Notas Docentes. Matemática Aplicada a la Economía. Material de Consulta y Casos Prácticos. David Glejberman. Nota Docente No. 20

Transcripción

1 Notas Docentes Matemática Aplicada a la Economía. Material de Consulta Casos Prácticos David Glejberman Nota Docente No.

2 . FUNCIONES DE UNA VARIABLE GRÁFICAS DE FUNCIONES ELEMENTALES OPERACIONES CON FUNCIONES FUNCIÓN INVERSA Y FUNCIÓN COMPUESTA En esta parte del curso centramos nuestra atención en las unciones que tienen por dominio codominio conjuntos numéricos, es decir, unciones que dependen de una sola variable (a la que simbolizamos con la letra ). En consecuencia, la representación gráica más apropiada es la que utiliza un par de ejes cartesianos ortogonales: al eje horizontal se le llama eje de las abcisas al vertical eje de las ordenadas. () Ordenada Abcisa Incluso vamos a restringir el estudio a las unciones donde la correspondencia puede epresarse mediante una órmula que involucra una ecuación o a lo sumo un número reducido de ecuaciones (la unción puede epresarse en un renglón o en un par de renglones). Ejemplos: () = 3. + si ()= si El dominio de la unción es el conjunto de los números reales o una parte de los números reales, porque en algunos casos la órmula que deine la unción sólo es válida para una parte de los números reales. El problema de encontrar para qué números reales es válida la órmula se conoce como determinación del dominio de eistencia de la unción. Ejemplo: Sea : () =. La órmula que deine la correspondencia es, en este caso, una racción algebraica, la cual tiene sentido si el denominador no se anula. Y en este caso el denominador se anula si =. Por tanto, el dominio de la unción es: D() = {: XR }. Deinición: Una unción se dice elemental si en la órmula la variable interviene una sola vez. Ejemplos de unciones elementales:,, 3, e, e,, entre otras. Vamos a considerar a continuación el problema de hallar el gráico de las unciones de una variable. Comenzamos con las unciones elementales luego introduciremos las herramientas para el estudio de unciones cualesquiera.

3 Restringimos el conjunto de las unciones elementales a las siguientes (dejamos uera, por ejemplo, a las unciones trigonométricas). () = () = ()= 3 () = ()= () = () = e ()= e - () = L Observaciones. El gráico de () = es una recta que pasa por el origen. Se trata de un caso particular de las unciones del tipo () = a + b. (donde a b son dos números reales que no dependen de ) cuo gráico también es una recta cuo comportamiento depende de los parámetros a b. Por la orma del gráico, estas unciones se llaman lineales.. El gráico de () = es una parábola con los brazos hacia arriba. Se trata de un caso particular de de las unciones cuadráticas de la orma () = a. + b. + c (donde a, b c son parámetros que no dependen de ) cuo comportamiento depende de ciertas relaciones entre los parámetros como veremos más adelante. 3. El dominio de () = es el conjunto de los reales maores o iguales que. 4. La órmula de la unción () = (valor absoluto de ) también puede epresarse en dos renglones:

4 () = si si 5. El dominio de la unción () = es el conjunto de los números reales con eclusión del cero. 6. Las unciones e e se dibujan por encima del eje de las abcisas, es decir, las unciones nunca toman valores negativos ni se anulan. 7. La unción () = L = log e restringe su dominio a los reales positivos (el logaritmo de cero o de un número negativo no están deinidos). Las unciones lineales cumplen un importante papel en los modelos de análisis económicos simpliicados. Se trata de unciones con gráicos mu sencillos, los cuales se comentan a continuación. () = a + b. El parámetro a se llama ordenada en el origen porque indica la ordenada del punto donde la recta corta al eje O. El parámetro b se llama coeiciente angular de la recta determina si la recta es creciente, constante o decreciente, según que su valor sea positivo, cero o negativo. a a a b > b = b < Las unciones cuadráticas también tienen una órmula un gráico sencillos. () = a. + b. + c La representación gráica es siempre una parábola, cuos brazos miran hacia arriba si a > hacia abajo en caso contrario. El eje de simetría de la parábola corta al eje O en el punto = -b/a. La parábola corta al eje O si el discriminante de la ecuación a. + b. + c = es no negativo (el discriminante es = b 4.a.c). a >, > a >, = a >, < a <, > a <, = a <, <

5 Se podrían denominar cuasi-lineales a las unciones cuo gráico contiene segmentos de recta /o semirrectas. Ya hemos visto un ejemplo: la unción valor absoluto, cuo gráico se compone de dos semirrectas. Veamos ahora dos ejemplos más. Escalera Poligonal La primera se suele utilizar en Economía para representar en el eje horizontal el tiempo en el eje vertical el nivel de los salarios (en este caso el gráico se denomina dientes de sierra ). Los salarios se mantienen constantes por un cierto tiempo (3 meses, 6 meses, meses) luego pegan un salto igual al aumento recibido por los trabajadores. Las líneas verticales que unen los escalones no son, estrictamente hablando, parte del gráico de la unción, pero se dibujan para mostrar la magnitud del aumento en cada período. La segunda suele utilizarse en Estadística para representar distribuciones acumuladas. En Economía, la poligonal puede utilizarse para representar el ingreso acumulado por las personas o los hogares. Si por ejemplo un trabajador gana $ la hora normal $4 la hora etra, entonces el ingreso acumulado por el trabajador según el tiempo trabajado (t) es una poligonal que tiene la siguiente órmula:. t si Y(t) = 6 4. t t 8 si t 8 Recordemos algunas deiniciones a introducidas en el curso. La unción es inectiva si para todo del dominio resulta ( ) ( ) La unción es sobreectiva si para todo elemento del codominio ha al menos una preimagen en el dominio. La unción es biunívoca o biectiva si es a la vez inectiva sobreectiva. La unción es par si para todo del dominio es (-) = () La unción es impar si para todo del dominio es (-) = -() Observaciones. Si una unción es inectiva, entonces su gráico es cortado una sola vez por cada paralela al eje O.. Si la unción es sobreectiva el codominio es el conjunto de los reales, entonces el gráico de la unción se dibuja a lo largo de todo el eje O. 3. Si la unción es par, su gráico es simétrico respecto del eje O. 4. Si la unción es impar, su gráico es simétrico respecto del centro de coordenadas.

