONOCLÍNICO 8 m 0 Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 4

15 Piezoelectricidad Sistema, en orientación convencional Clases Material orientado o compuesto análogo Estructura de d ij Número de componentes independientes ORTORRÓMBICO ORTOTRÓPICO, LÁMINA BIORIENTADA NO EQUIBIAXIAL mm 5 TETRAGONAL 4 4 ο 4 4 ο ο Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 5

16 Piezoelectricidad Sistema, en orientación convencional Clases Material orientado o compuesto análogo Estructura de d ij Número de componentes independientes TETRAGONAL (cont.) 4 ο 4mm 4m eje binario () paralelo a Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 6

17 Piezoelectricidad Sistema, en orientación convencional Clases Material orientado o compuesto análogo Estructura de d ij Número de componentes independientes CÚBICO m, TRIGONAL ο ο ο 6 Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 7

18 Piezoelectricidad Sistema, en orientación convencional Clases Material orientado o compuesto análogo Estructura de d ij Número de componentes independientes TRIGONAL (cont.) ο ο m ο 4 HEXAGONAL 6, ο 4 Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 8

19 Piezoelectricidad Sistema, en orientación convencional Clases Material orientado o compuesto análogo Estructura de d ij Número de componentes independientes HEXAGONAL (cont.) 6 mm, m 6, ο 6 ο ο 6 m ο Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 9

20 Elasticidad (prop. 4º orden) En notación de Voigt, las matrices de complianza y rigidez para las distintas clases cristalográficas y morfologías de compuestos tienen las estructuras que se muestran en las siguientes páginas. Se han usado los símbolos: Para s Para c Para s Para c o elemento nulo elemento no nulo elementos iguales elementos iguales en módulo, signo contrario veces el valor del elemento al que está conectado el valor del elemento al que está conectado ( s s ) ( c c ) Las matrices de complianza y rigidez son simétricas; en los diagramas siguientes sólo se representa la parte triangular superior. También se verifica: s = c Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 0

21 Propiedades elásticas lineales Sistema, en orientación convencional Clases Material orientado o compuesto análogo Estructura de s ij, c ij Número de componentes independientes TRICLÍNICO todas, MONOCLÍNICO todas, m, / m Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos

22 Propiedades elásticas lineales Sistema, en orientación convencional Clases Material orientado o compuesto análogo Estructura de s ij, c ij Número de componentes independientes ORTORRÓMBICO todas, mm mmm ORTOTRÓPICO, LÁMINA BIORIENTADA NO EQUIBIAXIAL* MADERA ( es la dirección tangencial, la radial, la axial) COMPUESTO LAMINAR UNIDIRECCIONAL (láminas perpendiculares al eje ) 9 HEXAGONAL 6,6,6 / todas m, 6,6mm 6m,6/ mmm m,, / m / mm, FILAMENTO ORIENTADO UNIAXIALMENTE, FIBRA (dirección de orientación coincidente con el eje ) COMPUESTO LAMINAR CUASI-ISOTRÓPICO (láminas perpendiculares al eje ) COMPUESTO REFORZADO CON FIBRA (fibras alineadas en dirección ) 5 * Es decir, el material ha sido estirado en dos direcciones, pero no en la misma proporción. O el material compuesto tiene de por sí propiedades diferentes en esas dos direcciones, p.ej. radial y tangencial en el caso de la madera. Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos

23 Propiedades elásticas lineales Sistema, en orientación convencional Clases Material orientado o compuesto análogo Estructura de s ij, c ij Número de componentes independientes TETRAGONAL 4,4,4m 4 mm,4m 4,4 / mmm TETRAGONAL, LÁMINA BIORIENTADA EQUIBIAXIAL ( y son las direcciones de orientación equivalentes)* COMPUESTO LAMINAR BIDIRECCIONAL (láminas perpendiculares al eje ) o 7 6 * La asignación de un determinado material compuesto a una clase cristalográfica por diferentes autores no siempre es coincidente. Pero en general no es causa de problemas porque, aunque las estructuras (elementos no nulos) de las matrices de propiedades son diferentes, la combinación de los valores numéricos de los elementos de dichas matrices conducen a valores casi idénticos (y con discrepancias menores que las incertidumbres experimentales en dichos coeficientes). P.ej. el compuesto cuasi-isotrópico del problema 09_0_0 es a veces asignado a la clase tetragonal de máxima simetría 4/mmm y a veces a la 4/m., o incluso (más correctamente) a la monoclínica /m. En no pocas ocasiones en la práctica industrial, no se miden o no se pueden estimar todos los elementos de las matrices de complianza y rigidez de un material y es frecuente realizar diseños o cálculos sólo aproximados asignando el material a una clase que estrictamente no es la correcta. La validez de este procedimiento depende de la aplicación de que se trate. Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos

