Mecánica de Sólidos. Capítulo I: Tensores. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn

Transcripción

1 Mecánica de Sólidos Capítulo I: Tensores Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn Programa de Doctorado en Ingeniería Facultad de Ingeniería y Ciencias Hídricas (FICH) Universidad Nacional del Litoral (UNL) 31 de agosto de 2015 Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y Ciencias 31 de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 1 / 95

2 Espacio vectorial Espacios vectoriales Espacio vectorial (real) V : Conjunto de elementos u, v, w,... ( vectores ) t.q. 1 u, v, w V, se verifica u + v V u + v = v + u, u + (v + w) = (u + v) + w 2 o V (vector nulo) t.q. v + o = v, v V u V, ( u) V t.q. u + ( u) = o 3 α, β R se verifica: α(βu) = (αβ)u, (α + β)u = αu + βu, α(u + v) = αu + αv Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y Ciencias 31 de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 2 / 95

3 Espacios vectoriales Espacio vectorial Eucĺıdeo Espacio vectorial Eucĺıdeo - Producto escalar Espacio vectorial Eucĺıdeo E: Espacio vectorial real t.q., u, v E, se define el producto escalar u v con las propiedades: u v = v u u u 0 (u u = 0 u = o) El producto escalar es bilineal: (αu + βv) w = α(u w) + β(v w), α, β R, u, v, w E Si u v = 0, entonces u y v son ortogonales Se define el módulo de u E: u = u u Si u = 1 entonces u es un vector unitario o versor Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y Ciencias 31 de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 3 / 95

4 Producto vectorial Espacios vectoriales Producto vectorial Producto vectorial: dados u, v E R 3 (notar: esta operación está restringida a R 3 ), se define u v = w E con las propiedades: u v = v u u v 2 = (u u)(v v) (u v) 2 (2) u (u v) = 0 = u (u v) v (αu + βv) w = α(u w) + β(v w), Usando (1) para u = v: α, β R (1) u u = o u E Usando (2) para u y v unitarios: u v 2 + (u v) 2 = 1 Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y Ciencias 31 de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 4 / 95

5 Espacios vectoriales Producto vectorial Interpretación geométrica de producto escalar y vectorial u v u v = u v cos θ u v = u v sen θ k k = u v u v k q v êu vú Demostración de (2): u v u u v 2 = (u v) (u v) = u 2 v 2 sen 2 θ = u 2 v 2 (1 cos 2 θ) = u 2 v 2 ( u v cos θ) 2 = (u u)(v v) (u v) 2 íctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y Ciencias 31 de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 5 / 95

6 Bases en E R 3 Espacios vectoriales Bases en el espacio vectorial Eucĺıdeo 3D Base {v i } en E R 3 : tríada de vectores v 1, v 2, v 3 E linealmente independientes (L.I.). Base ortonormal {e i } en E: base formada por vectores e 1, e 2, e 3 E unitarios y mutuamente ortogonales, i.e. { } 1 i = j e i e j = δ 0 i j ij (delta de Krönecker) Todo u E puede descomponerse como u =u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 (3) u j : componente de u respecto de e j Haciendo (3) e i : u i = u e i Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y Ciencias 31 de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 6 / 95

7 Espacios vectoriales Convención de sumatoria de Einstein Convención de sumatoria de Einstein En notación indicial, la convención de sumatoria de Einstein implica suma sobre cada índice que aparece repetido (índice dummy o mudo). Se llama índice libre al que aparece sólo una vez. Ejemplo u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 = 3 u j e j u j e j, j=1 δ ij u j = δ i1 u 1 + δ i2 u 2 + δ i3 u 3 = u i u v = (u i e i ) (v j e j ) = u i v j e i e j = u i v j δ ij = u j v j u 2 = u u = u j u j [AB] ij = A ik B kj Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y Ciencias 31 de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 7 / 95

8 Espacios vectoriales Símbolo de permutación Símbolo de permutación Sea {e i } una tríada dextrógira, i.e.: e 2 e 3 = e 1, e 3 e 1 = e 2, e 1 e 2 = e 3 (4) Se define el símbolo de alternancia, de permutación o de Levi-Civita: 1 si ijk permutación cíclica de 123 ε ijk = 1 si ijk permutación cíclica de demás casos. = ε jki = ε kij = ε ikj Ahora, (4) puede escribirse e i e j = ε ijk e k Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y Ciencias 31 de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 8 / 95

9 Espacios vectoriales Producto vectorial en notación indicial Producto vectorial en notación indicial Siendo e i e j = ε ijk e k Producto vectorial en notación indicial: u v = (u i e i ) (v j e j ) = u i v j e i e j = ε ijk u i v j } {{ } [u v] k e k Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y Ciencias 31 de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 9 / 95

10 Producto escalar triple Espacios vectoriales Producto escalar triple Expandiendo (5): (u v) w = (ε ijp u i v j e p ) (w k e k ) = ε ijk u i v j w k (5) (u v) w = ε 123 u 1 v 2 w 3 + ε 132 u 1 v 3 w 2 + ε 231 u 2 v 3 w 1 + ε 213 u 2 v 1 w 3 + ε 312 u 3 v 1 w 2 + ε 321 u 3 v 2 w 1 = u 1 (v 2 w 3 v 3 w 2 ) u 2 (v 1 w 3 v 3 w 1 ) + u 3 (v 1 w 2 v 2 w 1 ) u 1 u 2 u 3 = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 = u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 (6) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 10 / 95

11 Producto escalar triple Espacios vectoriales Producto escalar triple Regla de conmutatividad u 1 u 2 u 3 (u v) w = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 v 1 v 2 v 3 = w 1 w 2 w 3 = (v w) u u 1 u 2 u 3 w 1 w 2 w 3 = u 1 u 2 u 3 = (w u) v v 1 v 2 v 3 u, v, w linealmente dependientes (L.D.) (u v) w = 0 Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 11 / 95

