Soluciones discontinuas en materiales reforzados con fibra en grandes deformaciones

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1 Universidad Politécnica de Madrid Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Trabajo fin de máster Soluciones discontinuas en materiales reforzados con fibra en grandes deformaciones Autor: Mustapha El Hamdaoui Director: José Merodio Gómez Doctor Ingeniero Industrial Madrid - 14 de febrero de 2011

2 Índice 1. INTRODUCCIÓN 5 2. PRELIMINARES Descripción de la deformación de un medio continuo Tensores de deformación Tensores de tensiones Ecuación de equilibrio ELASTICIDAD LINEAL Tensor de deformaciones infinitesimales Ecuación constitutiva Simetría menor y simetría mayor (simetría triclínica) Leyes de transformación en notación de V oigt Ley de transformación para la ecuación constitutiva Simetría monoclínica (un plano de simetría) Simetría Ortótropa (dos planos de simetría) Simetría transversalmente isótropa Simetría Cúbica Simetría en Todas Direcciones (Isotropía) Constantes Elásticas Módulos Elásticos Coeficiente de P oisson Relación entre las constantes elásticas ELASTICIDAD NO-LINEAL Ecuación Constitutiva Especialización de la ecuación constitutiva para materiales isótropos compresibles Ejemplo de materiales hiperelásticos compresibles Especialización de la ecuación constitutiva para materiales isótropos incompresibles Ecuación constitutiva para materiales transversalmente isótropos SUPERFICIE DE DISCONTINUIDAD Deformación homogénea a ambos lados de la superficie de discontinuidad Especialización de la deformación El modelo Neo-Hookean sin refuerzo El modelo Neo Hookean con refuerzo El efecto del invariante I El efecto del invariante I El MODELO DEL MATERIAL Y LA CONDICIÓN DE ELIPTICI- DAD Función de energía y tensiones Equilibrio y elipticidad Elipticidad y modelo de refuerzo Restricción a una deformación plana El efecto del refuerzo I 4 y su elipticidad

3 6.6. El efecto del refuerzo I 5 y su elipticidad Especialización de la función de energía Condición de pérdida de elipticidad respecto al efecto del refuerzo I Condición de pérdida de elipticidad respecto al efecto del refuerzo I RESUMEN CONCLUSIONES 67 3

4 Este trabajo se distribuye en los siguientes apartados. En primer lugar, se describen los materiales reforzados de manera general. Posteriormente, en el contexto de la elasticidad lineal se analizan las ecuaciones constitutivas de materiales reforzados. En el apartado 4 se introduce la ecuación constitutiva de los materiales dentro de la elasticidad No-lineal. Tras dicho análisis se efectuará el estudio de soluciones discontinuas para materiales reforzados con fibra en el rango de grandes deformaciones. En particular, se analizan las condiciones de continuidad de tracciones y continuidad de desplazamiento. El análisis general de estas soluciones se expresa por medio de una variable que se interpreta como la cantidad de cortante adicional,k, en un lado de la superficie de la superficie de discontinuidad con respecto del otro lado de la superficie de discontinuidad. Cuando dicho cortante,k 0, las ecuaciones diferenciales pierden elipticidad. Por tanto, la pérdida de elipticidad es una condición necesaria para la obtención de estas soluciones. 4

5 1. INTRODUCCIÓN Durante los últimos años los materiales compuestos han sido de especial interés, debido al creciente uso de este tipo de materiales, no sólo en la industria aeroespacial, sino también en la industria del automóvil y la modelización de los órganos del cuerpo humano. En su forma más básica un material compuesto es un material que se compone como mínimo de dos constituyentes que trabajan juntos para lograr características diferentes y más eficientes a las propias de cada uno de ellos. Estos materiales están constituidos por una matriz (Material base ) en el que se hallan dispersas partículas o fibras del otro u otros constituyentes. Estas fibras o partículas tienen el fin de aumentar la resistencia de la matriz. A estos materiales se los clasifica en primer lugar por la naturaleza del constituyente matriz. Dichas clasificaciones diferencian entre. Materiales compuestos de matriz polimérica, (PMC). Materiales compuestos de matriz metálica, (MMCs). Materiales compuestos de matriz cerámica, (CMCs) En segundo lugar, una clasificación de los materiales compuestos es dada por la naturaleza y disposición de las partículas o fibras dentro de la matriz de la siguiente forma.. Materiales particulados Están compuestos por partículas de un material duro y frágil dispersas discreta y uniformemente, rodeadas por una matriz más blanda y dúctil. A su vez estos materiales se clasifican en materiales reforzados con partículas grandes y otros endurecidos por dispersión. ˆ. Particulados verdaderos: partículas de gran tamaño, elevado porcentaje de partículas, menor dureza,(carburos cementados como WC, polímeros como el ABS o el negro de carbono, hormigón...etc). ˆ. Particulados endurecidos por dispersión: el tamaño de las partículas es pequeño (de 100 A a 2500 A), pequeño porcentaje de partículas, aumento de dureza.. Materiales compuestos estructurales Los materiales compuestos estructurales presentan una combinación de materiales homogéneos y las propiedades dependen más de la geometría del diseño de los elementos estructurales que de la naturaleza de los materiales constituyentes. Estos materiales suelen ser laminares o sandwiches y son fuertemente anisótropos. Por ejemplo, la madera contrachapada es un ejemplo de este tipo de material. Un ejemplo de estructura laminar relativamente compleja son los esquís modernos. 5

6 ˆ. Sandwich: Es un material compuesto por dos láminas externas o caras, de mayor resistencia, y entre ellas una capa de material menos denso (núcleo), de baja rigidez y baja resistencia Figura 1: Material compuesto estructural de tipo sandwich ˆ. Laminares: Se disponen los componentes en series de capas alternadas y cuando se aplican cargas, los esfuerzos resultantes son proporcionales a los módulos elásticos de los constituyentes. Figura 2: Material compuesto estructural de tipo laminar. Materiales compuestos reforzados por fibras Son materiales que contienen fibras en su interior. Se forman por la introducción de fibras fuertes y rígidas dentro de una matriz más blanda y dúctil. Se consigue mejor resistencia (incluso a altas temperaturas), rigidez y alta relación resistencia/peso. El material de la matriz transmite la fuerza a las fibras y proporciona ductilidad y tenacidad, mientras 6

