Conjuntos Numéricos R 2, R 3, R n

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1 Conjuntos Numéricos R 2, R 3, R n 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1

2 Índice 1 Espacios numéricos: R 2, R 3, R n Conjunto de R Conjunto de R Conjunto de R n ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

3 Objetivos En esta lectura vamos a estudiar la noción de espacio vectorial, así como los conceptos que de dicha noción se derivan. Nomenclatura A lo largo de esta lectura nos referiremos a los conjuntos de números reales forma que la nomenclatura para los siguientes conjuntos será: por R de R 2 R 3 R n 1 Espacios numéricos: R 2, R 3, R n Antes de dar la definición abstracta de espacio vectorial vamos a estudiar dos ejemplos R 2 y R 3 para de esta forma comprender mejor la definición y estructura de un espacio vectorial. 1.1 Conjunto de R 2 El conjunto de R 2 = R x R está formado por todos los pares (x,y) de números reales. En el ejemplo vemos pares de (x,y) de números reales que forman un conjunto o espacio vectorial de R 2 Por ejemplo: R 2 (2, 1 3 ) ( 2, 4) (0,0) (x, y) Dos pares (x,y) y (x,y ) son iguales si se verifica que: x=x y=y En este conjunto se definen la suma y el producto por números reales del siguiente modo: 03 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

4 Suma: (x,y)+(x,y ) = (x+x,y+y ) Producto por números reales: si consideramos k un número real entonces: k(x,y)=(kx,ky). Estas dos operaciones suma (+) y producto (.) verifican las siguientes propiedades: 1. Asociativa [(x, y) + (x, y )] + (x, y ) = (x, y) + [(x, y ) + (x, y )] La propiedad asociativa de la suma nos dice que si tenemos tres pares de números en este caso en R 2, es lo mismo sumar los dos primeros pares de números [(x, y) + (x, y )] y luego el tercero (x, y ) que sumar el segundo y tercer par de números [(x, y ) + (x, y )] y luego el primero (x, y) Es lo mismo que: [(2,3) + ( 1,2)] + (0, 2) = (1,5) + (0, 2) = (1,3) (2,3) + [( 1,2) + (0, 2)] = (2,3) + ( 1,0) = (1,3) 2. Conmutativa (x, y) + (x, y ) = (x, y ) + (x, y) La propiedad conmutativa de la suma o de orden de la suma dice que el orden de los sumandos no altera el resultado. (1,5) + (0, 2) = (1,3) y es lo mismo que sumar (0, 2) + (1,5) = (1,3) 3. Elemento neutro (x, y) + (0, 0) = (x, y) El elemento neutro es el par (0,0) ya que al realizar la suma el resultado sigue siendo (x,y) 4. Elemento opuesto (elemento simétrico) Todo elemento (x,y) de R 2 posee un opuesto (-x,-y) ya que 5. Propiedad distributiva (x, y) + ( x, y) = (0, 0) k[(x, y) + (x, y )] = k(x, y) + k(x, y ) Esto quiere decir que siendo k un numero real (un escalar), la suma de dos pares (x,y),(x y ) multiplicados por el escalar k es lo mismo que la suma de cada uno de los pares multiplicados por k. 3[(1,2) + (1,1)] = 3(2,3) = (6,9) Es lo mismo que realizar la siguiente operación: 3(1,2) + 3(1,1) = (3,6) + (3,3) = (6,9) 04 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

5 6. Propiedad 6 (k + h) (x, y) = k(x, y) + h(x, y) Veamos un ejemplo para k=2,h=3 y (x,y)=(2,1) (2 + 3) (2,1) = (10,5) 2(2,1) + 3(2,1) = (4,2) + (6,3) = (10,5) 7. Propiedad 7 k[h(x, y)] = (kh) (x, y) Veamos un ejemplo para k=2,h=3 y (x,y)=(2,1) k[h(x, y)] = 2[3(2,1)] = 2(6,3) = (12,6) (kh) (x, y) = (6) (2,1) = (12,6) 8. Elemento unidad 1(x, y) = (x, y) Donde 1 es el elemento unidad de los números reales. 05 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

