x + h x + h + 1 x + h +

Transcripción

1 Apéndice B Cálculo de derivadas Versión: 3 de noviembre de 05 B. Derivadas de las funciones elementales La derivada de las funciones elementales se calcula recurriendo directamente a la definición, como en los siguientes ejemplos, aunque en algunos casos los límites indeterminados que aparecen pueden ser complicados de calcular. Ejemplo B. Derivada de una función constante f() =k f f( + h) f() k k 0 () = lím =lím =lím 0 h h h =lím0=0 Ejemplo B. Derivada de f() = f ( + h) +h + h h + h () = lím =lím =lím =lím( + h) = h h h Ejemplo B.3 Derivada de f() = f () = lím + h h =lím =lím h h + h + =lím + h + h + h + h + + h + = =lím = + ( + h) h + h + = B. Álgebra de derivadas Conocidas las derivadas de las funciones elementales, un conjunto de propiedades conocidas como álgebra de derivadas, permitencalcularladerivadadeotrasfuncionesconstruidascombinandoaquellasmediante operaciones aritméticas y composición de funciones. 9

2 B. Cálculo de derivadas 30 ÁLGEBRA DE DERIVADAS f() =g() ± h() f () =g () ± h () f() =g() h() f() = g() h() f() =g(h()) f () =g () h() +g() h () f () = g () h() g() h () h(),sih() = 0. f () =g (h()) h () (Regla de la CADENA) TABLA DE DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES Funciones elementales f() =a f () =0 f() = f () = Funciones compuestas (usando la Regla de la Cadena) f() =a f () =a f() =ag() f () =ag () f() =a+ b f () =a f() =ag()+b f () =ag () f() = f () = f() =g() f () =g() g () f() = f () = f() = g() f () = g() g () f() = n (n = 0) f () =n n f() =g() n f () =ng() n g () f() =e f () =e f() =e g() f () =e g() g () f() =a (a>0) f () =a ln(a) f() =a g() f () =a g() ln(a)g () f() =ln() f () = f() = log b () f () = ln(b) f() =ln(g()) f () = g() g () f() = log b (g()) f () = g() ln(b) g () f() =sen() f () = cos() f() =sen(g()) f () = cos(g()) g () f() = cos() f () = sen() f() = cos(g()) f () = sen(g())g () f() = tan() f () = f() = arc sen() f () = cos () f() = tan(g()) f () = f() = arc sen(g()) f () = cos (g()) g () g() g () f() = arc cos() f () = f() = arc cos(g()) f () = g() g () f() = arctan() f () = + f() = arctan(g()) f () = +g() g ()

3 B. Cálculo de derivadas 3 B.3 Ejemplos de cálculo de derivadas Ejemplo B.4 Derivada de f() =(5 3 + ) 4 Aplicando la fórmula de derivación de la potencia de una función, g() n,setiene f () =4(5 3 + ) 3 (5 3 ) = 60 (5 3 + ) 3 Ejemplo B.5 Derivada de f() = 7 3 Aplicando la fórmula de derivación de la raíz cuadrada de una función, g(), setiene f () = 7 3 ( 3 )= Ejemplo B.6 Derivada de f() =e 3 Hay que aplicar la derivada de la eponencial de una función, e g(), f () =e 3 (3 ) =6e 3 Ejemplo B.7 Derivada de f() = 3 + Aplicando la fórmula de derivación de un cociente: f () = 3 ( + ) ( 3 ) ( + ) = (34 +6 ) ( 4 ) ( + ) = ( + ) Ejemplo B.8 +4 Derivada de f() =sen Hay que aplicar en primer lugar la fórmula de derivación del seno de una función, sen(g()), ydespuéslade la derivada de un cociente: +4 ( ) ( + 4) f () = cos ( ) = 5 ( ) cos +4 Ejemplo B.9 Derivada de f() = 3 Hay que aplicar la derivada de un producto y la derivada de la raíz cuadrada de una función: f () = 3+ 3 () = 3+ 3 ( = 3) 3 + 3

