TEMAS DE FÍSICA I VECTORES Profr. Abelardo Rodríguez Soria et al TRIMESTRE 11 P
|
|
- Eugenio Alarcón Montes
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 TEMAS DE FÍSICA I VECTORES Profr. Abelardo Rodríguez Soria et al TRIMESTRE 11 P PRELIMINARES. Un vector se representa gráficamente en el papel mediante una flecha. La longitud de la flecha representa la magnitud del vector (de acuerdo con una escala apropiada definida para las dimensiones físicas del vector), y la dirección de la flecha (relativa a los cuerpos físicos circundantes representados en el papel) representa tal cual la dirección del vector en el espacio físico. Usaremos indistintamente los términos vector y flecha. Fig. 1 Fig. 2 El punto inicial del vector es el punto desde donde se traza el vector (o sea el punto desde donde emana la flecha. Véase la figura 1). La punta (o punto final) del vector es el punto donde va la punta de la flecha. El cuerpo del vector es el segmento recto que enlaza el punto inicial y la punta. Generalmente escribiremos la magnitud del vector junto al cuerpo del mismo, y el símbolo que lo representa junto al punto final. Por ejemplo, la figura 2 muestra un vector simbolizado por V, de magnitud Se denomina la dirección positiva del Eje X (o dirección +X ) a la dirección que apunta a lo largo del Eje X (o paralelamente al mismo), hacia donde crece la coordenada x. La dirección negativa del Eje X (o dirección X ) es la opuesta a ésta. Análogamente se definen las direcciones positiva y negativa del Eje Y (direcciones +Y y Y, respectivamente). Véase la figura 3. Fig. 3
2 La dirección de un vector en el plano X,Y puede darse numéricamente de diversas formas, mediante el ángulo que forma el vector con alguna de las direcciones coordenadas. Por ejemplo, las figuras 3a, b, c muestran tres formas de especificar la dirección de un mismo vector A en el plano X,Y. Fig. 4a Fig. 4b Fig. 4c Sin embargo, nosotros entenderemos por la dirección de un vector el ángulo obtenido mediante el siguiente procedimiento, ilustrado para el vector mostrado en la figura 5a. Desde el punto inicial del vector, trácese la dirección positiva del Eje X. (Véase la figura 5b, donde se ha señalado con línea punteada la dirección +X). Gírese la dirección +X hasta que coincida con la del vector. El ángulo girado es por definición la dirección del vector. Este ángulo se toma positivo si el giro se realiza en sentido antihorario, y negativo si se realiza en sentido horario. (Para el vector A mostrado tendríamos entonces que su dirección es +130 ). Fig. 5a Fig. 5b En la representación por magnitud y dirección, un vector V se escribe V = (V θ) donde V (o bien V ) es la magnitud del vector y θ es su dirección, tal como se ha definido aquí. El vector de la figura 5b se escribiría A = (A 130 ), donde A es su magnitud. Note que este concepto de dirección engloba ambas cosas que en los cursos elementales se nombran dirección y sentido. De todas maneras usaremos el término sentido cuando sea particularmente aclarativo.
3 Ejemplo 1. Obtener la dirección del vector V, de magnitud 34, mostrado en la figura 6a. La dirección +X debe trazarse en el punto inicial del vector, tal como se muestra en la figura 6b. Aquí conviene girar la dirección +X en sentido horario, obteniendose así un ángulo de 110. La dirección del vector es entonces θ = 110, y tendríamos V = ( ). Fig. 6a Fig. 6b Si el giro de la dirección +X se hubiese realizado en sentido antihorario, hubiésemos obtenido la dirección θ = 250, igualmente válida. Sin embargo, se suele limitar la dirección al intervalo [ 180, 180 ]. En general, una dirección θ es equivalente a la dirección 360 ± θ. Ejercicio 1. Representar por magnitud y dirección los vectores de la figura.
4 Ejemplo 2. Representar gráficamente los vectores A = (12 40 ) M = ( ) C = ( ) S = ( ) En la siguiente figura hemos trazado los vectores A, M, C y S. Fig. 7a Fig. 7b Fig. 7c Fig. 7d El punto inicial del vector puede ser cualquier punto del plano X Y; es arbitrario. Desde el punto inicial se ha trazado una flecha punteada que indica la dirección +X. Junto a la punta de cada vector se ha puesto el símbolo del vector (A, M, etc.), y junto al cuerpo de la flecha se ha puesto la magnitud. Ejercicio 2. Representar gráficamente los vectores U = ( ) S = ( ) W = ( ) K = ( )
5 En la representación por componentes, un vector A se escribe en la forma A = (A x, A y ) donde A x y A y se denominan respectivamente componente X y componente Y del vector A. Gráficamente, las componentes X y Y del vector son las proyecciones signadas (con signo algebraico) del vector sobre los Ejes X y Y, respectivamente (expresadas en la escala definida para el vector, según su naturaleza física). Las proyecciones del vector se obtienen proyectando ortogonalmente tanto su punto inicial como su punta sobre los Ejes X y Y, como se muestra en la figura 8a. O mejor, se puede construir un triángulo rectángulo en el que el vector es la hipotenusa y las componentes A x y A y vienen siendo los catetos, como se muestra en la figura 8b. Fig. 8a Fig. 8b He aquí la regla de los signos para las componentes: Si el vector apunta hacia el semiplano derecho (o sea hacia valores crecientes de x), su componente X es positiva (Fig. 9a). Si apunta hacia el semiplano izquierdo (hacia valores decrecientes de x, Fig. 9b), su componente X es negativa. Componente X positiva Componente X negativa Componente Y positiva Componente Y negativa Fig. 9a Fig. 9b Fig. 9c Fig. 9d Si el vector apunta hacia el semiplano superior (hacia valores crecientes de y, Fig. 9c), su componente Y es positiva. Si apunta hacia el semiplano inferior (hacia valores decrecientes de y, Fig. 9d), su componente Y es negativa.
