Módulo 3 - Diapositiva 17 Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas. Universidad de Antioquia

Transcripción

1 Módulo 3 - Diapositiva 17 Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

2 Temas Ecuaciones Exponenciales Ecuaciones Exponenciales Ecuaciones Logarítmica

3 Propiedades de los Exponentes Recordemos que para a > 0 y a 1, y para todo par x 1, x 2 R se cumple que: a 0 = 1 a x1 a x2 = a x1+x2 (a x1 ) x2 = a x1x2 a x1 a x2 = ax1 x2 Dado que la función exponencial es biyectiva, tenemos además que: a x1 = a x2, si y solo si, x 1 = x 2.

4 Propiedades de los Logarítmos Propiedades Sean a > 0, a 1, x > 0, x 1 > 0 y x 2 > 0. Entonces 1 log a 1 = 0 2 log a a = 1 3 log a a x = x 4 a log a x = x 6 log a x 1 x 2 = log a x 1 log a x 2 7 log a x b = b log a x 8 log a x = log c x log c a con c > 0 y c 1 5 log a (x 1 x 2 ) = log a x 1 +log a x 2 Dado que la función logarítmica es biyectiva, tenemos además que: log a x 1 = log a x 2, si y solo si, x 1 = x 2.

5 Ejemplo Utilizando la propiedad 6 podemos determinar el valor de la expresión log 4 64 log 4 32 así: log 4 64 log 4 32 = log 4 ( ) = log 4 2 = 1 2 o podemos utilizar la propiedad 5 así: log 4 64 log 4 32 = log log 4 32 = log log 4 2 log 4 32 = 1 2 Ejercicio Determine el valor de las siguientes expresiones, especificando en cada caso la propiedad utilizada. 1 2 log log log log ln 4 ln 16

6 Ecuaciones Exponenciales Ejemplos Para encontrar la solución de la ecuación 4 x 2 x = 12, utilizamos las propiedades anteriores así: 4 x 2 x = 12 (2 2 ) x 2 x = 12 (2 x ) 2 2 x 12 = 0 z 2 z 12 = 0 (z = 2 x ) (z 4)(z + 3) = 0 Luego z = 4 ó z = 3, por tanto 2 x = 4 ó 2 x = 3 y dado que la imagen de la función exponencial es R +, la única solución posible es 2 x = 4, es decir, x = log 2 4 = 2. Ejercicio: solucionar las ecuaciones 1 3 x+1 = x 2 e x x 3 e x = x 10 x 10 x + 10 x = 1 3

7 Ecuaciones Logaritmicas Ejemplos Para encontrar la solución de la ecuación log x + log(x + 15) = 2, (recuerde que log = log 10 ) utilizamos las propiedades anteriores así: log x + log(x + 15) = 2 log(x(x + 15)) = 2 x(x + 15) = 10 2 x x 100 = 0 (x + 20)(x 5) = 0 Luego x = 20 ó x = 5, y dado que x > 0 (porque el dominio de la función logarítmica es R + ) la única solución posible es x = 5. Encontrar las soluciones de las siguientes ecuaciones 1 log 2 (log 3 x) = 4 2 log x = log( x)

8 Ejercicio En ciertas condiciones, la presión atmosférica P a una altitud h pies esta dada por: P = 29e 0,00004h 1 Cuál es la presión a una altitud de pies? 2 Cuál es la altura a una presión de 2312? Ejercicio Un elemento radioactivo tiene una vida media de 1690 años. Empezando con 30 gramos, después de t años habrá g(t) = 30 1 Determine la constante k. ( ) kt 1 gramos 2 2 Qué cantidad habrá dentro de 2500 años?

9 Ejercicio Un medicamento es eliminado del cuerpo por la orina. Suponga que para una dosis de 10 miligramos, la cantidad A(t) remanente en el cuerpo después de t horas está dada por A(t) = 10(0,8) t y para que el medicamento sea eficaz, al menos 2 miligramos deben estar en el cuerpo. 1 Determine cuándo quedan 2 miligramos en el cuerpo. 2 Cuál es la vida media del medicamento? Ejercicio De la fórmula de interés compuesto despeje t usando logaritmos naturales C = P (1 + r) t

10 Referencias Ecuaciones Exponenciales E.W. Swokowski, J.A. Cole. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica 13 a Edición. Zill, D. G. Dewar, J. M. Álgebra y trigonometría, 2a edición. Editorial McGraw-Hill, Colombia, 1996.