Funciones lineales, diádicas y tensores en la mecánica newtoniana

Transcripción

1 Funciones lineales, diádicas y tensores en la mecánica newtoniana En este documento se introducen los conceptos de diádicas y tensores en un espacio vectorial euclídeo tridimensional, con objeto de dotar de una forma matemática precisa al tratamiento vectorial de la dinámica del sólido rígido. Se eluden referencias ligadas a coordenadas curvilíneas o cualquier otra complicación que obstaculice la rápida disponibilidad de las herramientas mencionadas. 1 Funciones lineales En Física existe un gran número de cantidades (fuerzas, velocidades, momentos cinéticos, etc) que, dado un sistema de unidades, se represenan mediante vectores del espacio euclídeo tridimensional ordinario. Otras cantidades se representan directamente por escalares. Las relaciones más sencillas entre estas magnitudes son las lineales. Por ejemplo, cuando un sólido rígido se mueve en torno a un punto fijo O con una rotación ω, el momento cinético respecto a O, L O es una función lineal (aunque, en general, no colineal) de ω. L O = l(ω) Una función lineal que asigne a cada vector un escalar puede representarse mediante un vector. En efecto, sea la función lineal f(v) w v, w V y sean {e 1, e 2, e 3 } los vectores de una base ortonormal de V. Conociendo las imágenes {f(e 1 ), f(e 2 ), f(e 3 )} de estos tres vectores, se puede obtener la de cualquier combinación lineal, es decir, la de cualquier vector del espacio. f( λ i e i ) = o, desarrollando la expresión anterior λ i f(e i ) f( λ i e i ) = ( λ i e i ) ( f(e i )e i ) = u v 1

2 donde u = 3 f(e i )e i es un vector que representa la función lineal. Las funciones vectoriales lineales de una variable vectorial desempeñan un papel muy importante en la modelización de los sistemas físicos. Un tipo particular de estas funciones son las llamadas diadas, que son funciones del tipo f (v) = a(v b) a, b, v V y que se representan mediante la yuxtaposición (esta operación, llamada producto diádico, es equivalente, en el marco de este trabajo, al conocido como producto tensorial de dos vectores, representado a b aunque nosotros emplearemos la simple yuxtaposición, en aras de la sencillez de notación) de los vectores antecedente a y consecuente b f ab La evaluación de dicha función se representa por f (v) = ab v Una combinación lineal de estas funciones se denomina diádica y se representa mediante la combinación lineal de las diadas correspondientes. Una diádica es, pues, una función lineal. Una función real de variable vectorial genérica puede evaluarse si se conocen las imágenes de los vectores de una base cualquiera, como la {e 1, e 2, e 3 } Sea f (e i ) = a ji e j j=1 Entonces, por la linealidad de f, la imagen de un vector cualquiera 3 λ ie i es f ( λ i e i ) = λ i f (e i ) = λ i a ji e j que equivale a donde f ( λ i e i ) = ( j=1 j=1 j=1 a ji e j e i ) ( λ i e i ) a ji e j e i es una diádica, lo que demuestra que una función lineal cualquiera puede representarse por una diádica. Todas las funciones lineales pueden representarse po 2

3 diádicas y todas las diádicas representan transformaciones lineales. De ahora en adelante se denotarán las diádicas mediante dos barras superpuestas. A = a ji e j e i j=1 de forma que si F es la diádica correspondiente a la función f (v), se tiene 2 Tensores f (v) = F v Vectores y diádicas representan funciones lineales de variable vectorial cuyas imágenes son escalares y vectores respectivamente. Los vectores pueden representar, asímismo, funciones lineales de variable escalar e imagen vectorial si se multiplican directamente por el escalar. En cualquier caso, los vectores representan funciones lineales en las que la suma de las dimensiones del conjunto inicial y el final es uno. Las diádicas representan funciones lineales de un espacio vectorial en sí mismo, o de un escalar en una diádica. En cualquier caso, las diádicas representan funciones lineales en las que la suma de las dimensiones del conjunto inicial y el final es dos. Es común denominar tensores( el término procede del análisis del sistema de tensiones interiores de un sólido. En efecto, si se consideran los esfuerzos interiores en un punto O de un sólido que se intercambian en una sección de éste, puede definirse una relación lineal entre, por un lado, la fuerza por unidad de superficie que una parte del sólido ejerce sobre otra y, por otro lado, el vector n que define la dirección de la sección. = l(n) Esta función lineal representa el estado tensional del sólido en el punto O, lo que motiva el nombre) a las funciones lineales que representan una realidad física. Así, los vectores son tensores de orden uno, las diádicas son tensores de orden dos y no es difícil imaginar una función lineal de variable vectorial cuya imagen sean diádicas, lo que define un tensor de tercer orden, etc. Los tensores de orden mayor que uno representan asímismo funciones multilineales y una alternativa a la caracterización anterior consiste en definir los tensores de orden m como funciones multilineales de grado m definidas en el espacio vectorial y cuyas imágenes son escalares. No es difícil relacionar ambas vías de presentación de los tensores. En efecto, una función vectorial lineal cuya imagen sea un vector es una función lineal cuya imagen es una función lineal escalar y por lo tanto, operada con dos vectores (el primero para obtener la función lineal y el segundo para evaluar esta última) proporciona un escalar que es función lineal de ambos vectores. Procediendo de la misma forma para tensores de tercer orden y superiores, se puede apreciar la relación entre ambos puntos de vista. 3