6 Flechas alineadas con el Eje X tienen nula componente Y. Flechas alineadas con el eje Y tienen nula componente X. Ejemplos en la Fig. 10. Fig. 10 CÓMO CALCULAR LAS COMPONENTES DE UN VECTOR, DADAS SU MAGNITUD Y DIRECCIÓN. En estas notas daremos 2 métodos para calcular las componentes de un vector. MÉTODO 1. Para calcular las componentes (A x, A y ) de un vector A: i) Obtenga la dirección θ del vector, tal como lo hemos explicado en la página 2 (Vea las figuras 5a, b). ii) Obtenga las componentes simplemente mediante las fórmulas (Ia) A x = A cos θ (Ib) A y = A sen θ Ejemplo 3. Calcular las componentes del vector U mostrado en la figura 8a. Fig. 8a Fig. 8b Seguimos el procedimiento ya explicado para obtener la dirección θ, a saber: en el punto inicial del vector trazamos (o nos imaginamos) la dirección +X, como vemos en la figura 8b. Luego giramos esta dirección en sentido horario hasta que coincida con el vector. El ángulo girado es 75, que debemos considerar negativo (θ = 75 ) pues el giro se realizó en sentido horario. Entonces el vector U es
7 U = (8 75 ) y sus componentes son, usando (Ia) y (Ib), U x = U cos θ = 8 cos( 75 ) = U y = U sen θ = 8 sen( 75 ) = O sea que en la representación por componentes tenemos U = ( , ) Note que el signo correcto de las componentes lo da automáticamente la calculadora electrónica. No hay necesidad de añadir ningún signo algebraico a las fórmulas (Ia,b). Ejemplo 4. Calcular las componentes X y Y de los vectores P y M mostrados en la figura 10a. Fig. 10a Fig. 10b Como podemos apreciar en la figura 10b, las direcciones de P y M son respectivamente 129 y 118. Dado que sus magnitudes son 400 y 14, respectivamente, tenemos entonces P = ( ) M = ( ) Usando las fórmulas (Ia,b) obtenemos P x = 400 cos 129 = P y = 400 sen 129 = M x = 14 cos( 118 ) = M y = 14 sen( 118 ) =
8 El Método 1 empleado para calcular componentes en los Ejemplos 3 y 4 no es muy eficiente pues requiere de dos pasos: primeramente obtener la dirección, y luego aplicar las fórmulas (Ia,b). Existe un Método 2 en el que las componentes se calculan sin el engorroso paso de calcular primero la dirección. El Método 2 se basa en el siguiente teorema de trigonometría: En un triángulo rectángulo, un cateto es igual a la hipotenusa multiplicada por el seno del ángulo opuesto o por el coseno del ángulo adyacente. En el triángulo rectángulo ilustrado en la figura 11, α es el ángulo opuesto al cateto a, y β es el ángulo adyacente a este cateto. Análogamente, β es el ángulo opuesto al cateto b, y α es el ángulo adyacente a este cateto. Se cumplen las relaciones Fig. 11 a = c sen α = c cos β b = c sen β = c cos α He aquí el método. MÉTODO 2. Para calcular las componentes (A x, A y ) de un vector A: (i) Forme (o imagínese) un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea el vector y cuyos catetos sean las componentes X y Y. (ii) Calcule los valores absolutos de las componentes usando el teorema trigonométrico dado arriba. (iii) Añada el signo correcto a cada componente. Ejemplo 5. Calcular las componentes del vector V dado en la figura 12a. Fig. 12a Fig. 12b En la figura 12b está el triángulo rectángulo formado por el vector V y sus componentes V x y V y. Se tiene (con el signo correcto ya añadido): Vx = 8.3 sen 30 = 4.15, Vy = 8.3 cos 30 = Note que para Vx se usó el seno porque 30 es el ángulo opuesto al cateto Vx (al mismo tiempo 30 es el ángulo adyacente al cateto Vy, por ello se usó el coseno para este cateto).
9 Ejemplo 6. En términos del ángulo mostrado para cada vector, obtener sus componentes X y Y. Las líneas a rayas son líneas paralelas a un eje de coordenadas. Fig. 13 En la figura 14 hemos completado los triángulos rectángulos. En cada caso el cateto opuesto al ángulo dado es el que se forma con el seno de este ángulo, como se muestra en la figura. El cateto adyacente se forma con el coseno. Fig. 14 Entonces los vectores se espresan como sigue: A = ( 400 cos 36.87, 400 sen ) B = (0.15 cos 45, 0.15 sen 45 ) C = (10 sen 42, 10 cos 42 ) D = (88 sen 75, 88 cos 75 )
10 Ejercicio 3. Usando el ángulo dado en la figura para cada vector, calcular las componentes X y Y de cada uno. Las líneas a rayas son paralelas a un eje de coordenadas. Ejercicio 4. Calcular las componentes X y Y de los vectores dados en la siguiente figura. Ejercicio 5. Calcular las componentes X y Y de los vectores dados en la siguiente figura.
