5. LA LUZ EN LOS MEDIOS ANISÓTROPOS: CUÁDRICAS REPRESENTATIVAS

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1 5. LA LUZ EN LOS MEDIOS ANISÓTROPOS: CUÁDRICAS REPRESENTATIVAS 5.1. Algunas consideraciones previas La teoría electromagnética de la luz surgió como consecuencia de los trabajos previos de Faraday ( ) sobre electricidad y magnetismo que aportaron el substrato teórico, y de la complejidad que había que introducir a la teoría ondulatoria de Huygens que, aún explicando gran parte de los fenómenos conocidos (difracción, interferencia...) precisaba de numerosas suposiciones adicionales, algunas contradictorias, como el éter y sus complejas propiedades. Maxwell partió de la idea de que los campos electromagnéticos de variación rápida se comportan como ondas, y sobre esta base desarrolló un modelo teórico, que posteriormente se confirmó experimentalmente, que permitía explicar buena parte de los fenómenos ópticos. En este texto no se trabajará con las ecuaciones de Maxwell, sino con sus consecuencias en los fenómenos que se consideren. A partir de las ecuaciones de Maxwell se puede calcular la propagación de un campo eléctrico variable en un medio: c v = ε, donde c es la velocidad de la luz, e la constante dieléctrica, la permeabilidad magnética y v la velocidad de propagación en el medio considerado. En medios dieléctricos (aislantes) se puede considerar que la expresión anterior que da v = c ε, = 1, por lo -104-

2 a partir de la cual se deduce la relación entre la velocidad en el vacío y en el medio, es decir el índice de refracción n, n c = = ε v esta expresión se conoce como ecuación de Maxwell, Por otro lado se deduce que la energía transportada por una onda sigue el vector de Poynting, perpendicular a E y H, cuya dirección en óptica geométrica equivale al rayo. También es posible demostrar que la intensidad (el flujo de energía que atraviesa una unidad de superficie perpendicular a la propagación, por unidad de tiempo) vale I r = S = cn E 4 1 / 0 π, donde E o es la amplitud de la onda 5.. La luz en los medios dieléctricos anisótropos En los medios anisótropos la luz no se propaga a igual velocidad en todas las direcciones, y el desplazamiento de la carga eléctrica D (polarización eléctrica) no coincide necesariamente con E (vector eléctrico de la onda). Ambos están relacionados por el tensor de la constante dieléctrica, de manera que r r D = ( εij) E, es decir Dx Dy Dz ε ε ε = ε ε ε Ex Ey Ez y por tanto D = ε 11E + ε 1E + ε 13E x D = ε 1E + ε E + ε 3E y D = ε 31E + ε 3E + ε 33E z -105-

3 La densidad eléctrica vale ω substituyendo D por E 1 r r = E D 8π r ( εij) E y desarrollándolo queda: (1) ε E + ε E + ε E + ε E E + ε E E + ε E E = 8πω x y x z y z que es la ecuación de una cuádrica, y puesto que todos los coeficientes son positivos, se trata de un elipsoide. Haciendo un cambio de ejes de modo que x, y y z coincidan con los semiejes del elipsiode, la ecuación anterior se simplifica r r ε 11E + ε E + ε 33E = 8πωE = E D E En esta expresión E i son los componentes de E respecto de los ejes, y e ij los componentes principales del tensor, que a partir de aquí denominaremos e x, e y y e z, (constantes dieléctricas principales) - Figura 1-. Si se hace un cambio de escala de modo que Ex Ey Ez x =, y = y z = 8πω E 8πω E 8πωE se obtiene un elipsoide homométrico del anterior llamado elipsoide de Fresnel εxx + εyy + εzz = 1 cuyos semiejes valen 1/ εx, 1/ ε y y 1/ ε z. De acuerdo con la Figura 1 relación de Maxwell ( n = ε ), dichos semiejes son inversamente proporcionales a los índices de refracción y por tanto, proporcionales a la velocidad de propagación de los rayos (puesto que se ha desarrollado la expresión respecto de E y E*H=S - dirección de propagación del rayo-) -106-

