Repartido Números Complejos 5 H2 Liceo 7-Rivera Prof Fernando Díaz. Ecuación Resolución N Z Q I R x 3 = 1

Transcripción

1 Ejercicio 1: Marquen con una cru todos los conjuntos numéricos a los cuales pertenecen las soluciones de las ecuaciones: Ecuación Resolución N Z Q I R x 3 1 x + 1 x. 1 x² 0 x² Como sabemos, en R no podemos resolver raíces cuadradas de números negativos, como 1, ya que no existe ningún número real cuyo cuadrado sea igual a 1. Para eso definimos el símbolo i para indicar un número tal que: i² 1 Teniendo en cuenta la igualdad a partir de la cual lo definimos, y que este número no es real, podemos usarlo para expresar las soluciones que no son reales de algunas ecuaciones. Ej: x² x² + 0 x² 1 x² x 1 i x i x 1 i x i Ya que: i² y ( i)² Ya que: ( i)² + 0 y ( i)² + 0 Ejercicio : Utilicen el símbolo i para expresar las soluciones de las siguientes ecuaciones: a) x² b) x² c) x² 10 x² d) x² 9 0 e) 9 x² f) ( x + 5 )² 10 x 1 g) 1 1 x² + 4 h) ( x ) ( x ) 0 i) ( x 8 )² 16 x j) 3 ( x ) ( x 4 ) ( x ) k) ( x² 1 )² ( 1 + x ) ( 1 x ) 1 1

2 Ejercicio 3: Completen la siguiente tabla: Número Complejo Z i 3 i 5 i Parte Real Re () Parte Imaginaria Im() 8 4 / es complejo, real o imaginario puro?

3 CONJUGADO Y OPUESTO DE UN NÚMERO COMPLEJO A partir de un número complejo a + bi, se definen los siguientes: * El conjugado de es a bi ( la parte real es igual y la parte imaginaria es opuesta) * El opuesto de es a bi (la partwe real y la parte imaginaria son opuestas) Ejemplos: 1 1 i i i 4 i 4 i 4 i Ejercicio 4: Completen el siguiente cuadro: ⅔ + ¾ i 6 i 3 ½ i i 5 i REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN N COMPLEJO Ejercicio 5: Representar los siguientes números complejos: 1 1 i 3 + i 3 3i Ejercicio 6: Dado ellos? 5 3 i, graficar,,,. Qué relación existe entre 3

4 MÓDULO Y ARGUMENTO Ejercicio 7: Hallar el módulo y el argumento de los siguientes complejos y graficarlos: a) 5 i b) 3 + ½ i c) ⅔ + i d) 1 i FORMAS DE REPRESENTAR UN NÚMERO COMPLEJO * Forma Binómica: + 3 i * Forma Cartesiana: ( ; 3 ) * Forma Polar: (, α ) donde es el módulo, α el argumento ² + 3² 13 ; α arctg(3/) ( 13, ) * Forma Trigonométrica:. (cos α + i sen α ) módulo α argumento 13.(cos i sen ) Verificamos : 3,605. ( 0,554 + i 0,83) 1,999. +,999 i ( aprox + 3i) Ejercicio 8: Expresar los siguientes complejos en forma polar: a) 3 i b) 5 i c) ( ; ) d) ( 3, 3 ) 4

5 Ejercicio 9: Expresar en forma trigonométrica los n complejos del ej 8 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS En los siguientes ejemplos pueden observar cómo sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos números complejos: Suma: ( + 3 i ) + ( 1 5 i ) ( + 1 ) + ( 3 5 ) 3 i Resta: ( + 3 i ) ( 1 5 i ) ( 1 ) + ( 3 ( 5) i) i Multiplicación: ( + 3 i ). ( 1 5 i ) ( 5i) + 3 i.1 + 3i.( 5i) 10 i + 3 i 15 i² 17 7 i (recordar que i² 1) División: Para resolver la división de dos números complejos, siendo el divisor no nulo, multiplicamos a ambos por el conjugado del divisor, del siguiente modo: + 3i + 3i 1+ 5i + 10i + 3i + 15i² i i 1 5i 1 5i 1+ 5i 1² (5i)² 1+ 5 Multiplicar por una fracción de igual numerador y denominador es como multiplicar por 1, por lo tanto, la igualdad no se altera. Ejercicio 10: Consideren los complejos: 1 + i ; i ; 3 4 i y resuelvan las siguientes operaciones: a) b) c) 1 3 d) 5. 3 e) ( 1 + ). 3 f) ( 1 + ).( 1 3 ) g) 1. 3 h) ( 3 )² Ejercicio 11: Consideren los complejos: 1 3 i ; 4 i ; i resuelvan las siguientes divisiones: a) b) c) d) e) 16. f) Ejercicio 1: Completen las potencias de i: y 0 i Qué regularidad observan? 5