11 CÓMO CALCULAR LA MAGNITUD Y DIRECCIÓN DE UN VECTOR DADAS SUS COMPONENTES X, Y (II) Dado el vector A = (Ax, Ay), su magnitud viene dada por (a) 2 2 x y A= A + A y su dirección por (b) θ = atan2(ax, Ay) donde (c) φ Si Ax, Ay > φ Si Ax < 0, Ay > 0 atan2( Ax, Ay) = 180 +φ Si Ax, Ay < 0 φ Si Ax > 0, Ay < 0 con A y (d) φ= arctan y φ [ 0,90 ] A x Ejemplo 7. Calcular la magnitud y dirección del vector S = (12, 5). La magnitud es, por la fórmula (IIa), S = 2 2 (12) + ( 5) = 169 = 13 Para calcular la dirección θ obtenemos primeramente el ángulo φ. Por la fórmula (IId): Fig φ = arctan = arctan( ) = Consultando la fórmula (IIc), tenemos el caso en que A x > 0, A y < 0, por lo que θ = φ, o sea θ = Entonces, S = ( )
12 Si no tiene a la mano la fórmula (II) puede obtener la magnitud y dirección gráficamente como se muestra en el siguiente ejemplo: Ejemplo 8. Calcular la magnitud y dirección del vector U = ( 60, 80). Dibuje el vector (Véase la figura 16) e identifique el ángulo φ (cuyo cateto opuesto es la componente Y del vector). Indique en este dibujo cuál es la dirección θ del vector. Calcule al ángulo φ: 80 φ= arctan = arctan( ) = Ajuste este ángulo para obtener θ: Fig. 16 θ = φ = La magnitud es 2 2 (60) + (80) = = 100 Entonces el vector es U = ( ) Ejercicio 6. Usando las fórmulas (IIa,b,c,d), calcular la magnitud y dirección de los siguientes vectores: (a) L = ( 20, 12) (b) R = (0.9, 0.3) (c) W = (30, 50) (d) M = ( 2, 10) Ejercicio 7. Usando el método gráfico ilustrado en el Ejemplo 8, calcular la magnitud y dirección de los siguientes vectores: (a) K = ( 2.14, 5.66) (b) T = (5.9, 8.3) (c) S = (20, 70) (d) P = ( 9, 14)
13 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS Ejercicio 1. D = ( ) U = ( ) V = ( ) S = ( ) F = ( ) Ejercicio 3. A x = 22 sen(55 ) = A y = 22 cos(55 ) = B x = 120 cos(30 ) = B y = 120 sen(30 ) = 60 C x = 0.82 sen(20 ) = C y = 0.82 cos(20 ) = Ejercicio 4. Se calculan los ángulos necesarios como vemos en la figura. Se encuentra que P = ( ) Q = (52 80 ) R = (88 50 ) con lo que, aplicando las fórmulas (Ia,b), P x = 110 cos( 30 ) = P y = 110 sen( 30 ) = 55 Q x = 52 cos(80 ) =9.029 Q y = 52 sen(80 ) = R x = 88 cos( 50 ) = R y = 88 sen( 50 ) = Ejercicio 5. F = (5 cos 135, 5 sen 135 ) = ( 3.535, 3.535) T = (4 cos 30, 4 sen 30 ) = (3.464, 2) N = (3 sen 20, 3 cos 20 ) = (1.026, 2.819) Para F y N se usaron las fórmulas (Ia,b), puesto que se conocen sus direcciones. Para N se usó el método que emplea el ángulo dado de 20. Ejercicio 6. L = ( ) R = ( ) W = ( ) M = ( )
Nociones elementales de trigonometría
Nociones elementales de trigonometría La parte de la Matemática que se basa en las propiedades especiales de un triángulo rectángulo se llama trigonometría. Muchos conceptos de trigonometría son muy importantes
Más detallesESTÁTICA 3 3 VECTORES
ESTÁTICA Sesión 3 3 VECTORES 3.1. Componentes en dos dimensiones 3.1.1. Operación con vectores por sus componentes 3.1.2. Vectores de posición por sus componentes 3.2. Componentes en tres dimensiones 3.2.1.
