Una función se refiere a una asignación o correspondencia de un conjunto a otro. Su definición formal es la siguiente:

Transcripción

1 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa MATEMÁTICAS BÁSICAS TEORÍA E FUNCIONES Las manitudes que caracterizan un enómeno dado pueden quedar completamente determinadas por los valores de otras. Estas interdependencias ueron las que dieron orien al concepto de unción porque ran parte de los enómenos que se observan en la naturaleza se pueden relacionar unos con otros a través de correspondencias. CONCEPTOS BÁSICOS E FUNCIONES Una unción se reiere a una asinación o correspondencia de un conjunto a otro. Su deinición ormal es la siuiente: Una unción es una terna constituida por:. Un conjunto A llamado dominio de la unción. Un conjunto B llamado codominio de la unción. Una rela de correspondencia que posee tres características a) A todo elemento del dominio se le puede asociar un elemento del codominio b) Ninún elemento del dominio puede quedarse sin un asociado en el codominio c) Ninún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el codominio. Se denota como: : A B Rano A B ominio Codominio El dominio, denotado por, de una unción es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, es decir, son todos aquellos números para los cuales la unción tiene sentido (también se conoce como campo de variación). Al elemento que se obtiene en el codominio después de aplicar la rela de correspondencia a un elemento del dominio recibe el nombre de imaen. Al conjunto de todas las imáenes se le conoce como rano, denotado por R. Al rano también se le conoce como recorrido.

2 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa Ejemplo. Sea un conjunto de siete muchachos otro conjunto sus edades respectivas en años: NOMBRE EA Alberto 7 Clarissa 6 iana 9 Ernesto 7 Fabiola 6 Karen 9 Manuel La tabla muestra que a cada muchacho le corresponde una edad cumple con las condiciones de unción, por lo que su dominio es: { Alberto, Clarissa, iana, Ernesto, Fabiola, Karen, Manuel } el rano es {,6,7,9 }. Si se denota a como un elemento en el dominio de la unción, entonces el elemento en el recorrido que asocia con, es la imaen de bajo la unción. Esto es: (Manuel), (Clarissa) (Fabiola) 6, (Alberto) (Ernesto) 7 (iana) (Karen) 9. En términos de variables, una unción también se puede deinir de la siuiente orma: Se dice que una variable es unción de otra, cuando ambas están relacionadas de orma que para cada valor de perteneciente a su campo de variación, le corresponde sólo uno de. La variable recibe el nombre de variable dependiente, mientras que es la variable independiente. Lo anterior puede epresarse simbólicamente de la siuiente orma: ( ) Esta manera de representar una unción es especialmente útil, pues se puede saber con certeza el valor que toma la variable dependiente para cualquier valor que tome la variable independiente. Esto posibilita la construcción de una tabla de valores de la misma su respectiva ráica, debido a que cada pareja de, de la tabla que se calcule representa un punto del plano cartesiano. valores ( ) Por tanto, una unción puede ser presentada de múltiples maneras: una epresión matemática del tipo ( ), una tabla de valores, una ráica o incluso una rase que eprese la relación entre ambas variables. Para encontrar el dominio el rano de una unción es necesario eectuar una inspección particular que analice su comportamiento, para lo cual se recomienda: para el dominio, que esté despejada la variable dependiente para el rano que lo esté la variable independiente. A partir de esas epresiones, se eectúa un análisis que consiste básicamente en determinar los valores reales de la variable no despejada que hacen reales los valores de la variable despejada, obteniendo así el dominio el rano respectivamente. Ejemplos. eterminar el dominio el rano de las siuientes unciones: ) ( ) + La unción está deinida para todo valor de, es decir, su dominio son todos los números reales:, ( ) No todas las unciones son de una sola variable independiente. En realidad, el concepto de unción es más eneral. La deinición más completa de unción es la siuiente: Una unción es una le que relaciona una o más variables independientes con otra variable dependiente de orma unívoca, es decir, que a cada conjunto de valores ormado por un valor de cada una de las variables independientes le corresponde sólo un valor de la variable dependiente. Una unción de varias variables tendría este aspecto: (,,., n ). A lo laro de este libro, sólo se analizarán unciones de una variable.