7 que las fibras soportan la mayor parte de la fuerza aplicada. Estos son los materiales compuestos más conocidos por sus altas prestaciones mecánicas y el alto valor añadido del material final. En la siguiente figura se muestran algunas distribuciones de fibras dentro de la matriz. Figura 3: Distribución de las fibras El objetivo de este trabajo es el análisis del comportamiento mecánico no lineal de materiales compuestos reforzados unidireccionalmente con fibras continuas y alineadas. Los refuerzos (Fibras) están incrustados en una matriz cuya resistencia mecánica es mucho menor, la matriz garantiza la cohesión y la orientación de las fibras, los materiales resultantes son heterogéneos y anisótropos. Estos materiales tienen como objetivo primordial aportar una mayor resistencia tanto estática como dinámica que los materiales isótropos. Figura 4: Material cargado en la dirección de la fibra refuerzo En particular se busca unas propiedades mecánicas superiores en la dirección que sirve como refuerzo (Fig.4) que es la dirección que va a soportar los esfuerzos mayores, esto es, la dirección en la que el material se ve sometido a esfuerzos externos primordialmente. Esto queda reflejado en la (Fig.4) en donde se observa que la dirección en la que se aplica la fuerza coincide con la dirección de la fibra refuerzo. Las propiedades de estos materiales son muy diferentes en distintas direcciones, es decir, dependen de la dirección en que se miden. Se busca optimizar el rendimiento del material compuesto. Dicho rendimiento, en forma de mayor resistencia, se da en la dirección de la fibra refuerzo mientras que en otras direcciones puede que el material haya perdido parte de la misma. El comportamiento resistente global de estos materiales puede no derivarse fácilmente del comportamiento resistente de sus constituyentes. En el comportamiento de los materiales compuestos influyen diferentes aspectos que dificultan su modelización. por ejemplo, el tipo de unión fibra-matriz y su comportamiento, la deformabilidad relativa matriz-fibra,... etc. La modelización de materiales compuestos aún se complica más cuando el tipo o la distribución de las fibras no admite simplificaciones, como es el caso de los materiales compuestos de fibra corta, donde el comportamiento está fuertemente condicionado por la esbeltez de las fibras, es decir, por la relación longitud/diámetro de las mismas. 7

8 El comportamiento de un material compuesto reforzado con fibras depende fundamentalmente de su esbeltez, fracción en volumen de las fibras, orientación de las fibras, propiedades mecánicas de las fibras y propiedades mecánicas da la matriz. La aplicación de los materiales compuestos está presente en aquellos campos de la ingeniería donde el material debe presentar una combinación de propiedades difíciles de encontrar en materiales convencionales. En este trabajo analizaremos en primer lugar el comportamiento mecánico de un material incompresible elástico no-lineal reforzado unidireccionalmente con fibra continua y en segundo lugar el análisis de la pérdida de elipticidad que acompaña al fallo denominado intrínseco del material en contraposición al fallo geométrico o también llamado fallo por doblaje. La distribución de la fibra en el material define la clase de simetría a considerar en el estudio macroscópico del material. En este trabajo utilizamos un tipo de anisotropía que se genera por la existencia de una única fibra: la transversalmente isotrópica, es decir, se considera que en el plano transversal a la fibra existe isotropía. Con el fin de que sirva como introducción, consideramos un sistema de coordenadas como se indica en la figura 5, donde (E 1, E 2, E 3 ) son los vectores unitarios de los ejes X 1, X 2, X 3 respectivamente. Figura 5 Si el material tiene comportamiento elástico lineal y por tanto sus características mecánicas se expresan por medio de coeficientes elásticos, es fácil deducir que el módulo de Y oung en las direcciones dos y tres es el mismo (siendo estas direcciones las que definen precisamente el plano transversal a la fibra ) y distinto del módulo de Y oung en la dirección de la fibra ( la dirección 1). Lo mismo sucederá con otras constantes elásticas. Una vez conocido el tipo de anisotropía del material compuesto se puede analizar las propiedades mecánicas del mismo mediante el estudio tanto de las curvas tensión-deformación 8

9 como de sus constantes elásticas. Si el material es elástico lineal sus propiedades mecánicas son constantes y vienen dadas por los coeficientes elásticos y si el material es elástico nolineal sus propiedades mecánicas varían con la deformación. En la elasticidad no-lineal las ecuaciones constitutivas vienen dadas por funciones de energía que dependen, en general, de los tensores de deformación. Este tipo de anisotropía (la transversal isótropa ) se genera por la existencia de fibras largas en una dirección mediante determinadas distribuciones de las fibras en el plano transversal a la dirección de la fibra. Por ejemplo, una distribución hexagonal en el plano transversal genera dicha anisotropía. A continuación, se describe las variables de deformación y tensión en el rango no lineal. 2. PRELIMINARES 2.1. Descripción de la deformación de un medio continuo Figura 6 Sea K 0 (B) el dominio que ocupa el medio continuo en la configuración de referencia (no deformada) y K t (B) el dominio que ocupa el medio continuo en la configuración actual (deformada). Se utiliza un único sistema de coordenadas con los vectores (E 1, E 2, E 3 ) para ambas configuraciones. Al vector de un punto X = OM 0 del medio continuo en la configuración de referencia se le denomina coordenadas materiales mientras que al vector de un punto en la configuración deformada, x = OM, se le denomina coordenadas espaciales, y al vector u = M 0 M se le denomina vector desplazamiento. Se denomina movimiento a la función ϕ que relaciona ambas configuraciones de tal forma que x = ϕ(x, t) 9

10 Para que la deformación sea admisible para un medio continuo la función ϕ debe cumplir ciertas condiciones Estas condiciones básicamente son 1). En el instante inicial t 0 ϕ(x, t 0 ) = X 2). Condición de impenetrabilidad (ϕ 1 es biyectiva), esto es 3). La transitividad, esto es 2.2. Tensores de deformación ϕ 1 / X = ϕ 1 (x, t) ϕ(x, t 0 t 1 ) ϕ(x, t 1 t 2 ) = ϕ(x, t 0 t 2 ) Asociado al movimiento existe un tensor de segundo orden llamado gradiente de deformación F, definido por ϕ(x, t) F = X = x X. (1) Este tensor contiene la información de la deformación que se produce en el entorno de un punto de la configuración de referencia X. Así este tensor relaciona los elementos de la configuración de referencia y los elementos de la configuración deformada de la siguiente forma dx = F dx. (2) Además el tensor F relaciona los volúmenes en la configuración de referencia dv 0 y la configuración deformada dv mediante su determinante en cada punto (J = det(f ) = dv/dv 0 ). Para que el movimiento previamente definido sea admisible la relación de volúmenes debe ser mayor que cero, en caso contrario se destruiría materia en el proceso de deformación. La función ϕ debe tener inversa, es decir, se puede expresar X = ϕ 1 (X, t) o lo que es lo mismo existe F 1, lo que concuerda con (J > 0). El tensor gradiente de deformación admite descomposición polar por la derecha y por la izquierda, i.e. F = RU = V R donde U y V son tensores de elongación simétricos y definidos positivos y R es el tensor de rotación y es ortogonal. A partir del tensor gradiente de deformación se obtienen diferentes medidas de la deformación Tensor de deformación de Cauchy Green por la derecha Tensor de deformación de Cauchy Green por la izquierda C = F T F = U 2 (3) B = F F T = V 2 (4) 10