Más detallesTrigonometría y Análisis Vectorial
Unidad Educativa enezuela Trigonometría nálisis ectorial Prof. Ronn J. ltuve Unidad Educativa enezuela Trigonometría nálisis ectorial 1. Teorema de Pitágoras: establece que en un triángulo rectángulo el
Más detallesAPUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 2 ÁLGEBRA VECTORIAL
Vectores y escalares. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 2 ÁLGEBRA VECTORIAL Las magnitudes escalares son aquellas magnitudes físicas que
Más detallesUNIDAD DE APRENDIZAJE III
UNIDAD DE APRENDIZAJE III Saberes procedimentales 1. Utiliza correctamente el lenguaje algebraico, geométrico y trigonométrico.. Identifica la simbología propia de la geometría y la trigonometría. Saberes
Más detalles2.2 Rectas en el plano
2.2 Al igual que ocurre con el punto, en geometría intrínseca, el concepto de recta no tiene definición, sino que constituye otro de sus conceptos iniciales, indefinibles. Desde luego se trata de un conjunto
Más detallesCORRIENTE ALTERNA. Onda senoidal:
CORRIENTE ALTERNA Onda senoidal: En corriente alterna, la tensión varía continuamente en el tiempo, tomando valores positivos y negativos. La forma más común de corriente alterna es la senoidal. Se debe
Más detallesNÚMEROS COMPLEJOS. Capítulo Operaciones con números complejos
Capítulo 1 NÚMEROS COMPLEJOS Observe que la ecuación x 2 + 1 0 no tiene solución en los números reales porque tendríamos que encontrar un número cuyo cuadrado fuera 1, es decir x 2 1 o, lo que viene a
Más detallesTrigonometría. 1. Ángulos:
Trigonometría. Ángulos: - Ángulos en posición estándar: se ubican en un sistema de coordenadas XY. El vértice será el origen (0,0) y el lado inicial coincide con el eje X positivo. - Ángulos positivos:
Más detallesTEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA.
TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA. 8..- El plano. Definimos el plano euclideo como el conjunto de puntos ( x, y) R. Así, cada punto del plano posee dos coordenadas. Para representar puntos del plano utilizaremos
Más detallesSeno (matemáticas) Coseno Tangente
Seno (matemáticas), una de las proporciones fundamentales de la trigonometría. En un triángulo rectángulo, el valor del seno (que suele abreviarse sen) de un ángulo agudo es igual a la longitud del cateto
Más detallesFunciones Trigonométricas
UNIVERSIDAD LA REPÚBLICA ESCUELA DE INGENIERÍA FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA PROF. FRANCISCA GONZÁLEZ AY. GABRIEL SORIA TRABAJO: Funciones Trigonométricas FECHA: 22 de septiembre de 1999 INTEGRANTES: CARLOS
Más detallesVECTORES. también con letras sobre las cuales se coloca una flechita ( a ). A = módulo de A. modulo o magnitud, dirección y sentido. vector.
VECTORES Según su naturaleza las cantidades físicas se clasifican en magnitudes escalares y magnitudes vectoriales Las magnitudes como el tiempo, la temperatura, la masa y otras, son magnitudes escalares
Más detallesMatemáticas TRABAJO. Funciones Trigonométricas
Matemáticas TRABAJO Funciones Trigonométricas 2 En este trabajo trataremos de mostrar de una forma práctica las funciones trigonométricas, con sus formas de presentación, origen y manejos. También se incluirán
Más detallesMateria: Matemática de 5to Tema: Producto Punto. Marco Teórico
Materia: Matemática de 5to Tema: Producto Punto Marco Teórico En términos comunes, el producto punto de dos vectores es un número que describe la cantidad de fuerza que dos vectores diferentes contribuyen
Más detallesRELACIONES TRIGONOMÉTRICAS QUE NO PODEMOS OLVIDAR
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS QUE NO PODEMOS OLVIDAR Relaciones fundamentales de la trigonometría Las tres relaciones fundamentales de la trigonometría pueden resumirse en una, que viene dada por la construcción
Más detallesGUIA INFORMATIVA DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
GUIA INFORMATIVA DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Para el estudio de la Trigonometría es importante tomar en cuenta conocimientos básicos sobre: concepto de triángulo, su clasificación, conceptos de ángulos
Más detallesUnidad 3: Razones trigonométricas.
Unidad 3: Razones trigonométricas 1 Unidad 3: Razones trigonométricas. 1.- Medida de ángulos: grados y radianes. Las unidades de medida de ángulos más usuales son el grado sexagesimal y el radián. Se define
Más detallesTRIGONOMETRÍA. 1. Ángulos. 2. Razones trigonométricas de ángulos agudos
TRIGONOMETRÍA 1 Ángulos Hasta ahora se han considerado los ángulos como la porción del plano comprendida entre dos semirrectas con el origen común De esta manera, el ángulo está comprendido entre 0 y 360
Más detallesTrigonometría Analítica. Sección 6.6 Funciones trigonométricas inversas
6 Trigonometría Analítica Sección 6.6 Funciones trigonométricas inversas Funciones Inversas Recordar que para una función, f, tenga inversa, f -1, es necesario que f sea una función uno-a-uno. o Una función,
Más detallesIntroducción a la trigonometría
UNIDAD 9: UTILICEMOS LA TRIGONOMETRIA. Introducción Introducción a la trigonometría La trigonometría es el método analítico para estudiar los triángulos y otras figuras. El estudio de la trigonometría
Más detallesPrograma de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia. PAIEP, Universidad de Santiago
Guía de vectores. Vectores En matemática, un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por tener módulo
Más detallesRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO (0º a 90º) DEFINICIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO (0º a 90º) DEFINICIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ESTE TRIANGULO SERA EL MISMO PARA TODA LA EXPLICACIÓN RELACIÓN ENTRE LAS FUNCIONES
Más detallesPlanos y Rectas. 19 de Marzo de 2012
el Geometría en el Planos y Rectas Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Iztapalapa 19 de Marzo de 2012 el Anteriormente vimos que es posible encontrar un número infinito de vectores, no paralelos
Más detalles1 Indica cuáles de las siguientes parábolas están abiertas hacia arriba y cuáles hacia abajo:
Indica cuáles de las siguientes parábolas están abiertas hacia arriba y cuáles hacia abajo: 3 + x y = 3 x x + x 3 + x y = 3 x x + x Abierta hacia arriba Abierta hacia abajo Abierta hacia abajo Calcula
Más detallesPuntos y Vectores. 16 de Marzo de 2012
Geometría en Puntos y Vectores Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Iztapalapa 16 de Marzo de 2012 Introducción En Geometría analítica plana las relaciones y las propiedades geométricas se expresan
Más detallesDefinición de vectores
Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre
Más detalles1. Ángulos orientados
NOCIONES ELEMENTALES DE TRIGONOMETRIA En lo que sigue se repasan conceptos elementales de trigonometría, que serán utilizados en temas posteriores de la asignatura.. Ángulos orientados Un ángulo orientado
Más detallesESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o.
