Tema 1. Emilio Muñoz Velasco. Álgebra Lineal. Escuela Ing. Industriales. Universidad de Malaga Departamento de Matemática Aplicada.

Transcripción

1 . y Tema 1. Emilio Muñoz Universidad de Malaga Departamento de Matemática Aplicada Álgebra Lineal. Escuela Ing. Industriales Tema 1. 1 / 47

2 . y Ejemplo de motivación El campo gravitatorio o del campo eléctrico, que son campos y se utilizan para asignar a cada elemento de un espacio vectorial (el plano, el espacio), un vector asociado con magnitud vectorial: fuerza, intensidad de corriente, etc. En Mecánica de Fluidos, el fluido, bajo ciertas condiciones, se modeliza como un medio continuo y así se definen magnitudes que dan lugar a campos. En la Mecánica Estructural, se modelizan las tensiones en el seno del material utilizando los espacios, como el tensor de tensiones o el tensor de deformaciones. En los Control, utilizados, por ejemplo, para controlar el vuelo de un avión. Las señales de entrada y salida de un sistema de control son funciones, que deben poder sumarse y multiplicarse por números, formando un espacio vectorial. Tema 1. 2 / 47

3 . Ejemplo de motivación y bases y Las vibraciones de un edificio pueden descomponerse en distintos modos de vibración (vibraciones siguiendo una línea o un plano determinados). En cada modo de vibración podemos operar vectorialmente obteniendo elementos del mismo modo de vibración ( vectorial). Dada una determinada vibración, resulta interesante saber si pertenece a un determinado modo de vibración. Es decir, si es combinación lineal de elementos de ese modo de vibración. Puede ser importante obtener con algunos elementos básicos (bases), que nos permitan obtener todos los elementos de un determinado modo de vibración a partir de ellos. Tema 1. 3 / 47

4 . Ejemplo de motivación y Explotación petrolera. Cuando un barco busca depósitos submarinos de petróleo, diariamente sus ordenadores resuelven miles de sistemas de por separado. Programación lineal. En la actualidad, muchas decisiones administrativas importantes se toman con base en modelos de programación lineal que utilizan cientos de variables. (aerolíneas) Redes eléctricas. Los ingenieros utilizan programas para la simulación y diseño de circuitos eléctricos y microchips. Estos programas utilizan los sistemas de. El diseño de imágenes por ordenador, por ejemplo para videojuegos, requiere la resolución de miles de sistemas de que representan la posición de cada pixel. Tema 1. 4 / 47

5 . Ejemplo de motivación Ejercicios de aplicación de sistemas de Solution: circuito: The number y of loop currents required is 3. Calcula las intensidades de corriente I 1, I 2 e I 3 del siguiente We will choose the loop currents shown to the right. In fact these loop currents ar mesh currents. Write down Kirchoff s Voltage Law for each loop. The result is the following sy of equations: Tema 1. 5 / 47

6 . Ejemplo de motivación Ejercicios de aplicación de sistemas de Problem 2 Calcula el número de vehículos x 1,..., x 5 circulando en Find all the x s estain red the following de carreteras. traffic network y Solution Cambio set de up basea linear system describing how many enter and exit at each intersection (A, B C, D) Tema 1. 6 / 47

7 . y y sistemas de Una (real) m n es una tabla A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) formada por m filas y n columnas de números reales. Llamamos M m n (R) al conjunto de las A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) donde los elementos a ij R. Dado un sistema de Ax = b, donde A M m n (K) y b K m, representaremos por (A b) la ampliada obtenida añadiendo a la A la columna formada por los elementos de b. Tema 1. 7 / 47

8 . Ejemplos y Tema 1. 8 / 47

9 . y Operaciones con Llamamos M m n (R) al conjunto de las A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) donde los elementos a ij R. Podemos definir las siguientes operaciones de : Suma: A, B M m n (R), entonces A + B = (a ij + b ij ). Producto de un número real por una : Si a R y A M m n (R), entonces a A = (a a ij ). Producto de : Si A M m n (R) y B M n p (R) entonces ( n ) AB = a ik b kj M m p (R) k=1 Tema 1. 9 / 47