3 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa espejando para obtener el rano: + 0 R 0, Resolviendo la desiualdad: ) ( ) [ ) La unción está deinida para todo valor de, es decir, su dominio son todos los números reales:, ( ) Por deinición de valor absoluto, el valor más pequeño que puede tener es cero: [ 0 ) R, ) ( ) 9 La unción está deinida para todo valor de, eceptuando,,, ( ) ( ) ( ) espejando para obtener el rano:, a que la división por cero no eiste: ( 9) Resolviendo la desiualdad: Si > 0 :, entonces su intersección es: > 0. 9 Si < 0 :, entonces su intersección es:. 9 9 R, [ 0, ) 9 ) ( ) 0 El radicando no puede ser neativo, así que: [ ), Para obtener el rano, se observa que el valor mínimo que se puede obtener de una raíz cuadrada es cero, así que: 0. R 0, [ ) ) ( ) sen La unción seno está deinida para todo valor de, es decir, su dominio son todos los números reales:, ( ) 0

4 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa El rano de la unción seno está deinida está deinida para, pero como tiene una amplitud de dos, este rano se duplica: R, [ ] FUNCIONES INYECTIVAS, SUPRAYECTIVAS Y BIYECTIVAS Una unción es inectiva cuando a dierentes elementos del dominio le corresponden distintos elementos del codominio, recíprocamente, a distintos elementos del codominio se le asocian dierentes elementos del dominio. También se le conoce como unción uno a uno. A B ominio Codominio Ejemplo. La unción tiene como dominio al conjunto de los números reales su rano son los números reales positivos (por tanto, eclue a todos los reales neativos al cero). Una unción es supraectiva si cualquier elemento del codominio es imaen de por lo menos un elemento del dominio de la unción. También se le conoce como sobreectiva. Rano B A B ominio Codominio Ejemplo. La unción tiene como dominio al conjunto de los números reales su rano también son los números reales. Pero la unción presenta un crecimiento hasta llear a, después un decrecimiento hasta vuelve a crecer. Por lo tanto, eiste un intervalo cuos valores del dominio tienen la misma imaen, por lo tanto no es una unción uno a uno.

5 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa Una unción es biectiva si cumple con ser inectiva supraectiva. La rela de correspondencia es biunívoca. A B ominio Codominio Ejemplo. La unción 6 tiene como dominio rano al conjunto de los números reales. Cumple con ser inectiva supraectiva. Pueden eistir unciones que no sean ni inectivas ni supraectivas, es decir, en donde la asociación no sea uno a uno además que no cumplan que el rano el codominio sean iuales, como por ejemplo: A B ominio Codominio En eneral, se pueden eectuar innumerables correspondencias entre dos conjuntos, sin embaro, sólo serán unciones aquellas que cumplan con las condiciones deinidas. Las que no las cumplan sólo serán relaciones. TIPOS E FUNCIONES Función constante Es una unción en que siempre toma el valor k, que es una constante: Su dominio son todos los números reales. ( ) k

6 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa Función identidad Es una unción donde la variable dependiente toma el mismo valor que tiene la variable independiente: Su dominio son todos los números reales. ( ) Funciones alebraicas Son las unciones que se obtienen cuando se eectúan un número inito de sumas, restas productos con las unciones constante e identidad. Su dominio son todos los números reales. Funciones polinómicas Son unciones de la orma: donde n ( n ) a + a + a + a + a n + 0 a a, a,, a son números reales los eponentes son números naturales. 0, El dominio de todas las unciones polinómicas son todos los números reales. Funciones lineales Son unciones polinómicas de la orma: ( ) m b + La representación ráica de una unción lineal es una recta donde m representa la pendiente (rado de inclinación) b representa la ordenada al orien (cruce de la recta en el eje ). Por ser también una unción polinómica, su dominio son todos los números reales. Funciones cuadráticas Son unciones polinómicas de la orma: ( ) a + b c + donde a, b c son constantes a es dierente de cero. La representación ráica de una unción cuadrática es una parábola que se abre hacia arriba si a > 0 o que se abre hacia abajo si a < 0. Al ser unción polinómica, su dominio son todos los números reales. Funciones racionales Una unción racional es el cociente de dos unciones polinómicas. Esto es, q es una unción racional si para todo en el dominio, dados los polinomios ( ) ( ) q ( ) ( ) ( ), se tiene: El dominio de una unción racional consiste de todos los números reales ecepto los ceros (o raíces) del polinomio en el denominador, a que la división por cero no está deinida. 6