12 Espacios vectoriales Producto escalar triple Interpretación geométrica del producto escalar triple w (u v) w = ( u v sen θ)( w cos φ) = volumen del paralelepípedo de lados paralelos a u, v y w êwú cos f f q v êvú sen q u Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 12 / 95

13 Espacios vectoriales Producto escalar triple Ejercicio Sea A una matriz 3 3 de elementos A ij. Usando (5) y (6), mostrar: det A = ε ijk A i1 A j2 A k3 = ε ijk A 1i A 2j A 3k = det A T (7) Deducir luego: ε ijk A ip A jq A kr = (det A)ε pqr (8) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 13 / 95

14 Espacios vectoriales Producto escalar triple entre vectores base Producto escalar triple entre vectores base (e i e j ) e k = ε pqr [e i ] p [e j ] q [e k ] r = ε pqr (e i e p )(e j e q )(e k e r ) δ i1 δ j1 δ k1 = ε pqr δ ip δ jq δ kr = δ i2 δ j2 δ k2 δ i3 δ j3 δ k3 = δ i1 δ i2 δ i3 δ j1 δ j2 δ j3 δ k1 δ k2 δ k3 = ε iqr δ jq δ kr = ε ijr δ kr = ε ijk Dada una tríada ortonormal {e 1, e 2, e 3 }, si { 1, {e1, e (e 1 e 2 ) e 3 = 2, e 3 } es dextrógira 1, {e 1, e 2, e 3 } es sinistrógira Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 14 / 95

15 Igualdad epsilon-delta Espacios vectoriales Igualdad epsilon-delta δ i1 δ i2 δ i3 δ p1 δ q1 δ r1 ε ijk ε pqr = det δ j1 δ j2 δ j3 δ p2 δ q2 δ r2 δ k1 δ k2 δ k3 δ p3 δ q3 δ r3 δ ip δ iq δ ir = δ jp δ jq δ jr δ kp δ kq δ kr (9) Notar: δ i1 δ p1 + δ i2 δ p2 + δ i3 δ p3 = δ ij δ pj = δ ip Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 15 / 95

16 Igualdad epsilon-delta Espacios vectoriales Igualdad epsilon-delta Hagamos r = k en (9): δ ip δ iq δ ik ε ijk ε pqk = δ jp δ jq δ jk δ kp δ kq δ kk = δ kp (δ iq δ jk δ ik δ jq ) δ kq (δ ip δ jk δ ik δ jp ) + δ kk (δ ip δ jq δ iq δ jp ) = (δ iq δ jp δ ip δ jq ) (δ ip δ jq δ iq δ jp ) + 3(δ ip δ jq δ iq δ jp ) = δ ip δ jq δ iq δ jp = Igualdad ε-δ: ε ijk ε pqk = δ ip δ jq δ iq δ jp (10) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 16 / 95

17 Espacios vectoriales Producto vectorial triple Producto vectorial triple u (v w) = u s e s (ε kpq v p w q e k ) = ε kpq ε krs v p w q u s e r = (δ pr δ qs δ ps δ qr )v p w q u s e r = (w q u q )(v p e p ) (v p u p )(w q e q ) = (u w)v (u v)w Regla nemotécnica: haciendo a = u, b = v, c = w, a (b c) = (c a)b (b a)c (abc = cab bac) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 17 / 95

18 Espacios vectoriales Cambio de base ortonormal Cambio de base ortonormal Sea {e i } una segunda base ortonormal dextrógira En la base {e i }: e i = (e i e p )e p = Q ip e p Interpretación geométrica: Q ij = e i e j = cos(e i, e j ) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 18 / 95

19 Espacios vectoriales Propiedades de la matriz de rotación Propiedades de la matriz de rotación Definimos la matriz de rotación: Q 11 Q 12 Q 13 [e 1 ] 1 [e 1 ] 2 [e 1 ] 3 Q = [Q ij ] = Q 21 Q 22 Q 23 = [e 2 ] 1 [e 2 ] 2 [e 2 ] 3 Q 31 Q 32 Q 33 [e 3 ] 1 [e 3 ] 2 [e 3 ] 3 Por la ortonormalidad de {e i }: δ ij }{{} =[I] ij = ei e j = Q ik (e k e j) = Q ik Q jk = Q ik Qkj T } {{ } =[QQ T ] ij QQ T = I = Q T = Q 1 (matriz ortogonal) [Q T Q] ij = Q T ik Q kj = Q ki Q kj = δ ij = Q ki Q kj = δ ij = Q ik Q jk (11) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 19 / 95

20 Espacios vectoriales Propiedades de la matriz de rotación Propiedades de la matriz de rotación det(qq T ) (det Q) 2 = 1 { Q ortogonal propia (rotación) 1 det Q = { {e i } dextrógira Q ortogonal impropia (reflexión) 1 {e i } sinistrógira Notar que [e 1 det Q = ] 1 [e 1 ] 2 [e 1 ] 3 [e 2 ] 1 [e 2 ] 2 [e 2 ] 3 [e 3 ] 1 [e 3 ] 2 [e 3 ] (e 1 e 2) e 3 3 Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 20 / 95

21 Espacios vectoriales Cambio de base ortonormal Propiedades de la matriz de rotación Dado Premultiplicando (12) por Q ij y usando (11): e i = Q ip e p (12) Q ij e i = Q ij Q ip e p = δ jp e p = e j = e i = Q ji e j Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 21 / 95