10 . y Propiedades de las operaciones con 1 A + (B + C) = (A + B) + C 2 A + 0 = 0 + A = A 3 A + ( A) = ( A) + A = 0 4 A + B = B + A 5 a (A + B) = a A + a B Ojo: 6 (a + b) A = a A + b A 7 a (b A) = (a b) A 8 1 A = A 9 A(BC) = (AB)C 10 AI = IA = A Para poder multiplicar dos, el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda. Además, el resultado de la multiplicación tendrá tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda. Ojo: El producto de no es conmutativo. Tema / 47

11 . Cómo resolver un sistema de? y Una idea consiste en sustituir el sistema dado por otro sistema equivalente al anterior y que sea más fácil de resolver. Dos sistemas de son equivalentes, si tenen las mismas soluciones. El método de Gauss consiste en transformar la ampliada del sistema en una escalonada por filas. El método de Gauss-Jordan consiste en transformar la ampliada del sistema en una escalonada por filas reducida. Tema / 47

12 . y Diremos que una es escalonada por filas si cumple la siguientes condiciones: el primer elemento no nulo de cada fila tiene obligatoriamente ceros por debajo de él. cada cero a la izquierda del primer elemento no nulo tiene debajo ceros k k k j Diremos que una es escalonada por filas reducida si es escalonada por filas y, además verifica: el primer elemento no nulo de cada fila es un 1. los elementos que están en la misma columna que el primer 1 de cada fila son todos ceros. Tema / 47

13 . y Ejemplos Las siguientes son : Ninguna es escalonada por filas reducida. Las siguientes son reducidas: Tema / 47

14 . y Transformaciones elementales Tipo I: Intercambiar dos filas. Cómo obtener? Transformaciones elementales Tipo II: Multiplicar una fila por un número distinto de cero. Tipo III: Sumar a una fila por otra fila multiplicada por un número. Definición Dos son equivalentes por filas si una de ellas se puede obtener a partir de la otra realizando transformaciones elementales. Tema / 47

15 . Teorema: y Toda es equivalente por filas a una escalonada por filas. Además, siempre existe una escalonada por filas reducida equivalente a ella que, de hecho, es única. Teorema: Las equivalentes representan sistemas equivalentes, es decir, con las mismas soluciones. Resumiendo: El método de Gaus (Gauss-Jordan) consiste en encontrar una escalonda por filas (reducida) que sea equivalente por filas a la ampliada del sistema. Tema / 47

16 . y Un método efectivo para conseguir la escalonada por filas equivalente a una dada Algoritmo: 1 En cada fila, los ceros a la izquierda del primer elemento no nulo tienen que tener ceros debajo. Si no lo tienen, hay que cambiar filas. 2 Empezando por la primera fila, con el primer elemento no nulo hacer ceros debajo de él, usando transformaciones elementales, dejando la primera fila intacta. 3 Repetir los pasos 1 y 2 con la segunda, tercera,... filas hasta llegar a la última fila y obtener la escalonada por filas. Tema / 47

17 . y Algoritmo: Un método efectivo para conseguir la escalonada por filas reducida equivalente a una dada 1 Aplicar el algoritmo anterior para conseguir la escalonada por filas. 2 Obtener en cada fila un 1 en el primer elemento no nulo. Si es necesario, multiplicar la fila por el inverso del número. 3 Empezando por la primera fila, con el primer 1 hacer ceros por encima de él, usando transformaciones elementales, dejando la primera fila intacta. 4 Repetir los pasos 1 y 2 con la segunda, tercera,... filas hasta llegar a la última fila y obtener la escalonada por fila reducida. Tema / 47

18 . Ejemplo y Tema / 47

19 . y Definición Dependencia e Independencia lineal Llamamos combinación lineal, CL, de filas (o columnas) F 1, F 2,..., F k de una a una expresión de la forma a 1 F 1 + a 2 F a k F k donde los a i son números reales. Definición Diremos que un conjunto de filas (o columnas) de una es linealmente independiente, LI, si ninguna de ellas se puede expresar como CL de las restantes. En caso contrario, se dice que el conjunto de filas (o columnas) es linealmente dependiente, LD. Tema / 47

