La integración por partes

Transcripción

1 MB0005_M1AAL_Partes Versión: Septiembre 01 La integración por partes Por: Sandra Elvia Pérez Los métodos de integración son necesarios debido a que con frecuencia se presentan integrales que no se pueden resolver de forma directa aplicando alguna fórmula de integración. El primer método de integración que revisaremos es conocido como integración por partes. La integración por partes se considera como un método de integración debido a que nos ayuda a resolver integrales que contienen el producto de dos funciones, donde una de ellas no es la derivada de la otra. Para ello, se utiliza la siguiente fórmula: udv = uv vdu Para aplicar la fórmula de la integración por partes a una de las funciones, se le asigna el valor de u y a la otra el valor de dv. Esta asignación generalmente es arbitraria, pero dependiendo de qué función se tome como la variable u o dv, la solución de la integral puede resultar más complicada que si se hace una asignación contraria. En la tabla 1 se presenta una propuesta que es muy utilizada por varios maestros de matemáticas para asignar el valor de u y dv, i l Inversas (arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente, arcosecante, arcocosecante) Logarítmicas ( log(u ) ln(u ) ) logaritmo y logaritmo natural 1

2 MB0005_M1AAL_Partes Versión: Septiembre 01 a t e Aritméticas ( ) Trigonométrica (seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante) u Eponenciales ( e, u a ) Tabla 1. Propuesta para asignar el valor de u y dv. Si observas en la tabla 1 se forma la palabra ilate, la cual está formada por la primera letra de cada una de las funciones que aparecen a la derecha. La propuesta consiste en que se tome como la variable u, la función que se encuentre primero cuando es leída en este orden. A continuación se presentan algunos ejemplos. Ejemplo 1 Calcula la integral de e d Cómo puedo saber que la tengo que resolver por el método de integración por partes? A menos que se tenga mucha eperiencia resolviendo integrales, se puede definir que una integral debe ser por partes, si no es el caso, entonces se tiene que analizar la integral para poder llegar a la conclusión de que la forma de resolverla debe ser por partes. Comienza por analizar la integral. Paso 1. Trata de buscar una fórmula de integración directa que te ayude a resolverla. Podrías pensar u u e du = e + C que se puede resolver por la fórmula, pero si identificas los elementos de la integral e d, tienes: u = du = d

3 MB0005_M1AAL_Partes Versión: Septiembre 01 En este caso, observa que en el integrando sobra una. Si se tratara de una constante, se podría sacar de la integral, pero no puede salir de la integral porque es una variable. En este momento debes decidir que no puede resolverse como una integral directa y como la integral contiene el producto de dos funciones, esto indica que se puede resolver por el método de integración por partes. Paso. Una vez que ya se decidió que la integral se puede resolver por partes, revisa de qué funciones está compuesta e d y determina quién es u y quién es dv. La integral tiene una función: Algebraica Eponencial e En ilate, se encuentra primero la algebraica y después la eponencial, por lo que le debes asignar el valor de u = y dv = e d. Paso 3. Observa que la fórmula udv = uv vdu requiere del valor de du y de v. Para obtener el valor de du se deriva el valor de u y para encontrar el valor de v se integra el valor de dv. e d u = dv = e d du = d v = e d Donde u = du = d Está completa v = e d = e + C 3

4 MB0005_M1AAL_Partes Versión: Septiembre 01 Paso 4. Una vez que ya se tienen los elementos de la integral estos valores, se sustituyen en la fórmula de integración por partes udv = uv vdu, como muestra la siguiente figura: Figura 1. Integración por partes. e e d Observa que, aún no es la solución buscada, solamente se han sustituido los valores. El término e ya forma parte del resultado, pero queda por resolver la integral e d. Resolviendo la integral e d, la cual ya se había resuelto en la parte de arriba Agrega este resultado: e d = e + C e d e e d = e = e d e + C 4

5 MB0005_M1AAL_Partes Versión: Septiembre 01 Observa cómo el valor de C se coloca al final de la integración, ya que la suma de varias constantes es una constante. Ejemplo Calcula la integral de Comienza analizando la integral. ln d Paso 1. Determina si es directa la integral. Observa que, en tus fórmulas de integración, no eiste la integral del ln( ). Paso. Determinar los valores de u y dv. La integral tiene una función: Algebraica Logarítmica ln( ) En ilate, se encuentra primero la logarítmica y después la algebraica, por lo que le debes asignar el valor de u = ln() y dv será dv = d. Paso 3. Determina los valores de du y de v, para ln d. u = ln() dv = d d du = v = d Donde u = du = d Está completa v = d = + C 5

6 MB0005_M1AAL_Partes Versión: Septiembre 01 Paso 4. Sustituye en la fórmula de integración por partes udv = uv vdu ln d = ln( ) d La primera sección de la integral ya es parte de la solución, ahora es conveniente realizar las operaciones y simplificar: 1 ln d = ln( ) d 1 ln d = ln( ) d Una vez que ya está simplificada la epresión, se realiza la integral de Finalmente, reacomoda el resultado de la integral: 1 1 d = + C d = + C ln d = ln( ) d ln d = ln( ) + C 4 1 d Recuerda que terminas de integrar cuando desaparece el operador de integración ( ). Este mismo método lo puedes ver en el documento llamado Integración por partes en forma tabular de José Rangel, donde podrás ver varios ejemplos resueltos con esta propuesta. El documento está disponible en el siguiente enlace: 6

7 MB0005_M1AAL_Partes Versión: Septiembre 01 Bibilografía Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. ed.; J. C. Vega, Trad.). Méico: Harla. Purcell, E. J. & Varberg, D. (000). Cálculo Diferencial e Integral (6ª. ed.; E. de Oteyza, Trad.). Méico: Prentice Hall. Smith, R. T. & Minton, R. B. (000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, Trads.). Méico: McGraw-Hill. Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S. (001). Precálculo. Matemáticas para el cálculo (3ª. ed.; V. González y G. Sánchez, Trads.). Méico: Internacional Thomson Editores. 7