6 Ejercicio13: Calcular las siguientes potencias: a) e) i) i 33.i b) f) ( i 1 ) 4 j) i 0 : i 3 4 c) g) ( 3 ) 5 7 k) x + 1 i 69 d) h) ( 9 ) 7 3 l) x i EJERCITACIÓN 14) Adición y Sustracción de Números Complejos: a) ( i ) + ( 8 + i ) + ( i ) R: (, 10) b) ( i ) ( 3 4 i ) ( 5 + i ) R: ( 9, 7 ) c) ( 1 + ½ i ) + ( 3 3/ i ) + ( 4 + i ) R: ( 0 ) d) ( 8 + ) i ) + ( i) 4 10 R: ( 10 + i ) e) ( + i) + ( i) + ( + i) + ( i) R: ( i ) 3 i 3 i f) ( + ) + ( ) + ( + i) + ( i) 15) Multiplicación y División de Números Complejos: R: ( 3 + ) a) ( 10 + i ). ( i ) R: ( 156 i ) b) ( 5 + i ). ( 5 + i ) R: ( 9 ) c) ( 1 + i ). ( 1 i ) R: ( ) 3 4 d) i. 5 3 R: (4/5) e) ( + 3 i). ( 3 + i ) R: (5 i ) f) ( + i ).( + 4i).( i) 3 R: ( i ) 6

7 g) ( 4 + i ) : ( 1 + i ) R: ( i ) h) ( 1 + i ) : ( 1 i ) R: ( i ) i) (4 + i ) : R: ( 4 i ) 1 1 j) ( + i) : ( + i) R: ( i ) k) ( + 3 i) : ( 3 i ) 1 6 R: ( + i ) ) Potencia de Números Complejos: a) i 60 b) i 60 c) i 77 d) i 104 e) ( i ) 57 f) ( i ) 13 g) ( 1 + i )² (R: i) h) ( 4 3 i)² (R: 7 4 i) i) ( + i )² (R: + i ) j) ( + i )² (R: + i ) ) Ejercicios combinados en C: a) 47 (1 + i)². i (3 i) ( + i) 1 3 (R: + i ) d) i³ i + 3 i 1 i 5 b) 53 i (3 + i) (3 i) (4 + i) + ( + i) 5 + i i (1 + i)² (R: ) e) + 13 (1 i)² i + 1 ( i).( + i)² c) 39 i.(3 i) (R: 7 + 4i ) f) 13 ( + 1 i i)² 18) Ecuaciones en C: Hallar el valor de : a). ( 3 i ) + ( i ) 3 i R: ( 1 + i ) b) ( 1, ) ( 1, 1 ) R: (, 1) c) (, 3 ) + ( 1, ) R: ( 3, 5 ) d) (, ) + (, 3 ) R: ( 0, ) e) ( 1 i ). 1 + i R: ( 1 ) f) + (, 1) (, ) R: ( 6, 1 ) (, ) 7

8 g) (, ). ( 8, ) ( 0, ) R: (, ) ( 3, 3) h) + ( 1, 0 ) ( 3 + 1, 3 ) R: ( 0, 1 ) i) i + 3 i R: ( 3 3 i ) j) ( 3 i ). ( + 3 i ). i 1 5 R:( i ) k) + i + 3 i R: ( /3i) 1+i 1 l) ( 1 + i ) i R: ( i) ll) + i R: ( i) 1 i 1 3 m) 1+ i R: ( i) + i i n) 1+ i R: ( 1 i ) 1 + i o) i R: ( ) i p) 3 i ( 3 i ) R: ( 1 ) 8