11 Tensor de deformación de Green Lagrange Tensor de deformación de Euler Almansi 2.3. Tensores de tensiones E = 1 (C 1) (5) 2 A = 1 2 (1 B 1 ) (6) En cuanto a la medida de tensión, se asume que existe un vector tensión que se mide en la configuración deformada al que se llega a partir del postulado de Cauchy. Además se hace necesario el empleo de otras medidas de tensión bien porque se utiliza la configuración no deformada o porque se busquen ciertas características tensoriales de los mismos, por ejemplo, que sea simétrico. En la teoría clásica de la mecánica del medio continuo se asume que la fuerza total sobre una determinada superficie de la configuración deformada es una función continua del área de la superficie. La relación entre la fuerza y el área en cada punto viene dada por el vector tensión t, de forma que la fuerza total (f Σ ) sobre una superficie Σ se expresa como f Σ = t ds. El postulado de Cauchy establece que la tensión en un punto x solo depende Σ de la normal a la superficie en ese punto (n), de manera que t = t(x, n). Basándose en estos conceptos se define el tensor de tensiones de Cauchy o tensor de tensiones verdaderas σ, que verifica t(x, n) = σ(x)n A partir de σ se definen otros tensores de tensiones Primer tensor de P iola Kirchhoff Segundo tensor de P iola Kirchhoff Tensor de Kirchhof f P = JσF T (7) S = F 1 P (8) τ = Jσ (9) El primer tensor de P iola Kirchhoff es un tensor no simétrico. El segundo tensor de P iola Kirchhoff es un tensor simétrico Ecuación de equilibrio Las ecuaciones de equilibrio en la configuración deformada son Equilibrio Dinámico: σ ij,j + ρb i = ρü i Equilibrio estático: σ ij,j + ρb i = 0 11

12 Donde σ ij b i ü ρ son los valores espaciales de las componentes del tensor de tensiones de Cauchy. son las componentes de las fuerzas de volumen. es la aceleración. es la densidad en la descripción Euleriana 3. ELASTICIDAD LINEAL En la elasticidad lineal se supone que los gradientes de desplazamiento son pequeños y que el material es elástico, es decir, que recupera su forma inicial después de la descarga siguiendo el mismo camino de la carga. Bajo estas hipótesis, el tensor de tensiones se relaciona con el tensor de deformaciones infinitesimales a través de una ecuación lineal σ = σ(ε) que es la forma generalizada de la ley de Hooke. La elasticidad lineal tiene un gran rango de aplicaciones prácticas que describen adecuadamente el comportamiento de materiales tradicionales como el acero y el aluminio Tensor de deformaciones infinitesimales De la figura (6) se deduce que x = X + u y por tanto se puede escribir el gradiente de deformación como F = I + u. El tensor de Green Lagrange en este caso es E = 1 2 ( u + T u + T u u) donde se puede apreciar claramente la parte lineal y la no lineal. En particular, E lineal = 1 2 ( u + T u). Se define el tensor de deformaciones infinitesimales ε como la parte lineal del tensor de deformaciones de Green Lagrange En notación indicial ε = 1 2 ( u + T u) ε ij = 1 2 ( u i x j + u j x i ) En el estudio de deformaciones infinitesimales no se distingue entre coordenadas materiales y espaciales. Se considera que x = X y del mismo modo que solo existe un sistema de coordenadas. 12

13 3.2. Ecuación constitutiva Sin restricciones internas la ecuación constitutiva de un material hiperelástico viene dada por la expresión P = W F entre la función de energía W y el primer tensor de P iola Kirchhoff. En el caso de un material hiperelástico bajo deformaciones infinitesimales la expresión anterior se linealiza con respecto al estado no deformado, es decir, cuando F = I. Además, en deformaciones infinitesimales el tensor de tensiones de P iola Kirchhof f coincide con el tensor de tensiones de Cauchy. Por lo tanto σ = W F Linealizando respecto al origen (dos primeros términos en serie de T aylor) σ(f ) = W (F ) F F =I + 2 W (F ) F 2 F =I (F I) + O(F 2 ) Si suponemos que en la configuración de referencia no existen fuerzas residuales, entonces por tanto W (F ) F F =I = 0 σ(f ) = 2 W (F ) F 2 F =I (F I) + O(F 2 ) Donde O(F 2 ) 0 cuando F I. En notación indicial σ ij = 2 W (F ) F ij F kl F =I (F kl δ kl ) = C ijkl (F kl δ kl ) donde C ijkl = 2 W (F ) F ij F kl F =I son las componentes de un tensor de cuarto orden que contiene las constantes elásticas del material. En la ecuación anterior F kl δ kl = X l (X k + u k ) δ kl = X k X l + u k X l δ kl = u k X l Por tanto, σ ik = C ijkl u k X l 13

14 La expresión anterior indica que el tensor de tensiones de Cauchy es proporcional al gradiente de desplazamiento. Sabemos que el gradiente de desplazamiento se puede descomponer en su parte simétrica (deformaciones infinitesimales) y su parte antisimétrica, la cual representa rotaciones infinitesimales de cuerpo rígido. Si en la ecuación anterior se incluye dicha descomposición al ser C ijkl simétrico, el tensor de rotación desaparece de la ecuación constitutiva (producto de un tensor simmétrico y un tensor antisimétrico es nulo). Por tanto, la ley constitutiva para un material hiperelástico lineal se convierte en En notación simbolica σ ik = C ijkl [ 1 2 ( u k X l + u l X k )] σ ik = C ijkl ε kl σ = C : ε Donde el doble punto indica una doble contracción. El tensor C es un tensor de cuarto orden esta compuesto por = 81 componentes. Este número disminuye significativamente considerando los argumentos y simetrías del material que se escriben a continuación Simetría menor y simetría mayor (simetría triclínica) En primer lugar consideramos la simetría de σ y ε o lo que se llama la simetría menor del tensor C La simetría de σ nos da: C ijkl = C jikl. La simetría de ε nos da: C ijkl = C ijlk. Entonces, el número de constantes elásticas independientes se reduce a = 36 Con el fin de poder escribir el tensor C en una matriz plana, es decir, de filas y columnas solamente, (sin profundidad), los tensores tensión y deformación se suelen reagrupar como vectores σ 11 σ 11 σ 12 σ 13 σ 22 σ = σ 21 σ 22 σ 23 σ 33 σ 31 σ 32 σ 33 σ 12 σ 23 σ 13 ε 11 ε 11 ε 12 ε 13 ε 22 y ε = ε 21 ε 22 ε 23 ε 33 ε 31 ε 32 ε 33 ε 12 ε 23 ε 13 Bajo esta reorganización, el tensor C se puede escribir de la siguiente manera σ 11 C 1111 C 1122 C 1133 C 1123 C 1113 C 1112 ε 11 σ 22 C 2211 C 2222 C 2233 C 2223 C 2213 C 2212 ε 22 σ 33 σ 12 = C 3311 C 3322 C 3333 C 3323 C 3313 C 3312 ε 33 C 2311 C 2322 C 2333 C 2323 C 2313 C 2312 ε 12 σ 23 C 1311 C 1322 C 1333 C 1323 C 1313 C 1312 ε 23 σ 13 C 1211 C 1222 C 1233 C 1223 C 1213 C 1212 ε 13 14