24 Propiedades elásticas lineales Sistema, en orientación convencional Clases Material orientado o compuesto análogo Estructura de s ij, c ij Número de componentes independientes TRIGONAL, o o 7, m,m En otros textos al sistema trigonal se le llama romboédrico y se utiliza una celda unitaria, en la que los tres lados y los ángulos son iguales (ejes de Miller-Bravais). La celda en el sistema trigonal no es unitaria pero es equivalente y más general (Seitz, F., A matrix-algebraic development of the crystallographic groups, Z.f. Krist. 88, 4-459, (94), 90, 89- (95), 9, 6-66 (95), 00-0 (96)). 6 Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 4

25 Propiedades elásticas lineales Sistema, en orientación convencional Clases Material orientado o compuesto análogo Estructura de s ij, c ij Número de componentes independientes CÚBICO* todas, m 4,4 m, mm m ISÓTROPO COMPUESTO ISÓTROPO (p.ej. hormigón, HM o metal duro ) COMPUESTO REFORZADO CON FIBRA CORTA ORIENTADA AL AZAR * El material cúbico no es isótropo en lo que se refiere a sus propiedades elásticas (4º orden). Sí lo es en propiedades de º orden (difusividad másica, conductividad térmica, conductividad y resistividad eléctricas). Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 5

26 Material isótropo El comportamiento elástico lineal de un material isótropo (p.ej., un material policristalino no orientado, un material amorfo, un material compuesto como el hormigón o una espuma, etc.), se describe con sólo dos parámetros (diferentes para cada material). bien: Complianzas módulo de Young y relación de Poisson o bien: Rigideces constantes de Lamé y en consecuencia también pueden relacionarse: módulo de Young y relación de Poisson constantes de Lamé Pero en cualquier caso sólo hay parámetros independientes para el material isótropo. Las relaciones son las siguientes: Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 6

27 Material isótropo ε = sτ Complianzas módulo de Young y relación de Poisson ε = sτ + sτ + sτ ε = sτ + sτ + sτ ε = sτ + sτ + sτ ε 4 = ( s s) τ 4 ε 5 = ( s s) τ 5 ε = ( s s ) τ 6 6 Al escribir tener en cuenta la estructura de (pág. anterior), es decir: s = s = s s = s = s = s = s = s s = s = s = ( s s ) s ν ν ε = τ τ τ E E E ν ν ε = τ + τ τ E E E ν ν ε = τ τ + τ E E E ε 4 = τ 4 G ε 5 = τ 5 G ε 6 = τ 6 G deformación longitudinal - debida a esfuerzo long. - deformación longitudinal - debida a esfuerzo long. - Módulo elástico o de Young deformación angular en el plano - debida a esfuerzo cortante - Módulo de cortadura (o cortante, o a cortadura, o de cizalla ) Identificando coeficientes: s = / E s = ν / E que son los dos únicos parámetros necesarios para describir el material isótropo. Además se obtiene el módulo de cortadura en función de los otros dos parámetros: / G = ( s s ) G = E [( + ν )] Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 7

28 Material isótropo Rigideces constantes de Lamé τ = c ε + c ε + c ε τ = c ε + c ε + c ε τ = c ε + c ε + c ε τ τ = ( c c ) ε = ( c c ) ε τ = ( μ + λ) ε + λε + λε τ = λε + ( μ + λ) ε + λε τ = λε + λε + ( μ + λ) ε τ τ τ = 4 = 4 5 = με με με 5 6 τ = ( c c ) ε 5 6 Identificando coeficientes: λ = c λ + μ = c Finalmente: módulo de Young y relación de Poisson constantes de Lamé E μ (λ + μ) λ = ν = λ + μ λ + μ ( ) Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 8