4 B. Cálculo de derivadas 3 Ejemplo B.0 Derivada de f() = 3 ln( + ) Hay que escribir la raíz como una potencia de eponente fraccionario, f() = ln( + ) /3,yaplicarla fórmula de derivación de g() n yluegoladellogaritmo: f () = 3 ln( + ) /3 + () = 3( + ) 3 ln ( + ) Ejemplo B. Derivada de f() = ln Hay que aplicar la regla de derivación de un cociente de dos funciones: f () = ln = ln = ln = ln Ejemplo B. Derivada de f() = arc tg( + ) f () = + + ( + ) / = + + Ejemplo B.3 Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y = +3 en el punto =. La ecuación de la recta tangente a la curva y = f() en el punto = a viene dada por y = f(a)+f (a)( a) En este caso, f() = +3 ysuderivadaes f () = +3 Sus valores en =son f() = =9 y f () = = 7 Luego la ecuación de la tangente es: y = 9 + 7( )

5 B. Cálculo de derivadas 33 Ejemplo B.4 Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y =ln( + 3) en el punto =. La ecuación de la recta tangente a la curva y = f() en el punto = a viene dada por y = f(a)+f (a)( a) En este caso, f() =ln( + 3) ysuderivadaes f () = +3 Sus valores en =son f() = ln( + 3) = ln(4) y f () = +3 = 4 = Luego la ecuación de la tangente es: y = ln(4) + ( ) Ejemplo B.5 Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y = arc tg La ecuación de la recta tangente a la curva y = f() en el punto = a viene dada por y = f(a)+f (a)( a) en el punto =. En este caso, f() = arc tg ysuderivadaes f () = + = + = + Sus valores en =son f() = arc tg = π y f () = + = Luego la ecuación de la tangente es: y = π 4 ( ) B.4 Derivada de la función inversa Para calcular la derivada de la función inversa, se usa la regla de la cadena: Observamos que f ysuinversaf (caso de eistir), vienen relacionadas por f f () =, Dominio(f ) Derivando en los dos miembros de esta igualdad y utilizando la Regla de la Cadena para derivar el primer miembro se tiene f f () f () =, Dominio(f ) yporlotanto f () = f f () Dominio(f )

6 B. Cálculo de derivadas 34 Ejemplo B.6 Calcular la derivada de la función f() =ln() utilizando la derivada de la función inversa. Derivando en la identidad e ln() = se tiene como es bien sabido. e ln() d ln() = d ln() = e = ln() Ejemplo B.7 Calcular la derivada de la función f() = arc sen() utilizando la derivada de la función inversa. Derivando en la identidad sen(arc sen()) = se tiene cos(arc sen()) despejando, d arc sen() = cos(arc sen()) = sen (arc sen()) =. d arc sen() =de donde, B.5 Derivada logarítmica En ocasiones, resulta cómodo derivar el logaritmo de una función para calcular su derivada. Según la regla de la cadena, si f es derivable en y f() > 0, ydeaquísepuededespejarf (). d ln(f()) = f () f(). Ejemplo B.8 Utilizar la derivación logarítmica para calcular la derivada de la función f() =a. Tomando logaritmos en ambos miembros se tiene ln f() =ln a = ln(a) yderivandoahora: f () f() =ln(a) f () =ln(a) f() =ln(a) a Ejemplo B.9 Utilizando la derivación logarítmica, deducir la fórmula de la derivada de un producto de dos funciones. Sea h() =f() g(). Tomandologaritmossetieneln h() =lnf()+lng(). Derivando en ambos miembros: h () h() = f () f() + g () g(), de donde, depejando ahora h (): h () = f () f() + g () f () h() = g() f() + g () f () f()g() = g() f() + g () f()g() =f ()g()+f()g () g()