15 En segundo lugar consideramos la simetría mayor del tensor C. Suponiendo que la función de energía es continua, según el teorema de Schwarz de donde se deduce que 2 W (F ) F =I = 2 W (F ) F =I F ij F kl F kl F ij C ijkl = C klij Esta última es la ecuación que representa la simetría mayor del tensor C. De acuerdo con la simetría mayor, el número de constantes elásticas independientes se reduce a 6 7/2 = 21, que son aquellas que aparecen por encima de la diagonal principal en la representación matricial de C indicada anteriormente. El material anisótropo más general cuyo simetría triclínica, esta caracterizado por 21 constantes elásticas vienen dadas por una matriz simétrica. Usando la notación de V oigt, C ijkl = C mn la matriz elástica es C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 12 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C = C 13 C 23 C 33 C 34 C 35 C 36 C 14 C 24 C 34 C 44 C 45 C 46 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 56 C 16 C 26 C 36 C 46 C 56 C 66 Existen otros tipos de simetrías que reduce el número de las constantes elásticas. A continuación analicemos algunas de estas simetrías Leyes de transformación en notación de V oigt Considerando los sistemas de coordenadas (x 1, x 2, x 3 ), (x 1, x 2, x 3) y (x 1, x 2, x 3). Para un tensor de segundo orden, la ley de transformación de las componentes viene definida por T = Q T Q T (10) donde Q ij = cos(x i, x j) es la matriz de transformación del sistema de coordenadas x a x. Usando la notación de V oigt, (10) se convierte a Donde T 11 T 22 T = T 33 T 12 T 23 T 13 T = MT (11) T 11 T 22 ; T = T 33 T 12 T 23 T 13 M es la matriz de transformación para las componentes de un tensor de segundo orden. Más adelante se indicará su expresión en la notación de V oigt 15

16 3.4. Ley de transformación para la ecuación constitutiva El ley constitutiva en el sistema de coordenadas original viene dada por σ = C : ε. En el sistema de referencia transformado el ley constitutiva será σ = C : ε, donde la matriz C tiene 21 constantes independientes. A continuación, establecemos los leyes de transformación, para dichos tensores en la notación de V oigt. Si las componentes del tensor de tensión y de deformación asociada al sistema de coordenadas original están dadas por σ ij, ε ij respectivamente, las nuevas componentes de estos tensores de segundo orden en un nuevo sistema caracterizado por una rotación del sistema original, serán σ ij y ε ij, cuyas leyes de transformación siguen (11). En la notación de V oigt la ley de transformación (10) aplicada a los tensores σ y ε quedan dadas respectivamente por σ = M σ (12) ε = N ε (13) donde M es la matriz de transformación de las componentes del tensor de tensiones en notación de V oigt, y viene dada explícitamente por Q 2 11 Q 2 12 Q Q 11 Q 12 2Q 12 Q 13 2Q 11 Q 13 Q 2 21 Q 2 22 Q Q 21 Q 22 2Q 22 Q 23 2Q 21 Q 23 M = Q 2 31 Q 2 32 Q Q 31 Q 32 2Q 32 Q 33 2Q 31 Q 33 Q 21 Q 11 Q 22 Q 12 Q 13 Q 23 (Q 11 Q 22 + Q 12 Q 21 ) (Q 13 Q 22 + Q 12 Q 23 ) (Q 13 Q 21 + Q 11 Q 23 ) Q 31 Q 21 Q 32 Q 22 Q 33 Q 23 (Q 31 Q 22 + Q 32 Q 21 ) (Q 33 Q 22 + Q 32 Q 23 ) (Q 33 Q 21 + Q 31 Q 23 ) Q 31 Q 11 Q 32 Q 12 Q 33 Q 13 (Q 31 Q 12 + Q 32 Q 11 ) (Q 33 Q 12 + Q 32 Q 13 ) (Q 33 Q 11 + Q 31 Q 13 ) (14) N es la matriz de transformación de las componentes del tensor de deformaciones. Q 2 11 Q 2 12 Q 2 13 Q 11 Q 12 Q 12 Q 13 Q 11 Q 13 Q 2 21 Q 2 22 Q 2 23 Q 21 Q 22 Q 22 Q 23 Q 21 Q 23 N = Q 2 31 Q 2 32 Q 2 33 Q 31 Q 32 Q 32 Q 33 Q 31 Q 33 2Q 21 Q 11 2Q 22 Q 12 2Q 13 Q 23 (Q 11 Q 22 + Q 12 Q 21 ) (Q 13 Q 22 + Q 12 Q 23 ) (Q 13 Q 21 + Q 11 Q 23 ) 2Q 31 Q 21 2Q 32 Q 22 2Q 33 Q 23 (Q 31 Q 22 + Q 32 Q 21 ) (Q 33 Q 22 + Q 32 Q 23 ) (Q 33 Q 21 + Q 31 Q 23 ) 2Q 31 Q 11 2Q 32 Q 12 2Q 33 Q 13 (Q 31 Q 12 + Q 32 Q 11 ) (Q 33 Q 12 + Q 32 Q 13 ) (Q 33 Q 11 + Q 31 Q 13 ) (15) Se puede demostrar que los tensores M y N no son ortogonales y además que M T = N 1 (16) La transformación anterior se puede expresar en notación de V oigt, para ello partimos de la ecuación constitutiva, σ = C : ε M σ = M C : N 1 ε σ = M C M T ε σ = C ε (17) 16

17 donde C es la matriz constitutiva elástica en el nuevo sistema (x 1, x 2, x 3), y es Simetría monoclínica (un plano de simetría) C = M C M T (18) Considerando el material con un único plano de simetría (plano x 1 x 2 ), la ley de transformación entre los sistemas de coordenadas viene dada por x x x 2 = x 2 = Q = (19) x x Utilizando (19) podemos obtener la matriz de transformación M definida en (14) como M = Para obtener la matriz constitutiva elástica en este nuevo sistema, efectuamos con esta M la operación dada en (18). El resultado es C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 12 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C = C 13 C 23 C 33 C 34 C 35 C 36 C 14 C 24 C 34 C 44 C 45 C 46 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 56 C 16 C 26 C 36 C 46 C 56 C 66 Para esta transformación la matriz constitutiva elástica debe presentar simetría, es decir, C = C. Se concluye que los términos que presentan signo negativo deben ser cero. Materiales que presentan un plano de simetría tienen 13 constantes independientes que se pueden escribir como C 11 C 12 C 13 C C 12 C 22 C 23 C C = C 13 C 23 C 33 C C 14 C 24 C 34 C (20) C 55 C C 56 C Simetría Ortótropa (dos planos de simetría) La ley de transformación viene dada por Q = = M =

