Algebra Lineal: Espacios Generados. Departamento de Matemáticas. Intro. E. Generado. Ejemplos. Contención. Ejemplos. Nota.

Transcripción

1 Algebra

2 ducción Después combinación lineal, el segundo concepto clave en Algebra Lineal es el concepto espacio generado. Existen dos formas llegar a este concepto. Si en lugar responr si el sistema [A b] tiene solución para un vector b particular, nos preguntamos para qué vectores b el sistema será consistente. Esto lleva a todas las combinaciones lineales que se puen formar con las columnas la matriz A. Una segunda manera llegar al concepto es resolviendo un sistema ecuaciones que tiene infinitas soluciones.

3 Suponga que sea resolver el sistema homogéneo: x 2y + 3z + 2w + t = 3x y + 2z + 4w + 3t = 2x 6y + 8z 2t = x + 3y 4z + t = 2x + y z + 2w + 2t = Al reducir la matriz aumentada l sistema obtenemos: x y z w t ctes rref x y z w t ctes /5 6/5 7/5 2/5

4 Amás que nuestro sistema es consistente, observamos que tiene columnas variables sin pivote, y por consiguiente, tiene variables libres: lo que nos lleva a concluir que el sistema ecuaciones tiene infinitas soluciones. Determinemos la fórmula general para todas las soluciones. Para ello bemos convertir cada reglón no cero en una ecuación: Despejando las variables fijas: x + 5 z w + t = y 7 5 z 2 5 w = x = 5 z 6 5 w t y = 7 5 z w

5 Escribiendo el resultado en forma vectorial: 5 z 6 5 w t x 7 y z w = 5 z w z t w t

6 es cir, que la fórmula para la solución general es: x 7 2 y z w = z w + t t para z, w y t escalares libres. Es cir, que en el caso tener infinitas soluciones a un SEL homogéneo, la forma que tiene el conjunto solución es c v + + c k v k don los coeficientes c i son libres.

7 Suponga que se sea resolver el sistema: x 3 y + z w = 2 x 3 y 5 z 2 w = 2 x 6 y 4 z 3 w = 3 x + 3 y 7 z = 3 Al formar la matriz aumentada l sistema y reducir obtenemos: rref

8 Aplicando el proceso visto en el ejemplo previo para obtener la solución general obtenemos: que todas las soluciones al SEL planteado se obtienen la fórmula: x y = z w y + w 6, 6 don y y w son variables libres. Es cir, que el caso que se tenga un SEL no homogéneo con infinitas soluciones la fórmula que tiene el conjunto solución es: v o + c v + + c k v k don las constantes c i puen tomar cualquier valor.

9 Espacio Generado El conjunto formado por todas las combinaciones lineales los vectores v, v 2,..., v k en R n se llama espacio generado por los vectores v, v 2,..., v k. Este conjunto se representa por Gen {v, v 2,..., v k }. Es cir, es el conjunto formado por todas las combinaciones lineales c v + c 2 v c k v k don c,c 2,...,c k son escalares libres. Si V = Gen {v, v 2,, v k } se dice que los vectores v, v 2,..., v k generan a V y que {v, v 2,..., v k } es un conjunto generador V. Observe que x es elemento Gen {v, v 2,..., v k } si y sólo si x es una combinación lineal entre los vectores v, v 2,..., v k. Buscar en el generado, es buscar en las combinaciones lineales.

10 Indique si el vector x =< 2, 3, > pertenece al espacio V = Gen {y =<, 2, >, y 2 =< 3, 5, >}. Solución El vector x pertence a V si y sólo si x es una combinación lineal los vectores y y y 2 ; es cir, si y sólo si existen escalares c y c 2 para los cuales: x = c y + c 2 y 2 Esto se convierte en un sistema con matriz aumentada y que reduciéndola: Como el sistema es inconsistente, no puen existir c y c 2 que cumplan la relación, y por tanto, x no es combinación lineal y y y 2 ; y por tanto, x no pertence al espacio generado V.

11 Indique para qué valor l parámetro a el vector x =< 2, 3, a > pertenece al espacio V = Gen {y =<, 2, >, y 2 =< 3, 5, >} Solución El vector x pertence a V si y sólo si x es una combinación lineal los vectores y y y 2, es cir, si y sólo si existen escalares c y c 2 para los cuales: x = c y + c 2 y 2 Al formar la matriz aumentada l sistema y escalonarla queda a a + Recuer que cuando una matriz tiene variables, no conviene usar rref porque se puen hacer divisiones entre expresiones que puen ser cero: se be escalonar paso a paso.

12 De aquí vemos que la única posibilidad para que el sistema sea consistente es que en el último renglón no exista pivote; por tanto, a + = = a = Nuestra conclusión es que 2 3 Gen a 2, 3 5 a =

13 Una pregunta que pue ser fundamental es si es posible reducir el número vectores que aparecen en el conjunto generador un espacio generado. Dicho en términos sencillos: qué se be cumplir para que Gen {x, x 2, x 3 } = Gen {x, x 2 }? Esto es: bajo qué condiciones es posible eliminar un vector un conjunto generador y seguir generando el mismo espacio sin él?. El resultado sobre esto es: Teorema Gen {x, x 2,..., x k, x k+ } = Gen {x,..., x k } si y sólo si x k+ Gen {x, x 2..., x k } Es cir, para remover un vector un conjunto generador y seguir generando el mismo espacio es suficiente y necesario que el vector a remover sea combinación lineal los vectores que quedarán en el conjunto generador