22 Espacios vectoriales Componentes de vectores en dos bases ortonormales Componentes de vectores en dos bases ortonormales Dadas las bases ortonormales {e i } y {e i } relacionadas entre sí por e i = Q ip e p, e i = Q ji e j Sean v i, v i componentes de v respecto de {e i }, {e i }, luego: v = v j e j = v j Q kj e k v k e k = v k = Q kjv j v = v k e k = v k Q kje j v j e j = v j = Q kj v k = las componentes de v transforman como los vectores de base Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 22 / 95

23 Espacios vectoriales Componentes de vectores en dos bases ortonormales Ejemplo Sea {e i } resultante de rotar {e i} un ángulo θ alrededor de e 3 : e 1 = cos θ e 1 + sen θ e 2 e 2 = sen θ e 1 + cos θ e 2 e 3 = e 3 (13) cos θ sen θ 0 Q = sen θ cos θ Puede verificarse que Q es ortogonal propia. íctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 23 / 95

24 Espacios vectoriales Espacio Eucĺıdeo de puntos Espacio Eucĺıdeo de puntos Espacio Eucĺıdeo de puntos: conjunto E de puntos x, y, z t.q., x, y E, v(x, y) E, y x, y, z E se verifica v(x, y) =v(x, z) + v(z, y) (14) v(x, y) =v(x, z) y z Por (14): v(x, x) = o v(y, x) = v(x, y) x E x, y E íctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 24 / 95

25 Espacios vectoriales Origen y vector posición Origen y vector posición Introducimos la notación x(y) v(x, y) Adopción de un origen: tomamos un punto fijo arbitrario o E como origen Luego, x x(o) es el vector posición de x (relativo a o) Notar que x(y) = x(o) y(o) es independiente de la elección de o íctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 25 / 95

26 Espacios vectoriales Distancia - Espacio métrico Distancia - Espacio métrico Distancia d(x, y) entre x, y E: d(x, y) = x y = (x y) (x y) (15) El mapeo bilineal d : E E R es una métrica, i.e.: 1 d(x, y) = d(y, x) 2 d(x, y) d(x, z) + d(z, y) 3 d(x, y) 0, con d(x, y) = 0 x y Al estar dotado de una métrica, E constituye un espacio métrico Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 26 / 95

27 Espacios vectoriales Coordenadas cartesianas Coordenadas cartesianas Para o fijo, a cada x E corresponde!x E Sea {e i } una base ortonormal de E Las componentes x i de x están dadas por x i = x e i Definimos el mapeo e i : E R como: e i (x) = x e i, i = 1, 2, 3 {o, e i }: sistema coordenado cartesiano rectangular en E x i : coordenadas cartesianas del punto x en {o, e i } Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 27 / 95

28 Espacios vectoriales Cambio de coordenadas cartesianas Cambio de coordenadas cartesianas Sean dos sistemas coordenados {o, e i }, {o, e i } t.q. e i = Q ij e j Dado el punto x E, su posición en {o, e i } resulta x = x (o ) = x(o) o (o) = x c Tomando producto escalar con e i : x i x e i = (x c) (Q ij e j ) = Q ij (e j x e j c) = Q ij (x j c j ) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 28 / 95

29 Espacios vectoriales Cambio de coordenadas cartesianas Cambio de coordenadas cartesianas La transformación de {o, e i } {o, e i } está definida por x i = Q ik (x k c k ), Q ik, c k R constantes (16) La matriz jacobiana de esta transformación es la matriz cuya componente ij es: x i x j = Q ik x k x j = Q ik δ kj = Q ij (17) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 29 / 95

30 Espacios vectoriales Cambio de coordenadas cartesianas Cambio de coordenadas cartesianas Multipliquemos (16) por Q ik : Q ik x i = Q ik Q ij (x j c j ) = δ kj x j Q ik (Q ij c j ) = x k Q ik c i la transformación {o, e i } {o, e i} está definida por x k = Q ik (x i + c i ) Q ik, c i R constantes La matriz jacobiana de esta transformación es la matriz cuya componente ij es: x i x j = Q ki x k x j = Q ki δ kj = Q ji (18) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 30 / 95

31 Espacios vectoriales Cambio de coordenadas cartesianas Cambio de coordenadas cartesianas Comparando (17) y (18): Por regla de la cadena: Q ij = x i x j = x j x i x i = x i x j x k }{{} δ ij }{{} Q ki x k x j }{{} Q kj = Q [Q ij ] ortogonal Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 31 / 95

32 Tensión en un continuo Tensores cartesianos Tensión en un continuo Sea un elemento infinitesimal de área ds con normal n. El material de un lado ejerce sobre el otro una fuerza t(n)ds. El vector de tensión t(n) verifica: 1 t( n) = t(n) 2 Dimensión: [fuerza/área] 3 Depende de la orientación n de ds ds n t( n) Postulamos que t depende linealmente de n: T : E E: mapeo lineal independiente de n t(n) = Tn (19) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 32 / 95

33 Tensores cartesianos Tensión en un continuo Respecto de la base {e i }, (19) toma la forma t i (n) = T ij n j (20) T ij : componentes (cartesianas) de T respecto de la base {e i }. Adoptemos n e 1 en (19): t i (e 1 ) = T ij [e 1 ] j = T ij δ 1j = T i1 Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 33 / 95

34 Tensores cartesianos Tensión en un continuo Adoptando n e 2 en (19): Adoptando n e 3 en (19): t i (e 2 ) = T i2 t i (e 3 ) = T i3 T ij son las componentes de los vectores de tensión actuantes sobre los tres planos coordenados, mutuamente perpendiculares, que pasan por un punto material Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 34 / 95