6 A continuación enunciamos algunos resultados útiles para graicar unciones relacionadas con las unciones elementales. Relación entre la gráica de = () las gráicas de unciones relacionadas = () + c La gráica se desplaza hacia arriba a distancia c. = () - c La gráica se desplaza hacia abajo a distancia c. = ( - c) La gráica se desplaza hacia la derecha a distancia c. = ( + c) La gráica se desplaza hacia la izquierda a distancia c. = - () = (-) La gráica es simétrica respecto del eje O. La gráica es simétrica respecto del eje O. = c.() con c> La gráica se estira verticalmente, alejándose del eje O. = c.() con c< La gráica se contrae verticalmente, acercándose al eje O. Ejemplo: = () = () - c Los siguientes resultados de la geometría analítica son útiles para construir e interpretar el gráico de las unciones. Fórmulas relacionadas con las rectas del plano a) Distancia entre dos puntos A=(, ) B = (, ) d(a,b) = ( ) ( ) b) Ecuación de la recta que pasa por el punto P = (, ) = m.( ) + c) Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

7 A = (, ) B = (, ) =.( ) d) Ecuaciones del haz de rectas que pasan por el punto P = (, ) e) Ecuaciones de rectas paralelas =m.( ) + = =m. +n =m. +n ) Ecuaciones de rectas perpendiculares que se cortan en el punto P = (, ) =m.( ) + =(-/m).( ) + Fórmulas de la circunerencia de la parábola a) Ecuación de la circunerencia de radio r centro en el punto P(, ) ( ) + ( ) = r b) Ecuación de la parábola de eje paralelo a O con oco en (, ) vértice en (, ) 4.( ).( ) = ( ) c) Ecuación de la parábola de eje paralelo a O que corta al eje O en = en = =m.( ).( ) Función inversa Recordemos la deinición a introducida en el curso, para unciones en general. Deinición: Sea una unción de A en B. Se denomina unción inversa de (notación: - ) a otra unción tal que a cada imagen le hace corresponder su preimagen: [B, A, - ]. En la deinición de la unción inversa, -, el dominio es el codominio de la unción, el codominio de la unción - es el dominio de la unción la correspondencia va en el sentido inverso. Cómo se obtiene la órmula de la unción inversa? Cuando eiste la unción inversa, la órmula se obtiene de la ecuación = () despejando la en unción de.

8 Observaciones. La unción inversa no siempre eiste. La condición necesaria suiciente para que eista la unción inversa es que la unción sea biectiva.. No siempre es ácil eplicitar la órmula de la unción inversa. Y ello es así porque no siempre es posible despejar la en unción de. 3. Es necesario tener en cuenta que unción inversa e inversa de la unción son conceptos dierentes. Ejemplo: La inversa de la unción () = e es la unción g() = /e = e - mientras que la unción inversa es la que resulta de despejar la en la ecuación = e ( luego intercambiar los nombres de las variables, para poder representar ambas unciones en el mismo gráico). = e Tomando logaritmos: L = Le = Resulta: = L Cambiando los nombres: = L La unción inversa de = e es la unción = L. Los gráicos de una unción de la unción inversa tienen la propiedad de ser simétricos respecto de la bisectriz del primer tercer cuadrantes. = () = - () Función compuesta Este concepto también ue introducido en el curso con anterioridad. Deinición: Sean dos unciones [A, B, ] [B, C, g]. Se dice que h es la unción compuesta de g si el conjunto de partida de h es el conjunto de partida de, el conjunto de llegada de h es el conjunto de llegada de g, la imagen de un argumento por g se obtiene de aplicar a la unción al valor () la unción g. [A, C, h] unción compuesta de [A, B, ] [B, C, g] h() = g[()] La composición de unciones se una herramienta mu potente para generar nuevas órmulas de unciones. Por ejemplo, si en la unción elemental g() = e se sustitue el argumento por una unción lineal como () =. +, se obtiene una nueva unción cua órmula es: h() = g[()] = e. +. En general, los gráicos de g h no presentan

9 similitudes ni relaciones interesantes. En cuanto al dominio de h, éste muchas veces debe restringirse (respecto del conjunto más amplio posible, el conjunto de los números reales) porque se requiere a la vez que: a) los valores de pertenezcan al dominio de, b) los valores () pertenezcan al dominio de g. Ejemplo : Sean g() = 3 () =. Resulta: h() = g[()] = - 3. En este caso la única restricción proviene de la unción : su dominio es el conjunto de los reales no negativos, éste es también el dominio de la unción h. Ejemplo : Sean g() = () =. Resulta: h() = g[()] =. En este caso el dominio de es el conjunto de los reales no negativos, pero la orma uncional de g agrega otra restricción: la no puede tomar el valor. Entonces, en el dominio de la unción h intervienen las dos restricciones resulta: D(h) = {: XR > }. Operaciones con unciones Dadas dos unciones g, es posible obtener nuevas unciones a partir de las operaciones algebraicas. Por ejemplo, la unción suma de g se obtiene haciendo corresponder a la abcisa el resultado de la suma de las imágenes según g. +g [+g]() = () + g() El dominio de la unción suma depende de los respectivos dominios de las unciones sumandos. El siguiente esquema muestra las restricciones que es necesario imponer al dominio en cada operación para que el resultado siga siendo una unción. OPERACIÓN FUNCIÓN DOMINIO Suma = () + g() D() D(g) Resta = () g() D() D(g) Producto = ().g() D() D(g) Cociente = () / g() D() D(g) {: g() } Potencia = [()] k D() Inversa de la unción = / () D() D(g) {: () } Eponencial = e () D() Logaritmo = L() D() {: () > } Raíz cuadrada = ( ) D() {: () } Raíz cúbica = 3 ( ) D() Potencial eponencial = [()] g() D() D(g) {: () > }

10 Repartido Práctico : Funciones Ejercicio Indicar si las siguientes unciones son o no inectivas, sobreectivas o biectivas. El codominio en todos los casos es R (conjunto de los números reales), el dominio D() se eplicita en cada caso. a) () = D() = R b) () = D() = R c) () = e D() = R d) () = / D() = R + e) () = D() = {: } ) () = ( ) D() = {: } Ejercicio Estudiar si las siguientes unciones son o no pares o impares. a) () = b) () = c) () = +. + (discutir según real) d) () = / e) () = ) () = 4 g) () = e Ejercicio 3 Sea la recta de ecuación: (r) =. +. a) Mostrar que la recta pasa por el punto (,4). b) Hallar la ecuación de la recta paralela a (r) que pasa por el punto (,3) representarla en un mismo gráico junto con (r). c) Hallar la ecuación de la recta perpendicular a (r) que pasa por (,4). d) Hallar las ecuaciones del haz de rectas que pasan por (,4). Ejercicio 4 a) Hallar la ecuación de la parábola que corta al eje O en los puntos (,) (,) tiene su vértice en el punto (3/, -/). b) Hallar la ecuación de la parábola que corta al eje O en los puntos (-,) (, ) corta al eje O en el punto (, ). c) Hallar la ecuación de la parábola con oco en (,) vértice en (,). d) Dibujar aproimadamente los gráicos de las tres parábolas. Ejercicio 5 a) Hallar la ecuación de la circunerencia con centro en (,) radio. b) Hallar la ecuación de la circunerencia con centro en (,) radio. c) Dibujar aproimadamente los gráicos de las dos circunerencias.

