APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

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1 APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 1. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Encuentre las dimensiones del rectángulo para el cual el área de la ventana es máxima, si el perímetro de la misma debe ser de 1 pie. Anchura =,81 pie Altura =1,78 pie. Se desea construir una tienda de campaña con forma de pirámide de base cuadrada. Un poste de metal colocado en el centro será el soporte de la tienda, se cuenta con S pie de lona para los cuatros lados del albergue y X es la longitud de base. Demuestre que el volumen: poste. 4 x S x V =, alcanza un máximo valor cuando x = veces la longitud del 6. Un hombre que navega en una barca de remos a millas del punto más cercano de una costa recta, desea llegar a su casa, la cual está en la citada costa a 6 millas de dicho punto. El hombre puede remar a razón de mi/h y caminar a 5 mi/h. Qué debe hacer para llegar a su casa en el menor tiempo posible? 4. La potencia de salida P de una batería de automóvil está dada por P = VI I r donde V es el voltaje, I la corriente y r la resistencia interna de la batería. Qué valor de la corriente corresponde a la potencia máxima? 5. Una corriente eléctrica, al fluir por un conductor circular de radio r ejerce una fuerza Kx F = sobre un pequeño imán situado a una distancia x por encima del centro 5 / ( x + r ) del conductor. Probar que F es máxima cuando x = r /. 6. El trabajo realizado por una célula voltaica de fuerza electromotriz constante E y resistencia interna constante r, al pasar una corriente estacionaria a través de una resistencia externa R, es proporcional a E R / ( r + R ). Probar que el trabajo realizado es máximo cuando R = r. 7. Se desea vallar un área rectangular dada en un terreno atravesado por un río recto. Si no es necesaria valla al borde del río, probar que la mínima cantidad de valla exigida corresponde a un rectángulo cuya longitud es doble que su anchura. 8. Hallar las dimensiones del cono circular recto de volumen V mínimo que puede ser circunscrito alrededor de una esfera de radio de 8 pulgadas. 1

2 9. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima A que puede ser inscrito en la porción de la parábola y = 4 px interceptada por la recta x = a. 10. La suma de dos números positivos es 0. Hallar los números si (a) su producto es máximo; (b) la suma de sus cuadrados es mínima; (c) el producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro es máximo. 11. Un muro de 8 pies de altura está a 8 pies de una casa. Hallar la escalera más corta que llegará desde el suelo hasta la casa por encima del muro. 1. Se inscribe un rectángulo en la elipse x / y / 5 = 1 con sus lados paralelos a los ejes de la elipse. Hallar las dimensiones del rectángulo de (a) área máxima y (b) perímetro máximo que puede se inscrito. 1. Probar que una tienda cónica de capacidad dada requiere la mínima cantidad de material si su altura es veces el radio de la base. 14. Probar que el triángulo equilátero de altura r es el triángulo isósceles de menor área que circunscribe un círculo de radio r. 15. La fórmula para la potencia Ρ = IV RI donde V es la fuerza electromagnética en voltios, R la resistencia e I la intensidad de corriente. Hallar la intensidad (amp) que corresponde a un valor máximo de P en una batería con V = 1V y R = 0, 5Ω. P ( 1) = 7 S 16. El área de la superficie de una celdilla en un panal es Cosθ S = 6hS + ; Senθ donde h y S son constantes positivas y θ es el ángulo entre las paredes superiores que interceptan a la altura de la celda. Determine el ángulo que minimiza el área S. 0,955 Rad. 17. Despreciando la resistencia del aire, la trayectoria de un proyectil lanzado con ángulo g Sec θ θ es: y = x + ( Tgθ ) + h 0 θ π donde y es la altura, x la distancia Vo horizontal, g la aceleración de la gravedad, Vo la velocidad inicial y h la altura inicial, sean g = pie / S Vo = 4 pies / S y h = 9 pies. Para qué valor de θ se logra el máximo alcance horizontal? θ = 0,6154 Rad o sea, θ = 5,º

