Taller 2 cálculo diferencial cdx24: Preparación segundo parcial

Transcripción

1 Taller cálculo diferencial cd: Preparación segundo parcial Profesor Jaime Andrés Jaramillo González ITM 0- Funciones eponenciales logarítmicas. Epresa como un único logaritmo. a) log a log a 0 b) log log b b c) log K log Y c c. Epresa como un producto. a) log a X b) log b t c) log c Y. Epresa en términos de los logaritmos, z. XY a) log a X Y Z b) log a XY Z c) logb Z. Epresa como un logaritmo único de ser posible simplifica. a) log a X log a Y b) log log. Resuelva la ecuación a. log log ( ) b. log log ( ) c. ( ) log log d. log ( ) log e. log ( ) log ( ) f. ( ) ( ) log log. Desafío: encuentre X Y Z,dado que.

2 [ log ( log X )] 0 log [ log ( log Y )] 0 log [ log ( log Z )] 0 log. Calcule el valor de K en cada uno de los siguientes casos: a) log K logk b) log K log K c) log K 8 log K 8. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas:. a) log ( ) X b) log X log X c) log X log X Resuelva la ecuación eponencial: i. ii. iii. 0 iv. v. 0 vi. 8 vii. viii. * 8 i. * i. ( e e) e 0. e ii.. Resuelva la ecuación logarítmica: i. log log ii. log iii. log iv. log, v. log 8 vi. log ( ) log vii. log log 8 0 viii. log log i. log ( ). Resuelva la ecuación:

3 i. log ( ) log ii. ln ln( ) iv. log a ( ) loga ( ) loga ( ) loga ( ) iii. 0 v. vi. 8. vii. ( ) e e viii. iii. ( ) 8 iv. ( ) v.. El crecimiento de cierto cultivo de bacterias puede epresarse mediante la función. 0. t 0.e. Donde es el peso del cultivo en gramos t es el tiempo en horas. Determine: a. Cuál será el peso del cultivo para t0? b. Cuál será el peso del cultivo para t? c. Cuál será el peso del cultivo para t0? d. En qué momento el cultivo tendrá un peso de. gramos?. Suponga que en alguna ciudad la población se duplica cada años. Si a principios de su población era de habitantes a. Cuál era la población a finales de? b. Cuál era la población a finales de 8? c. Si continúa cumpliéndose este patrón de crecimiento, cuál será al finalizar 00? d. Cuál será en 0? e. Cuándo la población será de de habitantes?. Cierto elemento radiactivo tiene una vida media de 0 años. Empezando con 0g, kt después de t años habrá m( t) 0 g. Determine la constante k. Qué cantidad habrá dentro de 000 años? En cuántos años habrán 0g? Nota: vida media de un elemento radiactivo, es el tiempo requerido para desintegrar hasta la mitad cierta cantidad de este. Por ejemplo la vida media del carbono es de 0 años.. Si una pastilla de 00 miligramos de un medicamento para el asma se toma oralmente si nada de esta droga está presente en el cuerpo cuando se toma la primera pastilla, la cantidad total A en miligramos, en el torrente sanguíneo después de t minutos se pronostica que es: t A 00( 0, ) para 0 t 0 a) Trace la gráfica de la ecuación. b) Determine la cantidad de miligramos presente en el torrente sanguíneo, a los minutos de haber ingerido la pastilla.

4 c) Determine el numero de minutos necesarios para que 0 miligramos de la droga haan entrado al torrente sanguíneo.. La tasa de crecimiento de una bacteria común es proporcional a su tamaño. Cuando esta bacteria crece en un medio con nutrientes abundantes, la cantidad de especimenes se duplica cada 0 minutos. i. Si la población inicial es 00, determine la función que eprese el crecimiento eponencial de la cantidad Q(t) de bacterias como función del tiempo t. ii. Si la población inicial fuera 00, cómo se vería afectado el modelo? 8. El odo radiactivo I, que se usa con frecuencia en estudios de rastreo de la glándula t tiroides, se desintegra según N N (0, 0 ), donde N 0 es la dosis inicial t es el tiempo en días. a) Trace la gráfica de la ecuación si N 0 b) Encuentre la vida media del I.. La población mundial al inicio de 0 era de. mil millones de personas. Si la población continúa creciendo con la razón actual de aproimadamente % por año: i. encuentre la función Q(t) que epresa la población mundial (en miles de millones) como función del tiempo t (en años), donde t0 corresponde al inicio de 0. ii. Según este modelo, cuál sería la población mundial al inicio de 00? 0. Cierta región minera tiene una población que está decreciendo según la función: 0.0t P 00e, donde t son los años después de. i. Encuentre la población en 00. ii. En cuantos años la población será de 0 habitantes.. Una máquina se compra en USD se deprecia de manera continua desde la fecha 0.t de compra. Su valor después de t años está dado por la fórmula: V 0000e. b. Determina el valor de la máquina después de 8 años. c. Cuándo su valor será de 000 USD?. La población en una ciudad en el año 000 era de 8,0 personas. Cuándo alcanzará esta ciudad una población de 00,000 habitantes, suponiendo que continúe con una tasa de crecimiento del % anual?. En cuánto tiempo se duplica un capital si se invierte a una tasa del % compuesto anual?. El crecimiento de una colonia de mosquitos sigue un crecimiento eponencial que puede kt ser modelado con la siguiente ecuación A( t) A0 e. Si inicialmente habían 000 mosquitos después de un día la población de éstos aumenta a 800, cuántos mosquitos habrán en

