Preliminares. 1.1 Acciones de Grupo

Transcripción

1 Capítulo 1 Preliminares En este capítulo se presentan algunas definiciones y hechos fundamentales de la Teoría de Grupos y recordar nociones básicas de Álgebra Lineal. También se presentan algunos resultados referentes a la descomposición que induce un operador lineal de un espacio vectorial en subespacios invariantes con respecto a tal operador; estos hechos son importantes para establecer la descomposición de Cartan en el capítulo 5. El capítulo termina con una breve exposición sobre productos tensoriales de espacios vectoriales. Los conocimientos requeridos en Teoría de anillos y generalidades algebraicas se pueden encontrar en [1] o bien, en [8]. 1.1 Acciones de Grupo Sólo se presentan las definiciones requeridas en este texto. Para el interesado en abundar sobre las acciones de grupo, puede consultar [10] (p. 55). Definición 1.1. Sea X un conjunto no vacío y G un grupo. Una acción de G en X es una función. : G X X que satisface las siguientes dos propiedades: (A1) Si e es el elemento identidad de G, entonces e.x = x para todo x X; (A2) para g,h G tenemos (gh).x = g.(h.x) para todo x X. Decimos que un grupo G actúa en un conjunto X, o bien X es un G- conjunto, si existe una acción de G en X. 1

2 2 Preliminares Si G actúa en X y x X, definimos la órbita de x como el conjunto Gx = {g.x : g G} y el conjunto de órbitas de X es el conjunto {Gx : x X} y es claro que X = x X Gx, donde la unión es disjunta. Diremos que la acción es transitiva si sólo existe una órbita. Proposición 1.1. Supongamos que G actúa en X. La acción es transitiva si y sólo si para cualesquiera dos elementos x,y X existe un elemento g = g(x,y) G tal que g.x = y. Suponga que G actúa en un conjunto X. Diremos que un elemento g G fija a un punto x X si g.x = x; la acción se llama simple si el único elemento de G que fija a algún punto de X es el elemento identidad. Suponga que un grupo G actúa en un espacio vectorial V. Diremos que la acción es irreducible si para cualquier subespacio W 0 de V que satisfaga G.W W se tiene que W = V. 1.2 Algunas nociones de Álgebra Lineal En esta sección, se intenta hacer sólo un pequeño recordatorio de los conceptos y resultados que necesitaremos en el desarrollo de los capítulos posteriores, en especial, en los capítulos 3 y 5. Para el interesado en introducirce ampliamente en el álgebra lineal, se recomienda [9]. Traza de operadores Denotemos el espacio de matrices cuadradas de orden n con entradas en el campo F por el símbolo M n (F). Recuerde que M n (F) posee una estructura natural de espacio vectorial sobre el campo F y su dimensión es n 2. La traza de una matriz cuadrada de orden n es la suma de los elementos de su diagonal. Algunas de las propiedades para la traza de una matriz se enuncian en el siguiente resultado, cuya demostración se puede encontrar en [8] (p. 383):

3 1.2 Algunas nociones de Álgebra Lineal 3 Proposición 1.2. Si A,B,C M n (F) y a F, entonces 1. tr(a + B) = tra + trb; 2. tr(aa) = a tra; 3. tr(abc) = tr(bca) = tr(cab), en particular, tr(ab) = tr(ba). Las propiedades 1 y 2 nos dicen que la traza es un funcional lineal en el espacio de matrices cuadradas de orden n. Si B y B son bases de V y T es la matriz asociada a T con respecto a la base B, entonces la matriz de T con respecto a la base B es Q 1 TQ, donde Q es la matriz de transición entre las bases B y B. Por la propiedad 3 de la Propoosición 1.2, tenemos que tr(q 1 TQ) = trt. Definición 1.2. Sea T : V V un operador lineal y T la matriz de T con respecto a una base B de V. La traza de T se define como trt def = trt. Con las propiedades 1 y 2, podemos definir una forma bilineal en el espacio End(V) = { operadores lineales en V} de la siguiente manera: dados dos operadores lineales en V, digamos T : V V y S : V V, definimos T,S tr = tr(ts), y llamamos a, tr una forma de traza. Además, por la propiedad 3 de la Proposición 1.2, la forma de traza es simétrica, es decir, T,S tr = S,T tr para cualesquiera dos operadores S y T en V. Familias conmutativas de operadores diagonalizables Si T : V V es un operador lineal en V y F es un campo algebráicamente cerrado, entonces el espacio V se descompone como una suma de subespacios V = λ F V λ(t), donde V λ (T) def ={a V : T(a) = λa}, para λ F. Aquí y en el resto del texto, el símbolo indica suma directa de espacios vectoriales. Es claro que sólo existe un número finito de λ F para los que V λ 0. A tales elementos del campo se les llaman valores propios de T y a cualquier vector no nulo de V λ se llama vector propio de T asociado al valor propio λ. Si λ es un valor propio de T, el subespacio V λ se llama subespacio propio (ver [8], p. 470).