7 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa Funciones de proporcionalidad inversa Este tipo de unciones relaciona las variables a través de epresiones del tipo: k siendo k un número real cualquiera distinto de cero. La ráica de este tipo de unciones es una curva denominada hipérbola equilátera. El dominio de este tipo de unciones son todos los números reales eceptuando el cero. Funciones irracionales Son aquellas unciones alebraicas /o racionales en que interviene la operación de radicación. A in de que este tipo de unciones eistan, el dominio depende de la naturaleza de las raíces, en su caso, de los ceros del denominador. Funciones trascendentes Son aquellas unciones que no son alebraicas. Incluen las unciones trionométricas directas, las trionométricas inversas, las eponenciales las loarítmicas. Funciones periódicas Una unción es periódica si cumple que: ( ) ( p) + donde p es un número real dierente de cero, llamado periodo. Funciones par e impar Una unción par es aquella que cumple con: ( ) ( ) Una unción impar es aquella que cumple con: ( ) ( ) ÁLGEBRA E FUNCIONES Sean dos unciones de con dominios respectivos. La suma de unciones se deine como ( )( ) ( ) + ( ) Ejemplo. ( ) ; ( ) + ( + )( ) ( ) + ( ) + (, ) (, ) + su dominio es. 7

8 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa ( ) + ( ) (, ) La resta de unciones se deine como ( )( ) ( ) ( ) Ejemplo. ( ) ; ( ) 9 ( )( ) ( ) ( ) 9 [ 0 ) [, ], ( ) ( ) [ 0, ] El producto de unciones se deine como ( )( ) ( ) ( ) Ejemplo. ( ) ; ( ) ( )( ) ( ) ( ) (, ) (, 6) ( 6, ) ( ) ( ) (, 6) ( 6, ) su dominio es. su dominio es. El cociente de unciones se deine como ( ) ( ) 0. Ejemplo. ( ) ; ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) (, ) (, ) (, ) (, 0) ( 0, ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) su dominio es, siempre que La composición de unciones se deine como ( )( ) ( ( ) ) todos los valores de en el dominio de tales que ( ) que: { ( ) } Ejemplos. adas las siuientes unciones, obtener la composición ) ( ) 8 ; ( ) 8 su dominio es el conjunto de esté en el dominio de. Esto siniica determinar su dominio.

9 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa 8, [ ) ( ), Para obtener la composición se sustitue por ( ) en : ( )( ) ( ( ) ) ( ) ( ) 8 0 en esta unción el dominio es: [ 0, ) { ( ) } {(, ) [ 0, ) } [ 0, ),, ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ), Para obtener la composición ( )( ) ( ) ( ) ( ) se sustitue por ( ) en : ( ),,, en esta unción el dominio es: ( ) ( ) ( ) { ( ) } {(, ) (, ) (, ) (, ) } (, ) (, ) (, ) Es importante señalar que. En el primer caso, primero se aplica la unción después. En el seundo caso, primero se aplica la unción después. Ejemplo. adas ( ) ( ) +, obtener., a) ( ] [, ) Para obtener la composición ( )( ) ( ) + en esta unción el dominio es: [, ] { ( ) } {[, ) [, ] } [, ] ( ) ( ) + b) (, ] [, ) Para obtener la composición ( )( ) ( ) se sustitue por ( ) en : se sustitue por ( ) ( ) ( ) + en : 9

10 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa en esta unción el dominio es: (,] ( ) { } {(, ] (,] } (,] Ejemplos. Obtener,, ) ( ) ( ),, ( ) ( ) (, ) ( ), ( )( ) +, + si: + +, en esta unción el dominio es: ( ) pero como { ( ) }, entonces: { (, ) [(, ) (, ) ] } (, ) (, ) ( )( ) + + +, 0 0, en esta unción el dominio es: ( ) ( ) pero como { ( ) }, entonces: { [(, 0) ( 0, ) ] [(,) (, ) ] } (, 0) ( 0,) (, ) +,, ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, ) ( ), ( )( ) para esta epresión el dominio es:,,, entonces: { } pero como ( ) [(, ) (, ) ],,,, (, ) 0