5 la colonia después de días? Cuánto tiempo tendría que pasar para que la colonia tenga 0000 mosquitos?. Un cuerpo en un eperimento, tiene una velocidad, en metros por segundo, dada por: v 80 ; donde t [ 0,00] es el tiempo en segundos, transcurrido después de haber iniciado 0. t e 0 el eperimento. a) Cuál es la velocidad inicial del cuerpo (con t 0) b) Cuál es la velocidad a los minutos? c) A los cuantos segundos de haber iniciado el eperimento, la velocidad será de 8 m/s? d) Trazar la gráfica de la función (usar puntos de la gráfica correspondientes a las respuestas de los puntos anteriores).. Supóngase que el número de bacterias de cierto cultivo t horas a partir de este momento será: N 0,8t ( t) 00e Cuándo habrán bacterias?. La relación de Ehremberg dada por: ln W ln,. 8h Es una fórmula empírica que relaciona la estatura h (en metros) con el peso promedio W(en Kg) para niños entre años de edad. a. Eprese W como una función de h b. Calcule el peso promedio de un niño de años que mide,0 m. c. Cuál debería ser la altura de un niño de 8 años que pesa 0 Kg? Funciones seccionalmente definidas (función por tramos) 8. Determine el dominio dibuje la gráfica de la función a., si < g ( ), si, si > b., si < G ( ), si c., si < 0 F ( ), si 0 <

6 d., si f ( ), si < <, si > e., si < f ( ), si < <, si f., si < f ( ), si Inversa de una función. Determine si la función es o no uno a uno: a. b. c. d. f ( ) f ( ) f ( ), 0 f ( ) > 0. Encuentre la inversa de la función a. b. c. d. f ( ) f ( ), 0 Composición de funciones. Dadas f ( ), 8 g ) h( ) ( determinar: a. ( f o g)( ) b. ( h o g)( ) ( h o f ) o g ( c. ( ) ). Eprese la siguiente función, como combinación de funciones: f ( ). Dadas f ( ) g( ) 8 ; determinar la inversa de la función:

7 a. H ( ) ( f o g)( ) b. H ( ) ( g o f )( ) Límites. Calcule los siguientes límites: a. b. c. d. 0 8 ( ) e. f. 0 ( ) ( ) g. h. i. j. k. 8 ( ) 0 l. ( ) m. ( ) 8 n. 8 8 o. 0 p. q. r. s. t. 8 u. 8

8 . Calcule los siguientes límites: a. b. c. 8 d. 8 e. f. g. h. i. 8 j. k. ( ) l. m. 0 n. o. p. 0 q. r.. Calcule el límite: a. ( ) b. c. d.

9 e. f. g. ( ) h.. Calcule el límite: i. im l j. k. l. m. n. 0 o. p. q. r. s. t Calcule el límite: a. b.

10 c. d. e. f.. Determine si la función tiene asíntotas verticales elabore su representación gráfica a. ( ) f b. ( ) f 0. Determine, para la función, intersecciones con los ejes, asíntotas, signo elabore su representación gráfica: a) ( ) f b) ) ( f c) ( ) ( ) ) ( f d) ( ) 0 f e) ( ) f f) ) ( f g) ( ) 8 f

11 INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y APLICADAS JEFATURA DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS BÁSICAS TALLER CÁLCULO DIFERENCIAL EJE TEMÁTICO : LÍMITES Y CONTINUIDAD OBJETIVO Comprender aplicar el concepto de límite, sus operaciones propiedades para dar solución a situaciones en distintos contetos.. Aplicando las propiedades, evalúe el límite indicado, si eiste A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K. L. M. N.. Si determine el valor de: A. B. C. D. Ejercicios seleccionados por Sergio Alarcón Vasco María Cristina González Mazuelo, profesores de la Facultad de Artes Humanidades del ITM.