ESTÁTICA Sesión 2 2 VECTORES 2.1. Escalares y vectores 2.2. Cómo operar con vectores 2.2.1. Suma vectorial 2.2.2. Producto de un escalar y un vector 2.2.3. Resta vectorial 2.2.4. Vectores unitarios 2.2.5.
Más detallesRazones trigonométricas.
Razones trigonométricas. Matemáticas I 1 Razones trigonométricas. Medidas de ángulos. Medidas en grados (Deg.) El grado es el ángulo plano que teniendo su vértice en el centro de un círculo intercepta
Más detallesRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resolver un triángulo consiste en determinar la longitud de sus tres lados y la amplitud de sus tres ángulos. Vamos a recordar primero la resolución para triángulos rectángulos
Más detallesTEMA 7. FUNCIONES ELEMENTALES
TEMA 7. FUNCIONES ELEMENTALES 8.1. Funciones cuya gráfica es una recta. - Función constante. - Función de proporcionalidad. - Función lineal. - Pendiente. 8.2. Función cuadrática. - Representación gráfica
Más detallesCONCEPTOS CLAVE DE LA UNIDAD 3
CONCEPTOS CLAVE DE LA UNIDAD 3 1. Razón trigonométrica seno. Si θ es la medida de algún ángulo interior agudo en cualquier triángulo rectángulo, entonces a la razón que hay de la longitud del cateto opuesto
Más detallesRepaso de Vectores. Autor: Dra. Estela González
Autor: Dra. Estela González Algunas cantidades físicas como tiempo, temperatura, masa, densidad y carga eléctrica se pueden describir plenamente con un número y una unidad, pero otras cantidades (también
Más detallesAdemás de la medida, que estudiaremos a continuación, consideraremos que los ángulos tienen una orientación de acuerdo con el siguiente convenio:
Trigonometría La trigonometría trata sobre las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. El concepto fundamental sobre el que se trabaja es el de ángulo. Dos semirrectas con un origen
Más detallesUNIDAD EDUCATIVA COLEGIO SAN GABRIEL PLAN DE MEJORA Y REFUERZO ACADÉMICO
DATOS INFORMATIVOS UNIDAD EDUCATIVA COLEGIO SAN GABRIEL PLAN DE MEJORA Y REFUERZO ACADÉMICO Nombre del Estudiante: Curso: 1ro BGU Docente: Lic. Francisco Soria Fecha: 22 de febrero de 2016 DESTREZA A REFORZAR
Más detallesVectores Presentanción basada en el material contenido en: Serway, R. Physics for Scientists and Engineers. Saunders College Pub. 3rd edition.
Vectores Presentanción basada en el material contenido en: Serway, R. Physics for Scientists and Engineers. Saunders College Pub. 3rd edition. Sistemas de Coordenadas Se usan ara describir la posición
Más detallesMÓDULO 8: VECTORES. Física
MÓDULO 8: VECTORES Física Magnitud vectorial. Elementos. Producto de un vector por un escalar. Operaciones vectoriales. Vector unitario. Suma de vectores por el método de componentes rectangulares. UTN
Más detallesSegún la figura los rayos OA y OB determinan un ángulo simbolizado AOB
UNIDAD : TRIGONOMETRÍA El termino Trigonometría procede del griego y significa medida de triángulos. Por lo tanto se considera la trigonometría como la rama de la matemática que estudia los elementos de
Más detallesTRIGONOMETRIA. Trigonometría plana
TRIGONOMETRIA Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos.
