Práctica 2. Diferenciabilidad de campos escalares Ejercicios resueltos

Transcripción

1 Práctica. Diferenciabilidad de campos escalares Ejercicios resueltos 1. Estudiar la continuidad, la diferenciabilidad y la continuidad de las derivadas parciales, de los campos escalares f, g, h : R R definidos de la siguiente forma, donde Ω = R \ {0, 0)} : Solución. a) f, y) = y + y 4, y) Ω, f0, 0) = 0 b) g, y) = y c) h, y) = y + y 4, y) Ω, g0, 0) = 0 + y, y) Ω, h0, 0) = 0 a.1). Tenemos claramente f Ω C 1 Ω), por tratarse de una función racional. Puesto que Ω es abierto, por el carácter local de la diferenciabilidad y de la continuidad, vemos que f es diferenciable, luego continua, y sus derivadas parciales son continuas, en todo punto de Ω. Concretamente, se tiene:, y) = y + y 4 ) 3 y y 5 = + y 4 ) + y 4 ), y) Ω y y, y) = + y 4 ) 4 y 4 = 4 3 y 4 + y 4 ) + y 4 ), y) Ω Entre los ejercicios resueltos de la práctica 1, se comprobó que f es continua en el origen, luego pasamos a estudiar su diferenciabilidad. a.). Para cualesquiera, y R es claro que parcialmente derivable en el origen, con 0, 0) = 0, 0) = 0 y f, 0) = f0, y) = 0, luego f es Como f0, 0) = 0, 0), consideramos la función ϕ : Ω R dada por ϕ, y) = y + y 4 ) + y, y) Ω Para todo R + tenemos ϕ, ) = = De donde lím ϕ, ) = 1 0. Como uno de los límites radiales de ϕ en el origen no 0 + es 0, no se cumple que lím ϕ, y) = 0, luego f no es diferenciable en el origen.,y) 0,0) 1

2 a.3). Puesto que f es parcialmente derivable en R, si una de sus derivadas parciales fuese continua en 0, f sería diferenciable en 0. Por tanto, ninguna de las dos derivadas parciales de f es continua en el origen. En resumen, f es continua y parcialmente derivable en R, es diferenciable en Ω, pero no es diferenciable en el origen. Sus derivadas parciales son continuas en Ω pero ninguna de ellas es continua en el origen. b.1). El mismo razonamiento usado para f prueba que g es diferenciable, luego continua, y sus derivadas parciales son continuas, en todo punto de Ω. Esta vez,, y) = y + y 4 ) 3 y y 6 =, y) Ω y + y 4 ) + y 4 ) y, y) = y + y 4 ) 4 y 5 = y y 4 ), y) Ω + y 4 ) + y 4 ) Igual que con f, vemos también que g es parcialmente derivable en el origen, con 0, 0) = 0, 0) = 0 y b.). Como g0, 0) = 0, 0), consideramos la función ϕ : Ω R dada por ϕ, y) = y + y 4 ) + y, y) Ω Para todo, y) Ω, usando que + y 4, tenemos y deducimos que ϕ, y) y + y + y + y = + y lím ϕ, y) = 0. Por tanto, f es diferenciable en el origen.,y) 0,0) b.3). Estudiemos la continuidad en el origen de las dos derivadas parciales de g. Para la primera, usamos el cambio de variable, y) = y, y) con y R, teniendo en cuenta que y, y) 0, 0) para y 0, y que y, y) 0 cuando y 0. Como y, y) = y y 6 y 4 ) = 1 y R si fuese lím, y) = 0, el cambio de variable nos daría lím,y) 0,0) y 0 y, y) = 0, lo cual es falso, como acabamos de ver. Por tanto / no es continua en el origen. Para la otra derivada parcial, usamos que y 4 + y 4 ), obteniendo, y) y y y 4 y + y 4 ) Deducimos que lím, y) = 0, luego,y) 0,0) y y sí es continua en el origen.

3 Nótese que, estudiando previamente la continuidad de las derivadas parciales, habríamos ahorrado trabajo: como g es parcialmente derivable en R y una de sus derivadas parciales es continua en el origen, la condición suficiente para la diferenciabilidad nos dice directamente que g es diferenciable en el origen, evitando el trabajo hecho en el apartado b.). En resumen, g es diferenciable, y / y es continua, en R, mientras / es continua en Ω pero no en el origen. c.1). El mismo razonamiento usado para f y g prueba que h es diferenciable, luego continua, y sus derivadas parciales son continuas, en todo punto de Ω. Ahora tenemos y, por simetría,, y) = y + y ) 3 y + y ) =, y) = y 4 y + y ), y) Ω y 4 + y ), y) Ω Además, para cualesquiera, y R, tenemos h, 0) = h0, y) = 0, luego h es parcialmente derivable en el origen, con 0, 0) = 0, 0) = 0 y Por tanto h es parcialmente derivable en R. c.). Veremos que las derivadas parciales de h son continuas en el origen. Basta trabajar con una de ellas, puesto que, y) = y, ) y, y) R Para todo, y) Ω se tiene, y) = y 4 + y ) de donde claramente deducimos que lím,y) 0,0), y) = 0 = 0, 0) h h es decir, es continua en el origen y, como ya se ha dicho, igual le ocurre a y. La condición suficiente para la diferenciabilidad nos dice que h es diferenciable en el origen. En resumen, tenemos h C 1 R ). 3