4 E = ( ε ) r 1 Si en la expresión (1) se hubiera substituido E por, hubiera quedado en función de D y el elipsoide que se deduciría es + + = 1 ε ε ε (elipsoide de índices) cuyos componentes son los índices de refracción principales n x, n y y n z. D Introduciendo las velocidades principales (deducidas de la ecuación de Maxwell c / v = ε ) v x c = v ε x c, =, v ε y y z c = ε z se obtiene el elipsoide de Cauchy, homométrico del anterior v x + v y + v z = 1 NOTA: v i no son los componentes del vector velocidad, sino las velocidades de fase de las ondas que se propagan en las direcciones de los ejes principales: velocidades normales Hasta aquí se han deducido una serie de elipsoides en los que los radios vectores están en la dirección de E o de D, hay que recordar que éstos no representan las direcciones de propagación de los rayos o las normales de onda, sino que les son perpendiculares Propagación de una onda plana En los medios anisótropos los vectores D y E (desplazamiento y campo eléctrico asociado a la onda, respectivamente) no son necesariamente coincidentes. De las ecuaciones de Maxwell se deducen una serie de hechos: a) H es perpendicular a D, E, s y S (s es la dirección de propagación de la fase - onda -) -107-

5 Figura La energía (el rayo) se propaga en la dirección de S (vector de Poynting), de modo que en general, S no coincide con s, y por tanto los rayos no son necesariamente perpendiculares al frente de onda (determinado por el producto vectorial H*D). En el supuesto de la Figura, al cabo de cierto tiempo el frente de onda estará situado en la línea discontínua, de manera que la velocidad del rayo será proporcional al segmento OP y la de la onda (v n ) a OO 1. Se puede escribir v v n ρ r r = cosα = ρ s, siendo r y s vectores unitarios en las direcciones de OP y OO 1, respectivamente. b) Si suponemos conocida v n, se deduce que la posición del vector D queda fijada por una dirección de propagación s, lo cual implica que la onda está polarizada en el plano formado por D y s. c) La ecuación que permite determinar v n a partir de las componentes v x, v y y v z (velocidades principales) para una dirección determinada de s es del tipo v sx v x n + v s y y vn + v sz v = 0 z n esta ecuación es bicuadrada en v n, por tanto existen dos soluciones positivas de v n, lo que significa que habrá dos ondas, ambas polarizadas, avanzando en la dirección de s

6 Se demuestra que los dos vectores de polarización eléctrica D 1 y D correspondientes a estas ondas son perpendiculares entre sí, lo cual implica que ambas ondas están polarizadas perpendicularmente. En un esquema como el propuesto en la Figura 3, cuando la luz atraviesa un medio anisótropo, se producen dos ondas que se Figura 3 propagan en la dirección de s con velocidades v n1 y v n, a las que corresponden dos rayos r 1 y r que se propagan en direcciones diferentes. Los rayos representan las direcciones de avance de la energía, la onda la dirección de avance de la fase El elipsoide de índices El elipsoide de índices de refracción antes deducido mediante la expresión + + = ε ε ε 1 puede reescribirse como x n y z + + = n n 1 Figura 4. Elipsoide escaleno. En color naranja se ha representado un radio con la correspondiente sección elíptica y sus semiejes. considerando la relación de Maxwell ( n = ε ), expresión que corresponde a un elipsoide escaleno de semiejes n x, n y y n z. En los textos de Mineralogía este elipsoide suele estar citado como indicatriz óptica y frecuentemente los índices principales a, b y g, por orden de valor creciente

7 Este elipsoide ha sido deducido considerando el vector D de polarización eléctrica, por lo tanto, su radio vector s representa la dirección de propagación de las ondas, cuyos índices de refracción corresponden a los semiejes de la sección elíptica perpendicular al radio vector Por lo tanto, sobre una dirección de propagación s representada por un radio vector, avanzarán dos ondas de índices de refracción n 1 y n, cuyas magnitudes corresponden a los semiejes de la sección elíptica perpendicular a s, y cuyos respectivos planos de polarización son los que forma el radio vector s con los dos semiejes de la sección perpendicular (Figura 4). Figura 5. Elipsoides de revolución (izquierda) y escaleno (derecha), en los que se han dibujado las secciones cíclicas y sus perpendiculares (ejes ópticos). Suponiendo n x < n y < n z, y considerando la sección elíptica que contiene n x y n z, se pueden imaginar todos los radios vectores posibles desde el eje z hasta x: todas sus secciones elípticas tendrán n y por uno de sus semiejes, mientras que el otro varía de modo contínuo desde n x hasta n z. Hay dos direcciones cuya sección perpendicular es circular (un caso particular de la elipse de semiejes iguales), es decir existen dos radios vectores para cuyas direcciones las dos ondas tienen idéntico índice de refracción (avanzarán a igual velocidad): estas direcciones especiales reciben en nombre de ejes ópticos. En el caso de un elipsoide de revolución, ambos ejes coinciden en uno único, como se discutirá más adelante en relación a la simetría del cristal (Figura 5)