18 Para obtener las componente del tensor constitutivo elástico en el sistema x, efectuaremos la siguiente operación de matrices C = M C M T obteniendo C 11 C 12 C 13 C C 12 C 22 C 23 C C = C 13 C 23 C 33 C C 14 C 24 C 34 C C 55 C C 56 C 66 Para esta transformación particular se debe cumplir que C = C = C.La matriz constitutiva elástica se reduce a 9 constantes independientes. C 11 C 12 C C 12 C 22 C C = C 13 C 23 C C (21) C C 66 Si consideramos un tercer plano de simetría, vamos a obtener la misma matriz C definida en (21) Simetría transversalmente isótropa A partir del modelo ortótropo se pueden plantear el transversalmente isótropo, como se explica a continuación. Supongamos que el plano (x 1 x 2 ) perpendicular al eje x 3 es un plano de isotropía, es decir, que el material presenta las mismas propiedades para cualquier transformación del sistema de coordenadas en este plano. La matriz de la transformación es cos α sin α 0 Q = sin α cos α Podemos a partir de la matriz elástica de simetría ortótropa (21) y a través de algunas transformaciones de coordenadas en el plano (x 1 x 2 ) obtener las constantes elásticas. Consideramos la transformación en el plano (x 1 x 2 ) con un ángulo α = π/2, resultando la siguiente matriz de transformación Q = = M =

19 Usando la relación (18) podemos obtener la matriz constitutiva elástica en este nuevo sistema C 22 C 12 C C 12 C 11 C C = C 23 C 13 C C (22) C C 55 Comparando (21) y (22) se deduce que C 11 = C 22 ; C 23 = C 13 ; C 55 = C 66. La matriz constitutiva elástica C tiene 6 constantes elásticas. Ahora vamos a considerar una transformación con un ángulo α = π/4. La ley de transformación viene dada por 1/2 1/ / 2 1/ 2 0 Q = 1/ 2 1/ 1/2 1/ = M = /2 1/ / 2 1/ / 2 1 1/ 2 Usando (18) la matriz constitutiva en este nuevo sistema es 1 (C C 12 ) + C 44 (C C 12 ) C 44 C (C C 12 ) C 44 (C C 12 ) + C 44 C C = C 13 C 13 C (C 11 C 12 ) 0 0. (23) C C 66 Comparando (23) y (22) se deduce que C 44 = 1(C 2 11 C 12 ). Por tanto quedan sólo 5 constantes independientes. Cualquier otra transformación de coordenadas en este plano, no reducirá el número de constantes. La matriz con las propiedades elásticas de un material que presenta simetría transversalmente isótropa viene dada por C 11 C 12 C C 12 C 11 C C = C 13 C 13 C (C 11 C 12 ) 0 0. (24) C C Simetría Cúbica Los metales en general están formados por cristales que presentan dos planos d simetría (simetría ortótropa) y además presentan las mismas propiedades si hacemos una rotación 19

20 según el eje x 3 con un ángulo α = π/2 y según el eje x 1 con un ángulo β = π/2 como punto de partida utilizaremos la matriz constitutiva con simetría ortótropa (21). Sometemos esta matriz a una transformación caracterizada por un giro alrededor del eje x 3 con α = π/2, bajo esta transformación obtenemos la matriz, C 11 C 12 C C 12 C 11 C C = C 13 C 13 C C C C 55 Partiendo otra vez de la matriz (21) y haciendo un giro al rededor del eje x 1 = x 1 con un ángulo β = π/2, la matriz de transformación queda Q = = M = Remplazando esta última en la ley de transformación (18), obtenemos la matriz constitutiva elástica C. C 11 C 13 C C 13 C 33 C C = C 12 C 13 C C C C 44 Se concluye que C 33 = C 11 ; C 55 = C 44 ; C 13 = C 12, (C = C). Por tanto, resultan 3 constantes independientes expresadas en la siguiente matriz elástica C 11 C 12 C C 12 C 11 C C = C 12 C 12 C C (25) C C Simetría en Todas Direcciones (Isotropía) Finalmente, si el material presenta simetría en todas las direcciones se denomina material isótropo. En este caso la matriz constitutiva elástica estará constituida por 2 constantes elásticas C 11 C 12 C C 12 C 11 C C = C 12 C 12 C (C 11 C 12 ) 0 0 (26) C (C 2 11 C 12 ) 20

21 3.5. Constantes Elásticas Módulos Elásticos Relacionan la tensión y la deformación, cuando hablamos de los módulos elásticos se refiere a tres módulos que son Modulo de Y oung E que está asociado con los cambios de longitud de un material que está sometido a la acción de fuerzas de tracción o compresión. Por esa razón se llama también M odulo elastico longitudinal E i = σ i ε i donde i es la dirección de la fuerza aplicada. M odulo de compresibilidad K que está asociado con los cambios de volumen de un material sometido a la acción de presión perpendicularmente a su superficie. donde p es la presión y V es el volumen. K = V p V Modulo elastico transversal G que está asociado con el cambio de forma de un material sometido a fuerzas de cortante, también se llama M odulo elastico tangencial o M odulo elastico cortante Coeficiente de P oisson Es un parámetro que indica la relación entre las deformaciones unitarias en dos direcciones perpendiculares entre sí cuando se ha producido una solicitación normal en una de ellas y está definido como ν xy = ε y ε x donde x es la dirección de la fuerza aplicada e y es la dirección transversal a la dirección de carga Relación entre las constantes elásticas Ya hemos visto que para un material con simetría en todas las direcciones del espacio (isótropo) las constantes elásticas se reducen a 2 que son, por ejemplo 1 Modulo de Y oung E 1 Coeficiente de P oisson ν y están relacionadas mediante el módulo de cortante G que es G = E 2(1 + ν) 21

22 En este caso la ley de Hooke viene dada por ε 11 = σ 11 E ν E (σ 22 + σ 33 ) = σ 11 E (1 + ν) ν E (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) ε 22 = σ 22 E (1 + ν) ν E (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) ε 33 = σ 33 E (1 + ν) ν E (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) ε 12 = σ 12 2G = σ 12 (1 + ν) E ε 13 = σ 13 (1 + ν) E ε 23 = σ 23 (1 + ν) E En notación indicial, las seis ecuaciones anteriores se pueden escribir ε ik = σ ik E (1 + ν) νδ ikσ mn E Esta ecuación se puede invertir de la siguiente manera. Primero se calcula (27) que puede expresarse como ε kk = σ kk E (1 + ν) νσ kk E σ kk = E 1 2ν ε kk. = σ kk (1 2ν) E Sustituyendo esta última expresión en (27) podemos escribir ε ik = σ ik (1 + ν) νδ ik E 1 2ν ε kk Despejando σ ik de esta última expresión tenemos o σ ik = E (1 + ν) ε Eνδ ik ik + (1 + ν)(1 2ν) ε mn σ ik = 2µε ik + δ ik λε mn donde µ y λ son las denominadas constantes de LAMÉ, definidas como λ = Eν (1 + ν)(1 2ν) ; µ = E 2(1 + ν) donde G = µ. Para los materiales transversalmente isótropos hemos visto que las constantes elásticas se reducen a 5 constantes que son 1 Modulo de Y oung E 11 en la dirección 1 perpendicular al plano de isotropía 1 Modulo de Y oung E 22 en el plano de isotropía 1 Coeficiente de P oisson ν 23 en el plano de isotropía 1 Coeficiente de P oisson ν 13 en la dirección perpendicular al plano de isotropía 22