7 B. Cálculo de derivadas 35 Ejemplo B.0 Calcular la derivada de la función f() = sen() cos(). Tomando logaritmos en ambos miembros se tiene ln f() cos() =ln sen() = cos() lnsen() yderivandoahora: f () f() cos() = sen() lnsen() + cos() sen() = sen() () lnsen()+cos sen() de donde f () = sen() ln sen() + cos () cos() sen() sen() Ejemplo B. Calcular la derivada de la función f() = + 3. Tomando logaritmos en ambos miembros se tiene ln f() =( 3) ln( + ) yderivandoahora: f () f() =ln( + ) + ( 3) + de donde f () = ln( + ) + ( 3) f() = ln( + ) + + ( 3) B.6 Derivación implícita En ocasiones la relación entre dos variables no viene epresada eplícitamente, es decir, con una de ellas despejada, como en y = ln( + ), sinoquevienedadamedianteunarelaciónentreambas(unaecuación), como en y + y 3 =.Sediceenestoscasosquey viene implícitamente definida por dicha ecuación. Sin embargo, es posible, utilizando la Regla de la Cadena, derivar con respecto de directamente en la ecuación. Para ello se deriva con respecto de en ambos miembros de la ecuación, teniendo en cuenta que y es una función de : y = y(). Por ejemplo, en la ecuación anterior y + y 3 =se tendría y + y 3 = d y + y 3 = d =0 d y + d y 3 = y + y + 3y y =0 Agrupando los términos que contienen y ydespejandosetiene: y + y +3y y =y + +3y y =0 y = y +3y Es decir: en un punto (, y) que verifique la ecuación y + y 3 =,laderivadadey con respecto de es y = y +3y.

8 B. Cálculo de derivadas 36 Ejemplo B. Derivar implícitamente en el ecuación ln(y + ) + y =y despejar la derivada de y con respecto de. ln(y + ) + y = d ln(y + ) + y = d ln(y + ) + d ln(y d + ) + ln(y + ) + d y =ln(y + ) + y ln(y + ) + y + + y =ln(y + ) + y = ln(y + ) y + y + y + yy y + y + y + y + = (y + ) ln(y + ) y + y + y =0 + y =0 y =0

9 B. Cálculo de derivadas 37 Ejemplo B.3 Los puntos del plano que verifican la ecuación y + y =3forman una curva con varias ramas. El punto (,.308) pertenece a una de ellas. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva en dicho punto. 7,5 5,5 (,.308) -7,5-5 -,5 0,5 5 7,5 0 -,5-5 Calculamos, implítamente, la derivada de y con respecto de : y + y =3 y + y + y + yy =0 (y + y )+( +y)y =0 y = (y + y ) y + Sustituyendo ahora (, y) =(,.308) obtendremos la derivada de y con respecto a en dicho punto, es decir, la pendiente de la recta tangente en dicho punto: y = (y + y ) =,y=.308 y + = ( (.308) ) Escribimos ahora la ecuación de la recta que pasa por el punto (,.308) con pendiente p =.934: y = ( ) = B.7 Ejercicios Calcular las derivadas de las siguientes funciones:. f() = 3. f() =ln( + ) 3. f() = cos sen() 4. f() = 5. f() =e +3

10 B. Cálculo de derivadas f() =sen + 7. f() =sen( ) cos 3 () 8. f() = cos 3 ( ) 9. f() = cos( 3 ) 0. f() = 3 sen (5). f() =e sen( ). f() = e e 3. f() =e + 4. f() =e tg( ) 5. f() =e 6. f() = f() = f() = ( + ) 9. f() =3 0. f() = cos +

11 B. Cálculo de derivadas 39 Soluciones de los ejercicios. f () = 3. f () = + 3. f () = sen sen + cos cos 4. f () = 5. f () = e f () = ( + ) sen + cos f () = cos( ) cos 3 () 3sen( )sen() cos () 8. f () = 3 cos( )sen( ) cos( ) 9. f () = 3 sen( 3 ) cos( 3 ) 0. f () = 0 3 cos(5) 3 sen(5). f () = cos( )e sen( ). f () = 3. f () = 4. f () = e ( e ) ( ) e + cos ( ) etg( ) 5. f () = e 6. f () = ln() (3 6) f () =5 4 ( ln(5) + 5) 8. f () = ( + ) ln() f () = ln(3) 3 0. f () = ln() + sen +