20 . En el caso de sistemas... y Idea clave: Si consideramos la ampliada de un sistema, las filas LI son aquéllas que no se pueden obtener a partir de las demás haciendo transformaciones elementales. Consecuencia: Las filas LI de la de un sistema representan la información relevante a la hora de resolver dicho sistema. El resto de filas puede ser eliminado sin afectar a la solución. Por ello, es interesante conocer el número máximo de filas LI de una. Tema / 47

21 . y Definición Rango de una Llamamos rango por filas (columnas) de una al número máximo de filas (columnas) LI. Teorema: 1 El rango por filas de cualquier es igual a su rango por columnas. A dicho número le llamamos simplemente rango, r(a), de la A. 2 Las equivalentes tienen el mismo rango. 3 El rango de una escalonada por filas es el número de filas distintas de cero. Consecuencia: Para calcular el rango de una, haremos transformaciones elementales hasta conseguir una escalonada por filas equivalente a ella. El rango de la será el número de filas no nulas de la escalonada por filas equivalente a ella. Tema / 47

22 . y Teorema: Dado un sistema Ax = B de m con n incógnitas: Si r(a) r(a B), entonces el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución. Si r(a) = r(a B) y, además: r(a) = n, el sistema es compatible determinado, CD, es decir, tiene solución única. r(a) < n, el sistema es compatible indeterminado, CI, es decir, tiene infinitas soluciones. Observaciones: Los sistemas homogéneos Ax = 0, siempre tienen, como mínimo, la solución trivial. Tendrán soluciones distintas de la trivial si, y sólo si, son CI, es decir, si y sólo si r(a) < n. En los sistemas CI, la solución dependerá de parámetros que toman valores en R. El número de parámetros se puede obtener con la fórmula: n o parám. = n o incog. r(a). Tema / 47

23 . y Idea clave: Idea de la demostración El sistema será compatible si y sólo si, la última columna de la ampliada es CL de las restantes. Es decir, el sistema será compatible si y sólo si, el rango (por columnas) de la de los coeficientes es igual al rango de la ampliada. Tema / 47

24 . Ejemplo Sistema Compatible Determinado y Tema / 47

25 . Ejemplo Sistema Compatible Indeterminado y Tema / 47

26 . Ejemplo Sistema Incompatible y Tema / 47

27 . y Ejercicios para practicar Estudia la compatibilidad y resuelve, cuando sea posible, los sistemas de siguientes utilizando los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan. 2x + 3y + z = 2 x + z = 2 4x + 4y + z = 2 2x + 3y + z = 1 x + 2y + 3z = 0 3x + 5y + 4z = 1 2x + 3y + z = 1 x + 2y + 3z = 0 3x + 5y + 4z = 6 Tema / 47

28 . y Resuelve el sistema AX = B, para X = casos siguientes: ( 0 0 A = 3 0 ( 0 0 A = 3 0 ( 0 0 A = 3 0 ) ; B = 0. ) ( 0 ; B = 2 ) ; B = ( 1 2 Ejercicios para practicar ). ). ( x y ), en los Tema / 47

29 . y Definición: Dada una cuadrada A, llamamos inversa de A a otra cuadrada del mismo tamaño A 1, que verifica AA 1 = A 1 A = I, siendo I la identidad. Teorema: Dada una cuadrada A de tamaño n, las siguientes condiciones son equivalentes: A tiene inversa. r(a) = n. det(a) 0. A es equivalente por filas a la identidad. Tema / 47

30 . Desvelando la magia del método de Gauss-Jordan para calcular la inversa Scanned with CamScanner y En realidad: Al hacer transformaciones elementales, estamos multiplicando por unas llamadas elementales E k E k 1... E 1. Por tanto: E k E k 1... E 1 A = I A 1 = E k E k 1... E 1 Tema / 47