35 Tensor de tensión Tensores cartesianos Tensor de tensión El estado de tensión está caracterizado por: 1 las componentes T ij en una base {e i }, o 2 el mapeo lineal T (descripción invariante) T es un tensor (de segundo orden) en E. En este caso, es el tensor de tensiones Ejemplo Para un fluido invíscido a presión p, T = pi (en componentes, T ij = pδ ij ) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 35 / 95

36 Tensores cartesianos Tensores cartesianos de segundo orden Sean t i, T ij, n j y t i, T ij, n j componentes de t, T, n en {e i } y {e i }, respectivamente. Luego t i = T ijn j = Q ik t k = Q ik T kl n l = Q ik T kl Q jl n j Dado que n j es arbitrario, llegamos a la regla de transformación de componentes de un tensor de segundo orden bajo cambio de base ortonormal {e i } a {e i }: T ij = Q ik Q jl T kl Esta regla será usada para caracterizar tensores Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 36 / 95

37 Tensores cartesianos Tensores cartesianos de segundo orden Tensores cartesianos de segundo orden Tensor cartesiano de segundo orden (CT(2)): entidad T de componentes T ij respecto de una base {e i } que transforma como T ij = Q ip Q jq T pq (21) bajo cambio de base e i e i = Q ij e j Si ordenamos los componentes de los tensores en las matrices T = [T ij ], T = [T ij ], Q = [Q ij], podemos rescribir (21) como T = QTQ T Por la ortogonalidad de Q, Q 1 Q T, luego T = Q T T Q Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 37 / 95

38 Tensores cartesianos Tensores cartesianos de orden n Tensores cartesianos de orden n Tensor cartesiano de orden n (CT(n)): entidad T de componentes T ijk... (n índices) respecto de una base {e i } que transforma como bajo cambio de base e i e i = Q ij e j T ijk... = Q ipq jq Q kr... T pqr... (22) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 38 / 95

39 Tensores cartesianos Tensores cartesianos de orden n Ejemplo 1 Un escalar es CT(0) 2 Un vector es CT(1) 3 Un tensor de tensiones es CT(2) 4 La delta de Krönecker es CT(2) porque δ ij = e i e j = (Q ip e p ) (Q jq e q ) = Q ip Q jq δ pq 5 El símbolo de permutación ε ijk es CT(3) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 39 / 95

40 Tensores cartesianos Producto tensorial entre vectores Producto tensorial entre vectores Definimos el producto tensorial o diádico u v entre los vectores u, v E como el CT(2) de componentes [u v] ij = u i v j. Se verifica que es CT(2): [u v] ij = u iv j = Q ip Q jq u p v q = Q ip Q jq [u v] pq u v aplicado a w E da el vector [(u v)w] i = (u i v j )w j = (v j w j )u i o (u v)w = (v w)u, u, v, w E En particular: (e i e j )n = (e j n)e i = n j e i n E (23) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 40 / 95

41 Tensores cartesianos Representación indicial de un tensor de segundo orden Representación indicial de un tensor de segundo orden Para T CT(2), se multiplica (23) por T ij : Como n es arbitrario, tenemos (T ij e i e j )n = T ij n j e i = [Tn] i e i = Tn T = T ij e i e j (24) {e i e j } constituye una base en R 9 (espacio vectorial real 9D) de tensores de segundo orden Así como v i = v e i para v E, podemos obtener las componentes del tensor de 2 o orden T en la base {e i } haciendo: e k Te l = T ij e k (e i e j )e l = T ij e k ([e l ] j e i ) = T ij δ lj δ ki = T kl Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 41 / 95

42 Tensores cartesianos Representación indicial de un tensor de segundo orden Notar: 1 En general, no pueden encontrarse u, v E tal que T = u v para T CT(2) arbitrario 2 I, tensor identidad de componentes cartesianas δ ij, resulta I = δ ij e i e j = e i e i {e i } ortonormal Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 42 / 95

43 Tensores cartesianos Tensores de orden n > 2 Representación indicial de un tensor de segundo orden 1 El producto tensorial se puede repetir, por ejemplo: u v w = u i v j w k e i e j e k es un CT(3) {e i e j e k } constituye una base en el espacio R 33 vectorial real 27D) de tensores de tercer orden. La expresión general de un CT(3) es: (espacio T = T ijk e i e j e k 2 La expresión general de un CT(n) es: T = T i1 i 2...i n e i1 e i2 e in referido a la base {e i1 e i2 e in } del espacio R 3n vectorial real 3 n D) de tensores de orden n. (espacio Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 43 / 95

44 Tensores cartesianos Producto tensorial entre tensores Producto tensorial entre tensores Se define el producto tensorial entre los tensores S CT(m) y T CT(n) como el tensor S T CT(n + m): S T = S i1...i m T j1...j n e i1 e im e j1 e jn Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 44 / 95

45 Contracción Tensores cartesianos Contracción Contracción: Sean T i1 i 2...i p...i q...i n componentes de un CT(n). Hacemos i p = i q y sumamos sobre i p de 1 a 3. Estos índices se dicen contraídos y el orden del tensor se reduce en dos. 1 u v contrae en u v 2 T CT(2) contrae en el escalar T ii = tr T (traza de T), invariante escalar de T pues T ii = Q ip Q iq T pq = δ pq T pq = T pp 3 Dados S, T CT(2), el producto tensorial S T CT(4) de componentes [S T] ijkl = S ij T kl contrae de diversas maneras, por ejemplo: j = k: S ij T jl = [ST] il, donde ST CT(2) es el producto interno entre S y T, que contrae a su vez en el escalar tr (ST) = S ij T ji, j = l: S ij T kj = [ST T ] ik, donde ST T CT(2) es el producto interno entre S y T T, que contrae a su vez en el escalar tr (ST T ) = S ij T ij S : T 4 TT = T 2, TT 2 = T 3,..., TT (n 1 ) = T n (n entero) contraen en tr (T 2 ), tr (T 3 ),..., tr (T n ), invariantes escalares de T Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 45 / 95