11 Repartido Práctico : Funciones Ejercicio 6 Hallar la representación gráica aproimada de las unciones: (a) = () + c (con c>) (b) = ( + c) (con c>) en los siguientes casos.. () =. () = 3. () = / 4. () = 5. () = e 6. () = L 7. () = 8. () = - Ejercicio 7 Hallar la unción inversa en cada uno de los siguientes casos. Si la inversa eiste sólo para una parte del dominio, calcular la unción inversa restringiendo el dominio de a R +. Eplicitar D( -- ) en cada caso. a) () = 3. 3 b) () = e c) () = d) () = e) () = /( ) Ejercicio 8 Hallar g[()] eplicitar el dominio de la unción compuesta en cada uno de los siguientes casos.. g() = +. + () =. g() = () = / 3. g() = L () = e 4. g() = () =

12 . LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES El concepto de límite de una unción () en un punto ( = a) reiere al comportamiento del gráico en las vecindades, en un entorno reducido centrado en dicho punto. Qué comportamiento podría tener el gráico de en un entorno de = a? (A) (B) (C) () () b+ () b b- b b a a a (D) (E) (F) () () () b a a a (G) (H) (I) () () () a a a () (J) a En qué diieren los gráicos precedentes en relación a lo que ocurre en las vecindades de de =a?

13 En algunos de ellos el punto =a no es parte del D(). Marcarlos con una cruz. A B C D E F G H I J En algunos de ellos el D() eclue un entorno o un entorno reducido centrado en a. Marcarlos con una cruz. A B C D E F G H I J En algunos de ellos el D() eclue los valores de en un semientorno reducido (a izquierda o a derecha) centrado en =a. Marcarlos con una cruz. A B C D E F G H I J En algunos de ellos los valores de () en un entorno reducido de centro a diieren entre sí tan poco como se desee, a condición de reducir los suiciente el radio del entorno. Marcarlos con una cruz. A B C D E F G H I J En algunos de ellos el gráico de la unción se puede dibujar sin levantar el lápiz al pasar por =a. Marcarlos con una cruz. A B C D E F G H I J En algunos de ellos los valores de () en un entorno reducido de centro a diieren tanto como se quiera, aunque se reduzca el radio del entorno. Marcarlos con una cruz. A B C D E F G H I J Deinición: Límite inito de una unción en un punto lím () = b a El límite de la unción en el punto =a es b, si dado un entorno pequeño centrado en b de radio ( b, ), eiste un entorno reducido de centro a ( a, ), tal que para todos los pertenecientes a este último entorno, se cumple que () pertenece al entorno centrado en b. Que el límite de la unción en el punto =a es b implica que () está tan cercano a b como se quiera, cuando se aproima a a sin tocar a a. Ejemplo : lím(. + ) = 5 porque eiste tal que si X a, () X b,. Se puede probar la eistencia del? La respuesta es airmativa. - < (. + ) 5 <

14 - <. 4 < - / < < / Entonces = /, pues cuando - < / se cumple que (. + ) 5<. Ejemplo : Sea () =. Qué pasa con la unción en =? El punto = no pertenece al dominio de la unción. Sin embargo, se puede calcular el límite de la unción ( ).( ) cuando se acerca a. Obsérvese que si, es () =. Es decir, que salvo en =, la unción se comporta como la recta = +. Por tanto: lím ( ), porque en un entorno reducido de centro a=, los valores de tienen imágenes mu cercanas a b=. Observaciones. Según la deinición de límite en el punto =a, lo que ha que saber es qué ocurre con los valores de () cuando la variable recorre los puntos de un entorno reducido de centro a. Es decir, no importa lo que ocurre en el punto =a, sino lo que ocurre en los puntos vecinos a a.. Podría ocurrir que (a) = b, que (a) b ó también que =a no sea parte del D(). lím ( ) b 3. Si: qué debería ocurrir con () cuando vamos achicando el radio a del entorno reducido de centro a radio? En tal caso, el entorno b, también se va achicando. En otras palabras, cuando nos acercamos a a por izquierda por derecha, los valores de () se van acercando a b tanto como se quiera. lím ( ) b 4. Por qué en el caso (B) no es? Porque no importa qué tan cerca de a a estén los valores de uno por izquierda otro por derecha los () siempre estarán a una distancia maor o igual que 3 del valor b. 5. Qué signiica en la deinición que es dado? Signiica que es un número ijo, arbitrariamente pequeño, pero ijo. Deinición: Límite ininito de una unción en un punto lím () = + a El límite de la unción en el punto =a es +, cuando () > K (K arbitrario tan grande como se quiera) cuando la variable se acerca a a sin tocar a a. () a

15 Ejemplo: lím = + De manera análoga se deine el límite - de una unción en un punto. En este caso lo que ocurre con la unción es que en las cercanías del punto a toma valores grandes (en valor absoluto) pero con signo negativo: () < -H (con H positivo arbitrariamente grande) cuando los valores de se acercan a a. Deinición: Límite lateral por izquierda de una unción en un punto lím () = b a - El límite de la unción en el punto =a - es b, si dado un entorno pequeño centrado en b de radio ( b, ), eiste tal que si < a <, entonces se cumple que: () - b<. Para que el límite de en a por izquierda sea b se tiene que cumplir que cuando está cerca de a, pero con valores más pequeños que a, los valores de () estén cerca de b. Deinición: Límite lateral por derecha de una unción en un punto lím () = b a + El límite de la unción en el punto =a + es b, si dado un entorno pequeño centrado en b de radio ( b, ), eiste tal que si < a <, entonces se cumple que: () - b<. Para que el límite de en a por derecha sea b se tiene que cumplir que cuando está cerca de a, pero con valores más grandes que a, los valores de () estén cerca de b. lím () = b lím () = b a - a + b + b + b b b - b - ( ) a - a a a + Ejemplos: Lím no eiste, pero : lím lím Deinición: Límite inito de una unción cuando + lím () = b + El límite de la unción cuando + es b, si dado un entorno pequeño centrado en b de radio ( b, ), eiste K tal que si > K, entonces se cumple que: () - b<.