4 . Estudiar la continuidad, la diferenciabilidad y la continuidad de las derivadas parciales, del campo escalar f : R R definido por: f, y) = 3 y 1) + y 1, y) R \ {0, 1)}, f0, 1) = 0 Solución. a). Sea A = {, y) R : y = 1}, que es un conjunto cerrado, por ser la imagen inversa de {1} por la función continua, y) y, de R en R, con lo que el conjunto Ω = R \ A es abierto. Vemos que f Ω C 1 Ω), por ser el cociente de dos funciones de clase C 1 en Ω. Concretamente, el numerador es una función polinómica y el denominador es la suma de otra función polinómica con la función, y) y 1, de Ω en R, que es la composición de otra función polinómica que toma valores en R con el valor absoluto, que es una función de clase C 1 en R. Como Ω es abierto, por el carácter local de la diferenciabilidad y de la continuidad, deducimos que f es diferenciable, luego continua, y sus derivadas parciales son continuas, en todo punto de Ω. Concretamente, para todo, y) Ω se tiene, y) = 3 y 1) + y 1 ) 4 y 1) + y 1 ) = y 1) + 3 y 1 ) + y 1 ) y y, y) = 3 y 1) + y 1 ) 3 y 1) y 1 /y 1) ) + y 1 ) = 3 y 1) + y 1 ) + y 1 ) Fijemos ahora un punto del conjunto A, que será de la forma a, 1) con a R. Para todo R tenemos f, 1) = fa, 1) = 0 de donde f, 1) fa, 1) a, 1) = lím a a = 0 Por otra parte, para y R \ {1} se tiene fa, y) = a 3 y 1) se tiene fa, y) fa, 1) a, 1) = lím y y 1 y 1 a + y 1 = lím y 1 a 3 y 1) a + y 1 = 0 de donde, si a 0, igualdad que también es válida para a = 0, ya que f0, y) = f0, 1) = 0 para todo y R. Por tanto, f es parcialmente derivable en todo punto de R y en los puntos de A se tiene fa, 1) = 0, 0) para todo a R. 4

5 b). Para estudiar la diferenciabilidad de f en un punto a, 1) A con a R, consideramos la función ϕ : R \ {a, 1)} R definida por ϕ, y) = f, y) fa, 1) fa, 1) ) a, y 1) a, y 1) f, y) =, y) R \ {0, 1)} a) + y 1) Usando que + y 1, si 0 tenemos f, y) y 1) a) + y 1) ) desigualdad que es evidente cuando = 0. Deducimos que ϕ, y) a) + y 1), y) R \ {a, 1)} Esto prueba que lím,y) a,1) ϕ, y) = 0, luego f es diferenciable en a, 1), y esto es válido para todo a R. Así pues f es diferenciable en R. Enseguida veremos que este apartado b) no era necesario. c). Veamos que las derivadas parciales de f son continuas en todo punto a, 1) A con a R. Dado, y) R, para la primera derivada parcial usamos las desigualdades + y 1 y + 3 y y 1 ). Suponiendo y 1, tenemos:, y) a, 1) = y 1) + 3 y 1 ) + y 1 ) 3 y 1) desigualdad que es evidente cuando y = 1, luego es válida para todo, y) R. De ella se deduce claramente que lím, y) = a, 1), luego es continua,y) a,1) en el punto a, 1). Para la otra derivada parcial, usamos que + y 1 + y 1 ) y, para todo, y) R, obtenemos, y) a, 1) y y = 3 y 1) + y 1 ) + y 1 ) y 1 de donde lím, y) = a, 1), así que,y) a,1) y y y también es continua en a, 1). En resumen, hemos probado que f C 1 R ). 5

6 3. Probar que el campo escalar f : R R definido por: f, y) = 6 + y ) ) y, y) R \ {0, 0)}, f0, 0) = es diferenciable en R. Solución. a). Considerando el abierto Ω = R \ {0, 0)} es obvio que f Ω C 1 Ω), pues se trata de una función racional. El carácter local de la diferenciabilidad nos dice que f es diferenciable en todo punto de Ω. b). Observamos que, para cualesquiera, y R, se tiene f, 0) = f0, y) = 0, luego f es parcialmente derivable en el origen con f0, 0) = 0, 0). A poco que se piense, el cálculo de las derivadas parciales de f en puntos de Ω es laborioso, con lo que el estudio de su continuidad el origen no es fácil. Aprovechando que sólo interesa la diferenciabilidad de f en el origen, la abordamos directamente. Consideramos entonces la función ϕ : Ω R dada por ϕ, y) = f, y) f0, 0) f0, 0), y) ) =, y) 6 + y ) y ) + 6 ) + y = 6 + y y ) + 6 Ω Usando que 6 y ) + 6 obtenemos que 0 ϕ, y) + y, y) Ω de donde se deduce evidentemente que lím,y) 0,0) ϕ, y) = 0, luego f es diferenciable en el origen y, en resumen, es diferenciable en R, como se quería. 6