8 5.5. Simetría y elipsoide de índices: medios uniáxicos, biáxicos e isótropos. Se ha deducido que la velocidad de propagación de la luz en el interior de un medio cristalino está condicionada por la disposición de los átomos, la cual, a su vez, determina la simetría del cristal. Por tanto, parece lógico suponer que la simetría del cristal controla de alguna manera, la forma y orientación del elipsoide de índices y del resto de superficies de referencia. Figura 6. Simetría mmm del elipsoide escaleno. El principio de Neumann establece que la simetría de cualquier propiedad física debe incluir la del grupo puntual del cristal. En el caso que nos ocupa, la propagación de la luz en el interior de un cristal viene descrita por el elipsoide de índices o cualquiera de las otras superficies antes consideradas. Por simple conveniencia se centra la atención en el elipsoide de índices, si bien las deducciones que se harán a continuación son fácilmente aplicables a otras superfícies. La simetría de la propiedad será la que presente la correspondiente superficie de referencia, y el elipsoide escaleno tiene una simetría que corresponde al grupo puntual mmm (Figura 6). La simetría mmm del elipsoide de índices incluye las simetrías puntuales de los grupos de Laue (la velocidad de la luz es una propiedad centrosimétrica) de los sistemas triclínico, monoclínico y rómbico. Por tanto, este elipsoide es el que describe las propiedades ópticas de los cristales de estos sistemas. Todos ellos presentan un elipsoide escaleno, con dos ejes ópticos, de ahí que se les agrupe bajo de denominación común de cristales biáxicos. Figura 7. Simetría del elipsoide de revolución. Cualquier sección principal que contenga el eje es plano de simetría, y cualquier radio de la sección circular es un eje binario. La simetría del elipsoide escaleno no incluye la simetría de los grupos de Laue con un eje se orden superior a dos (trigonal, tetragonal y hexagonal), a no ser que el elipsoide tenga dos semiejes iguales, es decir se convierta en un elipsoide de revolución, en cuyo caso su simetría pasa a ser / mmm, que claramente incluye cualquiera de los grupos de -111-

9 Laue de los tres sistemas citados (Figura 7). En este caso, la única sección circular posible es la perpendicular al eje de revolución, que pasa a ser el único eje óptico de esta geometría. Por lo tanto, los cristales trigonales, tetragonales y hexagonales tienen un solo eje óptico, y se les agrupa bajo la denominación común de cristales uniáxicos. En éstos, el eje óptico es una dirección especial para la cual se propaga una única onda (dos con igual velocidad equivale a una sola), y por tanto se puede considerar una dirección de isotropía. NOTA: Nótese que esta afirmación no puede extrapolarse a los ejes ópticos de los cristales biáxicos, puesto que en este caso, para la dirección de propagación coincidente con el eje óptico hay una sola onda, pero existen dos rayos que se propagan a velocidades distintas y en direcciones distintas. En la experimentación de rutina este fenómeno carece de importancia. En el caso de los cristales uniáxicos, el índice de refracción correspondiente a la sección circular se denomina n o o w, y se conoce como ordinario, para diferenciarlo del extraordinario, n e o e. La razón de estas denominaciones hay que buscarla en el hecho de que, sea cual sea la dirección considerada, siempre existe una onda cuyo índice corresponde al ordinario. Finalmente, la simetría de los grupos de Laue del sistema cúbico sólo queda incluída en la del elipsoide si éste tiene los tres semiejes iguales, es decir tiene forma esférica. En este caso, cualquier radio vector implica la existencia de una única onda, y la velocidad de propagación no depende de la dirección, por lo tanto, los cristales cúbicos son isótropos frente a la velocidad de propagación de la luz. -11-