14 Demostración Suficiencia: Supongamos que x k+ = k i= c i x i. Si y es un vector en Gen {x, x 2,..., x k, x k+ }. Entonces y = a x + + a k x k + a k+ x k+ si sustituimos la fórmula x k+ en la fórmula anterior tenemos: k y = a x + + a k x k + a k+ c i x i al sarrollar y reagrupar nos queda: y = (a +a k+ c ) x +(a 2 +a k+ c 2 ) x 2 + +(a k +a k+ c k ) x k Por lo tanto, y Gen {x,..., x k }; y así i= Gen {x, x 2,..., x k, x k+ } Gen {x,..., x k } Como Gen {x,..., x k } Gen {x, x 2,..., x k, x k+ }, concluimos que Gen {x, x 2,..., x k, x k+ } = Gen {x,..., x k }

15 Demostración Suficiencia. Supongamos que Gen {x, x 2,..., x k, x k+ } = Gen {x,..., x k }. Por tanto, toda combinación lineal los vectores x,x 2,...,x k,x k+ lo es también los vectores x,x 2,...,x k. En particular, lo es también por lo tanto x k+ = x + + x k + x k+ x k+ Gen {x,..., x k }

16 Ejemplo Determine cuáles vectores puen eliminarse l conjunto generador y seguir generando el mismo espacio si V es el espacio Gen v = 2, u = 2 4 2, x =, y = 2

17 Ejemplo Determine cuáles vectores puen eliminarse l conjunto generador y seguir generando el mismo espacio si V es el espacio Gen v = 2, u = 2 4 2, x =, y = 2 De acuerdo al resultado previo, bemos ir intificando qué vectores son combinación lineal los que se van quedando para por eliminarlos. Primero pensemos en eliminar y; veamos si es combinación lineal los restantes resolviendo: [v u x y] = rref 2 Como el sistema es consistente (que tengo solución única o infinitas no es relevante), y es combinación lineal los que se quedan y por tanto, pue removerse.

18 Concluimos que: V = Gen {v, u, x, y} = Gen {v, u, x}

19 Concluimos que: V = Gen {v, u, x, y} = Gen {v, u, x} Y nuestra pregunta se repite: pomos eliminar otro vector l nuevo conjunto generador seguir generando V? Intentemos eliminar x. Para ello, armamos nuestra aumentada y reducimos: [v u x] = rref 2 Siendo inconsistente el sistema, tenemos la garantía que si eliminamos x no generaremos V (por lo menos x no estará en el espacio que generemos al quitarlo).

20 Concluimos que: V = Gen {v, u, x, y} = Gen {v, u, x} Y nuestra pregunta se repite: pomos eliminar otro vector l nuevo conjunto generador seguir generando V? Intentemos eliminar x. Para ello, armamos nuestra aumentada y reducimos: [v u x] = rref 2 Siendo inconsistente el sistema, tenemos la garantía que si eliminamos x no generaremos V (por lo menos x no estará en el espacio que generemos al quitarlo). Pomos también en quitar u. [v x u] =

21 Concluimos que: V = Gen {v, u, x, y} = Gen {v, u, x} = Gen {v, x} Si buscamos eliminar x o v veremos que no es posible. Todos los cálculos anteriores puen hacerse en sólo uno: Con los vectores iniciales tomados como columnas se forma una matriz. A esta matriz se lleva a la forma reducida. Los vectores cuya posición tiene elemento pivote son los vectores que ben conservarse para el generador. Aquellos vectores en cuya columna no queda pivote son combinación lineal los restantes puen eliminarse.

22 Si los espacios generados son en general infinitos, cómo compararlos? Teorema Si V = Gen {x,, x m }, y W = Gen {y,, y k } son conjuntos vectores en R n. Todo vector x i (i =, 2,..., m) pertence a W si y sólo si V W. Los elementos un conjunto generador un espacio generado son como sus anclas: para que otro espacio generado W lo contenga, basta y sobra que contenga todas sus anclas. W x 3 x V x 2 R n

23 Diga si U V, V U, U = V, o no son comparables entre si, don 3 2 U = Gen u = 2, u 2 = 6, u 3 = V = Gen v = 4 8 4, v 2 =

24 Veamos si U V : De acuerdo al resultado previo bemos ver si todo u i V. Para ello construimos 4 /4 [v, v 2 u ] = [v, v 2 u 2 ] = [v, v 2 u 3 ] = Como cada sistema es consistente u i V y así U = Gen {u, u 2, u 3 } V. 3/4 /2

25 Veamos si V U: De acuerdo al resultado previo bemos ver si todo v i U. Para ello construimos [u, u 2, u 3 v ] = [u, u 2, u 3 v 2 ] = Así al ser consistente el primer sistema se verifica que v U, pero al ser inconsistente el segundo sistema v 2 / U. Por lo tanto, V = Gen {v, v 2 } U. Al haber probado las dos contenciones, concluimos que sólo se cumple U V.

26 Note que para verificar que U V, en lugar revisar la consistencia [v v 2 u ], [v v 2 u 2 ], y [v v 2 u 3 ] basta formar la aumentada [v v 2 u u 2 u 3 ]; reducir y ubicar los pivotes: si todos los pivotes están a la izquierda, entonces la contención se cumple: si hay al menos un pivote a la recha, entonces la contención no se cumple. Para que se cumpla la igualdad V = U be verifica rque se cumplen simultáneamente U V y V U.