Derivadas 2º Parte. 4º Año. Matemática. Cód P r o f. M i r t a R o s i t o P r o f. P a t r i c i a G o d i n o

Transcripción

1 º Parte 4º Año Cód P r o f. M i r t a R o s i t o P r o f. P a t r i c i a G o d i n o

2 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN (segunda parte) VI - 6) Derivada de una compuesta Regla de la cadena TEOREMA 7 Sea h() = (f g)() = f [g()] con g derivable en A, f derivable en B, g(a) B y sea c A se puede demostrar que: h'(c) = f (g(c)). g (c) c A generalizando: h() =(f g)() h'() = f (g()). g () A Nota: No efectuaremos su demostración f [g(c)] la razón de cambio de f g en c es f [g(c)].g (c) g f la razón de cambio de g de f en g(c) es c g(c) f(g(c)) en c es g (c) la razón de cambio f [g(c)] La razón de cambio de la compuesta es la multiplicación de razones de cambio. Observació Al emplear la regla de la cadena, se avanza desde el eterior hacia el interior, es decir, se deriva en el orden inverso en que se compone la. h () = ( f [ g() ] ) = f [g()]. g () eterna evaluada en la interna derivada de la eterna evaluada en la interna derivada de la interna Ejemplos resueltos f() = sen ( ) f () = cos ( ). derivada de la eterna evaluada en la interna derivada de la interna P O L I T E C N I C O

3 g() = ( - 5) 4 g () = 4. ( - 5). ( 5) h() = e sen h () = e sen. cos k() = 7. tg m() = cos(sen k () = 7. tg. sec ) m () = -sen (sen ).cos. = sen (sen ).cos Problemas propuestos 6) Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: f () = cos () f 7() = 4 f () = sen(sen(sen ) f () = sen (tg ) f 8() = f () = ( 6 + ) -8 f 9() = f 4() = e. cos () 7. e f5() = cos e. f 4() = 7 f 0() = sen f 6() = e.sen() f 5() = cotg ( - ) f () = 4 f 7() = e 5 f 6() = tg () f () = tg sen 7) Utiliza la información de la tabla para obtener las derivadas de las siguientes funciones en el valor de indicado. f() g() f () g () 8 / P O L I T E C N I C O

4 a) f() = b) f() + g() = c) f(). g() = d) f() g() = e) f [ g()] = f) f() = g) g () = h) f () g () = 8) Demuestra que: a) La derivada de una par es una impar. b) La derivada de una impar es una par. 9) Si g(t) = [f (sent) ] y f es una derivable, determina g (t). 40) Si g() = f (b + m) - f (b - m) y f (b) =, halla g (0). 4) Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a las curvas y = sen () e y = - sen en el origen. VI - 7) Derivadas de las funciones circulares inversas Se puede demostrar que: Observació Si f() = arcsen [-;] f () = (-;) La arcoseno no es derivable en su dominio. Observació Si f() = arccos [-;] f () = - (-;) La arccoseno no es derivable en su dominio. P O L I T E C N I C O

5 Observació Si f() = arctg R f () = R La arcotangente es derivable en su dominio. VI - 8) Derivada de la logaritmo natural Se puede demostrar que: Observació Si f()= ln R + f () = R + La ln es derivable en su dominio Ejemplo resuelto: h() = ln h () = h ( ) = y h () = Problema propuesto: 4) Demuestra que: (log a ) = lna. log e con R + a 4) Completa: h() = log h () =... h (4) =. k() = log k () =... k (7) =. 44) Escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la f() = log 5 en el punto de abscisa = 5. 45) Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: a) f () = arcsen. log b) f () = arctg(sen) ln() c) f () = - arccos 4 P O L I T E C N I C O

