12 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

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1 FUNCINES EPNENCIALES LGARÍTMICAS PARA EMPEZAR Epresa el número como potencia de base ( ) ( ) ( ) Calcula los siuientes loaritmos. a) lo 3 7 b) lo 5 65 c) lo 9 3 a) lo 3 7 3, ya que b) lo , ya que c) lo 9 3, ya que Si lo 5 0,699, cuánto valdrá lo 500? lo 500 lo (5 00) lo 5 lo 00 0,699,699 4 La supericie de un bosque en un parque natural se duplica cada 50 años. Si actualmente es de 3 kilómetros cuadrados, cuál será dentro de dos silos? La supericie dos silos después será de 48 kilómetros cuadrados. La unción eponencial b (b ) PARA PRACTICAR. Calcula los valores que toman las unciones y para,, 0, y. Para la unción tenemos que: () 3 () 7 () 3 9 () 3 3 (0) () 3 () 3 9 Para la unción tenemos que: () 7 () (0) () 7 () Utiliza la calculadora para obtener los valores de la unción () 6 en y. 6,603; () 6 78,376 Ejercicio resuelto.3 Muy importante en matemáticas por sus numerosas aplicaciones es la unción eponencial () e, en la que la base es el número irracional e,78 Representa esta unción ráicamente. Formamos una tabla de valores utilizando la tecla e de la calculadora. y = e 0 e 0,37,7 7,39 Con ayuda de estos puntos trazamos la ráica. 56

2 .4 Utiliza la tecla 0 de la calculadora para representar la unción eponencial de base 0. Formamos una tabla de valores utilizando la tecla de la calculadora. 0 y = 0 0 0,5 0 0, 3, Representa ráicamente las unciones () 4 y () 9. Cuál crece más rápido? Por qué? Crece más rápido () 9, ya que su base es mayor. 0 0,5 () () Qué ráica crece más deprisa, la de y o la de y 3? Por qué? Crece más rápido y 3, ya que su base es mayor. () = 4 () = 9 Ejercicio resuelto.7 A partir de la ráica de la unción y, dibuja las ráicas de las unciones: () 3 () La ráica de se obtiene desplazando la de y tres unidades hacia arriba. y = La ráica de se obtiene trasladando la de y dos unidades hacia la izquierda..8 A partir de la ráica de y 3, representa las unciones siuientes. () 3 () 3 h() 3 4 La ráica de la unción se obtiene trasladando la ráica de la unción y 3 dos unidades hacia arriba. La unción se obtiene desplazando la ráica de y 3 dos unidades hacia la derecha. La ráica de h se obtiene desplazando la ráica de y 3 dos unidades hacia la izquierda y cuatro unidades hacia arriba. h () = () = y = 3 () = 3 57

3 PARA APLICAR Problema resuelto.9 Una persona inresa en un banco 000 euros a un interés anual del 3%. Si no retira el capital ni los intereses, qué capital tendrá al inal del quinto año? Al irse añadiendo al inal de cada año los intereses al capital inicial (interés compuesto), podemos aplicar la órmula de los aumentos eponenciales: t C C i in terés ,035 38,55.0 Realiza una ráica que muestre el capital que se iría enerando a lo laro del tiempo al colocar 5000 euros en un banco al 4% de interés compuesto. Seuiría la unción y 5000 (,04), donde son los años transcurridos. Su ráica es: y = 5000, Es lo mismo un interés compuesto mensual del % que un interés compuesto anual del %? Aplícalos a un capital de 000 euros. No es lo mismo. Con un % anual, en un año 000 euros se convierten en: 000, 0. Con un % mensual, en un año 000 euros se convierten en: 000,0 6,83.. Un bosque tarda aproimadamente 0 años en duplicar la cantidad de madera que produce. Escribe la órmula que epresa la cantidad de madera producida al cabo de t años. Llamamos C i a la cantidad inicial de madera producida y C a la cantidad inal de madera producida, entonces la ormula t quedaría así: C C i 0..3 Un alcalde ha prometido en la campaña electoral que las inversiones del Ayuntamiento en políticas sociales aumentarán un 3% cada año durante la nueva leislatura. Sabiendo que el año anterior a su elección, el Ayuntamiento astaba de euros en dichas políticas, elabora una ráica que represente la cantidad de dinero que invertirá a lo laro de los próimos cuatro años de mandato. La cantidad invertida es: y ,03, donde es el número de años transcurridos. Su ráica es la siuiente: y = ,