16 Deinición: Límite inito de una unción cuando - lím () = b - El límite de la unción cuando - es b, si dado un entorno pequeño centrado en b de radio ( b, ), eiste H tal que si < -H, entonces se cumple que: () - b<. lím () = b lím () = b + - b + b + b b b - b - K -H Deinición: Límite más ininito de una unción cuando lím () = + El límite de la unción cuando + ( - ) es +, si dado L (positivo arbitrariamente grande), eiste K (H) tal que si > K ( < -H), entonces se cumple que: () > L. Deinición: Límite menos ininito de una unción cuando lím () = - El límite de la unción cuando + ( - ) es -, si dado L (positivo arbitrariamente grande), eiste K (H) tal que si > K ( < -H), entonces se cumple que: () < -L. lím () = + lím () = L L K -H

17 lím () = - lím () = K -H -L -L Propiedades de los límites de unciones Sean dos unciones, g, tales que: lím () = b lím g() = b donde puede ser un número inito (a) o ininito (+ ó -). Entonces se cumplen las siguientes propiedades. Lím [() + g()] = b + b Lím [() - g()] = b - b Lím [() * g()] = b * b Lím [() g()] = b b (si b ) Estas propiedades resuelven el problema de calcular el límite de una suma, resta, etc., cuando ambos límites son initos. Pero, qué ocurre cuando el límite de un sumando, por ejemplo, es ininito? Si uno de los sumandos tiene límite inito el otro límite ininito, entonces el límite de la suma es ininito. Si los dos sumandos tienen límite ininito del mismo signo, entonces la suma también tiende a ininito, con el mismo signo. Pero si los sumandos tienen límite ininito de dierente signo, el límite de la suma no puede obtenerse como un resultado general, ha que estudiar caso por caso. Resulta de mucha utilidad, para este propósito, la siguiente deinición. Ininitos Deinición: Se dice que una unción es un ininito cuando cumple que: lím () = si se Entre los ininitos los ha más lentos los que más rápidamente se disparan a valores altos. Ininito rápido Ininito lento

18 Deinición: Se dice que un ininito es de maor orden que otro g, si ( ) Lím g( ) ( ) Lím Deinición: Se dice que un ininito es de menor orden que otro g, si g( ) ( ) Lím Deinición: Se dice que dos ininitos g son equivalentes, si g( ) Se puede demostrar que la suma de ininitos de distinto orden es equivalente al término de maor orden. Si el límite del cociente no es el número uno, sino otro número distinto de cero, entonces los dos ininitos son de igual orden. Un resultado importante: Ord (ininito log) < Ord (ininito potencial) < Ord (ininito eponencial) Entre dos ininitos potenciales por ejemplo, 5 el de maor orden es el que tiene eponente más alto. Aplicando estas reglas se pueden resolver muchos problemas de límites. Ejemplos. + e e con +. Este resultado epresa que el primer ininito es equivalente al segundo. Por qué? Porque la suma de ininitos de distinto orden en este caso, uno potencial más uno eponencial es equivalente al de maor orden.. L Lím. En este caso tenemos el cociente de dos ininitos, uno, + logarítmico otro potencial. Como el del numerador es de menor orden que el del denominador, el cociente tiende a. Aunque el límite de la epresión tiende a, conviene observar que esta tendencia es mu lenta. Por ejemplo, para =, el cociente toma el valor. 66 que es un número mu grande. L 3. lím lím. L. + ½. 4. Lím.e - = lím / e = + Límite de sucesiones Las sucesiones son un caso particular de unciones. Lo que tienen de particular es que su dominio no es el conjunto de los números reales sino el conjunto de los números naturales. Por ejemplo, la sucesión (n) = n asocia a cada número natural su cuadrado. La notación más habitual es de la orma a n = n o bien b n = /n. En el primer caso la sucesión (la unción) hace corresponder a cada natural n su cuadrado, en el segundo caso a cada natural la sucesión le hace corresponder su inverso. En estos casos no tiene

19 sentido estudiar el límite en un punto del dominio, porque en un entorno reducido del punto no ha unción. El único límite que puede deinirse es el caso en que n +. Las propiedades relativas al orden equivalencia de unciones en general, son aplicables al caso del límite de sucesiones.. n 5. n 8. n Ejemplo: Lím lím, donde no es necesario anotar que n 3. n n n +, porque está sobreentendido. Algunas sucesiones de uso recuente son las progresiones aritméticas las progresiones geométricas. Progresiones aritméticas: son sucesiones donde cada elemento se obtiene del precedente adicionándole una constante llamada razón. La sucesión es de la orma: a, a + k, a +.k, a + 3.k, La correspondencia con los naturales puede hacerse a partir del uno (como en el caso precedente) o también a partir del cero. En este caso la correspondencia es así: a a = a + k a = a + k = a +.k --- Obsérvese que la dierencia entre dos elementos consecutivos es siempre la razón k. También se cumple que a n = a n- + k n >, donde a n se denomina término general de la sucesión. Ejemplos de progresiones aritméticas son: el conjunto de los naturales (razón = ), el conjunto de los números naturales pares (razón = ) el conjunto de los naturales impares (razón = ). Progresiones geométricas: son sucesiones donde cada elemento se obtiene del precedente multiplicándolo por una constante, también llamada razón de la progresión. Las progresiones geométricas tienen la orma: a, a.q, a.q, a.q 3, Aquí el cociente de dos términos consecutivos es siempre la razón q el término general es: a n = a n-.q n >. El ejemplo más conocido de progresión geométrica es el conjunto de las potencias de :,,, 3, La ama de esta progresión resulta de la anécdota que cuenta que el Sha de Persia quiso premiar al inventor del ajedrez con el regalo que éste quisiera elegir. El inventor pidió un grano de trigo ( ) por el primer escaque del tablero de ajedrez, dos granos ( ) por el segundo escaque, cuatro granos ( ) por el tercero así hasta completar el escaque 64 por el que pidió 63 granos de trigo. El Sha mandó al jee de los graneros reales que pagara inmediatamente el premio, pero éste le hizo saber que serían necesarias muchas cosechas anuales para cumplir con el pedido, porque la suma de granos de trigo que es igual a ( 64 ) es un volumen superior al del Monte Everest.