Más detalles( ) m normal. UNIDAD III. DERIVACIÓN Y APLICACIONES FÍSICAS Y GEOMÉTRICAS 3.8. Aplicaciones geométricas de la derivada
UNIDAD III. DERIVACIÓN Y APLICACIONES FÍSICAS Y GEOMÉTRICAS 3.8. Aplicaciones geométricas de la derivada Dirección de una curva Dado que la derivada de f (x) se define como la pendiente de la recta tangente
Más detallesRepaso de Vectores. Autor: Dra. Estela González. flecha. La longitud de la línea indica la magnitud del vector, y su
Autor: Dra. Estela González Algunas cantidades físicas como tiempo, temperatura, masa, densidad y carga eléctrica se pueden describir plenamente con un número y una unidad, pero otras cantidades (también
Más detallesForma de medir los ángulos en números reales
Angulo orientado Un ángulo orientado α consiste de un vértice O, una semirrecta (l i ) de origen O llamada lado inicial, otra semirrecta (l t ) de origen O llamada lado terminal, un giro g alrededor de
Más detallesActividad 8: Lectura Capítulo 5
Actividad 8: Lectura Capítulo 5 Fecha de inicio Fecha de Cierre 10/OCT/13 00:00 02/NOV/13 23:55 Ángulos y el círculo trigonométrico Ángulos En Geometría se estudiaron los ángulos, clases, propiedades y
Más detallesCapítulo 1 Vectores. 26 Problemas de selección - página 13 (soluciones en la página 99)
Capítulo 1 Vectores 26 Problemas de selección - página 13 (soluciones en la página 99) 21 Problemas de desarrollo - página 22 (soluciones en la página 100) 11 1.A PROBLEMAS DE SELECCIÓN Sección 1.A Problemas
Más detallesSi se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES: TIPOS DE FUNCIONES Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción,
Más detallesII. TRIGONOMETRÍA. A. ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS Un ángulo es la abertura que existe ebtre dos líneas que se cortan.
II. TRIGONOMETRÍA La trigonometría se encarga del estudio de la medida de los triángulos, es decir de la medida de sus ángulos y sus lados. A. ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS Un ángulo es la abertura que eiste ebtre
Más detallesTRIGONOMETRÍA. Dado un triángulo rectángulo cualquiera se definen las razones trigonometricas para el ángulo α de la forma, Y sus inversas como
TRIGONOMETRÍA La trigonometria es una rama de las matemáticas que estudia los triángulos. En el estudio geométrico de un triángulo se definieron una serie de funciones propias que con el paso de los años
Más detallesEJERCICIOS DE VERANO MATEMÁTICAS 4º ESO
EJERCICIOS DE VERANO MATEMÁTICAS 4º ESO NOTA IMPORTANTE: Estos ejercicios se entregarán en el mes de septiembre el mismo día del examen de recuperación de matemáticas. La entrega de los mismos será condición
Más detallesSistemas de Coordenadas
Vectores Sistemas de Coordenadas Se usan ara describir la posición de un punto en el espacio El sistema de coordenadas consiste de: Un punto de referencias fijo que se llama origen Ejes con una escala
Más detallesSlide 1 / 39. Triángulos Rectángulos
Slide 1 / 39 Triángulos Rectángulos Slide 2 / 39 Las Matemáticas de los Triángulos Rectángulos Las matemáticas más allá del álgebra, solo es necesario para los triángulos rectángulos en el examen de Física
Más detallesTRIGONOMETRIA. π radianes <> 180º
TRIGONOMETRIA La trigonometría estudia las relaciones existentes entre los ángulos y los lados de un triángulo. La base de su estudio es el ángulo. Angulo es la porción del plano limitada por dos semirrectas
Más detallesLos Modelos Trigonométricos
Los Modelos Trigonométricos Eliseo Martínez, Manuel Barahona 1. Introducción Normalmente, por motivos históricos, y de acuerdo al itinerario seguido por la humanidad en la invención de la trigonometría,
Más detallesFS-104 Física General UNAH. Universidad Nacional Autónoma de Honduras Facultad de Ciencias Escuela de Física. Mesa de fuerzas
Universidad Nacional Autónoma de Honduras Facultad de Ciencias Escuela de Física Elaboró: Lic. Enma Zuniga Objetivos Mesa de fuerzas 1. Visualizar las fuerzas como vectores, que poseen una magnitud y una
Más detallesCapítulo 7. Trigonometría del triángulo rectángulo. Contenido breve. Presentación. Módulo 17 Medición de ángulos. Módulo 18 Ángulos notables
Capítulo 7 Trigonometría del triángulo rectángulo Contenido breve Módulo 17 Medición de ángulos Módulo 18 Ángulos notables La trigonometría se utiliza para realizar medidas indirectas de posición y distancias.
Más detallesTitulo: FUERZA RESULTANTE (FISICA ESTATICA) Año escolar: 3er. año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico:
Más detallesTRIGONOMETRÍA. π radianes. 1.- ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS. 1.1 Los ángulos orientados
TRIGONOMETRÍA.- ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS. Los ángulos orientados Son aquellos que además de tener una cierta su amplitud ésta viene acompañada de un signo que nos indica un orden de recorrido (desde la semirrecta
Más detallesTRIGONOMETRÍA. MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Ciencias de la Salud y Tecnológico. 1.- Ángulos en la Circunferencia.
TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Ciencias de la Salud y Tecnológico 1.- Ángulos en la Circunferencia. 2.- Razones Trigonométricas de un Triángulo Rectángulo. 3.- Valores del Seno, Coseno y Tangente
Más detallesUNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA
C u r s o : Matemática Material N 8 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 5 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Para determinar la posición de los puntos de un plano usando
Más detallesEl teorema de Euclides tiene dos enunciados que conocemos con los nombres de teorema del cateto y teorema de la altura.