4 .4 La evolución de la población mundial tiene un comportamiento que se aproima a una unción eponencial, como muestra la siuiente ráica. a) Resume los datos de la ráica en una tabla. 6 5 b) En torno a qué año ha comenzado la población 4 a crecer más rápidamente? 3 c) Describe las características de la unción. Población (miles de millones) Año a) Año Población de 6000 b) En torno al año 900. c) Su dominio es R. Su recorrido es R. No corta el eje. Cortan el eje en el punto (0, 5). Es continua. Es creciente. Cuando los valores de tienden a, los de y tienden a. Cuando los valores de tienden a, los de y tienden a 0, es decir, la recta y = 0 es una asíntota horizontal. La unción eponencial b (0 b ) PARA PRACTICAR Ejercicio resuelto.5 btén, sin utilizar la calculadora, los valores que toman las unciones y para,, y. () 3 () 3 Se sustituyen los valores de en las órmulas y se aplican las propiedades de las potencias: () () 3 () 3 9 () 3 3 () 3 () 3 () 3 3 () 3 3 () 3 9 () btén, sin utilizar la calculadora, los valores que toman las unciones y para,, 0, y. () 7 () 0 () 7 49 () 7 7 (0) 7 0 () 7 7 () () 0 00 () 0 0 (0) 0 0 () 0 ()

5 .7 Halla con la calculadora los valores que toma la unción () 4 en 3 y ,09; () 4 0, Representa ráicamente las siuientes unciones. a) y 4 b) y 0,5 0 0,5 () 4 0,5 4 () 3,47 0,8 () = 4 () = Ejercicio resuelto.9 A partir de la ráica de la unción y, dibuja las ráicas de las unciones siuientes. () 3 () La ráica de se obtiene trasladando la de y tres unidades hacia arriba. Como () ( ), la ráica de se obtiene desplazando la ráica de y dos unidades hacia la derecha. y.0 A partir de la ráica de y 5, representa las unciones siuientes. () 5 () 5 h() Como () 5 5 (), la ráica de se obtiene desplazando la ráica de y 5 dos unidades hacia la derecha. Como () 5, la ráica de se obtiene trasladando la ráica de y 5 dos unidades hacia abajo. Como h() ( 3) 4 la ráica de h se obtiene desplazando la ráica de y 5 tres unidades hacia la derecha y cuatro unidades hacia arriba. () = 5 + h () = y = 5 () = 5 60

6 PARA APLICAR. Los núcleos de los elementos radiactivos se transorman en otros más estables mediante la emisión de dierentes partículas subatómicas. La iura muestra la curva de desinteración del uranio 38. a) Se llama período de semidesinteración al tiempo necesario para que se desinteren la mitad de los núcleos. Cuál es el período de Uranio 38 semidesinteración del uranio 38? b) Cuánto tardará una muestra de 500 ramos de uranio 38 en reducirse a 6,5 ramos? 5 Porcentaje Tiempo (millones de años) a) El período de semidesinteración es 4500 millones de años. b) Tenemos que 6,5 ramos corresponde al,5% de 500 ramos, por lo que observando en la ráica el tiempo que tardará en reducirse será años.. Un cubito de hielo de centímetros cúbicos se introduce en una bebida. Cada minuto que pasa, el 0% de su volumen se transorma en aua líquida. Cuánto tiempo tiene que pasar para que se derrita la mitad del cubito de hielo? El volumen del cubito siue la unción y (0,9) ; donde son los minutos transcurridos desde que se introdujo en la bebida. Todo se reduce a resolver la ecuación: (0,9) (0,9) 0,5 lo 0,9 0,5 l o 0, 5 6,58 minutos lo 0, 9.3 Desde el momento en que se compra un automóvil, su valor se deprecia a razón de un 0% anual. Si hoy compramos un coche cuyo valor es de euros: a) En cuánto estará valorado al cabo de un año? b) al cabo de dos años? c) al cabo de tres años y medio? d) Escribe la órmula de la unción que relaciona el valor en euros del coche con el tiempo en años transcurrido desde su compra. e) Representa ráicamente la unción y describe sus características principales. a) , b) (0,80) 9 00 c) (0,80) 3, ,40 d) y (0,80), donde son los años transcurridos desde la compra. e) Su dominio es R. Su recorrido es R. No corta el eje. Corta el eje en el punto (0, ). Es continua. Es decreciente Cuando los valores de tienden a, los de y tienden a 0, es decir, la recta y 0 es una asíntota horizontal. Cuando los valores de tienden a, los de y tienden a. 6