6 Observaciones Podemos agregar a la tabla de derivadas las últimas que hemos obtenido. FUNCIÓN f() f () Tangente tg sec Cotangente cotg - cosec Secante sec tg. sec Cosecante cosec - cotg. cosec Arco seno arcsen Arco coseno arccos - Arco tangente arctg Logaritmo en base e Logaritmo en base a ln log a lna. log e a Los teoremas (desde el Teorema al Teorema 7), podemos resumirlos en la siguiente tabla: Algebra de las derivadas Función k.f() con k Derivada k.f () f() g() f () g () f().g() f() g() f(g()) f ().g()+ f().g () f'().g() f().g'() g () f (g()).g () P O L I T E C N I C O 5

7 VI - 9) Derivación logarítmica Este método nos permite derivar funciones de la forma h() = f() g(), es decir derivar funciones que son una elevada a otra. En el procedimiento se utilizan propiedades de los logaritmos para derivar funciones no necesariamente logarítmicas. Ejemplo resuelto: f(t) = t t aplicando logaritmo natural a ambos miembros: ln f(t) = ln (t t ) aplicando propiedad del logaritmo ln f(t) = t. ln t derivando m. a m. f(t).f'(t) =. ln t + t. t despejando f (t) f (t) = f(t) [ ln t +] sustituyendo f(t) f (t) = t t [ ln t +] luego: f (t) = t t [ln t +] Problemas propuestos 46) Demuestra que: La derivada de la eponencial f()= a con a 0 a es f () = ln a. a 47) Completa: f() = ( ) f () =. f (-) =. g() = 5 g () =. g () =. h() = h () =... h (4) =... 48) Obtiene la derivada de cada una de las siguientes funciones: f () = 4 arcsen f () = 8 arctg(sen) f () = ln(arccos) - arccos(ln).5 f 4() = log f 5() = f 5 6() = log 5 f 7() = sen f 8() = sen f 9() = f 0() = f () = log f () = (sen ) cos f () = ( + + ) f 4() = arctg f 5() = e 6 P O L I T E C N I C O

8 VII) Derivadas de orden superior al primero. Hemos visto que si una f() definida en un conjunto A tiene derivada en cada uno de los puntos pertenecientes a un subconjunto B de A, queda definida en B una nueva g, que se llama derivada de f, indicando la g por cualquiera de las siguientes notaciones: g = f = df d = D f Si ahora, esta g, tiene derivada en cada uno de los puntos de un subconjunto C de B, esta última recibe el nombre de derivada de g, o derivada segunda de f, notándose: y así sucesivamente. g = f = d d f = D f En general, dada una f llamaremos derivada de orden n de f a la derivada de la derivada de orden n- de f. En símbolos: (n-) f (n) = [f (n-) d ] = d f = D (D d n- n- f) d Ejemplos resueltos f() = cos g() = 5 + f () = - sen g () = f () = - cos g () = 0 6 f () = sen g () = 60 f (4) () = cos g (4) () = 0 f (5) () = -sen g (5) () = 0 Problemas propuestos: 49) Dada Determina f() = f () f () = f () f () = - f (5) () f (4) () = f (8) () 50) Encuentra un polinomio P() de segundo grado que verifique simultáneamente: P() =, P () = 5 y P () = 4 P O L I T E C N I C O 7

9 Nota 5) Si se deja caer una bala de cañón desde la torre de Pisa, de 79 pies de altura, la altura h de la bala a t segundos después de la caída es: h(t) = 79 6 t Cuál es la velocidad y la aceleración de la bala en cada instante t? La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo. Si la posición de un cuerpo en el tiempo t es s(t), entonces su aceleración es: a(t) = [v(t)] = [(s(t)) ] = s (t) = d dt s Respuestas: 6) f () = - sen cos f () = cos(tg) sec f () = -8 ( - 6 +) -9 (4-6) f4 () = 7 7 f7 () = cos f0 () = f5 () = - f8 () = cosec ( f () = 4 ) f6 () = 4 tg () sec () f9 () = e cos f () = sec. sen sen f () = cos (sen(sen )).cos(sen ). cos f4 () = e cos () [ cos () - sen ()] e f6 () = e. cos( ) f5 () =.sene f7 () = e ) a) b) + 5 c) d) 7 6 e) - f) 5 g) h) ) a) Si f es par f() = f(-) b) Si f es impar f() = - f(-) Derivando m.a.m resulta: Derivando m.a.m resulta: f () = f (-) (-) = - f (-) f () es impar f () = - f (-) (-) = f (-) f () es par 9) f(sent). f (sent).cos t 8 P O L I T E C N I C O

