Guía 4: Introducción a tensores Martes 10 de abril de 2012 Tarea: 4d, 10, 13.

Transcripción

1 Departamento de Física Facultad de Ciencias Universidad de Chile Métodos de la Física Matemática I Profesor: Gonzalo Gutiérrez Ayudante: Dany López Guía 4: Introducción a tensores Martes de abril de 22 Tarea: 4d,, 3.. Dada la igualdad b i = S ij R jk b k donde S =, S 2 = 4, S 2 =, S 22 = y R =, R 2 = 4, R 2 =, R 22 =, obtenga el tensor b y especifique si es un escalar, vector o matriz. Notación Tensorial 2. Para los siguientes tensores, decir su orden y la dimensión de cada uno de sus vectores base. a) T b) T i ê i, i 3 c) T ij ê i ê j, i 2, j 2 d) T ijk ê i ê j ê k, i 3, j 3, k 3 e) T ijkl ê i ê j ê k ê l, i 4, j 4, k 4, l 4 Producto entre Tensores 3. Determinar el orden del tensor obtenido en las siguientes operaciones. a) C i A i b) T ij S jk c) A i B j d) A i B i T jk e) C j S jk f ) A ii S jk g) S ijk T lm 4. Escribir, utilizando notación tensorial, la transformación requerida para expresar los siguientes tensores en un sistema primado. Esto es, llevarlos de T a T. Posteriormente, escribir la transformación inversa (de T a T ). Nota: Considerar que los sistemas primado y no primado están dados en bases ortonormales. a) T i ê i b) T ij ê i ê j c) T ijk ê i ê j ê k d) T ijkl ê i ê j ê k ê l

2 5. Expresar, si es posible, las siguientes matrices (representaciones de tensores de orden 2) en un sistema de coordenadas donde posean forma diagonal. Además, especificar una base de tal sistema. a) b) c) Demostrar que T ij = a ira js T rs es equivalente a la expresión matricial [T ] = [A][T ][A T ], para i, j, r, s =, 2. Tensores en coordenadas curvilíneas 7. Considere los problemas 2 al 6 de la Guía 3. Resuelvalos usando la expresiones que consideran los elementos de la matriz de transformación como determinadas derivadas de las ecuaciones que relacionan las coordenadas entre los dos sistemas. Pseudo-objetos 8. Para cada uno de los siguientes vectores, decir si es un vector axial o polar. a) Torque τ b) Vector Desplazamiento r c) Campo Magnético B d) Momento Angular L e) Campo Eléctrico E 9. Para cada una de las siguientes matrices de transformación, verificar si ellas conservan la orientación (derecha o izquierda) de la base dada por ê = ˆx, ê 2 = ŷ, ê 3 = ẑ. a) 2/2 /2 /2 b) 2/2 /2 /2 2/2 2/2 c). Sean los vectores v = 2ˆx + 2ŷ y v 2 = ˆx + ẑ dados respecto al clásico sistema de coordenadas cartesiano.

3 a) Suponer que el sistema de coordenadas es transformado mediante la matriz del ejercicio 9a. Expresar v y v 2 respecto al nuevo sistema y calcular su producto cruz (es decir, v v 2 ). Posteriormente, calcular el producto cruz en el sistema original (es decir, v v 2 ). Los vectores obtenidos de los productos cruz, son los mismos en ambos procedimiento? Se podía predecir este resultado? b) Repetir el procedimiento utilizando la matriz del ejercicio 9c. Problemas adicionales. Considere que las componentes de un tensor de segundo orden T, en el sistema de referencia (x, x 2, x 3 ), están representados por T 3 3 Sabiendo que la matriz de transformacón de coordenadas de sistema (x, x 2, x 3 ) al sistema (x, x 2, x 3 ) viene dado por: A = 2 2 Obtener las componentes del tensor T ij en el nuevo sistema de coordenadas primado. 2. Dada la transformación del ejercicio de la guía 3: a) Exprese el vector V = 3ê + 2ê 2 en el sistema x y. b) Exprese el tensor T = ijê i ê j en el sistema x y. 3. Considere un tensor de conductividad de un conductor planar (por tanto, bidimensional) σ cuyos elementos en un sistema cartesiano xy se representan por la matriz σ ( 2 La densidad de corriente se relaciona con el campo eléctrico E mediante la ley de Ohm J = σ E a) Si el campo eléctrico es E = E ê x + E ê y, exprese la densidad de corriente. b) Realice la transformación a un sistema cartesiano x y donde vector base ê x sea paralelo a E dado en el inciso (a). Encuentre la matriz de la transformación y la matriz que representa a σ en el nuevo sistema. c) Con σ y E en el nuevo sistema, realice el producto J = σ E y demuestre que se obtiene el mismo vector que en el inciso (a). )

4 4. Considere una mancuerna ubicada en el plano xy de un sistema de coordenadas cartesiano, como muestra la figura. M y M x El tensor momento de inercia de este objeto esta dado por I M I = Iij ê i ê j Encuentre los vectores base de un sistema de coordenadas donde el tensor momento de inercia es diagonal. Dibuje la mancuerna en ese sistema. 5. Un cuerpo rígido consta de cuatro partículas de masas m, 2m, 3m, 4m respectivamente, que están situadas en los puntos (a, a, a), (a, a, a), ( a, a, a), ( a, a, a) y que están conectadas por una varilla delgada a) Encuentre el tensor de inercia en el origen y muestre que los momentos principales de inercia son 2ma 2 y (2 ± 2 5)ma 2. La definición del tensor de inercia para un número de partículas, es I ij = α m α (δ i,j x 2 α,k x α,ix α,j ) Donde x α,k representa la distancia de la partícula α respecto a la coordenada k, x α,i representa la distancia de la partícula α respecto al eje i, y x α,j la distancia respecto al eje j. b) Encuentre los ejes principales y verifique si son ortogonales. (Sugerencia: Para encontrar los momentos principales, le será de gran ayuda encontrar los valores propios y para los ejes principales encontrar los vectores propios asociados). 6. La conductividad electrica σ en un cristal es medida por un observador, que tiene como componentes 2 [σ ij ] = 2 3 Muestre que hay una dirección en el cristal donde la corriente no fluye. Fluye la corriente con la misma facilidad en las dos direcciones perpendiculares? 7. Las componentes de dos vectores A y B y de un tensor de segundo orden T vienen dados por un sistema de coordenadas por k A =, B =, T =

5 En un segundo sistema de coordenadas, obtenida desde una primera rotación, los componentes de A y B son A = 2 3, B = 2 3 Encuentre las componentes de T en el nuevo sistema de coordenadas y evalúe T ij T ji, T ki T jk T ij, T ik T mn T ni T km. 8. Suponiendo que la densidad de corriente J y el campo eléctrico E aparecen en la ecuación dada por J i = σ ij E j, son tensores cartesianos de primer orden, muestre explicitamente que el tensor de conductividad electrica σ ij, transforma de acuerdo a la ley de un tensor de segundo orden.