4 3 Representación matricial Dada una base ortonormal S = {e 1, e 2, e 3 } los vectores se pueden representar mediante la terna de sus componentes que se pueden disponer en forma de matrices columna, que denotamos por (v) S ( λ i e i ) S = Igualmente, dada la base ortonormal S, una diádica F puede representarse λ 1 λ 2 λ 3 por una matriz cuadrada 3 3 que denotaremos (F ) S a 11 a 12 a 13 (F ) S = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Las operaciones elementales entre vectores y diádicas tienen sus operaciones correspondientes entre las matrices que los representan, de acuerdo a las siguientes reglas f = v w f = (v) S(w) S f = A v (f ) S = (A) S (v) S Al cambier de base de referencia, las componentes de un tensor también cambian. Las fórmulas que gobiernan el cambio de referencia entre dos bases ortonormales S a y S n se pueden expresar mediante una matriz T llamada de cambio de base y se define de acuerdo a las fórmulas e n i = t ij ej a j=1 Las componentes de un vector cambian según (v) S n = T (v) S a y las de una diádica (A) S n = T (A) S at 4 Otras operaciones Se puede definir el producto de una diádica por un vector por la izquierda v A = ( λ j e j ) ( a ji e j e i ) = a ji λ j e i j=1 j=1 4

5 Se puede definir asímismo el producto vectorial de un vecto por una diádica por la derecha v A = a ji (v e j )e i o por la izquierda 5 Derivación A v = j=1 j=1 a ji e j (e i v) Las derivaciones de todos los productos anteriores siguen las reglas habituales en los productos. Las derivadas respecto a un parámetro (para fijar ideas, el tiempo) de todos los tensores de orden mayor o igual que uno requieren la especificación del sistema que se considere fijo. En particular se va a desarrollar la derivada respecto al tiempo de un tensor de orden dos o diádica solidario a un sistema indeformable que acompaña a una base ortonormal variable S = {e 1, e 2, e 3 } cuya rotación respecto a otra S es ω. En este caso, el tensor se representa mediante A = i,j a ij e i e j donde a ij son constantes. Su derivada será que utilizando ω queda da dt S = i,j a ij de i dt S e j + i,j a ij e i de j dt S da dt S = i,j a ij (ω e i )e j + i,j a ij e i (ω e j ) que es da dt S = ω A A ω 6 Tensor de inercia La mecánica del sólido rígido (véase Dinámica del sólido rígido de JMDC y JJSE) puede formularse de forma muy sencilla en función de un tensor que define la distribución de masas de aquél. En efecto, dado un sólido rígido, y 5

6 un punto O del mismo, se considera la función vectorial (el vector r es el que posiciona cada punto del sólido desde O) f O (v) f O (v) = r (v r)dm que es, obviamente, lineal. El tensor de segundo orden o diádica que la representa, se conoce como diádica de inercia o también, con un uso más extendido, tensor de inercia y se denota I O. f O (v) = I O v Es fácil demostrar que si un sólido rígido gira con rotación ω en torno a un punto fijo O, la velocidad de cada punto del sólido es ω r y el momento cinético L O es L O = r (ω r)dm = I O ω el momento cinético respecto al centro de masas se calcula teniendo en cuanta el campo de velocidades v = v c + ω r C L C = r C (ω r C + v C )dm = I C ω + ( r C dm) v C donde, teniendo en cuenta la nulidad del segundo sumando queda su energía cinética es T = 1 2 L C = I C ω (ω r) (ω r)dm = aplicando la expresión para el producto escalar de dos productos vectoriales T = 1 ((ω ω)(r r) (ω r)(ω r))dm = 2 = 1 2 ω (ω(ω(r r) r(ω r))dm = = 1 2 ω r (ω r)dm = T = 1 2 ω I O ω Las ecuaciones de Euler pueden deducirse dl o dt = di O dt ω + I O ω 6