7 La unción loarítmica lo b (b ) PARA PRACTICAR.4 Sin utilizar la calculadora, halla los valores que toma la unción () lo para, 3, y 6. () lo 0, ya que 0 (3) lo 3 5, ya que = lo 6 4, ya que 4 /6 lo /, ya que Ejercicio resuelto.5 Representa la unción loaritmo neperiano y ln. Formamos una tabla de valores utilizando la tecla ln 0, 0, y,30 0,69 0,6,30 3,9 4,6 de la calculadora. y = ln Con estos puntos trazamos la ráica:.6 Representa las siuientes unciones empleando la órmula de cambio de base y la calculadora: () lo 5 () lo 3 () = lo 3 lo () lo 5 l o 5 lo () = lo 3 l o () 0 0,43 0,68 0,86 () 0 0,63,6,46 () = lo 5 Ejercicio resuelto.7 A partir de la ráica de la unción y lo, representa las ráicas de las unciones siuientes. () lo ( ) () lo La ráica de la unción se obtiene trasladando la ráica de la unción y lo una unidad a la izquierda. La ráica de la unción se obtiene trasladando la ráica de la unción y lo una unidad hacia abajo. y = lo.8 A partir de la ráica de la unción y lo 5, representa las unciones siuientes. () lo 5 ( 3) () lo 5 4 La ráica de se obtiene desplazando la ráica de la unción y tres unidades hacia la izquierda. La ráica de se obtiene desplazando la ráica de la unción y cuatro unidades hacia arriba. () = lo 3 +4 y = lo 5 () = lo 5 ( +3) 6

8 .9 A partir de la ráica de la unción () lo, representa ráicamente la de () lo ( ) 3. Para representar esa unción vamos representando las unciones y lo ( ), desplazando una unidad a la derecha; y lo ( ), multiplicando por dos y; inalmente, desplazando y tres unidades hacia abajo tendríamos la unción. () = lo ( ) 3 () = lo PARA PRACTICAR Problema resuelto.30 La supericie de un bosque aumenta un 3,5% al año. Cuánto tiempo tardará en duplicarse? t Como la supericie aumenta eponencialmente: S S i i 00 t Si se duplica la supericie: S S i S i = S i 3,5 lo 00,035t t lo,035 0,5 años lo,035 Tardará, aproimadamente, 0 años y 55 días..3 La tasa de crecimiento anual de la población de una ciudad es del 4%. Cuántos años tienen que pasar para que la población se triplique? t Como la población aumenta eponencialmente: P P i i 00 Si se triplica la población P 3P i 3P i P i 4 00 t 3,04 t t lo 3,04 lo l Tardará aproimadamente 8 años. o 3 8,0 años, 04.3 Se invierte una cantidad de de euros al 6% de interés compuesto anual. Cuánto tiempo debe transcurrir para que el capital supere euros? t ,06 t,5 t lo,5,06 lo Deberán transcurrir casi siete años., 5 6,95 años, Debido a las campañas publicitarias, las donaciones particulares a las NG en una zona de España están creciendo a razón de un 0% anual. En el año 006, en dicha zona alcanzaron la cantidad de de euros. a) Qué unción proporciona los años transcurridos desde 006 en unción de las donaciones particulares recibidas en millones de euros? b) Qué dominio tendrá la unción del apartado anterior para que se ajuste a la realidad? c) Representa dicha unción. a) La unción que nos da las donaciones recibidas conociendo los años transcurridos es y (,). Si pretendemos que la variable dependa de y, lo que tenemos que hacer es despejar de la unción anterior. y (,) = lo, y La unción será y lo, lo, c) b) Su dominio será [ , ), ya que si no obtendríamos un número de años neativo. 63

9 .34 Noelia introduce un termómetro en el interior de un horno apaado, y este marca una temperatura de 5 C. Las instrucciones del horno indican que su temperatura aumenta un 40% cada minuto que transcurre desde el encendido. a) Cuánto tardará el horno en alcanzar la temperatura de 84 C? b) Qué unción nos permite obtener el tiempo que debe estar encendido el horno para alcanzar una temperatura determinada? c) Representa la unción del apartado anterior y describe sus características. a) Se trata de resolver la ecuación: 5 (,4) 84 5 (,4) 84 (,4) 84 (,4),67 lo 5,4,4 lo,4,6 7,45 min 7 min 7 s b) y lo,4 5 donde y es el tiempo que debe estar encendido el horno y la temperatura alcanzada. c) El dominio, teniendo en cuenta el conteto del problema, será [5, ). Su recorrido es R. No corta el eje y corta el eje en el punto (5, 0). Es continua y creciente. Cuando los valores de tienden a 0 por la derecha, los de y tienden a. Cuando los valores de tienden a, los de y tienden a. 5 La unción loarítmica lo b (0 b ) PARA PRACTICAR.35 Halla, sin utilizar la calculadora, los valores que toman las siuientes unciones en los puntos que se indican. a) () = lo en, y b) () = lo 0,5 en, 6 3 y 4 a) 7 lo b) 6 lo 0, , () lo () 0, 3 9 lo / , 3 lo 0,5 3 3, (4) lo 0,5(4).36 Escribe la epresión alebraica de las siuientes unciones. La epresión alebraica de la ráica verde es () lo, ya que (). La ráica roja corresponde a la epresión () lo 0,3, ya que (0,3) ; y la azul es h() lo 0,8, porque h(0,8). h 64