4 4 Preliminares Proposición 1.3. Si dos operadores lineales T : V V y S : V V conmutan, entonces existe un vector propio común. La demostración se puede encontrar en [2] (p. 212). Recordemos que un operador T : V V es diagonalizable si existe una base para V conformada por vectores propios de T. Cuando el operador T es diagonalizable y B es una base de vectores propios, entonces la matriz de T con respecto a la base B es diagonal y los elementos de la diagonal son los valores propios de T. Un resultado inmediato de esto es el siguiente. Proposición 1.4. Si dos operdores lineales T : V V y S : V V conmutan y son diagonalizables, existe una base de vectores propios comunes. Como concecuencia se tiene el siguiente corolario que se obtiene al aplicar la Proposición 1.4 e inducción sobre k. Corolario 1.5. Sea T i : V V un operador lineal diagonalizable para cada i {1, 2,...,k} I k. Si T i T j = T j T i para i,j I k, entonces existe una base para V tal que las matrices de cada operador T i es diagonal para cada i I k. Cuando un conjunto de operadores lineales satisface las hipótesis del Corolario 1.5, decimos que tal conjunto de operadores lineales constituye una familia de operadores lineales simultaneamente diagonalizables. Teorema 1.6. Si T i es una familia de operadores lineales simultaneamente diagonalizables, con i I k, entonces el espacio V se descompone en una suma directa de subespacios V α def ={a V : T i (a) = α(t i )a para toda i I k }, donde α es un funcional lineal en el subespacio generado por la familia de operadores lineales T i. Demostración. Cada operador lineal T i induce una descomposición del espacio en suma directa de subespacios V α (T i ); si i j, entonces cada subespacio V α (T i ) es suma directa de sus intersecciones con los subespacios V β (T j ). Iterando este proceso con todos los T i vemos que V se puede expresar como suma directa de subespacios V α (como se define en el enunciado del Teorema) tales que T i (V α ) V α para toda i I k y cada operador lineal T i tiene un único valor propio en cada V α. Se puede demostrar que cada operador lineal T i es representado por una matriz triangular en el espacio de coordenadas de V y así, se tiene que para cada subespacio V α, el único valor propio de T i, visto como función de T i, es lineal.

5 1.2 Algunas nociones de Álgebra Lineal 5 Dualidad y formas bilineales Recordemos que si V es un espacio vectorial sobre el campo F, el espacio dual de V, usualmente denotado por V, es el espacio vectorial cuyos elementos son todos los funcionales lineales en V, es decir, V = {α : V F : α es lineal}. Una forma bilineal en V es una función B : V V F que es lineal en cada componente, es decir, la función v B(v,w) es lineal para todo w V y la función w B(v,w) es lineal para todo v V. Decimos que la forma B es no-degenerada si el único vector a V que satisface la ecuación B(a,b) = 0 para todo vector b V es el vector a = 0. Proposición 1.7. Sea B : V V F una forma bilineal no-degenerada en V y suponga que dimv <, entonces existe un isomorfismo de espacios vectoriales α a α tal que α(b) = B(a α,b) para todo b V. La demostración se puede leer en [9] (p. 162). Otra definición importante que hay que recordar es la siguiente: una forma bilineal B : V V R se dice ser positiva definida si B(v,v) 0 para todo v V y la única posibilidad de que B(v,v) = 0 es que v = 0. A una forma bilineal simétrica también se le conoce con el nombre de producto interior. Cuando un espacio vectorial real V está acompañado de un producto interior B : V V R positivo definido, decimos que la pareja (V,B) es un espacio euclidiano y usualmente B es denotado por, o bien (, )(en ocaciones, la forma es llamada producto euclidiano). En este texto, utilizaremos indistintamente toda esta nomenclatura con la esperanza de que no haya confusión.