31 . y Definición: Llamamos espacio vectorial sobre un cuerpo K a un conjunto V con dos operaciones suma (+) (interna) y un producto ( ) (externa) tales que: + verifica las siguientes propiedades: ( u + v) + w = u + ( v + w) (Asociativa). v + 0 = 0 + v = v (Elemento neutro). v + ( v) = ( v) + v = 0 (Elemento opuesto). u + v = v + u (Conmutativa). verifica las siguientes propiedades: λ( v + w) = λ v + λ w para λ K y v, w V. (λ + µ) v = λ v + µ v para λ, µ K y v V. (λµ) v = λ(µ v) para λ, µ K y v V. 1 v = v para v V (siendo 1 la unidad en K). Representaremos por (V, +,, K) al espacio vectorial y llamamos vectores a los elementos de V y escalares a los elementos de K. Tema / 47

32 . Ejemplos de espacios y (R n, +,, R) es el espacio vectorial real de dimensión n. El conjunto (M m n, +,, R) de las reales de tamaño m n forma un espacio vectorial de dimensión m n sobre R. El conjunto P de polinomios con coeficientes reales, entonces (P, +,, R) es un espacio vectorial de dimensión infinita. Tema / 47

33 . y Definición Dependencia e Independencia lineal de vectores Llamamos combinación lineal, CL, de los vectores v 1, v 2,..., v n a cualquier expresión de la forma λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n donde λ i son escalares. Definición Ojo: Diremos que un conjunto de vectores es linealmente independiente, LI, si ninguno de ellos se puede expresar como CL de los restantes. En caso contrario, se dice que el conjunto de vectores es linealmente dependiente, LD. El máximo número de vectores LI de un conjunto coincide con el rango de la formada por dichos vectores. (Compara con la transparencia 19). Tema / 47

34 . y Teorema: Sea V un espacio vectorial, entonces: 1 Si v 0, entonces { v} es LI. 2 Todo sistema de vectores que contenga el 0 es LD. 3 Si S es un sistema de vectores LI. y S S, entonces S es LI. 4 Si S es un sistema de vectores LD y S S, entonces S es LD. 5 Si S es un sistema de vectores LI y S { v} es LD, entonces v es CL de los vectores de S. Tema / 47

35 . y Definición Subespacio vectorial Dado un espacio vectorial V, diremos W V, W es vectorial, SV, de V, si verifica: para cada v, w W se tiene v + w W. para cada v W y λ K se tiene λ v W. O, equivalentemente: λ v + µ w W para cada λ, µ K y v, w W Observaciones: En un vectorial, cualquier CL de sus vectores tiene que ser un elemento del. { 0} y V son s de V, llamados s triviales. El resto se llaman s propios. Tema / 47

36 . y Si V = R 2, W = {(x, y) y = mx}, siendo m un número real, es un vectorial. Ejemplos Si V = R 3, W = {(x, y, z) ax + by + cz = 0}, siendo a, b, c números reales, es un vectorial. Si V = R 2, W = {(x, y) x + y = 1} no es un vectorial. Si V = P es el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales, entones W = P n el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n es un vectorial. Tema / 47

37 . y Teorema: Sistema generador de un Dado un conjunto de vectores S = { v 1, v 2,..., v n} del espacio vectorial V, el conjunto L(S) = v 1, v 2,..., v n formado por todas las combinaciones de dichos vectores forma un vectorial de V. Definición Se llama generado por el conjunto de vectores S al formado por todas las combinaciones de dichos vectores. También decimos que { v 1, v 2,..., v n} es un sistema generador, SG, de dicho. Ejemplo: Si V = R 4 y W = (1, 2, 0, 0), (0, 3, 1, 0), entonces los vectores de W son de la forma: (x, y, z, t) = λ(1, 2, 0, 0)+µ(0, 3, 1, 0), donde λ y µ son escalares. obteniéndose la ecuación vectorial del W. Tema / 47

38 . y Definición Base de un vectorial Llamamos base de un vectorial W a un conjunto de vectores B de W que es: linealmente independiente sistema generador de W Ejemplos: 1 El conjunto de vectores {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R 3, a la que llamamos base canónica de R 3. 2 En el de R 4 siguiente W = (1, 2, 4, 3), ( 2, 1, 1, 0), (3, 3, 3, 3) una base de W estaría formada por cualesquiera dos vectores del sistema generador. Tema / 47