20 Las progresiones ueron utilizadas por el economista inglés Thomas Malthus ( ) en su amosa le por la cual la población crece según una progresión geométrica (de razón maor que uno) mientras que los alimentos crecen según una progresión aritmética. Según Malthus, la única orma de evitar las hambrunas sería mediante el control de la natalidad. Otra sucesión conocida, principalmente por su relación con el arte la naturaleza, es la sucesión de Fibonacci. También en este caso el término general de la sucesión está relacionado con los términos precedentes. La sucesión de Fibonacci (75-5) se deine así: a = a = a n = a n- + a n- n > Aplicando la órmula del término general se obtiene:,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89,, sucesión que tiene las siguientes propiedades.. Lím a n = +. a n es creciente. a n 3. Si se deine b n =, entonces lím bn,68 =, límite con nombre propio en an matemática porque los números,,, + están en proporción. Se cumple que: / = / (+) o también.(+) = La relación entre o bien la relación entre + se conoce como relación áurea. La ama del número deriva del hecho que, para el ojo humano, las iguras rectangulares que tienen por ancho largo números proporcionales a o a +, son los más agradables o áciles de captar. Por eso las postales suelen tener medidas 6 las otos comunes 9 5 aproimadamente. 4. Si se genera una igura abierta en orma de espiral cuos lados son los elementos de la sucesión de Fibonacci se inscribe en ella una curva, se obtiene la espiral logarítimica, considerada de las más bellas curvas matemáticas.

21 5. El número vuelve a aparecer al calcular la diagonal de un rectángulo de ancho mitad del largo. El cociente de la dierencia entre (digonal ancho) largo, resulta igual a. D = A + (.A) D = 5.A D A 5. A A 5 D.A =, A. A A Ininitésimos Deinición: Se dice que una unción es un ininitésimo cuando + si se cumple que: lím () =. + También entre los ininitésimos los ha más lentos más rápidos, pero la lentitud o rapidez reiere a la velocidad con que se acercan a. Por ejemplo, / tiende a cero más rápido que /. También se pueden establecer reglas sobre el orden de los ininitésimos. Cuando +: Ord (ininitésimo potencial) < Ord (ininitésimo eponencial) Por ejemplo: ord( -/ ) < ord(/) < ord(/ ) < ord(/ 3 ) < ord(e - ). También se pueden deinir ininitésimos cuando. Son ejemplos de ininitésimos en este caso:,,, 3, e, L(+), pues todos ellos tienden a cero cuando. En el caso de los potenciales, el orden crece con el eponente. La equivalencia se deine en los mismos términos que la equivalencia de ininitos. Pero en el caso de la suma de ininitésimos de distinto orden, la suma es equivalente al de menor orden (obsérvese la dierencia con la propiedad en ininitos), esto es así, porque el más lento enlentece la suma. Se puede demostrar que los ininitésimos ( e ) L(+) son equivalentes del ininitésimo, cuando. Los límites tipo Como consecuencia de la última propiedad enunciada más arriba, de otras propiedades, se tienen los siguientes resultados tipo.

22 a) Lím b) Lím e e cuando cuando L( ) c) Lím cuando e d) Lím cuando sen e) Lím cuando Ejemplo:. L( ). L( ). Lím lím lím 3 Los argumentos para resolver este ejemplo son la equivalencia de la suma de ininitos (por ejemplo, 3 - ) una propiedad que permite etender los resultados de los límites tipo cuando sustituendo al ininitésimo por otro ininitésimo. En este ejemplo, dado que L( + ), la aplicación de la propiedad permite airmar que L( + ). El último de los límites tipo no será utilizado en el curso porque hemos optado por dejar de lado las unciones trigonométricas. Sin embargo, por su valor didáctico, lo habremos de aplicar en el siguiente ejemplo. Considérese un polígono regular inscrito en una circunerencia de radio r =. r Nos interesa calcular el área del polígono inscrito observar lo que ocurre cuando aumenta el número de lados. Es intuitivo que el área aumenta a medida que aumenta el número de lados del polígono. Qué ocurre con el área del polígono si hacemos tender a + el número de lados? El límite del área de los polígonos, cuando el número de lados tiende a +, debería coincidir con el área del círculo,.r, en este caso. Vamos a demostrarlo. Este ejemplo puede ser omitido en una primera lectura.

23 Supongamos que el polígono tiene n lados, que la medida del lado es L. El polígono no es otra cosa que la unión de n triángulos de la orma: h L El área del triángulo se puede epresar en unción de su altura (h) de la base. A su vez, podemos calcular la altura del triángulo en unción de L. La mitad del triángulo tiene un ángulo recto, por tanto, se puede aplicar el teorema de Pitágoras. h Por Pitágoras: h + (L/) =. Entonces: h + L /4 =. Entonces: h = L / 4. Resulta que el área del medio triángulo es: (L/* L / 4 )/, el área del triángulo es L/* L / 4 el área del polígono es n* L/* L / 4. Eiste alguna relación entre n L? Por ejemplo, sabemos que si el polígono inscrito es un heágono (n = 6) el lado mide. Pero si n es un natural cualquiera, la relación entre n L es un poco más complicada. Si ha n lados en el polígono, entonces ha n triángulos cuo ángulo al centro mide 36º/n o lo que es lo mismo en radianes,./n. Por tanto, el medio triángulo tiene ángulo al centro = /n. L/ h L/

24 cateto opuesto L / L L Por deinición: sen = sen L. sen. hipotenusa n n Esta es la relación entre L n. Ahora podemos epresar el área del polígono eclusivamente en unción de n. Área del polígono =. sen n n * *. sen n 4 n * sen * n sen n * sen * cos n n n Qué ocurre con el área del polígono cuando n +? Ocurre que /n tiende a, también sen(/n) tiende a, cos(/n) tiende a, por límites tipo se cumple que: sen n Lím n n Por tanto: En consecuencia: Y inalmente: Lím n Lím * sen n n Lím n * sen n n n * sen * cos, que era lo que queríamos probar. n n Continuidad Recordamos que entre los ejemplos iniciales de esta sección nos interesó identiicar aquellos casos en que el gráico de la unción se puede dibujar sin levantar el lápiz al pasar por =a. Ahora vamos a centrar nuestro interés en este concepto. Deinición: Se dice que es una unción continua en el punto =a si se cumple que lím () = (a). a Qué tiene que ocurrir para que una unción sea continua en el punto =a? Tienen que ocurrir tres cosas: primero, que eista el límite de la unción en el punto, segundo, el