10 .37 Con ayuda de la calculadora cientíica, representa ráicamente las siuientes unciones. () lo 0,5 () lo 0,75 Cuál de ellas decrece más rápido? Por qué? Decrece más rápido () lo 0,75, ya que la base es mayor. () = lo 0,75 () = lo 0,5.38 A partir de la ráica de la unción y lo 0,5, representa las ráicas de las siuientes unciones. () lo 0,5 ( ) h() lo 0,5 3 () lo 0,5 ( 3) i() lo 0,5 : Se traslada la ráica de y dos unidades a la izquierda. : Se traslada la ráica de y tres unidades a la derecha. h: Se traslada la ráica de y tres unidades hacia arriba. h La ráica de i () lo 0,5 es la misma que i() lo 0,5, con lo que cada valor se duplica. i y.39 En cuántos puntos se cortan las ráicas de dos unciones loarítmicas de base b 0? Dos unciones loarítmicas y lo b, con b 0, se cortan únicamente en el punto (, 0)..40 Dibuja la ráica de la unción y lo 0,75 y, apoyándote en ella, dibuja la ráica de la unción () lo 0,75 ( 3) 3. La ráica de la unción se obtendrá desplazando la ráica de y tres unidades hacia la izquierda y, lueo, cada valor se multiplica por tres. 5 y PARA APLICAR Problema resuelto.4 La supericie de bosque del planeta está decreciendo a razón de un % anual. Cuántos años pasarán hasta que dicha supericie represente el 65% de la actual? Como la supericie de bosque decrece eponencialmente: t S S i i 00 La supericie inal va a representar el 65% de la actual, es decir, S 0,65 S i. 0,65 S i S i 00 t 0,65 0,98 t t lo 0,98 0,65 l o 0, 65,3 años lo 0, 98 Pasarán años y 4 meses, aproimadamente. 65

11 .4 En los últimos años, el precio de un producto ha descendido a razón de un 4% anual. Si actualmente el precio es de 5 euros: a) Cuánto costaba hace 3 años? b) Halla la órmula que epresa el tiempo transcurrido en unción del precio del producto. c) Representa ráicamente la unción del apartado anterior. a) Como el precio del producto decrece eponencialmente: t P P i i 00 5 P i P i (0,96) 3 P i 8,5 0, 96 3 Hace 3 años el precio del producto era 8,5 euros. b) La unción que nos da el precio de un producto conociendo los años transcurridos es 5 P i (0,96) t. Si pretendemos que la variable t dependa de P i, lo que tenemos que hacer es despejar t de la unción anterior. 5 P i (0,96) t 5 (0,96) Pi t t lo 0,96 5 Pi c) t 0 5 P i.43 En el proceso de combustión de la madera, la cantidad de esta se reduce a razón de un 5% por minuto. Echamos un trozo de madera de kiloramos al ueo. Transcurrido un tiempo, únicamente quedan 40 ramos de madera. a) Cuánto tiempo hace que arrojamos el trozo de madera al ueo? b) Cuál es la unción que nos proporciona el tiempo transcurrido desde que se echó el trozo de madera al ueo en unción de la madera que aún no se ha quemado? c) Qué dominio tendrá esa unción desde el punto de vista práctico? a) Resolvemos la ecuación: t C C i i 00 0,40 (0,85) t 0, 40 (0,85) t lo 0,85 0,07 l o 0, 07 6,36 min lo 0, 85 Hace 6 minutos y seundos. b) y lo 0,85, donde y representa el tiempo transcurrido en minutos y la cantidad de madera sin quemar en kiloramos. c) Su dominio será (0, ]..44 Al principio de una operación se administran a un paciente 50 miliramos de un ármaco anestésico cuya concentración en la sanre humana disminuye eponencialmente con arrelo a la unción (t) k 0,95 t, donde k es la cantidad inicial en miliramos, y t, el tiempo en minutos transcurrido desde el momento de su administración. a) Cuántos miliramos de anestésico quedan en la sanre del paciente a la hora y media? b) Al cabo de cuánto tiempo su concentración se reduce a la mitad? c) Cuál es la órmula de la unción que nos da el tiempo transcurrido, conocida la concentración? a) Una hora y media son 90 minutos, por lo que: (90) 50 (0,95) 90 0,50 m de anestésico. b) 5 50 (0,95) t ; 5 (0,95) 50 t ; 0,5 (0,95) t ; lo0,95 0,5 t; t 3,5 min. c) (t) lo 0,95 c, donde c es la concentración. 66