6 1.2 Conjunto de R 3 De forma análoga podemos aplicar todo lo aprendido en el apartado anterior para el resto de conjuntos, R 3, R 4 R n El conjunto R 3 =R x R x R está formado por todas las ternas (x,y,z) de números reales: En el ejemplo vemos pares de (x,y,z) de números reales que forman un conjunto o espacio vectorial de R 3 R 3 (2,1 3) ( 2, 4,1) (0,0,0) (x, y, z) Dos ternas (x,y,z) y (x,y,z ) son iguales si se verifica que: x=x y=y z=z En este conjunto se definen la suma y el producto por números reales del siguiente modo: Suma: (x,y,z)+(x,y,z ) = (x+x,y+y,z+z ) Producto por números reales: si consideramos k un número real entonces: k(x,y,z)=(kx,ky,kz). Al igual que para el conjunto de R 2, estas dos operaciones suma (+) y producto (.) verifican las siguientes propiedades: 1. Asociativa [(x, y, z) + (x, y, z )] + (x, y, z ) = (x, y, z) + [(x, y, z ) + (x, y, z )] 2. Conmutativa (x, y, z) + (x, y, z ) = (x, y, z ) + (x, y, z ) 3. Elemento neutro (x, y, z) + (0, 0, z) = (x, y, z) El elemento neutro es el par (0,0,0) ya que al realizar la suma el resultado sigue siendo (x,y,z) 4. Elemento opuesto (elemento simétrico) 06 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

7 Todo elemento (x,y,z) de R 3 posee un opuesto (-x,-y,-z) ya que (x, y, z) + ( x, y, z) = (0, 0, 0) 5. Propiedad distributiva k[(x, y, z) + (x, y, z )] = k(x, y, z) + k(x, y, z ) 6. Propiedad 6 7. Propiedad 7 (k + h) (x, y, z) = k(x, y, z) + h(x, y, z) k[h(x, y, z)] = (kh) (x, y, z) 8. Elemento unidad 1(x, y, z) = (x, y, z) Donde 1 es el elemento unidad de los números reales. 07 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

8 1.3 Conjunto de R n En el ejemplo vemos pares de (x 1, x 2,, x n ) de números reales que forman un conjunto o espacio vectorial de R n El conjunto R n =R x R x x R está formado por todas las n-plas 1 ordenadas (x 1, x 2,, x n ) de números reales: R n (2,1,, 3) ( 2, 4,,1) (0,0,,0) (x 1, x 2,, x n ) Dos n-plas (x 1, x 2,, x n ), (x 1, x 2,, x n ) son iguales si se verifica x 1 = x 1 x 2 = x 2 x n = x n En este conjunto se definen la suma y el producto por números reales de la misma forma que hemos visto para los casos anteriores: Suma: (x 1, x 2,, x n ) + (x 1, x 2,, x n ) = (x 1 + x 1, x 2 + x 2,, x n + x n ) Producto por números reales: si consideramos k un número real entonces: k (x 1, x 2,, x n ) = (kx 1, kx 2,, kx n ) Al igual que para el conjunto de R 2 y R 3 estas dos operaciones suma (+) y producto (.) verifican las siguientes propiedades: 1. Asociativa 2. Conmutativa [(x 1, x 2,, x n ) + (x 1, x 2,, x n)] + (x 1, x 2,, x n) = (x 1, x 2,, x n ) + [(x 1, x 2,, x n ) + (x 1, x 2,, x n )] (x 1, x 2,, x n ) + (x 1, x 2,, x n) = (x 1, x 2,, x n) + (x 1, x 2,, x n ) 1 n-plas es un término muy usado en álgebra para indicar en un conjunto de Rn el número de coordenadas que posee el vector. 08 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

9 3. Elemento neutro (x 1, x 2,, x n ) + (0, 0,, 0) = (x 1, x 2,, x n ) El elemento neutro es el par (0,0,,0) ya que al realizar la suma el resultado sigue siendo (x 1, x 2,, x n ) 4. Elemento opuesto (elemento simétrico) Todo elemento (x 1, x 2,, x n ) de R n posee un opuesto ( x 1, x 2,, x n ) ya que: 5. Propiedad distributiva (x 1, x 2,, x n ) + ( x 1, x 2,, x n ) = (0, 0,, 0) k[(x 1, x 2,, x n ) + (x 1, x 2,, x n)] = k(x 1, x 2,, x n ) + k(x 1, x 2,, x n) 6. Propiedad 6 (k + h) (x 1, x 2,, x n ) = k(x 1, x 2,, x n ) + h(x 1, x 2,, x n ) 7. Propiedad 7 k[h(x 1, x 2,, x n )] = (kh) (x 1, x 2,, x n ) 8. Elemento unidad 1(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n ) Donde 1 es el elemento unidad de los números reales. 09 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016