11 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa + ( )( ) para esta epresión el dominio es:,,, entonces: { } pero como ( ) [(, ) (, ) ],, (, ),, MOELAO E FUNCIONES Un modelo matemático se deine como una descripción desde el punto de vista de las Matemáticas de un hecho o enómeno del mundo real, cuo objetivo es entenderlo ampliamente. La maoría de las unciones describen comportamientos de enómenos o características de problemas que involucran a múltiples variables. Sin embaro, muchas veces eisten ormas de epresar todas las variables en términos de una sola a in de simpliicar su análisis. El proceso de modelado de unciones es el siuiente:. Leer claramente el problema e identiicar la unción buscada.. Hacer un dibujo que muestre las características por modelar. Anotar los datos del problema establecer las órmulas que son conocidas.. Epresar todas las variables en términos de la variable pedida a través de un manejo alebraico.. Epresar el comportamiento de la unción en términos de la variable pedida. Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente eacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización. Ha una ran cantidad de unciones que representan relaciones observadas en el mundo real. Los siuientes ejemplos muestran alunos casos típicos de modelaciones a través de unciones. Ejemplos. ) Epresar el volumen V de un cilindro como unción del radio r si su altura es del doble de su radio. ibujando el cilindro: V h El volumen de un cilindro es: V πr h _( ) La altura es el doble del radio, así que: h r _( ) Sustituendo en () se obtiene la epresión pedida: ( ) ( ) r V r π r r πr

12 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa ) Epresar el área A de un rectánulo como unción de la base b, si se sabe que su perímetro es de 00 cm. El perímetro de un rectánulo está dado por: P a + b _( ) Sustituendo P 00 en (): a + b 00 Como se quiere epresar en términos de b, se despeja la altura a : 00 b a + b 00 a 0 b _ El área de un rectánulo es: A ab _( ) Sustituendo () en () se tiene: A ( 0 b)b Por lo que la epresión buscada es: ( ) ( ) Ab 0 b Perímetro 00cm Área b a ) Se dispone de una cartulina cuadrada 0 cm de lado se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iuales en las esquinas doblando sus lados. Epresar el volumen de la caja en unción del lado del cuadrado recortado. Haciendo una iura, se tiene: 0 0 V 0 0cm La lonitud de cada lado de la caja es: El volumen de la caja es: V A A ( ) ( ) 0 Por lo que la epresión buscada es: A( ) ) Epresar el volumen V de aua como unción de la altura h en un instante cualquiera de un cono circular recto invertido de cm de radio de 6 cm de altura. Haciendo una iura, se tiene: El volumen del cono es: V πr h _( )

13 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa r cm B C V 6cm E h O Por la semejanza de los triánulos OE OBC se tiene: h _( ) espejando de (): h El volumen del cono es: V π h _( ) Sustituendo r por el valor de en () se obtiene: V Por lo que la epresión pedida es: ( ) V h π h 8 ) Epresar la hipotenusa h de un triánulo con área de ibujando el triánulo rectánulo: 6 h h h π h π h 6 cm como unción de su perímetro P. Perímetro a + b + h h Área cm b El Teorema de Pitáoras establece que: h a + b _( ) El área de un triánulo está dada por: A _( ) a ab P a + b + h El perímetro P del triánulo está dado por: _( ) a + b a + ab + b a + b ab a + b Se sabe que: ( ) ( ) Comparando con () se tiene: h ( a + b) ab _( )

14 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa ab e (): ab 0 ab 00 h a + b 00 _ Sustituendo en (): ( ) ( ) e (): P h a + b ( P h) ( a + b) ( 6) Sustituendo en (): h ( P h) 00 h P Ph P Ph + h P despejando h se obtiene la epresión pedida: h( P) Ph 00 P 00 P FUNCIONES EXPRESAAS EN FORMA EXPLÍCITA E IMPLÍCITA Una unción está epresada en orma eplícita si una de las variables está despejada. Por ejemplo: Cuando una unción, deinida en el dominio de sus variables, se escribe de la orma (, ) 0, se dice que es una unción implícita de, o que es una unción implícita de. En otras palabras, una unción está epresada en orma implícita si ninuna de las variables está despejada. Por ejemplo: No eiste una rela deinida para transormar una unción epresada en orma implícita en eplícita, por ello, de orma particular es necesario aplicar recursos matemáticos conducentes a despejar la variable dependiente. Ejemplos. Transormar las siuientes unciones epresadas en orma implícita a eplícita: ) dejando los términos con en el primer miembro: actorizando : ( 9 ) + 6 despejando : ) dejando los términos con en el primer miembro: actorizando : 7