12 Relación entre unciones eponenciales y loarítmicas PARA PRACTICAR.45 Dada la tabla de valores correspondiente a la unción, copia y completa la tabla de la unción recíproca () () La unción le hace corresponder a cada número su quinta parte. Cuál es la unción recíproca? La órmula de es () 5 y la de la unción recíproca es () 5. Ejercicio resuelto.47 Halla la unción recíproca de y. En casos sencillos se puede obtener la unción recíproca siuiendo los siuientes pasos.. Se intercambian las variables. y. Se despeja y. y.48 btén las unciones recíprocas de las siuientes unciones. () 3 () h () 5 () 3y 3y y 3 () y y y y h () 5 5 y 0.49 Halla la unción recíproca de cada una de las siuientes. () lo 5 () 5 () 3 () lo 3.50 Considera la unción dada por la siuiente ráica. a) De qué tipo de unción se trata? b) Dibuja la ráica de la unción recíproca. a) Es una unción eponencial. b) Para dibujar tenemos en cuenta que las ráicas de dos unciones reciprocas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante. - () = lo 0 67

13 .5 Cuál es la unción recíproca de () e? La unción loaritmo neperiano: () ln.5 Identiica las siuientes unciones, dibuja en tu cuaderno la ráica de sus unciones recíprocas e indica también su órmula. a) b) a) La unción corresponde a la epresión () lo 5. b) La unción corresponde a () 3 Su unción recíproca es () 5. Su unción recíproca es () lo 3 PARA APLICAR.53 Para llenar un depósito, se abre un rio que arroja un caudal de 0 litros por minuto. a) Cuál es la unción que representa los litros que hay en el depósito en unción del tiempo transcurrido? b) Cuál es la unción recíproca de la obtenida en el apartado anterior? Qué representa? a) y 0, donde representa el tiempo transcurrido. b) 0y y. 0 Representa el tiempo en minutos que hace que se abrió el rio, en unción del volumen de aua en litros que hay en el depósito..54 Una población de parásitos se reproduce duplicando su número cada día. Considerando que todos viven y que inicialmente hay un único parásito: a) Escribe la unción que representa el número de parásitos en unción de los días transcurridos. b) btén su recíproca e indica qué representa. a) y b) y lo. Representa los días transcurridos en unción del número de parásitos que hay. 68

14 .55 El volumen de madera en un bosque es de metros cúbicos. Los estudios muestran que su tasa de crecimiento anual es del 5%. El Gobierno autonómico ha encarado a dos oranizaciones un inorme analizando este crecimiento. La primera oranización estudia la evolución de la cantidad de madera del bosque a medida que transcurre el tiempo. La seunda oranización estudia los períodos de tiempo que han de transcurrir para que el bosque produzca determinado volumen de madera. btén las epresiones de las unciones empleadas en cada estudio y represéntalas. Cómo son sus ráicas? Por qué? La primera oranización utilizó la unción y 5 000,05, mientras que la seunda representó la su unción recíproca, que es: 5 000,05 y (,05) y y lo, y = , y = Las ráicas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante, por ser unciones recíprocas. 500 y = lo,05 = MATEMÁTICAS APLICADAS PARA APLICAR.56 A un laboratorio especializado en datar ósiles mediante la técnica del carbono 4 han lleado varios ósiles. Después de medir el carbono 4 que conservan, han resultado los siuientes datos. Completa la tabla para poder cataloarlos en un museo. Porcentaje de carbono 4 80% 5% 0% 99% Tiempo transcurrido 80% t lo 0, , años lo 0,5 5% t lo 0, años lo 0,5 0% t lo 0, , años lo 0,5 99% t lo 0, , 83 años lo 0,5.57 Al mismo laboratorio ha lleado un ósil echado en el Neolítico de cuya datación se desconía. Se realiza la prueba pertinente y resulta que conserva el 90% del carbono 4. Realmente pertenece al Neolítico? Como el ósil conserva el 90% del carbono 4, se sustituye el dato en la unción y se obtiene: t lo C C i 5730 lo lo 0, ,6 lo 0,5 El ósil tendría una antiüedad de 870 años, por lo que sería demasiado reciente para pertenecer al Neolítico. La cronoloía del Neolítico, que se inicia en el Próimo riente y Mesopotamia, varía seún las zonas, pero se sitúa por lo eneral entre los años 6000 a. C. y 3000 a. C. 69