46 Tensores isotrópicos Tensores cartesianos Tensores isotrópicos Tensor isotrópico: aquél cuyas componentes no cambian por cambios de base (ortogonal propia) arbitrarios. CT(0): Todos los escalares son isotrópicos. CT(1): No existen vectores isotrópicos no triviales. CT(2): Los únicos tensores isotrópicos son αi con α R. CT(3): Los únicos tensores isotrópicos son aquéllos de componentes αε ijk con α R. CT(4): Los únicos tensores T CT(4) isotrópicos tienen componentes T ijkl = αδ ij δ kl + βδ ik δ jl + γδ il δ jk con α, β, γ R. CT(>4): Sus componentes se expresan como combinaciones lineales de productos de deltas de Krönecker y símbolos de permutación. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 46 / 95

47 Isotropía en CT(1) Tensores cartesianos Isotropía en vectores Supongamos que el vector v es isotrópico, entonces Q ij v j = v i, o Qv = v, Q ortogonal propia Elegimos: Q = (25) (rotación π/2 en torno a e 3 ), tenemos v 1 = v 2 = 0. Similarmente, eligiendo otra Q, vemos que v 3 = 0. Sólo v = o es isotrópico. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 47 / 95

48 Isotropía en CT(2) Tensores cartesianos Isotropía en tensores de segundo orden Sea T un CT(2) isotrópico: Q ip Q jq T pq = T ij, o QTQ T = T, Q ortogonal propia (26) Para Q dada por (25), tenemos : T 22 T 21 T 23 T 11 T 12 T 13 T 12 T 11 T 13 = T 21 T 22 T 23 T 32 T 31 T 33 T 31 T 32 T 33 T 22 = T 11, T 12 = T 21, T 23 = T 32 = T 13 = T 31 = 0 Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 48 / 95

49 Isotropía en CT(2) Tensores cartesianos Isotropía en tensores de segundo orden La elección Q = (rotación π/2 alrededor de e 1 ) da T 12 = T 21 = 0 y T 33 = T 11, de forma que T ij = T 11 δ ij Como (26) vale para αt, con α escalar arbitrario, necesariamente T es múltiplo de I. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 49 / 95

50 Isotropía en CT(3) Tensores cartesianos Isotropía en tensores de tercer orden Se demuestra que todo múltiplo del tensor CT(3) de componentes ε ijk es isotrópico: ε ijk Q ipq jq Q kr ε pqr = (det Q)ε ijk = ε ijk, Q ortogonal propia Ejercicio Mostrar que son los únicos CT(3) isotrópicos. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 50 / 95

51 Álgebra tensorial Tensores de segundo orden como mapeo lineal Tensores de segundo orden como mapeo lineal Revemos ahora la teoría en forma invariante, i.e., sin recurrir a la definición de una base. Tensores de segundo orden como mapeo lineal: el tensor de 2 o orden T es el mapeo lineal T : E E, o: T : u Tu con Tu E u E Linealidad implica T(αu + βv) = αtu + βtv, u, v E, α, β R Los tensores de 2 o orden pertenecen al conjunto L(E, E) de todos los mapeos lineales de E en E, que es un espacio vectorial. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 51 / 95

52 Álgebra tensorial Producto interno entre tensores de segundo orden Producto interno entre tensores de 2 o orden Se define el producto interno ST como (ST)u = S(Tu), S, T L(E, E) En componentes cartesianas, [ST] ij = S ik T kj, que es una contracción de S T. Los tensores cero 0 y unitario o identidad I de 2 o orden satisfacen 0u = o, Iu = u, u E Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 52 / 95

53 Álgebra tensorial Tensores de segundo orden como mapeo bilineal Tensores de segundo orden como mapeo bilineal Tensores de segundo orden como mapeo bilineal: el tensor de 2 o orden T es la función bilineal T : E E R T(u, v) = u (Tv) Sea L(E E, R) el conjunto de todas las funciones bilineales de E E en R. L(E E, R) es isomorfo a L(E, E). Usamos el mismo símbolo, T, para notar elementos de uno u otro espacio. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 53 / 95

54 Álgebra tensorial Tensores de segundo orden como mapeo bilineal Dada una base ortonormal {e i } para E (e i e j )(u, v) = u (e i e j )v = u (e j v)e i = u v j e i = (u e i )v j = u i v j = (u v) ij Para T arbitrario, T(u, v) = T(u i e i, v j e j ) = u i v j T(e i, e j ) = T(e i, e j )(e i e j )(u, v) Como u, v E son arbitrarios, T = T(e i, e j )e i e j (representación de T en la base {e i }) Luego, por (24), T(e i, e j ) = T ij (componente de T relativa a la base {e i }) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 54 / 95

55 Tensor transpuesto Álgebra tensorial Tensor transpuesto Definimos el tensor transpuesto T T t.q. u T T v = v Tu, u, v E En componentes cartesianas: u i [T T ] ij v j = v j T ji u i Tij T [T T ] ij = T ji u i, v j Ejercicio Dados T, S L(E, E) arbitrarios, mostrar (αs + βt) T = αs T + βt T (ST) T = T T S T Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 55 / 95

56 Álgebra tensorial Tensor simétrico de 2 o orden Tensor simétrico de segundo orden Un tensor de segundo orden S es simétrico si S = S T. En componentes cartesianas, S ij = S ji. Ejemplo El tensor identidad de 2 o orden I es simétrico, pues u v = v u, u Iv = v Iu u, v E I = I T Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 56 / 95