10 5.6. Signo óptico Figura 8: Elipsoides uniaxiales negativo (izquierda) y positivo (derecha) Por pura convención, se denominan cristales uniáxicos positivos aquellos en que e>w, y negativos los que sucede lo contrario. La apariencia del elipsoide de índices es distinta en uno u otro caso, siendo achatado respecto de la sección circular en el caso de los negativos, y su lejana similitud con el signo menos se ha utilizado como regla pnemotécnica para recordar unos y otros (Figura 8). En el caso de los cristales biáxicos el criterio para diferenciar los elipsoides negativos de los positivos es el siguiente: si la diferencia n z - n y es mayor que n y -n x se dice que el cristal es ópticamente positivo, si ocurre lo contrario, es negativo. Dicho de otra manera, si la bisectriz aguda del ángulo V que forman los ejes ópticos coincide con el eje z, la indicatriz es ópticamente positiva, y si lo hace con el eje x, se dice que es negativa. En las diversas secciones xz del elipsoide de índices que se presentan en la Figura 9 se puede apreciar gráficamente la diferencia entre positivos y negativos Figura 9. Secciones zx de elipsoides de índices positivos (a y b con ángulos V de 15º y 35º, respectivamente), y negativos (c y d con ángulos V igualmente de 15º y 35º) Orientación del elipsoide de índices La aplicación del principio de Neumann impone restricciones simétricas a los elipsoides para que su simetría incluya la del grupo de Laue del cristal. Además, sus elementos de simetría deben incluir los elementos de simetría del grupo de -113-

11 cada cristal, es decir, la orientación del elipsoide debe adaptarse para que sus elementos de simetría incluyan los correspondientes del grupo de Laue del cristal. Para los cristales del sistema triclínico, cuyo grupo de Laue es 1, su simetría mmm incluye a la del cristal cualquiera que sea la orientación del elipsoide de índices. En los cristales monoclínicos (grupo /m), uno de los ejes binarios del elipsoide debe coincidir con el eje binario del cristal, sin otra restricción que la citada. Por lo tanto, uno de los ejes principales del elipsoide ha de coincidir con el eje b del cristal, mientras que los otros dos están en el plano formado por los ejes a y c (Figura 10). El grupo de Laue de los cristales rómbicos es mmm, coincidente con la simetría del elipsoide de índices, por lo tanto, los ejes principales de éste coinciden con los ejes a, b y c del cristal. Ello implica que el plano de los ejes ópticos ha de situarse necesariamente sobre alguno de los planos principales del cristal, sin otra restricción. Figura 10. En la orientación del elipsoide de índices respecto de la simetría /m, uno de sus semiejes debe coincidir con b, mientras que los otros se situan sobre el plano de simetría (010). En los cristales uniáxicos, el eje óptico (cuya simetría de orden infinito incluye la simetría de orden superior a ) coincide necesariamente con el eje c, de modo que la orientación del elipsoide de índices queda prefijada de antemano Dispersión de los elipsoides La velocidad de propagación de una onda electromagnética en un medio varía su la frecuencia. Por lo tanto, radiaciones de distintas longitudes de onda atravesarán el cristal con velocidades distintas, es el fenómeno que se ha estudiado como dispersión. En el rango del espectro visible la mayoría de substancias tienen una dispersión normal (recuérdese -114-

12 que se ha distinguido entre dispersión normal y anómala), lo cual significa que el índice de refracción para frecuencias altas (la región azul del espectro) suele ser más elevado que para frecuencias bajas (extremo rojo del espectro visible). Por tanto, el tamaño de los semiejes del elipsoide de índices es distinto para las diferentes frecuencias del rango de espectro considerado (en la práctica normal éste se circunscribe a la región visible). Sin embargo, no hay ninguna razón para que la variación de los índices con la frecuencia tenga que ser la misma para los tres ejes principales. Ésto significa que el elipsoide cambia de tamaño y de forma a lo largo de una región del espectro electromagnético. Más adelante se extraerán algunas implicaciones de este hecho, que se pondrá de manifiesto experimentalmente en algunos casos de cristales biáxicos Otras superficies de referencia Las superficies que se han descrito hasta ahora se han basado en la consideración de la velocidad de propagación de la energía (rayo) o la fase (normal de onda) respecto de los vectores que representan el campo eléctrico (E) o la polarización eléctrica (D), de modo que siempre se han obtenido quádricas (elipsoides, puesto que todos los coeficientes son positivos), cuyas propiedades han sido discutidas. Sin embargo, éstas no son las únicas superficies de referencia posibles y, en ocasiones puede interesar trabajar con otro tipo de superficies que faciliten la interpretación o la comprensión de situaciones experimentales concretas Superficie de onda La superficie de onda es el lugar geométrico que, tras un cierto tiempo, alcanzaría una perturbación originada en un punto O del interior de un cristal, de mismo modo que podríamos imaginar las ondas de un estanque tras tirar una piedra