15 Actividades Finales PARA PRACTICAR APLICAR.58 Con ayuda de la calculadora, halla los siuientes loaritmos. a) lo 4 5 c) lo 3,4 4,55 e) lo 8,73 3 b) lo 7 30, d) lo 0,77 3,39 ) lo a) lo 4 5,953 c) lo 3,4 4,55,38 e) lo 3 9,73 5,344 b) lo 7 30,,75 d) lo 0,77 3,39 4,67 ) lo ,45.59 Indica razonadamente si son ciertas o alsas las siuientes airmaciones. a) lo lo 3 lo 5 b) lo 5 lo 3 5 c) El dominio de las unciones loarítmicas es el conjunto de los números reales. d) Las unciones () y () son recíprocas. e) Las unciones recíprocas son simétricas respecto a la recta y. a) Falsa, lo + lo 3 = lo ( 3) = lo 6 b) Falsa, ya que 3 c) Falsa, es el conjunto de los números reales positivos. d) Falsa, la unción inversa de y = es y = lo. e) Verdadera..60 Elabora una tabla de valores para representar las siuientes unciones y describe sus principales características. () 3 () 3 h() lo 3 Características de : Su dominio es R. Su recorrido es R. 0 Es continua. () () = ( ) Es creciente. Cuando y y cuando y 0 () = 3 Características de : Su dominio es R. 0 Su recorrido es R. Es continua. () Es decreciente. h() = lo 3 Cuando y 0 y cuando y Características de h: Su dominio es R. Su recorrido es R. Es continua. Es creciente. h() lo 3 0,, 0,5 0,6 0 0,6 Cuando y y cuando 0 + y 70

16 .6 La unción eponencial () kb veriica que (0) 4 y que (3) 08. Calcula la constante k y la base b, y representa ráicamente la unción. (0) 4 k b 0 4 k 4 (3) 08 4 b 3 08 b 3 7 b 3 Con lo que () 4 3 y = A partir de la ráica de y, representa las siuientes unciones. () 3 () 3 h() lo y Para representar desplazamos la ráica de y tres unidades hacia abajo. Para representar desplazamos la ráica de y tres unidades hacia la derecha. h es la unción reciproca de y. Su ráica es la simétrica respecto a y. h.63 A partir de la ráica de y 3, representa las siuientes unciones. () 3 3 () 3 3 h () lo 3 Para representar desplazamos la ráica de y tres unidades hacia arriba. Para representar desplazamos la ráica de y tres unidades hacia la derecha. h es la unción reciproca de y. Su ráica es la simétrica respecto a y. y h.64 A partir de la ráica de la unción y lo 5, representa las ráicas de las siuientes unciones. () lo 5 ( ) () lo 5 h () 5 Para representar desplazamos la ráica de y dos unidades hacia la izquierda. Para representar desplazamos la ráica de y dos unidades hacia arriba. h es la unción reciproca de y. Su ráica es la simétrica respecto a y. h y.65 Las ráicas que se muestran pertenecen a unciones eponenciales. Qué podemos decir del valor de sus bases? La ráica de es de una unción eponencial de base b. Además pasa por (0,) y (,4), es por tanto y 4. La ráica de es de una unción eponencial de base 0 b. Además pasa por (0, ) y (, 5), es por tanto y 5. 7

17 .66 Las ráicas que se muestran a continuación representan dos unciones loarítmicas. Qué podemos decir del valor de sus bases? La ráica de es creciente, por lo que su base será b. Además pasa por (4, ), es por tanto () lo 4 La ráica de es decreciente, por lo que su base será 0 b. Además pasa por () lo (7, ), por tanto será () lo a 7 7 a. Así, a En la raica se han representado las unciones (), () 3 y h () lo 0,3. Identiícalas. La ráica de es la verde, la de es la azul y la de h es la roja..68 Una de las unciones representadas en la ráica es eponencial, y otra, loarítmica. a) Cuál es la eponencial y cuál la loarítmica? b) Son unciones recíprocas? a) La loarítmica es, ya que pasa por el punto (, 0). La eponencial es ya que pasa por (, 0). b) Sí, porque son simétricas respecto a la recta y..69 Por qué punto pasan las ráicas de todas las unciones eponenciales? A qué se debe esto? Pasa por el punto (0, ), ya que b Por qué punto pasan todas las unciones loarítmicas? A que se debe esto? Pasa por el punto (, 0) ya que lo b 0.7 La población de España crece a un ritmo del 3% anual. En el año 006, en España vivíamos 45 millones de personas. a) Cuántas personas vivirán en España a mediados de 05? b) Epresa alebraicamente el número de habitantes de España en unción de los años transcurridos desde 006. c) Epresa alebraicamente los años transcurridos desde 006 en unción del número de habitantes de España. t a) P P i i (,03) 9, personas. b) y (,03), siendo la dierencia, en años, con 006. c) y lo,