39 . y Teorema: Coordenadas y dimensión Todas las bases de un tienen el mismo número de vectores, llamado dimensión del. Convenio: Aceptamos que el trivial { 0} tiene dimensión 0. Teorema: Si B = { v 1, v 2,..., v n} es una base de un vectorial, cada vector v del se puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores de B. v = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n y se dice que (λ 1, λ 2,..., λ n) son las coordenadas del vector v respecto de la base B. Tema / 47

40 . y Ecuaciones cartesianas de un vectorial Las cartesianas de un vectorial forman un sistema de lineal y homogéneo que representan las condiciones que tienen que verificar las coordenadas del vector para pertenecer al. Ejemplo. Las cartesianas del W de R 4 son: } x + y + 2t z = 0 z y t = 0 Esto significa que, por ejemplo, el vector (0, 2, 2, 0) pertenece a W, ya que verifica las. Sin embargo, el vector (0, 0, 5, 2) no pertenece al. Tema / 47

41 . Del SG a las paramétricas y Tema / 47

42 . y Ejemplo. De las cartesianas a las paramétricas Las cartesianas del W de R 4 son: } x + y + 2t z = 0 z y t = 0 Resolviendo el sistema de obtenemos que: x = β y = α β z = α t = β que son las paramétricas de W. De ahí obtenemos la ecuación vectorial: (x, y, z, t) = α(0, 1, 1, 0) + β( 1, 1, 0, 1), es decir, que {( 1, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0)} es un SG de W. Además como el rango de la formada por {( 1, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0)} es 2, tenemos que el conjunto es LI y SG, y por tanto una base de W. Como la base de W tiene 2 elementos, se verifica dim W = 2. Tema / 47

43 . De las paramétricas a las cartesianas Dado el W de R 4 : x = α y = 2α + 3β z = β t = 0 y Tema / 47

44 . y Definición Intersección Dados dos s V 1 y V 2 de V, se define su intersección V 1 V 2 como sigue: V 1 V 2 = { v V v V 1 y v V 2 } que es también un vectorial de V. Idea: Una forma de calcular las cartesianas de la intersección de dos s es unir las cartesianas de cada uno de ellos. Tema / 47

45 . y Definición Suma Dados dos s V 1 y V 2 de V, se define su suma: V 1 + V 2 = { v 1 + v 2 v 1 V 1 y v 2 V 2 } que es un el menor vectorial que contiene a V 1 V 2. Si V 1 V 2 = { 0}, a la suma la llamamos suma directa y se representa por V 1 V 2. Ideas: La unión no es vectorial. Una forma de calcular un sistema generador del suma es unir los sistemas generadores de cada uno de los s. Teorema: Dados dos s V 1 y V 2 de V, se tiene que: dim (V 1 + V 2 ) = dim V 1 + dim V 2 dim (V 1 V 2 ) Tema / 47

46 . y en R 2 Si B 1 = { v 1, v 2 } y B 2 = { w 1, w 2 } son bases de R 2, dado cualquier vector v R 2 sus coordenadas respecto de cada una de las bases serán: v = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 (1) v = µ 1 w 1 + µ 2 w 2 (2) Para encontrar la relación entre ambas coordenadas, calculamos las coordenadas de los vectores de B 1 respecto de B 2 : v 1 = a 11 w 1 + a 21 w 2 v 2 = a 12 w 1 + a 22 w 2 Sustituyendo v 1 y v 2 en la ecuación (1) y operando: v = λ 1 (a 11 w 1 + a 21 w 2 ) + λ 2 (a 12 w 1 + a 22 w 2 ) v = (λ 1 a 11 + λ 2 a 12 ) w 1 + (λ 1 a 21 + λ 2 a 22 ) w 2 (3) Igualando (2) y (3) y utilizando que las coordenadas de un vector respecto de una base son únicas: ( ) ( ) ( ) a11 a 12 λ1 µ1 = a 21 a 22 λ 2 µ 2 donde la cuadrada e inversible P se denomina del cambio de base de B 1 a B 2 y nos permite obtener las coordenadas de cualquier vector respecto de B 2 conociendo sus coordenadas respecto de B 1. Tema / 47

47 . Ejemplo y Tema / 47