13 En radio vector de esta superfície representa el camino que ha seguido la energía de la perturbación, por lo tanto es la velocidad del rayo, y el lugar geométrico de todos los extremos de los radios vectores es la superficie de onda, que es un ovaloide cuya expresión es la siguiente ρ = ρ cos α + ρ cos β + ρ cos γ Figure 11 La solución de r es bicuadrática, por tanto para cada dirección se producen dos rayos que avanzan a velocidades distintas, la superfície de onda será de doble hoja, excepto para dos direcciones especiales (los ejes ópticos relativos a la velocidad de los rayos) en que ambas hojas coincidirán. En las secciones principales de la Figura 1 puede apreciarse los valores de los semiejes de los óvalos, que coinciden con los valores de las velocidades principales del elipsoide de Fresnel. Figura 1. Secciones principales de una superficie de onda de un caso general (biáxico) La superficie de onda representada en la Figura 11 corresponde a un caso general de los cristales biáxicos, pero para el caso de los uniáxicos, la superficie de doble hoja es de revolución alrededor del eje óptico, cuyos extremos son los puntos de tangencia de ambas hojas. En este caso, la hoja que corresponde al rayo ordinario es una esfera (hay que recordar que éste no varia de velocidad -índice- con la dirección), y por tanto los cristales -116-

14 uniáxicos positivos y negativos tendrán superficies de onda como las que se muestran en la Figura 13: en los cristales positivos la hoja correspondiente al rayo extraordinario está incrita en la esférica del ordinario, mientras que en los negativos es al revés. Figure Superficie de velocidades normales Consideremos uno de los radios vectores de la superficie de onda, que representa la velocidad del rayo que se propaga en aquella dirección, la tangente a la superficie de onda en el punto de intersección representa la onda plana correpondiente (Figura 14). La velocidad a que se ha propagado la onda plana es la distancia entre este frente de onda y el origen de la perturbación, lo cual determina el vector de propagación de la normal de onda, o velocidad normal. Figure 14 Haciendo esta misma construcción para todas y cada una de las direcciones posibles, el lugar geométrico de los extremos de los vectores así obtenidos forma una superficie de doble hoja denominada de velocidades normales, y que obecede a la expresión cos α cos cos + β γ + v v v v v v = 0 donde a, b y g son los cosenos directores del vector v, que representa la velocidad normal. FIGURA 15 ESTA SUPERFICIE -117-

15 Como en el caso anterior, las dos hojas tienen en común los puntos de salida de los ejes ópticos (esta vez los ejes correspondientes a las normales de onda), y la forma de la superficie para los cristales uniáxicos es una esfera y un elipsoide, incritos de uno u otro modo según sea positivo o negativo el cristal en cuestión. Nótese que para el caso general de los cristales biáxicos, haciendo la construcción geométrica propuesta para pasar de la superficie de onda a la de velocidades normales, para el rayo que se propaga en la dirección de uno de los ejes ópticos, existen dos ondas con velocidades distintas (Figura 16). Los ejes ópticos de ambas superficies no son coincidentes y por tanto, existen unos ejes ópticos referidos a la onda y otros a los rayos. Figura 16. Para la dirección de un eje óptico de la superficie de onda, es posible determinar dos frentes de onda Superficie de índices y superficie normal de índices En los dos casos anteriores se han considerado las velocidades de los rayos y de las normales de onda para construir la superficie de onda y la de velocidades normales, respectivamente. Se pueden considerar los respectivos índices de refracción para cada caso, con lo que se obtienen dos superficies de doble hoja. Por una parte la superfície de índices, cuyos radios vectores son proporcionales a c/r, es decir el índice de refracción de los rayos; y por otra la superficie normal de índices, con radios vectores proporcionales a c/v, que corresponde a los índices de refracción de las normales de onda