18 .7 El radio Ra 6 tiene un período de semidesinteración de 600 años. a) Cuánto tardarán 4 ramos de Ra 6 en reducirse a la mitad? b) Escribe la unción que da la masa resultante de la desinteración de m ramos de Ra 6 en unción de los años transcurridos. c) Cuántos años tardarán esos 4 ramos de Ra 6 en transormarse en 3 ramos? a) Tardarán 600 años, ya que esa es precisamente la deinición de período de semidesinteración. b) () m c) 3 4 0,75 lo 0,5 0, lo 00 0,5 0, años PARA REFRZAR.73 Calcula las siuientes potencias y loaritmos. a) 3 3 c) lo 5 5 e) lo 8 b) 5 3 d) lo 3 ) lo 7 4 a) c) lo 5 5 e) lo 8 3 b) d) lo 3 3 ) lo Representa ráicamente las unciones () 4 y () lo 4, e indica: a) Cuál es el dominio de cada una. b) Cuál es el recorrido de cada una. c) Si son crecientes o decrecientes. d) Si presentan sus ráicas aluna simetría. a) El dominio de es R y el de es R. b) El recorrido de es R y el de es R. c) Las dos son estrictamente crecientes. d) Son simétricas respecto a la recta y, puesto que son recíprocas..75 Eplica las dierencias que hay entre las ráicas de las unciones () lo y () lo 0,5. Las dierencias principales son: es creciente y es decreciente. Cuando, tiende a y tiende a. Cuando 0, tiende a y tiende a. 73

19 Representa la ráica de la unción y 5 y halla su: a) Dominio a) R b) Recorrido b) R c) Función recíproca c) y lo 3 5 Una ameba se duplica cada hora. a) Cuántas amebas habrá al cabo de 4 horas? b) Halla la unción eponencial que epresa esta situación. a) 4 6 amebas b) ().78 Al cabo de años, un capital colocado al 4% de interés compuesto anual se ha convertido en 0 006,45 euros. a) Qué capital se inresó hace años? b) Qué unción proporciona el tiempo transcurrido desde el inreso en unción del capital enerado? a) Se trata de resolver la ecuación: 0 006,45 (,04) 6500 b) y lo, PARA AMPLIAR Calcula la siuiente suma: lo lo 4 lo 8... lo 50 lo lo 4... lo S 50 y esto es la suma de los 50 primeros términos de una proresión aritmética, por lo que S Calcula la siuiente suma ininita: lo lo 4 lo 8 lo 6... lo lo 4 lo S y esto es la suma de los ininitos términos de una proresión eométrica de razón, por lo que S..8 Resuelve las siuientes ecuaciones. a) lo lo lo b) lo ( ) lo 3 a) lo lo lo La solución 0 está uera del dominio, con lo que no es válida. b) lo ( ) lo En 980, la población de China era de 995 millones de personas, con un crecimiento anual del,4%. Ese mismo año, la población de todo el continente aricano era de 470 millones de personas, con un crecimiento anual del,9%. Si se mantienen estos ritmos de crecimiento, cuántos años pasarán para que China y Árica tenan el mismo número de habitantes? Ensaya con tu calculadora. La población de China será, en millones de habitantes: 995 (,04) t y la de Árica será: 470 (,09) t. Ensayando con la calculadora, vemos que estas epresiones coinciden cuando t está entre 5 y 5. La población de una ciudad en el año 000 era de habitantes, y en 006, de Si su crecimiento es eponencial, halla la unción que epresa el número de habitantes en unción de los años transcurridos desde el 000. La población en unción del tiempo viene dada por (t) k a. t 0 (0) k t 6 (6) a 6,6 a 6 a,06 t Lueo la unción es: P P i i 00 P (,06) t 74