25 punto debe pertenecer al dominio de, es decir, (a) es un número, en tercer lugar, deben coincidir el límite en el punto con el valor uncional. Por tanto, una unción no es continua en el punto =a si el punto no pertenece al dominio de la unción, si no eiste el límite de la unción en el punto, por ejemplo, porque los límites laterales son dierentes o porque no eiste uno de los límites laterales. Cuando una unción no es continua en un punto, se dice que es discontinua. Indicar en cuáles de los ejemplos del inicio de esta sección, la unción es discontinua. Marcarlos con una cruz. A B C D E F G H I J Deinición: Se dice que es una unción continua en el punto =a - si se cumple que lím () = (a). En tal caso se dice que la unción es continua lateralmente por izq. a - Deinición: Se dice que es una unción continua en el punto =a + si se cumple que lím () = (a). En tal caso se dice que la unción es continua lateralmente por der. a + Revisando las deiniciones se deduce que si una unción es continua también es continua lateralmente por izquierda por derecha. También puede asegurarse el recíproco: si una unción es lateralmente continua en un punto por izquierda por derecha, entonces es continua en el punto. También se puede hablar de discontinuidad lateral. Indicar en cuáles de los ejemplos del inicio de esta sección, la unción es continua por izquierda. Marcarlos con una cruz. A B C D E F G H I J Indicar en cuáles de los ejemplos del inicio de esta sección, la unción es continua por derecha. Marcarlos con una cruz. A B C D E F G H I J Cuando en un punto los límites laterales de la unción son iguales initos, pero no coinciden con el valor uncional o éste no está deinido, se dice que la discontinuidad en el punto es evitable. Indicar en cuáles de los ejemplos del inicio de esta sección, la unción presenta una discontinuidad evitable. Marcarlos con una cruz. A B C D E F G H I J

26 Cuando en un punto los límites laterales de la unción son initos dierentes, se dice que la unción presenta en el punto una discontinuidad con salto inito. Indicar en cuáles de los ejemplos del inicio de esta sección, la unción presenta una discontinuidad con salto inito. Marcarlos con una cruz. A B C D E F G H I J Cuando en un punto uno de los límites laterales de la unción es ininito, se dice que la unción presenta una discontinuidad con salto ininito. Indicar en cuáles de los ejemplos del inicio de esta sección, la unción presenta una discontinuidad con salto ininito. Marcarlos con una cruz. A B C D E F G H I J Deinición: Se dice que es una unción continua en el intervalo (a, b) si es continua en cada punto del intervalo abierto (a, b). Deinición: Se dice que es una unción continua en el intervalo cerrado [a, b] si es continua en cada punto del intervalo abierto (a, b), es continua en =a por derecha es continua en =b por izquierda. Entonces, una unción es continua en un intervalo cerrado si el gráico de la unción en dicho intervalo se dibuja sin levantar el lápiz. (I) (II) (III) a b a b a b (I) (II) (III) es continua en (a, b) en [a, b]. es discontinua en (a, b) en [a, b]. es continua en (a, b) pero es discontinua en [a, b]. Qué ocurre con la propiedad de continuidad en un intervalo abierto o cerrado cuando se opera con unciones? La propiedad de continuidad se etiende sin diicultad a la suma, resta multiplicación de unciones. En el caso de la división, radicación logaritmación se presentan algunas diicultades. En el siguiente cuadro se presentan los

27 resultados más importantes. Donde aparece la epresión intervalo cerrado puede sustituirse por intervalo abierto la propiedad enunciada sigue siendo válida. Sean g dos unciones continuas en el intervalo [a, b]. Entonces: a) La suma ( + g) es una unción continua en el intervalo [a, b]. b) La resta ( - g) es una unción continua en el intervalo [a, b]. c) La multiplicación ( * g) es una unción continua en el intervalo [a, b]. d) El cociente ( / g) es una unción continua en el intervalo [a, b] si g() en [a, b]. e) Las unciones e e g son unciones continuas en el intervalo [a, b]. ) La unción es una unción continua en el intervalo [a, b] si () en [a, b]. g) La unción L() es una unción continua en el intervalo [a, b] si () > en [a, b]. Deinición: Máimo (o máimo absoluto) de una unción en un intervalo [a, b] es el maor valor que toma la unción al recorrer todos los valores del intervalo. Se llama punto de máimo al valor de donde presenta un máimo absoluto. Deinición: Mínimo (o mínimo absoluto) de una unción en un intervalo [a, b] es el menor valor que toma la unción al recorrer todos los valores del intervalo. Se llama punto de mínimo al valor de donde presenta un mínimo absoluto. Dada una unción en un intervalo cerrado, siempre eisten el mínimo el máimo? La respuesta es negativa. Sin embargo, si la unción es continua en dicho intervalo, la respuesta es airmativa, este importante resultado es el que se enuncia a continuación. Teorema de Weierstrass: Toda unción continua en un intervalo cerrado tiene mínimo máimo absolutos (el teorema no es cierto si el intervalo es abierto, como lo prueba el ejemplo III). Que el gráico de una unción continua en un intervalo cerrado se puede dibujar sin levantar el lápiz es otra orma de enunciar el siguiente teorema. Teorema de Darbou: Si una unción es continua en un intervalo cerrado, entonces la unción toma, por lo menos una vez, todos los valores comprendidos entre el mínimo el máimo absolutos. Este teorema proporciona un método para aproimar raíces reales en el caso de unciones continuas. Por ejemplo, la unción polinómica P() = toma los valores P() = - P() = +. Como los polinomios son unciones continuas para todo real, P es también una unción continua en el intervalo [, ]. Más adelante demostraremos que P es una unción que crece en el intervalo [, ]. En consecuencia, en = la unción presenta el mínimo absoluto (-) en = presenta el máimo absoluto (+), por el Teorema de Darbou la unción pasa por todos los valores intermedios entre - +. En particular, la unción toma, en algún punto del intervalo, el valor. Por tanto, en el intervalo [, ] el polinomio tiene una raíz. El Teorema no asegura que haa una sola raíz en el intervalo, airma que ha por lo menos una.