23 1 Módulo de cortante G 12 = G 13 fuera del plano de isotropía El módulo de cortante en el plano de isotropía (2-3) se obtiene como G 23 = E 22 2(1 + ν 23 ) Para un material de simetría ortótropa el número de constantes independientes es 9 tres Módulos de Y oung en tres direcciones E 11, E 22 y E 33 tres Coeficiente de P oisson ν 12, ν 13 y ν 23 3 Módulo de cortante G 11, G 22 y G 33 En términos de estas constantes la ley do Hooke se puede escribir ε 11 = σ 11 σ 22 σ 33 ν 21 ν 31 E 11 E 22 E 33 ε 22 = σ 22 σ 11 σ 33 ν 12 ν 32 E 22 E 11 E 33 ε 33 = σ 33 σ 11 σ 22 ν 13 ν 23 E 33 E 11 E 22 2ε 23 = σ 23 G 23 2ε 13 = σ 13 G 13 2ε 12 = σ 12 G 12 donde ν 21 E 22 = ν 12 E 11 ; ν 31 E 33 = ν 13 E 11 ; ν 23 E 22 = ν 32 E 33. Se describen las ecuaciones constitutivas en la elasticidad no-lineal en el próximo apartado. 4. ELASTICIDAD NO-LINEAL A continuación se hace una descripción de las ecuaciones constitutivas de los materiales hiperelásticos compresibles e incompresibles. El plantamiento parte de unas condiciones específicas del primer principio de la termodinámica. 23

24 4.1. Ecuación Constitutiva En procesos adiabáticos sin fuentes de calor si se considera que el material absorbe la energía que suministran las fuentes exteriores se cumple ( P ik W ) F ik = 0 (28) F ik donde W es la función de energía o ecuación constitutiva del material, P es el primer tensor de P iola Kirchhoff y F ik es la derivada material del tiempo del gradiente de deformación F. De (28) se puede deducir las ecuaciones constitutivas para materiales hiperelásticos bien sean materiales compresibles o materiales incompresibles. En el caso de materiales compresibles es inmediato que P ik = W F ik Para materiales incompresibles el argumento es el siguiente. La condición de incompresibilidad de un material se puede expresar como div(v) = 0, i.e, la traza del tensor gradiente de velocidad (L = v) es cero. L kk = 0 El tensor gradiente de velocidad está relacionado con F mediante la expresión L = ḞF F 1, o en notación indicial L kk = F 1 ki F ik Por tanto, L kk = 0 F 1 F ik = 0. (29) ki Comparando (28) y (29) se concluye que F 1 ki tanto y (P ik W F ik ) pueden ser paralelos. Por P ik = W F ik pf 1 ki (30) donde p es un escalar. El termino de la derecha de (30) que incluye p es un término penalizador que mantiene la incompresibilidad del modelo. Se puede considerar (30) como la ecuación constitutiva general de un material hiperelástico incompresible Especialización de la ecuación constitutiva para materiales isótropos compresibles Examinemos el principio de objetividad y su influencia a la descripción del modelo constitutivo W. La consideración de de este principio se puede hacer a través de la función de energía W (F ). Esta función de energía acumula la energía por la deformación del cuerpo, por tanto, esta función no debe cambiar si a la deformación definida por F se le aplica una rotación de cuerpo rígido (la cual no modifica la deformación del cuerpo), definiendo la matriz de rotación ortogonal R, con la propiedad R T R = RR T = I. (31) 24

25 Se debe cumplir que W (F ) = W (RF ), R tal que RR T = I (32) Usando la descomposición polar de F, (32) se puede escribir como W (F ) = W (RF ) = W (R R 1 U) (33) donde R 1 es una matriz ortogonal y cumple 31, por lo que, R R 1 = R 2, donder 2, también es ortogonal y representa una rotación de cuerpo rígido. Por tanto, (33) se puede escribir como Utilizando (32) y (34) se puede escribir W (F ) = W (RF ) = W (R 2 U). (34) W (F ) = W (U) = W (C) (35) donde C = U 2. Bajo esta circunstancia, la ecuación constitutiva de un material hiperelástico compresible es P ik = W (C) C mn En notación indicial C = F T F,se escribe C mn = F jm F jn.por tanto C mn F ik. (36) C mn F ik = F jm F ik F jn + F jm F jn F ik = δ ji δ mk F jn + F jm δ ji δ nk = F in δ mk + F im δ nk (37) Usando (37) y (36) se puede escribir P ik = (F in δ mk + F im δ nk ) W (C) C mn = F in δ mk W (C) C mn = F in W (C) C kn = F im W (C) C km + F im δ nk W (C) C mn + F im W (C) C mk + F im W (C) C mk. (38) Siempre es posible escribir la función de energía W simétrica de tal forma que W = W. C km C mk 25

26 Por tanto (38) se expresa finalmente como o en notación tensorial como P ik = 2F im W C mk (39) P = 2F W C (40) Si el material es isótropo, se debe cumplir que cualquier rotación de cuerpo rígido antes de la deformación no modifica la función de energía por lo que, W (C) = W (C R), R ortogonal. (41) Esta condición, combinada con objetividad hace que W (C) = W (R T C R) (42) donde R T C R = C es la ley de transformación de un sistema de coordenadas a otro. Por tanto W (C) = W (C ). Los valores principales de un tensor no se modifican bien la transformación del sistema de coordenadas en otro sistema de coordenadas. Por tanto, si escogemos la matriz de rotación R, tal que los ejes de referencia sean los ejes principales de C, la función de energía W, debe depender solo de los valores principales de C, i.e, de los invariantes de C, por tanto, W (C) = W (I 1, I 2, I 3 ) (43) donde I 1 = tr(c) ; I 2 = 1 2 (I2 1 tr(c 2 )) ; I 3 = det(c). Mediante la aplicación de la regla de la cadena la ecuación constitutiva se puede escribir como ( P = 2F W I 1 I 1 C + W I 2 I 2 C + W ) I 3. (44) I 3 C Las derivadas de los invariantes respecto de C son I 1 C = I ; I 2 C = I 1I C ; I 3 C = I 3C 1. En el próximo capítulo detallamos estas derivadas usando la notación indicial. Sustituyendo en (44) estas últimas expreciones, la ecuación constitutiva se escribe [( P = 2F W + I W ) 1 I W C + I W ] 3 C 1. (45) I 1 I 2 I 2 I 3 Esta ecuación en términos del tensor de tensiones de Cauchy es [( σ = 1 J P F T = 2 W + I W ) 1 B W B 2 + I W ] 3 I J I 1 I 2 I 2 I 3 (46) 26