20 .84 En un laboratorio se cultivan dos tipos de bacterias. Las del tipo A tardan un día en dividirse, y las del tipo B, dos días. Suponamos que inicialmente se tiene una bacteria del tipo A y 6 del tipo B. a) Cuántos días tienen que pasar para que la población de ambos tipos sea la misma? b) Escribe la unción que proporciona el número total de bacterias que hay en el laboratorio en unción de los días transcurridos. a) días b) () 6.85 El número de habitantes de una determinada población en millones viene dado por la siuiente epresión, en la que t es el número de años transcurridos desde 900., P(t) 70,6 3 0,08t Cuál era el número de habitantes en el año 900? en el 000?, P(0) 0, millones de habitantes habitantes. 7,6 P(00), millones de habitantes habitantes. PARA INTERPRETAR RESLVER.86 El deshielo Debido al cambio climático, la supericie de hielo en la cima de una montaña disminuye cada año. En la ráica se señalan las líneas de nivel donde comenzaba la eistencia de hielo en tres años dierentes: 995, 000 y 005. a) Utilizando la órmula para calcular el área lateral de un cono, calcula la supericie de hielo eistente en la cima cada uno de los tres años. b) Con la ayuda de los datos correspondientes a los años 995 y 000, establece un modelo de decrecimiento de la supericie de hielo del tipo: A L A B a 995 donde a representa el año, y A y B son valores que debes determinar. c) Comprueba que el modelo se ajusta también al año 005. a) Los tres conos, correspondientes a los tres años, veriican que r 50,5 r 0, 5. Los datos para los tres años son: Año (m) r (m) A L r (m ) , ,85, A B 0 A 59 4 b) A L ,995 a A B 5 B ,995 c) Para el año 005: A L , m que se ajusta bastante bien a la supericie real. 75

21 .87 La escala de Richter Para medir la manitud M de un terremoto se utiliza la escala de Richter, que queda determinada por la siuiente relación empírica: lo E C,5 M Siendo E la enería liberada por el seísmo, medida en erios ( erio 0 7 julios), y C, una constante. a) Calcula el valor de C sabiendo que un terremoto de manitud,4 libera una enería de 0 5 erios. b) Calcula la relación entre las enerías liberadas por dos terremotos cuya dierencia de manitudes es de una unidad. c) Se estima que, en un determinado planeta, la enería liberada cada año por los terremotos es de erios. Si todos los terremotos son de manitud 5, aproimadamente, cuántos ocurren en un año? a) lo E C,5 M lo 0 5 C,5,5 C 5 3,6,4 b) lo E E lo E lo E C,5 M C,5 M,5 (M M ),5,5 E 0 E,5 3,6 c) La enería liberada por un terremoto de manitud 5 es lo E,4 7,5 8,9 E 0 8,9 erios. 5 0 En un año: terremotos 8,9 0 AUTEVALUACIÓN.A Decide cuáles de las siuientes unciones son eponenciales, y de las que lo sean, obtén su recíproca. () 3 () h() 4 Son eponenciales las unciones y h, y sus recíprocas son () lo y h () lo 4..A En la siuiente ráica se representan dos unciones eponenciales de distinta base. Cuál de las dos tiene una base mayor? Tiene base mayor la unción, ya que es mayor que, mientras que la de está entre 0 y..a3 Representa las unciones () lo, y contesta a estas cuestiones. a) Tienen el mismo dominio? b) Tienen el mismo recorrido? c) Tienen alún punto en común? d) Son recíprocas? a) Sí b) Sí c) Sí, el (, 0) d) No, porque no son simétricas respecto a la recta y. 76

22 .A4 Indica qué tipo de unciones se representan en la siuiente ráica. La unción es la loarítmica, ya que pasa por el punto (, 0). La unción es la eponencial ya que pasa por el punto (0, )..A5 Un abricante aumenta el precio de sus productos seún el IPC, que en los últimos años ha aumentado un % anual. Si un televisor cuesta este año 350 euros: a) Epresa su precio en unción del tiempo. b) Cuál es la unción recíproca de la del apartado anterior? Qué siniicado tiene? a) y 350 (,0) con el tiempo en años. b) y lo,0 350 Proporciona el tiempo que tiene que transcurrir para que el televisor alcance un precio determinado. ENTRETENID Investia con calculadora Aunque tu calculadora tena la tecla y, el resultado de 7 59 no cabe en la pantalla. Calcula los valores de la unción eponencial de base 7 para los primeros números naturales, busca reularidades y haz tu conjetura. Quién de los dos tiene razón? El resultado de 7 59 termina en. No es verdad. Acaba en 43. Hallamos con la calculadora los valores de la unción eponencial de base 7 para los primeros números naturales bservamos que se producen reularidades en las últimas ciras y vemos que la terminación del resultado de 7 59 dependerá del resto de la división entera 59 : 4, es decir del eponente entre 4. Como al eectuar este cociente el resto que obtenemos es 3, podemos conjeturar que la potencia buscada termina en 43. Por lo tanto, la chica tiene razón. 77