12 E. F. G. H.. Evalúe los siguientes límites: A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K. L. M. N. O. P. Q. R. S. T. U. V. W. X. Y. Z. AA. BB.. Determine los siguientes límites trigonométricos. A. B. C. D. E. F. G. H.

13 I. J. K. L. M. N. O. P. Q. R. S. T.. Determine los siguientes límites trigonométricos, usando una sustitución idónea en cada caso. A. B. C. D. E. F. G. H. I.. Dadas las siguientes gráficas de funciones, determine los límites laterales en el punto indicado analice la eistencia del límite. A. B. en en

14 C. D. en en E. F. en en G. H. en en - - -

15 I. J. - en 0 - en 0. Dadas las siguientes funciones, evalúe la eistencia del límite en el punto indicado ì - siá g í en î- si³ A. ( ) ì ï siá- h í- en - ï î si³- B. ( ) ì si f í en î siñ C. ( ) ì siá g í en î siñ D. ( ) E. F. f( ) ìe í îcos si< 0 si³ 0 en G.

16 H. 8. Dada las siguientes funciones, determine el valor de para que el límite eista en el punto indicado. A. ( ) ìa - si³- ï f í en - ï - si<- î. Dada: f B. g( ) ( ) ì ï ï í ï ï î ( -) ( ) A ìe í î0 Determinar: si³ si< si - si-á 0 si0á si³ en A. B. Limf E. Eiste ( ) 0? Justifique su respuesta. C. D. 0. Determine los límites infinitos que se presentan a continuación: A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K. L. M. N.

17 O. Q. R. P. T. U.. Calcule los siguientes límites al infinito: A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K. L. M. N. O. P. Q. R. S. T.. Si está representado por la siguiente gráfica: - - -

18 Determine A. B. C. D. E. F. G. H. I. Eiste el? Justifique su respuesta. J. Eiste el? Justifique su respuesta. K. Eiste el? Justifique su respuesta.. Sea representada por: - A. pertenece al dominio de? Justifique su respuesta. B. Determine C. Eiste el? D. Puede afirmarse que la recta es una asíntota vertical para el gráfico de la función? Justifique su respuesta. 8

19 . Sea representado por: - A. está en el dominio? Justifique su respuesta. B. Determine C. Eiste el? D. Puede afirmarse que en ha una asíntota vertical? Justifique su respuesta. E. Determine. F. Puede afirmarse que la recta es una asíntota horizontal? Justifique su respuesta.. Dadas las siguientes funciones, determine la posición de las asíntotas verticales horizontales, si las tiene: A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K. L.. Proponga una gráfica para, tal que se cumplan las siguientes condiciones: Limf - ( ), Limf( ) - -,

20 Limf - 0 ( ), Limf ( ) 0 Limf 0 ( ),. Proponga la epresión analítica de una función f() que cumpla las siguientes condiciones. Lim - - f ( ) - Lim f( ) - 8. Dadas las siguientes gráficas de funciones, analice la continuidad en el punto indicado. a. b. en c. d. - en - 0 en en 0 e. f. - - en en en 0 0

21 . Analice la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado. A. B. C. D. f ( ) Tan en p p f ( ) en - E. F. G. f() - - H. 0. En cada una de las siguientes funciones determine el valor que debe tomar para que sean continuas en el punto indicado. A. ³ B. ³

22 - < C. ³. En cada una de las siguientes funciones determine los valores que deben tomar, para que sean continuas en el punto indicado. A. B. C. D.. Con base en el teorema que se presenta a continuación, encontrar el límite de las funciones dadas. Teorema (Límite de una función compuesta): Si es continua en, entonces. A. B. C. D. E. F. G. H. I. J.

23 . Con base en el teorema que se presenta a continuación, analizar la continuidad de las funciones dadas. Teorema (Continuidad de una función compuesta): Si es continua en es continua en, entonces la función compuesta es continua en A. B. C. D.. Dadas las siguientes funciones, demuestre que f es continua en el intervalo indicado. A. B. [ -,] f( ) - f ( ) [,] - C. ³ Bibliografía ALARCÓN, Sergio, GONZÁLEZ, Cristina QUINTANA, Hernando, Cálculo Diferencial. Límites derivadas. Medellín, Colombia: ITM, 008. STEWART, James. Cálculo de una variable: Conceptos contetos. Cuarta edición. Méico D.F.: Cengage Learning Editores, 00. THOMAS, George B. Cálculo de una variable. Decimosegunda edición. Méico: Addison- Wesle, 00. ZILL G., Dennis, WRIGHT, Warren S. Cálculo: Trascendentes tempranas. Cuarta edición. Méico: Mc Graw-Hill, 0.