27 donde J = det(f ) = I 3 Utilizando el teorema de Cayley Hamilton para el tensor B se obtiene. B 2 = I 1 B I 2 I + I 3 B 1. Finalmente, la ecuación constitutiva de un material hiperelástico compresible se puede expresar como [( σ = 2 I W 3 + I W ) 2 I + W B I W ] 3 B 1. (47) J I 3 I 2 I 1 I Ejemplo de materiales hiperelásticos compresibles Un tipo de material hiperelástico compresible es el material Blatz Ko, dado por la función de energía W = µ ( I2 + 2 ) I 3 5, µ > 0 2 I 3 Para esta función W I 1 = 0 ; W = µ ; I 2 2I 3 W = µ ( I 2 I 3 2 I ). I3 Por tanto, utilizando (46) σ = µ J ( JI B 1) (48) Analizemos el comportamiento de un material Blatz Ko homogéneas sometido a deformaciones Figura 7: tracción uniaxial Sean λ 1, λ 2 y λ 3 las elongaciones en las direcciones 1, 2 y 3, respectivamente y sea σ 11 la tensión aplicada en la dirección 1 (ver figura 7). Si el material es isótropo, λ 2 = λ 3. La deformación aplicada se expresa mediante el gradiente de deformación. Por tanto, λ F = 0 λ λ 2 λ B = 0 λ ; B 1 = 0 0 λ λ λ 2 2 λ 2 I 3 = λ 2 1λ 4 1 J = λ 1 λ

28 La relación tensión-deformación (48) es σ µ = λ λ 2 1 σ λ 2 µ 2 0 = λ λ 2 Las ecuaciones no triviales de la ecuación anterior son ( σ 11 µ = (1 1 ) ; 0 = λ 3 1λ 2 2 De la segunda ecuación obtenemos Sustituyendo en la primera se obtiene ( 1 1 λ 1 λ 4 2 λ 1 λ 4 2 = 1 λ 2 = λ σ 11 µ = 1 λ La curva tensión-deformación se representa en la figura 8 ). ¾ ½ ¼ σ11/µ ¹½ ¹¾ ¹ ¼º ½ ½º ¾ ¾º λ 1 Figura 8: Tensión-Alargamiento en ensayo uniaxial para el material Blatz Ko El módulo de elasticidad viene dado por dσ 11 E = lím = 5 λ1 1 dλ 1 2 µ Se observa que el módulo de elasticidad es la pendiente de la tangente a la curva de la figura 8 en λ 1 = 1. Por otra parte el coeficiente de P oisson se obtiene utilizando λ 2 = λ 1/4 1 y es dλ 2 ν = lím = 1 λ1 1 dλ 1 4. Además, G = 5 5 E 2(1 + ν) = 2(1 + 0,25) = 2 µ µ = µ. 28

29 El parametro µ de este modelo es entonces igual al modulo de cortante del material. A continuación analizamos el comportamiento a cortante simple de este material. El gradiente de deformación correspondiente a un cortante simple en la dirección 1 del plano 1-2 es 1 k 0 F = En este caso la ecuación constitutiva (47) se reduce a k 0 σ = µ k 1 + k de donde se obtiene σ 11 = µ(1 1) = 0 = σ 33 σ 22 = µ(1 (1 + k 2 )) = µk 2 σ 12 = µk. Se observa que la deformación cortante requiere una tensión normal σ 22 para que se mantenga el cortante simple, lo que no ocurre en la elasticidad lineal. No obstante, esta tensión de segundo orden en k es despreciable cuando k es pequeño lo que concuerda con la elasticidad lineal Figura 9: Esquema de la tensión normal σ 22 que debe aparecer para una deformación a cortante simple 4.3. Especialización de la ecuación constitutiva para materiales isótropos incompresibles Análogamente al material compresible hiperelástico se puede desarrollar una expresión para el material hiperelástico incompresible a partir de la ecuación (30). En este caso la función de energía depende solo de 2 invariantes I 1 y I 2. Puesto que J = I 3 = 1. Teniendo en cuenta objetividad e isotropía,se puede escribir [ σ = 2 I W 2 I + W B W ] B 1 pi. (49) I 2 I 1 I 2 29

30 Una función de energía frecuentemente utilizada para el comportamiento de materiales hiperelásticos incompresibles no lineales es la de M ooney Rivlin W = µ 2 (α(i 1 3) + (1 α)(i 2 3)) donde µ > 0 y 0 α 1 El parametro µ permite ajustar el modulo de elasticidad para pequeñas deformaciones y el parámetro α permite ajustar al grado de no linealidad de la curva tensión-deformación. Por ejemplo si α = 1, se obtiene W = µ 2 (I 1 3) que es el material Neo Hookeano. Para esta nueva función de energía la ecuación (49) es σ = µb pi. Siguiendo de forma paralela el análisis hecho para el material de Blatz Ko, el caso de tensión uniaxial en la dirección 1 para el material Neo Hookeano permite escribir σ λ = p µ 0 λ λ 2 3 de donde se obtiene; σ 11 = p + µλ 2 1 ; 0 = p + µλ 2 2. De la segunda ecuación se obtiene, p = µλ 2 2 y sustituyéndolo en la primera se obtiene El material es incompresible, por tanto σ 11 = µ(λ 2 1 λ 2 2). J = 1 = λ 1 λ 2 2 λ 2 2 = λ 1 1 La relación entre tensión y deformación se escribe finalmente como σ 11 = µ(λ 2 1 λ 1 1 ). En pequeñas deformaciones podemos establecer el módulo elástico longitudinal Además, como ν = 0,5, entonces G = dσ 11 E = lím = 3µ. λ1 1 dλ 1 E 2(1 ν) = 3µ 2(1 + 0,5) = µ. 30