29 Resumen En Materiales II usamos los símbolos s de las clases cristalográficas para identificar a qué sistema pertenece un material y por tanto saber qué estructura (en notación n de Voigt) ) tienen propiedades tales como los módulos m piezoeléctricos, la complianza,, la rigidez, etc. No es preciso saber deducir los símbolos s para un material dado, ni siquiera deducir todos los elementos de simetría a que implica un símbolo. s Las tablas anteriores sirven, en Materiales II, para poder entender y consultar las fuentes de datos experimentales de propiedades de materiales anisotrópicos (monocristales,, materiales orientados y materiales compuestos) para unificar el tratamiento de materiales cerámicos, poliméricos y compuestos anisótropos tropos. Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 9

30 Propiedades de º orden en una dirección dada El valor de una propiedad de º orden (p.ej( p.ej.. la conductividad eléctrica) en una dirección definida por los cosenos directores se calcula como: l l l J = σ E = Eσ l E n i ij j ij j i j = = l i El j E es decir: vector unitario n J J = σ. se aplica un campo E. se calcula J. se determina la componente de en dirección de n (proyección sobre E ): E en dirección n : 4. el valor de la propiedad (en este caso conductividad) es el cociente: J σ = ( δ ieσijlj ) ( δ klk ) σ = = ll j kσδ ij ik = ll j iσij = ll i jσij E σ = llσ i j ij J n J n E E = En Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 0

31 Propiedades de º orden en una dirección dada A veces es conveniente elegir un nuevo sistema de coordenadas en el que uno de los nuevos ejes, p.ej.. el,, va en la dirección n de n. En este caso, la prop.. en la dirección n de interés s es: σ = llσ = σ i j ij es decir, el valor de la propiedad en la dirección es (lo que resulta evidente de la definición n de σ ). Es posible interpretar σ gráficamente de modo muy intuitivo: representamos la superficie σ xx = (* esta superficie se llama cuádrica de representaci ij i j que para la conductividad eléctrica es un elipsoide (puesto que los tres valores principales son siempre positivos). En una dirección n definida por los cosenos directores l i el radio vector r (es decir, el vector del origen a la superficie del elipsoide en esa dirección) tiene por componentes y sustituyendo en (*), ij i j x i = rl r σ ll = es decir: i r σ = r = Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos σ drica de representación para la propiedad de º orden) Es decir, la longitud del radio vector es igual al inverso de la raíz z cuadrada del módulo m de la propiedad en esa dirección. σ

32 Propiedades de º orden en una dirección dada n σ σ O r = σ σ Cuádrica (en el caso de la conductividad, elipsoide) de representación n de la cond. eléctrica (válida para cualquier otra propiedad de º orden simétrica; si los valores de la propiedad pueden ser negativos o nulos, p.ej. la actividad óptica, la cuádrica puede ser cualquiera, es decir, un hiperboloide de una o dos hojas, un paraboloide o un elipsoide imaginario) Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos

33 El material cúbico es isótropo para props. de º orden Un material cúbico c se caracteriza por tener iguales los tres valores principales de cualquier propiedad de º orden simétrica en tres direcciones ortogonales. Por lo que se deduce inmediatamente que la cuádrica de representación n es una esfera. Y por tanto la propiedad de º orden es la misma en todas las direcciones, es decir, la propiedad es independiente de la dirección, o lo que es lo mismo, hay invariancia rotacional, que es la condición n de isotropía. El material cúbico c es, para propiedades simétricas de º orden, isótropo. Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos

34 Propiedades de 4º orden en una dirección dada Igualmente, para determinar una propiedad de cuarto orden (p.ej( p.ej.. la complianza de un material compuesto) en la dirección n definida por el vector unitario n, giramos los ejes de manera que la dirección n del nuevo eje coincida con la dirección n de n y determinamos la relación n entre la deformación n longitudinal en esa dirección n y el esfuerzo de tracción n o compresión n en esa dirección, es decir, calculamos directamente el valor de s según n la ley de transformación n habitual: s = ll l ls i j k l ijkl s ( = s ) En este caso, la superficie de representación n no es una cuádrica (la regla de transformación contiene productos de cuatro cosenos directores, es decir, será en general una cuártica. En el caso de props. de º orden, la regla de transformación n contiene productos de dos cosenos directores y la superficie de representación n es una cuádrica). Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 4

35 Propiedades de 4º orden en una dirección dada Gráficamente, la complianza de una barra cortada del material tal y como se indica en el dibujo, se calcula como s = ll i jlkls l ijkl, el módulo m elástico o de Young para esa barra como y la rigidez elástica como. / s ' c = l l l l c i j k l ijkl E l n l l Laboratorio de Simulación de Materiales no Metálicos 5