3 18. La potencia eléctrica (en vatios) en un circuito de corriente continua con dos V R1 + R resistencias R 1 y R conectadas en serie, es P =, donde V y R ( R ) 1, se mantienen 1 + R constantes. Qué resistencia R produce la máxima potencia? El pandeo D de una viga de longitud L es D = x 5Lx + L x donde x denota la distancia a un extremo de la viga. Calcular el valor de x que produce el máximo pandeo. 15 x = L x = 0, 578L Intensidad del campo eléctrico en el eje de un anillo uniformemente cargado que Kqx viene expresado por la función E =, donde q es la carga total, k una constante ( x + a ) y a el radio del anillo. Para qué valor de x es máximo E? 1. Calcular dos números positivos donde su producto es 19 y la suma del primero más el triple del segundo es mínima.. En una reacción química el producto formado es catalizador de la reacción. Si Q 0 es la cantidad de sustancia inicial y x la de catalizador formado, el ritmo de reacción es dq = Kx Q0 x. Para qué valor de x es máximo el ritmo de reacción? dx ( ) Q x = 0. Un granjero dispone de valla para cerrar dos corrales rectangulares adyacentes. Qué dimensiones harán que el área encerrada sea máxima? 4. Se llama ventana de Norman a la formada por un semicírculo unido a una ventana rectangular ordinaria. Hallar las dimensiones de una ventana de Norman que tenga 16 pies de diámetro y área máxima. 16 x pies Rect. π + 4 π Un triángulo rectángulo está formado en el primer cuadrante por los ejes coordenados y por una recta que pasa por el punto (1,). Calcular los vértices del triángulo de área mínima. (0,0) (.587,0= (0,6,0)

4 6. Calcular las dimensiones del triángulo isósceles de mayor área que pueda inscribirse en un círculo de radio Hallar las dimensiones del trapecio de área máxima inscrito en un semicírculo de radior. Bases r y π, altura: r 8. Hallar el volumen máximo de un cono circular recto inscrito en un esfera de radior. ( 0, h) π La suma de los perímetros de un triángulo equilátero y un cuadrado de 10. Hallar las dimensiones de ambos de manera que se obtenga un área total mínima ; Se utilizan 0 pies de hilo para formar dos figuras en cada uno de los casos siguientes: Qué cantidad de hilo debe invertirse en cada figura para lograr que el área encerrada por ambas sea máxima? a. Triángulo equilátero. b. Cuadrado y pentágono regular. c. Hexágono regular y círculo. 1. Dos fábricas están situadas en las coordenadas ( x1,0) y ( x1,0) y su central de suministro de energía en el punto ( o, h). Calcular el valor de y que hace mínima la longitud de la conducción de energía a las dos fábricas. r ( x1,0) ( x 1,0). Una lámpara está situada sobre el centro de una mesa circular de diámetro 4 pies. Hallar la altura h para la cual la iluminación I en el perímetro de la mesa es máxima si K ( Senα ) I = donde K es constante. S 4

5 h S α α 4π. Las secciones de un canal de riego son trapecios isósceles con tres lados de 8 pies de longitud. Determinar el ángulo de elevación θ tal que el área de la sección es máxima. 8 π 8π θ θ 8π Tgθ ( 1 μ Tgθ ) 4. La eficiencia E de un cierto tornillo viene dado por E = donde es el μ + Tgθ coeficiente de rozamiento al deslizamiento y θ el ángulo que forma el plano de inclinación de la hélice del tornillo con un plano perpendicular a su eje. Hallar el valor θ que consigue la máxima eficiencia para = 0, Hallar el punto de la gráfica de = 4 más cercano al punto (,0) f ( x) x La concentración de un fármaco en la sangre t horas después de ser inyectado por vía ( t + t) intramuscular viene dada por C =. Cuándo es máxima la concentración? 50 + t 7. Un hombre está en un bote a millas del punto más cercano de la costa y desea ir al punto Q millas costa abajo y 1 milla tierra adentro. Puede remar a millas/h y caminar a 4 millas/h. Hacia qué punto de la costa debe dirigirse con el fin de llegar a Q en el menor tiempo posible? DÁMASO ROJAS NOVIEMBRE 008 5