31 4.4. Ecuación constitutiva para materiales transversalmente isótropos Al introducir fibras en una dirección dentro de una matriz isótropa, el material pierde su isotropía y será anisótropo. En el plano perpendicular a las fibras el material compuesto (Matriz + Fibras) es isótropo. En este caso la ecuación constitutiva además de depender de los 3 invariantes del tensor C, también depende de dos invariantes adicionales que son I 4 e I 5 donde I 4 = F A F A ; I 5 = CA CA siendo A la dirección de la fibra en la configuración de referencia. En este caso la ecuación constitutiva viene dada por: materiales compresibles ( P = W I 1 I 1 F + W I 2 I 2 F + W I 3 I 3 F + W I 4 I 4 F + W ) I 5 I 5 F (50) materiales incompresibles ( P = W I 1 I 1 F + W I 2 I 2 F + W I 4 I 4 F + W ) I 5 pf T (51) I 5 F Consideremos como ejemplo el modelo del material N eo Hookeano reforzado uniaxialmente con fibra larga. La densidad de energía por unidad de volumen no deformado esta dada por ( 1 W = µ 2 (I 1 3) + γ ) 2 (I 4 1) 2 (52) donde I 1 = tr(c), C = F T F, I4 es el alargamiento de la fibra refuerzo, i.e, si E 1 es la dirección de la fibra refuerzo en la configuración no deformada I 4 = F E 1 F E 1 = E 1 CE 1 = C 11, (µ > 0) es el modulo de cortante y (γ > 0) es un parámetro que caracteriza la cantidad de anisotropía o la cantidad de refuerzo en la dirección de la fibra (γ = 0 da el modelo isótropo). Se calcula el tensor de tensiones de Cauchy correspondiente a (52), σ = PF F T = W (F ) F F T Se calcula la derivada de W (F ) respecto a F podiendose escribir, W (F ) F = F T pi (53) W (F ) I 1 W (F ) I 4 + I 1 F I 4 F = µf + 2γ(I 4 1)F E 1 E 1 (54) Más adelante se desarrollarán estas derivadas. Sea A la orientación de la dirección de la fibra en la configuración no deformada, el tensor de tensiones de Cauchy es σ = µff F T + 2γ(I 4 1)F A F A P I (55) 31

32 Cuando γ = 0 se consigue una respuesta del modelo Neo Hookean y mientras γ corresponde a un material inextensible. Tras describir estos modelos constitutivos, en el siguiente apartado se analizan soluciones discontinuas para dichos modelos. 5. SUPERFICIE DE DISCONTINUIDAD En la derivación de las ecuaciones de campo de un material elástico incompresible, el campo de desplazamiento u(x), la presión p(x) y el campo tensional P se supone que satisfacen ciertas condiciones de regularidad (smoothness conditions). Si se liberan estas condiciones, la posibilidad de encontrar soluciones que satisfacen la ecuación diferencial del equilibrio con diferentes propiedades de regularidad esta abierta. Estas nuevas soluciones pueden implicar un campo continuo de desplazamiento pero un gradiente de deformación discontinuo, es decir, una discontinuidad en la primera derivada del campo de desplazamiento. Estas soluciones son de interés físico, ya que se ha observado que el fallo de muchos materiales tiene que ver con esta configuración. Actualmente, uno de los fallos más importante de materiales reforzados con fibras es el doblaje de las fibras refuerzo. Este fenómeno se ha observado a diferentes condiciones de carga. El análisis de estas soluciones para materiales que cumplen (52) es el objetivo de esta sección. Nos centraremos en deformación plana. La formulación matemática de este problema es la siguiente. Se supone que existe una solución del sistema de ecuaciones diferenciales del equilibrio tal que p, F y P cumplen requisitos habituales de diferenciabilidad,excepto en una superficie regular S en K a través de la cual algunas o todas esas cantidades son discontinuas. El campo de desplazamiento u se supone que es continuo a través de S. La imagen de S en la configuración deformada K se denota S. Sean p +, P + y F + los valores del campo en una parte de S y p, P y F los valores correspondientes en la otra parte de S. La siguiente figura muestra esta superficie en la configuración deformada Figura 10: Doblaje de fibras bajo tracción uniaxial La línea discontinua en la figura 10 b representa la intersección del plano (1 2) y la superficie de discontinuidad que es perpendicular al plano (1-2). La superficie de discontinuidad dibujada es la llamada superficie de discontinuidad fuerte Strong elastostatic shock. A través de dicha superficie el campo de desplazamiento es continuo mientras que la derivada del campo de desplazamiento (el gradiente de deformación) es discontinua. El equilibrio global de fuerzas es Div P = 0 en K 0 /S (56) 32

33 [P ] + N = 0 en S (57) donde [ ] + = ( ) + ( ) es la discontinuidad de las variables al atravesar la superficie S. A la superficie de discontinuidades que lleva las discontinuidades del campo de presión p, el gradiente de deformación F, y el tensor de tensiones P, la denominamos superficie de discontinuidades espacial spatial elastostatic shock cuando se refiere a la configuración deformada y como superficie de discontinuidad material material elastostatic shock cuando se refiere a la configuración no deformada. También existe una notación de superficie de discontinuidad débil weak lastostatic shock que implica discontinuidades en p ζ y 2 u ζ 2 donde ζ es la coordenada en la dirección perpendicular a la superficie de discontinuidad. El término superficie de discontinuidad se refiere a la superficie de discontinuidad fuerte. La condición necesaria para obtener la superficie de discontinuidad débil es la pérdida de elipticidad de las ecuaciones diferenciales que rigen el problema Deformación homogénea a ambos lados de la superficie de discontinuidad En el estudio local de la existencia de una superficie de discontinuidad es suficiente considerar el caso en el que la superficie S es plana en K 0 y ambos gradientes de deformación y la presión son constantes a cada lado del plano de la superficie de discontinuidad. La teoría de la elasticidad finita implica una distinción entre la geometría de la configuración deformada y la no deformada. A continuación se introduce algunas notaciones para caracterizar ambos casos. Denominamos (X 1, X 2 ) el sistema de coordenadas que describe la configuración no deformada y (E 1, E 2 ) la base ortonormal correspondiente. Denominamos (x 1, x 2 ) el sistema de coordenadas que describe la configuración no deformada y (e 1, e 2 ) la base ortonormal correspondiente. La intersección de la de discontinuidad S y el plano (X 1, X 2 ) define la linea discontinua en la configuración no deformada. Sea L el vector unitario a lo largo de esa linea, y N el vector unitario normal a la misma línea obteniéndolo con una rotación de L en sentido antihorario (ver figura 11), i.e, L = L 1 E 1 + L 2 E 2 y N = N 1 E 1 + N 2 E 2 N 2 = L 1 = cos(ϕ) N 1 = L 2 = sin(ϕ). (58) En la configuración deformada la dirección de la línea que presenta la superficie de discontinuidad esta definida por el vector unitario l y su normal definido por el vector unitario n. En la base orto-normal (e 1, e 2 ) se puede expresar l y n como l = l 1 e 1 + l 2 e 2 y n = n 1 e 1 + n 2 e 2 n 2 = l 1 = cos(α) n 1 = l 2 = sin(α) (59) La deformación plana implica un campo de desplazamiento de la siguiente forma u = u 1 (X 1, X 2 )E 1 + u 2 (X 1, X 2 )E 2. Por tanto, se obtiene F 13 = F 23 = F 31 = F 32 = 0, F 33 = 1. (60) 33