10 40) 6m 4) y = y y = 4) f() = loga = ln lna = lna. ln f () = ( lna. ln ) = lna.( ln ) = lna. = lna 4) h () = ln y h (4) = 4 ln k () = ln0 y k (7) = 7 ln0 44) t) y - = log 5 e. ( 5) 5 45) a) f () = log + arcsen ln cos ln () arctg(sen) b) f () = -. sen ln () c) f () = e e 46) f() = a aplicando logaritmo natural a ambos miembros: ln f() = ln (a ) aplicando propiedad del logaritmo ln f() =. ln a derivando m. a m..f '() f () = ln a despejando f () sustituyendo f() f () = f() ln a f () = a lna 47) f () = g () = 5 ln 5 h () = ln ln f (-) = 4 ln g () = 5 ln 5 h (4) = 8 ln P O L I T E C N I C O 9

11 48) f () = 4 ( ln4. arcsen + f () = - arccos. +. ) f () = ln f4 () = 5 f5 () = (ln5. - 4) f6 () = 5 f7 () = sen [ln(sen ) + cotg ] f8 () = sen [cos. ln + f0 () = (ln +) sen arctg(sen) 8.ln8. cos ln- ln..log sen ] f9 () = -ln ( ) f () = ln. ln- e f () = (sen ) cos [ -sen. ln (sen )+ cos sen ) f () = ( + + ) ln( ) ( ) f4 () = arctg ln arctg f5 () = e (ln + ) 49) f () = 4 f () = f (5) () = - ( ) f (8) () = 0 50) P() = - + 5) v(t) = t a(t) = - Bibliografía Apunte Derivadas IPS Código 0 Autoras: Ada Gil Mirta Rosito Nora Pareja Apunte Derivada de una UTN Autoras: Ada Nasini Roberto López Cálculo - Una variable Undécima edición 006 Autor: George B. Thomas, Jr Pearson Educación Cálculo Volumen Quinta edición 996 Autores: Roland Larson Robert Hostetler Edwards Bruce Mc Graw Hill Cálculo Diferencial e integral Seta edición 0 P O L I T E C N I C O

12 Autores: Edwin Purcell Dale Varberg Prentice Hall Hispanoamericana S.A. El cálculo diferencial Segunda edición 006 Autoras: A. Engler D. Müler S. Vrancken M. Hecklein Universidad Nacional del Litoral s para Administración y Economía Décima edición 006 Autores: Ernest Haeussler, Jr Richard Paul Pearson Educación Análisis Matemático Autores: Julio Rey Pastor - Pedro Pi Calleja - César A. Trejo Cálculo -Trascendestes tempranas Tercera edición 999 Autor: James Stewart Thomson Editores II Primera edición 000 Autores: N. Buschiazzo E. Fongi Ma. I. González L. Lagreca Santillana Las autoras epresan su agradecimiento a la Prof. Silvia Amicozzi y a la Dra. Beatriz Introcaso por su colaboración en la revisión del apunte, y a la Prof. María Fernanda Otaño por su colaboración en la resolución de los ejercicios propuestos. P O L I T E C N I C O

13 FUNCIÓN f() f () Constante k k 0 Lineal m+h m Potencial n n n. n- Seno sen cos Coseno cos - sen Eponencial (de base e) e e Eponencial a ln a. a Tangente tg sec Cotangente cotg - cosec Secante sec tg. sec Cosecante cosec - cotg. cosec Arco seno arcsen Arco coseno arccos - Arco tangente arctg Logaritmo en base e Logaritmo en base a ln loga log e a lna. P O L I T E C N I C O