28 Repartido Práctico.: Límites de unciones Ejercicio Calcular los siguientes límites de unciones.. Lím ( ) -. Lím 5 3. Lím 4. Lím ( + 3).e Lím + L 6. Lím Raíz() 4 7. Lím Raíz() 8. Lím Raíz() + 9. Lím / +. Lím / -. Lím /. Lím + 3. Lím 4. Lím ( )/( + ) -

29 Repartido Práctico.: Límites de unciones Ejercicio (cont.) 5. Lím Lím L 7. Lím + L 8. Lím Lím + 3. Lím -. Lím L( + ) -. Lím L( + / ) - 3. Lím 4/ + 4. Lím 4/ - 5. Lím Lím ( + /) + 7. Lím L(+)

30 Repartido Práctico.: Límites de unciones Ejercicio En cada uno de los gráicos que siguen indicar si eiste el límite de la unción + cuando a, cuando cuando a - cuando a, en caso airmativo, indicar su valor. CASO CASO CASO 3 c b (a) = b b d a a a CASO 4 CASO 5 CASO 6 c b b b a a a CASO 7 CASO 8 CASO 9 ( a)= b b a a a CASO CASO CASO a b b a a

31 Repartido Práctico.: Límites de unciones Ejercicio 3 Calcular el límite, cuando n +, de las siguientes sucesiones.. (n) = + n. n (n) = n 3. (n) = n n 4. (n) = n n.ln 5. (n) = n.e -n 6. (n) = n n 7. (n) = 3 n n 8. (n) = L(n 5n +) L(n + 4n + ) 9. n (n) = n. (n) = n n

32 Repartido Práctico.: Continuidad de Funciones Ejercicio Con relación a los casos del Ejercicio del Repartido de Límites, estudiar la continuidad la continuidad lateral de la unción del gráico en = a. Ejercicio Estudiar la continuidad de la unción del gráico en los intervalos (a, b) [a, b] en cada uno de los siguientes casos. CASO A CASO B CASO C CASO D a b a b a b a b CASO E CASO F CASO G CASO H a a b a b b a b CASO I CASO J CASO K CASO L a b a b a b a b

33 Repartido Práctico.: Continuidad de Funciones Ejercicio 3 Estudiar la continuidad la continuidad lateral en todo el dominio de las unciones elementales:,,, e, L. Ejercicio 4 Estudiar para todo real la continuidad de las siguientes unciones. a) () = 4 b) () = 4 c) () = 4 4 d) () = 4 e) () = 3 ) () = L( 4) si si Ejercicio 5 Estudiar la continuidad de las unciones que siguen en el intervalo [, ]. a) () = 9 b) () = 4 c) () = 9 d) () = L(4 )

34 . DERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES. MONOTONÍA, EXTREMOS Y CONCAVIDADES. En esta sección se introducen dos conceptos claves para el estudio de las unciones: derivada de una unción en un punto unción derivada. Optamos por introducir el primer concepto apelando a la interpretación geométrica, para luego presentar la deinición analítica. Qué es la tangente a una curva en un punto? Si la curva es una circunerencia, entonces la tangente a la circunerencia en un punto es la única recta que pasa por ese punto toca a la circunerencia sólo en ese punto. r S r P r no es tangente a la circunerencia en P, porque la corta en dos puntos (P S). r es una cuerda de la circunerencia. r es la tangente en P. Qué sucede si el punto S se mueve en la dirección de P, éste permanece ijo? A medida que S se acerca a P, la recta r se acerca a la posición de r, de tal orma que cuando S coincide con P, entonces r se superpone con r. Consideremos ahora el gráico de una unción (la circunerencia no es el gráico de ninguna unción). () r 3 r r P Por el punto P pasan muchas rectas que cortan el gráico de la unción en un solo punto. Estamos interesados en encontrar una recta que corte al gráico en P pero que, además, se parezca al gráico en las vecindades de P tanto como sea posible. Tal recta

35 es, en la igura, r. Para encontrar la órmula analítica de r vamos a considerar una cuerda de la curva que pase por P (tal como hicimos en el caso de la circunerencia). () r (a + h) S (a) P a a + h Las coordenadas de los puntos son P = (a, (a)) S = (a + h, (a + h)) donde h es una variable que no depende de a (el punto P está ijo por tanto a es también un número ijo). La dierencia entre las abcisas de los dos puntos es h = (a + h) a esta dierencia en las abcisas origina una dierencia de ordenadas (a + h) (a). En el gráico de la igura se ha tomado h >, pero h puede ser negativa si se elige el punto S a la izquierda del punto P. Hagamos tender el punto S hacia el punto P, con lo que la recta r tenderá hacia la posición de la tangente a la curva en el punto P. Se observa que para que S tienda a P alcanza con que h. Cuál es la ecuación de la recta r? Es la ecuación de la recta que pasa por dos puntos: ( a h) ( a) Ecuación de r : * ( a) ( a) ( a h) a Cuando h, r tiende a la posición de la tangente a la curva por P: ( a h) ( a) Ecuación de la tangente a la curva en P: [ Lím *( a) ( a) ] h h ( a h) ( a) Entonces, la epresión Lím cuando h es el coeiciente h angular de la recta tangente a la curva en el punto P. Deinición: Se llama derivada en el punto =a de la unción, se anota (a), al ( a h) ( a) resultado de la epresión Lím. h h Observaciones. No siempre eiste la derivada de la unción en un punto. Ello depende de la eistencia del límite que deine (a).

36 . Si eiste (a), entonces (a) es el coeiciente angular de la recta tangente a la curva en el punto de abcisa =a. En tal caso, la ecuación de la tangente se puede escribir así: = (a)*( a) + (a). ( a h) ( a) 3. La epresión es un cociente (denominado cociente incremental) h cuo denominador es un ininitésimo cuando h. Entonces, para que el límite de dicha epresión sea un número inito, el numerador también tiene que ser un ininitésimo del mismo orden que h o de orden superior. Entonces, Lím [(a + h) (a)] = cuando h que es lo mismo que airmar que Lím () = (a) cuando a, que es la deinición de unción continua en el punto =a. En otras palabras, para que eista sea inita la derivada de la unción en un punto, es condición necesaria que la unción sea continua en dicho punto. ( a h) ( a) 4. Cuando Lím =, la interpretación geométrica es que en el punto h h de abcisa =a no ha tangente a la curva el gráico tiende a comportarse como la recta = a. 5. Cuando el límite de la epresión no eiste, entonces la curva no tiene una tangente en el punto =a. Sin embargo, bien podrían eistir los límites laterales cuando h + cuando h -. En este caso la curva tiene tangentes laterales dierentes a izquierda derecha del punto =a. r r r a a a a ( a h) ( a) Lím = h h + - (a - ) si h - (a) no eiste (a - ) (a + ) (a) no eiste Tangente = a = a tg en a - ) r tg laterales: r r ( a h) ( a) Cuando eisten son initos los Lím cuando h + h -, se h dice que tiene en =a derivadas laterales. Una condición necesaria para la eistencia de (a) es que eistan (a - ) (a + ) que sean iguales. Cuando (a - ) (a + ) eisten, son initos distintos, se dice que la curva presenta en =a un punto anguloso. Ejemplo: Considérese la unción :() =. Se quiere calcular, si eiste, ().