57 Álgebra tensorial Tensor antisimétrico de 2 o orden Tensor antisimétrico de segundo orden Un tensor de segundo orden W es antisimétrico (o skew) si W T = W. En componentes cartesianas, W ij = W ji. El vector w de componentes cartesianas w i = 1 2 ε ijkw kj es llamado vector axial de W Ejercicio Mostrar: 1 ε ipq w i = W qp 2 w a = Wa a E Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 57 / 95

58 Álgebra tensorial Tensores simétricos y antisimétricos de segundo orden Tensores simétricos y antisimétricos de 2 o orden Un tensor simétrico de 2 o orden tiene 6 componentes independientes. Un tensor antisimétrico de 2 o orden tiene 3 componentes independientes. Un tensor arbitrario puede escribirse como suma de uno simétrico y uno antisimétrico: T = 1 (T ) + T T + 1 (T ) T T } 2 {{ } } 2 {{ } simétrico antisimétrico Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 58 / 95

59 Álgebra tensorial Determinante de tensores de 2 o orden Determinante de tensores de segundo orden Definimos el determinante de T como el det T (siendo T la matriz de componentes de T en una base ortonormal): det T = ε ijk T i1 T j2 T k3 Siendo T = QTQ T, resulta: det T = det Q det T det Q T = det T det T es un invariante escalar de T Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 59 / 95

60 Álgebra tensorial Inversa de un tensor de 2 o orden Inversa de un tensor segundo orden Si det T 0, existe un único tensor inverso T 1 t.q. TT 1 = I = T 1 T det(t 1 ) = (det T) 1 (27) (ST) 1 = T 1 S 1 S L(E, E) Se define el tensor adjunto de T: adj T = (det T)T T con T T = (T T ) 1 = (T 1 ) T Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 60 / 95

61 Álgebra tensorial Autovalores y autovalores de un tensor de segundo orden Autovectores y autovalores de un tensor de 2 o orden Autovectores de un tensor de 2 o orden: dado T L(E, E), v E es autovector de T si existe λ R t.q. λ: autovalor de T correspondiente a v Tv = λv (28) Las ecuaciones (28) tienen solución no trivial v o si det(t λi) = 0 (ecuación característica para T) (29) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 61 / 95

62 Álgebra tensorial Invariantes principales de un tensor de segundo orden Invariantes principales de un tensor de 2 o orden La expansión de ( 1) (29) da: T 11 λ T 12 T 13 det(t λi) = T 21 T 22 λ T 32 T 31 T 32 T 33 λ = λ 3 I 1 (T)λ 2 + I 2 (T)λ I 3 (T) = 0 (30) donde I i son los invariantes principales de T: I 1 (T) = tr T I 2 (T) = 1 [ (tr T) 2 tr T 2] 2 I 3 (T) = det T = 1 [ (tr T) 3 3tr Ttr T 2 + 2tr T 3] 6 Para cada solución real de (30) tenemos un autovector v real Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 62 / 95

63 Álgebra tensorial Teorema de Cayley-Hamilton Teorema de Cayley-Hamilton Aplicando T a (28) r 1 veces, tenemos Multiplicando (30) por v y usando (31): T r v = λ r v (31) λ 3 v I 1 (T)λ 2 v + I 2 (T)λv I 3 (T)v = o [ T 3 I 1 (T)T 2 + I 2 (T)T I 3 (T)I ] v = o Siendo v o, resulta: T 3 I 1 (T)T 2 + I 2 (T)T I 3 (T)I = 0 (32) Teorema de Cayley-Hamilton: todo tensor de 2 o orden satisface su propia ecuación característica Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 63 / 95

64 Álgebra tensorial Teorema de Cayley-Hamilton Ejercicio Si det T 0 mostrar: det(t 1 λ 1 I) = 0 y luego: λ 3 I 1 (T 1 )λ 2 + I 2 (T 1 )λ 1 I 3 (T 1 ) = 0 con: I 1 (T 1 ) = I 1 (T)/I 3 (T) I 2 (T 1 ) = I 2 (T)/I 3 (T) I 3 (T 1 ) = 1/I 3 (T) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 64 / 95

65 Álgebra tensorial Teorema de Cayley-Hamilton Ejercicio Mostrar T 1 = (T 2 I 1 (T)T + I 2 (T)I)/I 3 (T) y deducir que T r puede expresarse en términos de I, T, y T 2, con coeficientes invariantes de T, para r entero positivo o negativo. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 65 / 95

66 Álgebra tensorial Autovalores y autovectores para tensores simétricos Autovalores y autovectores para tensores simétricos Sean λ i y v (i), i = 1, 2, 3, autovalores y autovectores de T. Luego: Tv (i) = λ i v (i) (no suma en i) de donde: v (j) (Tv (i) ) = λ i v (j) v (i) (33) v (i) (Tv (j) ) = v (j) (T T v (i) ) = λ j v (i) v (j) (34) Si T = T T, la diferencia (33) (34) da: (λ i λ j )v (i) v (j) = 0 (35) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 66 / 95

67 Álgebra tensorial Autovalores y autovectores para tensores simétricos Autovalores y autovectores para tensores simétricos De (35), resulta 1 Si λ i λ j, i j: 2 Si λ i = λ j λ k, i j k i : v (i) v (j) = 0 (36) v (i) v (k) = v (j) v (k) = 0 Pueden elegirse vectores v (i), v (j) arbitrarios, normales a v (k) y normales entre sí. 3 Si λ i = λ j = λ k, i j k i, pueden elegirse vectores v (i), v (j), v (k) (arbitrarios) mutuamente ortogonales. En todo caso, los autovectores de T simétrico son mutuamente ortogonales Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 67 / 95