15 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa ( + 6) 7 7 despejando : ) dejando los términos con en el primer miembro: actorizando : ( 0 ) 8 + se despeja : etraendo la raíz cuadrada positiva se obtiene: ) + 0 multiplicando por el denominador: 6 + ( ) 0( ) eliminando los paréntesis: dejando los términos con en el primer miembro: actorizando : ( + 8 ) + 6 despejando : ) + 0 multiplicando por : + 0 ordenando con respecto a : + 0 esto representa una ecuación de seundo rado donde: a, b, c

16 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa aplicando la órmula eneral para resolver ecuaciones de seundo rado tomando la raíz positiva: reduciendo: + ( ) + ( ) ( )( ) + 6 ( ) 6 6 inalmente: cos 6) 9 0 rescribiendo la iualdad: + 7cos 9 multiplicando por : + 7cos dejando los términos con en el primer miembro: 7cos cos 7 aplicando la unción inversa del coseno: cos ( cos ) cos 7 cos 7 etraendo la raíz cúbica se obtiene: cos 7 7) ln + 0 ordenando: ln ln 6 aplicando la propiedad del producto de loaritmos: ln + ln 6 dejando los términos con en el primer miembro: ln 6 ln aplicando la unción eponencial: ln ( 6 ln e e ) ( 6 ln e ) 6

17 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa FUNCIONES EXPRESAAS EN FORMA PARAMÉTRICA Sea una variable t denominada parámetro. Si ( t) ( t) son dos unciones con el mismo dominio, entonces se dice que las dos ecuaciones orman un conjunto de ecuaciones paramétricas. Las coordenadas (, ) de un punto de una curva pueden ser unciones del parámetro, a que para cada valor que tome t se tendrá un punto P. Por ejemplo, si se tabula a las ecuaciones paramétricas t se tiene: t t ( ) P, (-9,9) (-6,) (-,) (0,0) (,) (6,) (9,9) Esto siniica que las ecuaciones representan a la unción. 9 Es importante señalar que no todas las ecuaciones paramétricas representan unciones. Para transormar una unción epresada por ecuaciones paramétricas en una unción eplícita de la orma ( ) se despeja de ambas el parámetro, se iualan las ecuaciones se procede a despejar la variable dependiente. Ejemplos. Transormar las siuientes unciones epresadas en orma paramétrica en orma eplícita: ) t t despejando t de la primera ecuación: _ A despejando t de la seunda ecuación: t _ [ B] t [ ] iualando las ecuaciones [ A ] [ ] elevando al cuadrado: 9 B : Nótese como se obtiene el mismo resultado si se sustitue [ ] A en la seunda ecuación. ) t + t t 7

18 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa de la primera ecuación, se suma resta uno para completar el trinomio cuadrado perecto: t + t + ( t + ) _ [ A] despejando t : t + despejando t de la seunda ecuación: t + _ [ B] B : iualando las ecuaciones [ A ] [ ] ) t t 6 despejando t de la primera ecuación: t _ A despejando t de la seunda ecuación: t +6 _ [ B] iualando las ecuaciones [ A ] [ B ]: +6 etraendo la raíz cuadrada positiva: [ ] 6 ) t + 8t despejando t de la primera ecuación: t _ [ A] despejando t de la seunda ecuación: t _ [ B] + 8 iualando las ecuaciones [ A ] [ ] + 8 eliminando los denominadores: 8 ( ) ( + ) B : 8

19 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa ) t ( t + 7) despejando t de la primera ecuación: t t _ [ A] despejando t de la seunda ecuación: 7 t _ [ B] iualando las ecuaciones [ A ] [ B ]: 7 multiplicando ambos miembros por 0 : ( 7) 8 + ( 7t ) 6) t 6t + despejando t de la primera ecuación: + t _ [ A] 7 en la seunda ecuación, se resta se suma dos para completar el trinomio cuadrado perecto: t 6t + + t 6t ( t ) + despejando t : t + _ [ B] iualando las ecuaciones [ A ] [ ] B : 9

20 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa FUNCIÓN INVERSA Sea una unción biectiva con dominio A rano B. Entonces su unción inversa B rano A la deine: tiene domino ( ) ( ) para cualquier en B. Esto siniica que: ominio de Rano de Rano de ominio de Nótese como no todas las unciones tienen inversa, sólo aquellas que sean biectivas. En los siuientes diaramas se aprecia que si tiene inversa no tiene inversa, a que no cumple con la condición de ser unción biectiva. 0 A B A B Nota: En la notación ( ) ( ) ( ). el índice - no tiene el siniicado en álebra como eponente. Esto es: 0

