de tangente horizontal ; el teorema no asegura la unicidad). f(a)=f(b) A B f(a)=f(b) A B O a c b x O a c c b

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Lucas Blázquez Aguilera
hace 7 años
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1 6toMat A Teoremas Continuidad-Derivabilidad Pro. Sergio Weinberger TEOREMA DE ROLLE: H continua en [a,b] T c (a,b) / (c)=0 derivable en (a,b) ( existe en el intervalo un punto (a)=(b) de tangente horizontal ; el teorema no asegura la unicidad). Figura1 Figura2 (a)=(b) A B (a)=(b) A B O a c b x O a c c b Siendo A(a.(a)) B(b,(b)), existirá al menos un punto en el cual la tangente sea // AB (en este caso horizontal) Demostración: teo.w2 Por H cont. en [a,b] máximo mínimo absolutos (M m ) de en [a,b], m M 1) si m=m, como además m (x) M x [a,b] m=(x)=m x [a,b] es decir que en este caso es constante en [a,b], entonces: (x) = 0 x (a,b) m=m O a b x 2) si m < M consideremos a x 1 x 2 [a,b] / (x 1 )=m (x 2 )=M como m=(x 1 )< (x 2 )=M por H : (a)=(b) x 1 x 2 no pueden coincidir ambos con a o b (sería m=m), de modo que uno de los dos (a,b) Supongamos que sea x 2 (a,b) (como en la igura 1) Existirá entonces un E(x 2,δ) [a,b] (x) (x 2 ) x [a,b] Además (x 2 )=M es máximo absoluto de en [a,b] de.máx.relativo presenta un máx.relativo en x 2 teo. anterior (x 2 )=0 x 2 (a,b) por. H deriv.en x 2 con x 2 (a,b) Pro:Sergio Weinberger 1

2 EJERCICIO: Sea : (x) = L( x + ex + 1) 2 a) Investigar si c (1,e-1) tal que la gráica de en el punto (c,(c)) presente tangente horizontal. Fundamentar. b) Hallar c de la parte a) graicar en el intervalo [1,e-1] TEOREMA DE LAGRANGE: H continua en [a,b] T (b) c (a,b) / (c)= b derivable en (a,b) (a) a (c) expresa la pendiente de la tangente a la gráica de en un punto (c,(c)), mientras que (b) B es la pendiente de la (x) δ(x) recta AB. El teorema expresa, al g(x) igual que Rolle, que existe un (a) A punto en el cual la tangente es paralela a la recta AB. O a c b x De modo que Lagrange es una generalización de Rolle. Demostración: Consideremos una unción g auxiliar, cua gráica es la recta AB : g : g(x) = (a) + (b) b (a) (x a) a... otra que expresa la dierencia entre g (unción dada recta AB): δ : δ(x) = (x) g(x) = (x) (a) (x a) Veremos que es posible aplicar el teorema de Rolle a la unción δ : es cont. en [a,b] derivable en (a,b) por H g es cont. derivable x R por ser polinómica (lineal) teos.cont.deriv.suma δ cont. en [a,b] derivable en (a,b) Pro:Sergio Weinberger 2

3 δ(a)= (a) (a) (a a) =0 δ(a)=δ(b) δ(b)= () =0 por.teo. Rolle c (a,b)/ δ '(c) = 0 Siendo δ '(x) = '(x) δ '(c) = '(c) = 0 '(c) = ALGUNAS APLICACIONES DEL TEOREMA DE LAGRANGE: TEOREMAS: 1) Si '(x) > 0 en (a,b) cont.en Demostración : Sean,x x 2 es estrictamente creciente en [a,b] x <, 1 cualesquiera, con 2 Tenemos que demostrar que (x1) < (x 2). 1 x Para ello aplicaremos a el teorema de Lagrange en el intervalo [, ] Como dicho intervalo está incluido en el [a,b]: es cont. en [ x, ] deriv. en (, ) x por. H por teo de Lagrange (x 2 ) (x1) c ( x 1, x 2 )/ '(c) = > 0 por H x 2 x1 como además : x 0 x, regla.sig. 1 (x 2 ) (x ) > 0 (x 2 ) > (x1) lqqd. Pro:Sergio Weinberger 3

4 2) Si '(x) = 0 en (a,b) cont.en es constante ((x)=k) en [a,b] Demostración : Sean,x x 2 x <, 1 cualesquiera, con 2 1 x Tenemos que demostrar que (x1) = (x 2). Para ello aplicaremos a el teorema de Lagrange en el intervalo [, ] Como dicho intervalo está incluido en el [a,b]: es cont. en [ x, ] deriv. en (, ) x por. H por teo de Lagrange (x 2 ) (x1) c ( x 1, x 2 )/ '(c) = = 0 por H x 2 x1 como además : x 0 x, 1 (x 2 ) (x ) = 0 (x 2 ) = (x1) lqqd. 3) Si '(x) = g'(x) en (a,b) gcont.en g es constante ((x)=g(x)+k) en [a,b] Para demostrar este teorema basta con aplicar el anterior a la unción -g PRIMITIVA (INTEGRAL INDEFINIDA): Si F son unciones tales que : F '(x) = (x), se dice que F es primitiva o integral indeinida de. Por el teorema anterior, cualquier otra primitiva de diiere de F en una constante, de modo que el conjunto de primitivas de son : F(x)+k, con k R, se escribe : F(x) = (x) dx Pro:Sergio Weinberger 4

5 4) CONDICIÓN SUFICIENTE DE EXTREMO RELATIVO: sig '(x) a-δ a a+δ x tiene un máx. relativo en a cont. en a Demostración : * Sea x1 E (a, δ), probaremos que (x1) < (a) x 1,a : aplicando Lagrange en el intervalo [ ] x 1 pues en este intervalo (incluido en (a, δ) ) : (x)>0 por H teo.deriv es derivable en [ x 1,a) por lo mismo cont es cont. en [ x 1,a) por H cont en a,a es derivable en (,a) por.teo.de Lagrange (a) (x1) c ( x 1,a)/ '(c) = > 0 por H a x1 como además : x 0 E * x 1 cont. en [ ] regla.sig. (a) (x1) > 0 (a) > (x ) lqqd. 1 * De igual orma, tomando un x 2 E + (a, δ), puede probarse que (x 2 ) < (a) aplicando Lagrange en el intervalo [ a,x 2 ]: por.de.máx.relativo. tiene máx. relativo en a. Pro:Sergio Weinberger 5

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