68 Álgebra tensorial Autovalores para tensores simétricos Autovalores y autovectores para tensores simétricos Probaremos que λ i R por el absurdo: Si λ i C satisface la ecuación característica, también lo hace su conjugado λ i C Si v (i) es el autovector correspondiente a λ i, su conjugado v (i) es el autovector correspondiente a λ i Luego: (λ i λ i ) } {{ } } v (i) {{ v (i) } 0 0 = v (i) 2 >0 = Imposible verificar (35) = los autovalores de T simétrico deben ser reales Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 68 / 95

69 Álgebra tensorial Representación espectral de tensores Representación espectral de tensores Sean v (i) autovectores de T normalizados (i.e., v (i) = 1) t.q. I = v (i) v (i) (suma sobre i) Llegamos a la representación espectral de T: T = TI = (Tv (i) ) v (i) = 3 λ i v (i) v (i) i=1 La matriz de componentes T en la base {v (i) } es diagonal, con componentes λ 1, λ 2, λ 3 En la base {e i }, la matriz de componentes T: T = Q T T Q con Q ij = v (i) e j Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 69 / 95

70 Álgebra tensorial Representación espectral de tensores Representación espectral de tensores Si λ 2 = λ 1 : T = λ 1 I + (λ 3 λ 1 )v (3) v (3) Si λ 3 = λ 2 = λ 1 : T = λ 1 I Autovectores de T ejes principales de T Dos tensores de 2 o orden T y S con los mismos ejes principales se dicen coaxiales Autovalores de T valores principales de T Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 70 / 95

71 Álgebra tensorial Representación espectral de tensores Ejercicio Mostrar que si λ 1, λ 2, λ 3 son valores principales de T, los invariantes principales resultan I 1 (T) = λ 1 + λ 2 + λ 3 I 2 (T) = λ 2 λ 3 + λ 3 λ 1 + λ 1 λ 2 I 3 (T) = λ 1 λ 2 λ 3 Ejercicio Mostrar que S y T son coaxiales si ST = TS. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 71 / 95

72 Álgebra tensorial Tensores definidos/semidefinidos positivos Tensores definidos/semidefinidos positivos Un tensor T de 2 o orden se dice definido positivo si v (Tv) > 0 v E, v o Un tensor T de 2 o orden se dice semidefinido positivo si v (Tv) 0 v E, v o, con al menos un v o para el que valga la igualdad Si T es simétrico y definido positivo, luego λ i > 0 para i = 1, 2, 3 Si T es simétrico y semidefinido positivo, luego λ i 0 para i = 1, 2, 3, con algún λ i = 0 Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 72 / 95

73 Álgebra tensorial Tensores definidos/semidefinidos positivos Definimos la raíz positiva de T como T 1/2 = 3 i=1 λ 1/2 i v (i) v (i) Si λ i > 0, i = 1, 2, 3, la inversa de T existe y su representación espectral es: 3 T 1 = λ 1 i v (i) v (i) i=1 Notar que T 1/2 y T 1 son coaxiales con T Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 73 / 95

74 Álgebra tensorial Tensores antisimétricos de 2 o orden Tensores antisimétricos de segundo orden Sea W antisimétrico de 2 o orden: Sus invariantes principales resultan W T = W (37) I 1 (W) = tr W = 0 I 2 (W) = 1 [ (tr W) 2 tr W 2] = 1 tr W2 2 2 = 1 2 W ijw ji = 1 2 W ijw ij = W W W 2 31 I 3 (W) = det W = 0 Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 74 / 95

75 Álgebra tensorial Tensores antisimétricos de segundo orden La ecuación característica resulta: λ 3 + I 2 (W)λ = [ λ 2 + I 2 (W) ] λ = 0 Como I 2 (W) > 0 W 0, W tiene un único autovalor real λ = 0, al que corresponde el autovector a t.q. Wa = o Si w = 1 2 ε ijkw kj e i es vector axial de W: Wa = w a = o a = αw, α R, es el único autovector real de W Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 75 / 95

76 Álgebra tensorial Tensores antisimétricos de segundo orden Ejercicio Sean u, v y ŵ = w/ w una base ortonormal, con w vector axial de W. Mostrar: W = (v Wu)(v u u v) Deducir además que W = (Wu) u u (Wu) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 76 / 95

77 Álgebra tensorial Tensores ortogonales de 2 o orden Tensores ortogonales de segundo orden En general, el producto escalar u v no se conserva bajo la transformación lineal T : E E, i.e.: (Tu) (Tv) = u (T T Tv) u v en general Se denomina tensor ortogonal Q a aquél que conserva el producto escalar: (Qu) (Qv) = u (Q T Qv) = u v de donde Q T Q = I = QQ T (38) Q será propio o impropio según { 1 tensor ortogonal propio det Q = 1 tensor ortogonal impropio Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 77 / 95

78 Álgebra tensorial Tensores ortogonales de 2 o orden Tensores ortogonales de segundo orden De (38): Q T Q Q T = I Q T Q T (Q I) = (Q T I) det(q T (Q I)) = det(q T I) = det(q I) 1 det(q I) + det(q I) = 0 det(q I) = 0 λ = 1 es autovalor, al que corresponde el autovector u t.q. Qu = u u no se modifica por aplicación de Q u es eje de rotación Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 78 / 95

79 Álgebra tensorial Tensores ortogonales de 2 o orden Tensores ortogonales de segundo orden Si u (autovector de Q), v y w forman una base ortonormal: 0 = v u = v (Q T Qu) = (Qv) (Qu) Qv y Qu ortogonales = (Qv) u Qv y u ortogonales 0 = w u = w (Q T Qu) = (Qw) (Qu) Qw y Qu ortogonales = (Qw) u Qw y u ortogonales Por (13), sabemos que θ t.q. Qv = v cos θ + w sen θ, Qw = v sen θ + w cos θ con lo cual Q resulta: Q = QI =Q (u u + v v + w w) =Qu u + Qv v + Qw w =u u + (v v + w w) cos θ+ + (w v v w) sen θ (39) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 79 / 95

80 Álgebra tensorial Tensores ortogonales de segundo orden Ejercicio Usando (39), mostrar: Qa = a cos θ + (a u)u(1 cos θ) + u a sen θ, a E Si U es un tensor antisimétrico de 2 o orden con vector axial u, mostrar: Q = cos θi + (1 cos θ)(u u) + sen θu Ejercicio Mostrar que los invariantes principales de Q ortogonal son I 1 (Q) = I 2 (Q) = cos θ, I 3 (Q) = 1 Obtener la ecuación característica y ver que existe un único autovalor real. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 80 / 95

81 Campos tensoriales Campos tensoriales Dominio D: subconjunto abierto del espacio Eucĺıdeo de puntos E. Campo: función f (x) que depende de la posición x D. Campo escalar: función φ : D R Campo vectorial: función v : D E Campo tensorial de 2 o orden: función T : D L(E, E) Genéricamente: f : D I (Imagen) con { f = φ, v, T I = R, E, L(E, E) Asumiremos o fijo y único (punto origen), así que a cada x E corresponde!x E. Luego, indicamos la posición de un punto en D como x D o x D, indistintamente. (40) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 81 / 95

82 Campos tensoriales Continuidad de campos tensoriales Continuidad de campos tensoriales Un campo f es continuo en x D si ε > 0, existe un escalar δ(ε, x) > 0 t.q.: Ejemplo d I (f (y), f (x)) < ε siempre que d(y, x) < δ(ε, x) d y d I : métricas asociadas con E e I. Para I L(E, E), se puede definir el producto escalar S : T = tr (ST T ), el módulo S I = S : S, y luego la distancia d I (S, T) = S T I Si f es continua x D, f es continua en D. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 82 / 95

83 Campos tensoriales Diferenciabilidad de campos tensoriales Diferenciabilidad de campos tensoriales Un campo f es diferenciable en x D si existe un único mapeo lineal G(x) t.q. f (x + ta) f (x) G(x)a = ĺım = d t 0 t dt t=0 f (x + ta), a E Si f es diferenciable x D, f es diferenciable en D. Si f es un campo tensorial de orden n, luego G es un campo tensorial de orden n + 1. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 83 / 95

84 Campos tensoriales Gradiente de campos tensoriales Gradiente de campos tensoriales G es llamado gradiente de f y escribimos G grad f : (grad f (x))a = ĺım t 0 f (x + ta) f (x) t = d dt f (x + ta) t=0, a E (41) Notar que si a es unitario, (grad f (x))a es la derivada direccional de f en la dirección a calculada en x. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 84 / 95

85 Campos tensoriales Gradiente de campos escalares Gradiente de campos escalares Para un campo escalar φ, grad φ = φ es el campo vectorial t.q. ( φ(x)) a = d dt φ(x + ta) t=0, a E (42) En componentes cartesianas: ( φ) a = φ x i a i = con (a ) operador diferencial escalar. ( ) a i φ (a )φ x i Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 85 / 95

86 Campos tensoriales Gradiente y divergencia de campo vectorial Gradiente y divergencia de campo vectorial Gradiente de un campo vectorial v: campo tensorial grad v = v de orden 2 dado por En componentes cartesianas: ( v(x))a = d dt v(x + ta) t=0, ae [ v] ij = v i x j v i,j Divergencia de v: campo escalar dado por En componentes cartesianas: div v v = tr ( v) v = v i x i v i,i (contracción del campo tensorial v) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 86 / 95

87 Campos tensoriales Rotor de campo vectorial Rotor de campo vectorial Rotor de v: campo vectorial dado por (rot v(x)) a ( v(x)) a = (v(x) a), a E En componentes cartesianas: [ v] k a k = x i (v a) i = x i (ε ijk v j a k ) = (ε kij v j,i ) a k = [ v] k = ε kij v j,i = ε kij [ v] ji Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 87 / 95

88 Campos tensoriales Rotor de campo vectorial Ejercicio Demostrar que v es el vector axial del tensor v ( v) T. Luego demostrar que v puede definirse alternativamente por la identidad { } { v(x)} a = v(x) ( v(x)) T a, a E Ejercicio Si φ es campo escalar, mostrar que ( φ) = 0. Ejercicio Mostrar que ( v) = 0 v campo vectorial. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 88 / 95

89 Campos tensoriales Gradiente de campos tensoriales de orden n Gradiente de campos tensoriales de orden n Para un campo tensorial T de orden n, grad T = T es un campo tensorial de orden n + 1 t.q.: ( T(x))a = d dt T(x + ta) t=0 = (a )T(x), a E (43) En componentes cartesianas: [ T] i1 i 2...i nj a j = ( ) a j T i1 i x 2...i n = T i 1 i 2...i n a j j x j = [ T] i1 i 2...i nj = T i 1 i 2...i n x j T i1 i 2...i n,j Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 89 / 95

90 Campos tensoriales Divergencia de tensores de orden 2 Divergencia de tensores de orden 2 Si T es un campo tensorial de orden 2, T es un campo tensorial de orden 3 con tres contracciones posibles: 1 div T T 2 div T T T T 3 grad (tr T) (tr T) Es una cuestión de convención decidir cual de las dos contracciones posibles entre y T es T. Asumimos: En componentes cartesianas: ( T(x)) a = (T(x)a), a E (44) [ T] j a j = [Ta] x i = T ij,i a j i [ ] = [ T] j = T ij,i = T T = T ji,i j Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería y 31 Ciencias de agosto Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 90 / 95