21 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa Ejemplo. Si ( ), ( ) 8 (), encontrar ( ), ( 8) ( ) A partir de la deinición de unción inversa, se tiene que: porque ( ) ( ) ( 8) porque ( ) 8 ( ) porque ( ) El siuiente diarama muestra las correspondencias: 8 - A B 8 - A - B En la unción inversa se intercambian cada una de las parejas ordenadas que constituen a la unción,, oriinal: si ( ) ( ) ( ) ( ) Para obtener la unción inversa de una unción biectiva: ) Se escribe ( ) ) Se intercambia por ) Se despeja para encontrar ( ) Ejemplos. Encontrar la unción inversa de las siuientes unciones: ) ( ) ( ) 0.

22 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa ) ( ) + + ( ) + ) ( ) ( ) 8 ) ( ) 8 8 ( ) ( ) 6 7 ) ( ) ( ) ( 6 7) ( 6 7) 6 7

23 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa ( ) ) ( ) se suma se resta para completar el trinomio cuadrado perecto: se actoriza : ( 0 + ) se actoriza el trinomio cuadrado perecto: + ( ) ( ) + + ( ) ( ) REPRESENTACIÓN GRÁFICA E FUNCIONES La ráica de una unción contiene todos los puntos que representan parejas ordenadas de la orma ( ), en el plano cartesiano tales que satisacen la ecuación. Para trazar la ráica de una unción, normalmente se despeja la variable dependiente posteriormente se determina su dominio. espués, se elien convenientemente los valores de para tabular obtener Como en una unción, cada número en el dominio tiene una solo una imaen, no todo rupo de puntos en el plano cartesiano representa la ráica de una unción. Por tanto, la ráica de una unción no puede contener dos puntos con la misma abscisa dierentes ordenadas. Para ines prácticos, para saber si una ráica representa a una unción basta con trazar líneas verticales, si las intersecta en un solo punto, es unción.

24 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa así suicientes valores de. Una vez obtenido esto, se ubican los puntos en el plano se unen. Es recomendable utilizar las escalas apropiadas en los ejes coordenados para mostrar mejor su comportamiento. Ejemplos. Graicar las siuientes unciones estableciendo su dominio. ) 8 Si el símbolo siniica eiste el símbolo siniica para toda, entonces: (, ) ( ), ecepto en no deinido ) ecepto en,,, ( ) ( ) ( ) no deinido no deinido

25 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa ) ecepto en 0, 0 0, ( ) ( ) no deinido ) 8

26 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa, ( ) ) 0 Resolviendo la desiualdad: 0 0, se tiene que: con, [ ) no deinido

27 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa 6) Resolviendo la desiualdad: 0, se tiene que: < 6 < 9 con [, ] FUNCIONES EFINIAS POR INTERVALOS Una unción ( ) puede estar deinida por intervalos de orma tal que tiene un comportamiento distinto en cada sección, por lo que se pueden presentar cambios bruscos en su desarrollo. Su dominio está dado por la unión de sus intervalos. Ejemplos. Eplicar el comportamiento de las siuientes unciones establecer su dominio. ) ( ) > La unción es lineal hasta es constante en desde un valor maor de., ( ) 7

28 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa ) ( ) 0 > La unción es cuadrática desde cero hasta se convierte en una recta de pendiente neativa a partir de un valor maor a. 0, [ ) < 0 ) ( ) 0 Si vale cero, la unción es cero. Si es positiva, la unción toma su valor idéntico. Si es neativa, la unción toma su inverso aditivo. Por lo tanto, representa a la unción ( ). ( ), 8

29 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa ) ( ) 6 < 6 7 < 9 La unción es constante en desde hasta antes de 6, a partir de 7 hasta antes de nueve es iual a la unción identidad. Finalmente, la unción es constante en a partir de hasta., 6 7, 9, [ ) [ ) [ ] ) ( ) sen π + 0 < < π π π < 7 La unción es de proporcionalidad inversa si es maor de cero menor de, es iual al seno desde π hasta π. Finalmente, la unción es lineal después de π hasta 7. π ( 0,), 7 9

30 Facultad de Contaduría Administración. UNAM Teoría de unciones Autor: r. José Manuel Becerra Espinosa