7 teniendo en cuenta en la derivación del tensor de inercia que éste es constante para los ejes del sólido que giran con ω, se tiene dl o dt = ω I O ω I O ω ω + I O ω = ω I O ω + I O ω = M O El teorema de la energía cinética puede obtenerse también de esta forma, etc. 7 Para saber más Para un tratamiento más riguroso y extenso del tema de diádicas, se recomienda consultar el capítulo VIII del libro de J.J. Scala. Para continuar con la formulación de la geometría de masas se indica el libro de geometría de masas y para seguir en la formulación de la mecánica, se recomienda el libro azul. 8 Generalización Esta sección presenta de forma narrativa y sin demostraciones, las ideas presentes en la generalización desde el concepto tensorial dado en los párrafos anteriores, al general que se encuentra en los manuales de cálculo tensorial. Pretende transmitir los conceptos intuitivos que en muchas ocasiones aparecen oscuros bajo el tratamiento analítico que con su aspecto parece ocultar la sencillez de las ideas del cálculo tensorial. El tratamiento dado en las secciones anteriores es válido cuando se asume un espacio euclídeo tridimensional, es decir, un espacio vectorial en el que hay definida una distancia euclídea. En espacios de más dimensiones, hay operaciones, como el producto vectorial, que necesitan una definición bastante diferente. Además, si no existe una norma intrínsecamente definida en el espacio, no existe el producto escalar y por tanto, no se pueden representar funciones lineales por vectores del mismo espacio vectorial que su dominio. Finalmente, en general, puede no disponerse de un espacio en el que haya curvas tan privilegiadas como las rectas; no hay una curva privilegiada entre dos puntos (en algunos casos en los que hay definida una distancia no euclídea hay curvas privilegiadas, las geodésicas, pero este no es el caso general). Aún en un espacio desprovisto de la conocida estructura euclídea tridimensional, se pueden definir funciones y operaciones que determinan entes intrínsecos que constituyen los tensores definidos en estos espacios. El punto de partida consiste en considerar un espacio o variedad (en la literatura inglesa manifold) en la que existe definida una topología interna que permite definir funciones continuas y derivables que hacen corresponder un punto sobre la variedad a una n-erna de números reales. Es decir, existen funciones derivables f(x 1,..., x n ) cuyo recorrido es la variedad(un trataminto 7

8 más riguroso y amplio se considera fuera del objetivo de este trabajo. Se puede recomendar el Abram-Marsden.) P V (x 1,..., x n )f(x 1,..., x n ) = P De todas las funciones f derivables que se pueden elegir para representar los puntos de la variedad mediante n-ernas, no hay ninguna privilegiada respecto a las otras, por lo que el tratamiento intrínseco que se haga debe ser invariante respecto a la elección de la función de representación f. Se pueden definir curvas sobre la variedad con un conjunto de ecuaciones paramétricas x 1 (u),..., x n (u)0 u 1 y un vector tangente en el punto P 0 imagen de u 0, que se representan por la n erna ( ) x 1 u,..., xn u que presenta estructura de espacio vectorial. Los elementos básicos definidos sobre la variedad son los funcionales que asignan un número real a cada curva de la variedad, tal que, dada una representación f de la misma, y las ecuaciones paramétricas x 1 (u),..., x n (u)0 u 1, se tiene g = 1 0 u 0 n g i dx i Los funcionales g constituyen un espacio vectorial también. Este espacio vectorial se llama espacio vectorial dual del espacio vectorial de las tangentes. Cuando se cambia de representación f f se define un cambio de coordenadas x i = h i (x j ). Las representaciones de los vectores tangentes cambian según y los del espacio dual según v k = hk x j vj v k = hk x j v j a los primeros se les denominan vectores contravariantes y a los últimos vectores covariantes o formas lineales. Existe una operación intrínseca básica entre estos dos tipos de vectores, su producto interior. En efecto, el producto x v = x i v i = dg du representa la derivada de la función g sobre una curva de tangente x respecto al parámetro u. Pueden definirse funciones lineales que actúen sobre campos de tangentes o sobre campos de formas lineales y su imagen sea un campo de tangentes o un 8

9 campo de formas lineales. Estas cuatro posibilidades dan lugar a tensores dos veces co, co-contra, contra-co o dos veces contra-variantes, que se representan mediante matrices cuyas leyes de tranformación son distintas. Si se fefine una función lineal que asigne a un tensor dos veces covariante un tensor dos veces contravariante, se tiene un tensor de cuarto orden dos veces co y dos contravariante, etc. El elemento básico para representar estas funciones es el producto tensorial ( ) y para evaluarlas, el producto interior ( ). Así, por ejemplo, si x k es un tensor contravariante y v j es un tensor covariante, se puede definir el tensor co-contravariante T = x v que asocia a cada vector contravariante z el resultado de evaluar la forma lineal v sobre él mismo y multiplicar el escalar resultante por x. T z = x (v z ) El mismo tensor define una función lineal que a cada vector covariante asocia otro vector covariante y asímismo una función bilineal que a cada par de vectores co y contravariantes asocia un escalar. 9