El teorema de Euclides tiene dos enunciados que conocemos con los nombres de teorema del cateto y teorema de la altura. Teorema del cateto: El cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre
Más detalles3.1. Distancia entre dos puntos. Definición 3.1. Sean a, b e, se llama distancia entre los números a y b que se denota por d (a, b), a la cantidad:
III. UNIDAD: GEOMETRIA ANALITICA LANA. La Geometría Analítica permite usar los métodos algebraicos en la solución de problemas geométricos, recíprocamente, los métodos de la geometría analítica pueden
Más detalles2. Trazas de una Recta Son los puntos donde la recta se intercepta con los planos principales de proyección; se denominan:
Proyección Diédrica de una Recta Las rectas se designan con letras minúsculas (a; b; c;...). Una recta (r) puede ser definida por medio de dos puntos (A y B) 1. Punto Contenido en una Recta Si un punto
Más detallesVectores. Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Unidad Culhuacán.
Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Unidad Culhuacán. Vectores Autor: Ing. Jonathan Alejandro Cortés Montes de Oca. Vectores En el campo de estudio del Cálculo
Más detallesGUIAS ÚNICAS DE LABORATORIO DE FÍSICA I ASPECTOS PRELIMINARES SUMA DE VECTORES
GUIAS ÚNICAS DE LABORATORIO DE FÍSICA I ASPECTOS PRELIMINARES SUMA DE VECTORES SANTIAGO DE CALI UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI DEPARTAMENTO DE LABORATORIOS SUMA DE VECTORES OBJETIVOS Usar la mesa de fuerzas
Más detallesProyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta
Geometría Analítica Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas Isidro Huesca Zavaleta La Integración de dos Ciencias La Geometría Analítica nació de la integración de dos ciencias
Más detallesJosé Antonio Jiménez Nieto
TRIGONOMETRÍA. UNIDADES PARA MEDIR ÁNGULOS Un ángulo es una porción de plano limitada por dos semirrectas que tienen un origen común. Las unidades que más frecuentemente se utilizan para medir ángulos
Más detallesAntes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos:
CONOCIMIENTOS PREVIOS. Vectores.. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Trigonometría. Resolución de ecuaciones de primer grado. Sería
Más detallesEcuaciones de la forma. y se sabe que pasa por el punto ( 4 ;16 ), cuál es la ecuación de la recta? con m > 0. contenga los puntos ( 2;? por qué?
Ecuaciones de la forma y = m. Haga las gráficas de y = y = y = y = y y y y y y a. Como son las rectas b. Cuales son simétricas respecto al origen c. La recta y que tipo de simetría presenta respecto a
Más detallesFigura 1. Círculo unidad. Definición. 1. Llamamos número π (pi) al valor de la integral
ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. La función f(x) = 1 x 2 es continua en el intervalo [ 1, 1]. Su gráfica como vimos es la semicircunferencia de radio uno centro el origen de coordenadas.
Más detallesTEMA 5 SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA
TEMA 5 SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA. Objetivos / Criterios de evaluación O.5.1 Triángulos semejantes, criterios para la semejanza de triángulos O.5.2 Teorema de Tales. Aplicaciones. O.5.3 Teoremas de Pitágoras,
Más detallesMATEMÁTICAS III CUADERNILLO DE ACTIVIDADES Y TAREAS. Bachillerato General, Modalidad Mixta
Bachillerato General, Modalidad Mixta MATEMÁTICAS III CUADERNILLO DE ACTIVIDADES Y TAREAS. Nombre del Alumn@ Día de la clase de matemáticas Hora de la clase de matemáticas Maestra: María Luisa Rubalcava
Más detalles4, halla sen x y tg x. 5
TRIGONOMETRÍA 1º.- Sabiendo que 90 º < x < 70 º y que 4, halla sen x y tg x. 5 a) sen x? ; de la fórmula fundamental sen x + cos x 1 se obtiene sen x 1 - cos x. 9 5 de donde sen x 5 3, solución positiva
Más detallesUniversidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática ( )
Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) UNIDAD N 4 (APLICACIONES DE LA DERIVADA) Profesora: Yulimar Matute Febrero 2012 RECTA
Más detallesINSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA Lo peor no es cometer un error, sino tratar de justificarlo, en vez de aprovecharlo como aviso providencial de nuestra ligereza
Más detallesUnidad 2. FUNCIONES Conceptos
Unidad 2. FUNCIONES Competencia específica a desarrollar Comprender el concepto de función real y tipos de funciones, así como estudiar sus propiedades y operaciones. Función 2.1. Conceptos Se puede considerar
Más detallesMATEMÁTICAS 2º DE ESO
MATEMÁTICAS 2º DE ESO LOE TEMA VII: FUNCIONES Y GRÁFICAS Coordenadas cartesianas. Concepto de función. Tabla y ecuación. Representación gráfica de una función. Estudio gráfico de una función. o Continuidad
Más detallesFACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES CUADRÁTICAS
FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES CUADRÁTICAS 4.1.1 4.1.4 En las Lecciones 4.1.1 a 4.1.4, los alumnos factorizarán epresiones cuadráticas. Esto los prepara para resolver ecuaciones cuadráticas en el Capítulo
Más detalles1. Ángulos Referencia angular. TRIGONOMETRÍA La palabra, TRI-GONO-METRÍA, etimológicamente significa relación entre los lados
IES Joan Ramon Benaprès TRIGNMETRÍA La palabra, TRI-GN-METRÍA, etimológicamente significa relación entre los lados y ángulos de un triángulo 1 Ángulos Definición 1 (Ángulo) Un ángulo es la abertura de
Más detallesTEMA 0: REPASO DE FUNCIONES
TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES Recordamos que una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto de los números reales A en el conjunto de los números reales de forma que a cada elemento
Más detallesVectores. en el plano
7 Vectores 5 en el plano LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Los vectores nos dan información en situaciones como el sentido de avance de una barca o la dirección de un trayecto en bicicleta. INICIO
Más detalles16 PROPORCIONALIDAD INVERSA.-POTENCIA
16 PROPORCIONALIDAD INVERSA.-POTENCIA 16.1 Características generales. Consideramos que una variable x puede adquirir los valores a, b, c, d,.. y otra variable y los valores a, b, c, d, x e y son inversamente
Más detallesIDENTIDADES DE ÁNGULOS DOBLE Y MEDIOS
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS GRADO: 10 TALLER Nº: 10 SEMESTRE 1 IDENTIDADES DE ÁNGULOS DOBLE Y MEDIOS RESEÑA HISTÓRICA Jean Baptiste Joseph Fourier. (176 en Auxerre
Más detallesTrigonometría. M. en I. Gerardo Avilés Rosas
Trigonometría M. en I. Gerardo Avilés Rosas Agosto de 06 Tema Trigonometría Objetivo: El alumno reforzará los conceptos de trigonometría para lograr una mejor comprensión del álgebra. Contenido. Definición
Más detallesCapítulo 8. Trigonometría. M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática
1 Capítulo 8 Trigonometría M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr
Más detalles1. Trigonometría 4º ESO-B. Cuaderno de ejercicios. Matemáticas JRM. Nombre y apellidos... INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA Página 1
1. Trigonometría 4º ESO-B Cuaderno de ejercicios Matemáticas JRM Nombre y apellidos... INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA Página 1 RESUMEN DE OBJETIVOS 1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. OBJETIVO
Más detallesTrazados en el plano. Potencia
UNIDAD 1 Trazados en el plano. Potencia Localización de un barco mediante el arco capaz (Ilustración de los autores utilizando fotografías del Banco de imágenes del ISFTIC). E n esta Unidad se completan
Más detallesUNIDAD DE APRENDIZAJE V
UNIDAD DE APRENDIZAJE V Saberes procedimentales 1. Identifica la simbología propia de la geometría y la trigonometría. 2. Identifica las unidades para medir ángulos. 3. Clasifica adecuadamente las identidades
Más detallesSe entiende por trigonometría, según su origen griego, la ciencia que tiene por objetivo la medida de los lados y los ángulos de los triángulos.
Unidad Trigonometría Introducción... Ángulos. Medida de ángulos... Razones trigonométricas de un ángulo... Resolución de triángulos: triángulos rectángulos... Casos concretos... Introducción Se entiende
Más detalles3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector
3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado
Más detallesTEMA 4: TRIGONOMETRÍA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
IES IGNACIO ALDECOA 19 TEMA 4: TRIGONOMETRÍA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 4.1 Medida de ángulos. Equivalencias. Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas
Más detallesObserve que seno corresponde a la ordenada y el coseno corresponde a la abscisa.
TRIGONOMETRIA cosα = = sen α = = tag α = Observe que seno corresponde a la ordenada el coseno corresponde a la abscisa. Este resultado se generaliza para cualquier ángulo en el círculo trigonométrico,
Más detallesMatemáticas Aplicadas
Matemáticas Aplicadas para Diseño de Videojuegos 4. Trigonometría Contenidos Ángulos: unidades de medida. Razones trigonométricas. Funciones trigonométricas. Coordenadas polares y esféricas. Identidades
Más detallesDeterminación de la Longitud
Tema 7 Determinación de la Longitud Geográfica DETERMINACION DE LA LONGITUD DE UNA ESTACION. El objeto de la Astronomía de Posición es la determinación de las coordenadas geográficas terrestres de un Punto
Más detallesAPUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
CAPÍTULO 1: LA RECTA EN EL PLANO Conceptos Primitivos: Punto, recta, plano. APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Definición 1 (Segmento) Llamaremos segmento a la porción de una línea recta comprendida entre
Más detallesLa recta en el plano.
1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1 La recta en el plano. 1. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Intervalos y sus definiciones básicas. Representación
Más detallesRazones trigonométricas DE un ángulo agudo de un triángulo
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Calcula razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Demuestra identidades trigonométricas elementales Demuestra identidades
Más detallesa1 3 siendo a 1 y a 2 las aristas. 2 a a1
Semejanza y Trigonometria. 77 Ejercicios para practicar con soluciones Dos rectángulos tienen sus lados proporcionales. Los lados del primero miden 6 y 8 cm respectivamente. Si el perímetro del segundo
Más detallesREPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Se
Más detallesMATEMÁTICAS GRADO DÉCIMO
MATEMÁTICAS GRADO DÉCIMO SEGUNDA PARTE TEMA 1: VELOCIDAD ANGULAR Definición Velocidad Angular CONCEPTO: DEFINICIONES BÁSICAS: La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se define como
Más detallesBACHILLERATO TÉCNICO No. TRABAJO INDEPENDIENTE
TRABAJO INDEPENDIENTE Docente Asignatura MATEMÁTICAS III Grado y grupo 3o. No. de actividad 1 Semana Del al Semestre Modalidad Trabajo individual ( ) Trabajo en equipo ( ) Tema Ángulos consecutivos o adyacentes
Más detalles