37 '() ( h) lím h h () ( h) h 4. h lím lím lím ( h 4) 4. h h h h h Entonces () = 4. Cuál es la interpretación geométrica de este resultado? La tangente a la curva = en el punto = tiene coeiciente angular igual a 4. = tg 4 La tangente tiene coeiciente angular 4 pasa por el punto (, 4). Por tanto, la ecuación de la tangente a la curva en el punto = es: = 4. 4 Deinición: Se llama derivada de la unción (notación: o bien ) a una unción que a cada punto del dominio de le hace corresponder el valor de la derivada en dicho punto. : () Ejemplo: Considérese la unción :() =. Se quiere calcular (). ( h) ( ) ( h) h.. h '( ) lím lím lím lím ( h. ).. h h h h h h h Con el mismo argumento se puede demostrar que si () = 3, entonces () = 3. más en general, que si () = m, entonces () = m. m-. Ya sabemos derivar un monomio. Cómo se hace para obtener la derivada de una unción polinómica? Necesitamos saber cómo se obtiene la derivada de una suma de unciones la derivada del producto de una unción por una constante. Para hallar la derivada de unciones cualesquiera, se pueden aplicar los siguientes métodos: I) Utilizando la deinición de unción derivada, mediante límites. Así se obtienen las derivadas de las unciones elementales que aparecen en la tabla más abajo. II) Utilizando una tabla de derivadas III) Utilizando las reglas de derivación para operaciones con unciones para unciones compuestas.

38 Reglas para la derivación Derivada de una suma de unciones: ( ) g( ) ' '( ) g'( ) Derivada de una resta de unciones: ( ) g( ) ' '( ) g'( ) Derivada de una constante por una unción: [K.()] = K. () Derivada de un producto de unciones: ( ). g( ) ' '( ). g( ) ( ). g'( ) ( ) Derivada de un cociente de unciones: g( ) ' Derivada de un logaritmo neperiano: L ( ) ' '( ). g( ) ( ). g'( ) g ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) Derivada de una eponencial de base e: e e. '( ) Derivada de una raíz cuadrada: ( ) ' ' '( ). ( ) Derivada de una unción de unción: g( ) ' ' g( ). g'( ) Derivada de la derivada = Derivada segunda = () = [ ()] Tabla de derivadas elementales () () K m m. m- / -/. e a e a.la L / L /

39 Aplicando las tres primeras reglas la órmula para la derivada de m se puede calcular la derivada de cualquier unción polinómica. Las dos primeras reglas establecen que la derivada de una suma es la suma de las derivadas, que la derivada de una resta es la resta de las derivadas. El producto la división de unciones no tienen esta sencilla propiedad. Aunque resulte obvio, para que eista la derivada de una suma (de una resta o de un producto) deben eistir las derivadas de los sumandos (del minuendo el sustraendo o de los actores, respectivamente). En el caso de la derivada de un cociente o de una unción compuesta, es necesario imponer condiciones adicionales a la derivabilidad de numerador denominador o de las unciones que intervienen en la composición. Ejemplo: Hallar la derivada de la unción polinómica P() = ½. + 8 P () = 3.(4. 3 ) +.(3. ) ½.(.) + = Qué es la derivada segunda de una unción? Es la derivada de la unción derivada. Notación: () = [ ()]. Ejemplo: P() = ½. + 8 P () = P () =.(3. ) + 6.(.) = Aplicación de las derivadas para el estudio gráico de unciones En el estudio analítico representación gráica de unciones interesa conocer: - el dominio de eistencia de la unción - la continuidad de la unción - las raíces de la unción, es decir, el conjunto solución de la ecuación () = - los límites laterales en los puntos donde ha discontinuidad - el comportamiento (asintótico o no) de la unción cuando - los intervalos de monotonía de la unción (intervalos donde crece o decrece) - la eistencia de etremos relativos (máimos mínimos relativos) - la eistencia de etremos absolutos - la orma de la curva en cada intervalo: concavidad conveidad - la eistencia de puntos de inleión - la eistencia de puntos donde no eiste la tangente a la curva. En Economía las variables más usuales son no negativas (por ejemplo, precios cantidades). Entonces, buena parte de los problemas a estudiar tienen la restricción, es decir, el dominio de la unción inclue sólo valores no negativos el gráico se concentra en un semiplano, muchas veces, en el primer cuadrante del par de ejes cartesianos ortogonales. Además, los precios las cantidades no pueden crecer indeinidamente, por lo que en Economía el lím () cuando + presenta poco interés. Los problemas en los que nos vamos a concentrar principalmente son: identiicar Ecepciones a esta regla son las variables que miden la utilidad monetaria en las empresas o las que miden variaciones periódicas.

40 intervalos de monotonía estudiar la eventual eistencia de etremos, relativos absolutos. Para resolver estos problemas, el concepto de unción derivada resulta mu útil. Monotonía Si para todo, <, pertenecientes al intervalo [a, b] es: - ( ) ( ), entonces es creciente en sentido amplio en [a, b] - ( ) < ( ), entonces es estrictamente creciente en [a, b] - ( ) ( ), entonces es decreciente en sentido amplio en [a, b] - ( ) > ( ), entonces es estrictamente decreciente en [a, b] Una unción es monótona (creciente o decreciente) en un intervalo cuando cumple con alguna de las cuatro deiniciones anteriores. En el primer caso, por ejemplo, se dice que es monótona creciente en sentido amplio. Etremos absolutos Máimo (o máimo absoluto) de una unción en un intervalo [a, b] es el maor valor que toma la unción al recorrer todos los valores del intervalo. Se llama punto de máimo al valor de donde presenta un máimo absoluto. Mínimo (o mínimo absoluto) de una unción en un intervalo [a, b] es el menor valor que toma la unción al recorrer todos los valores del intervalo. Se llama punto de mínimo al valor de donde presenta un mínimo absoluto. Etremos relativos La unción presenta un máimo relativo (en sentido amplio) en = a si eiste un entorno de a de radio, tal que para todo perteneciente a la intersección del entorno con el D() es () (a). La unción presenta un máimo relativo (en sentido estricto) en = a si eiste un entorno de a de radio, tal que para todo perteneciente a la intersección del entorno con el D(), a, es () < (a). La unción presenta un mínimo relativo (en sentido amplio) en = a si eiste un entorno de a de radio, tal que para todo perteneciente a la intersección del entorno con el D() es () (a). La unción presenta un mínimo relativo (en sentido estricto) en = a si eiste un entorno de a de radio, tal que para todo perteneciente a la intersección del entorno con el D(), a, es () > (a). Aplicación de las derivadas Vamos a suponer por un momento que en el intervalo donde interesa estudiar la unción, [a, b] ó [a, +), eiste la derivada en todo el dominio de la unción. Entonces, se tienen los siguientes resultados: