Aplicaciones de la derivada

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1 MB0004 _MAAL1_Aplicaciones Versión: Septiembre 01 Aplicaciones de la derivada Por: Sandra Elvia Pérez Las derivadas pueden aplicarse en la solución de distintos problemas y de diferentes disciplinas. A continuación se revisan algunos ejemplos de problemas que se pueden resolver aplicando el cálculo diferencial. Rectas tangentes Partiendo del concepto de derivada y recordando que la derivada representa la pendiente de una curva, puedes usarla como apoyo en problemas de geometría analítica. Determina la ecuación de la recta tangente a abscisa es. en el punto cuya Esta función tiene por gráfica una parábola que abre hacia abajo y para encontrar la ecuación de la recta tangente, debes basarte en las formas conocidas de la ecuación de una recta. En este caso, se usa la forma punto-pendiente. ( ) y y m 1 1 Para poder utilizar esta ecuación debes contar con las coordenadas de un punto sobre la recta y su pendiente: 1. Las coordenadas de un punto sobre la recta. Estas coordenadas del punto las puedes hallar porque ya cuentas con la abscisa. Sólo necesitas sustituir en la función original. 1

2 MB0004 _MAAL1_Aplicaciones Versión: Septiembre 01 y y y ( ) + 3( ) ( 4) y y + 4 ( 1, y1) Las coordenadas del punto son (,).. La pendiente de la recta. Debido a que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función puede encontrarse derivando la función, necesitas calcular dicha derivada. d y + + y 4+ 3 como m y m 4+ 3 ( 3 4) ( ) m m 5 ( Ahora que ya conoces las coordenadas del punto 1, y1) datos en la ecuación de la recta punto-pendiente. y y y1 m( 1 ) ( ) 5( ) y y y y la pendiente m, sólo falta sustituir estos

3 MB0004 _MAAL1_Aplicaciones Versión: Septiembre 01 Puedes realizar la gráfica la en tu cuaderno o en un graficador específico. Debe ser similar a la gráfica que se muestra en la figura 1: Figura 1. Grafica función cuadrática con recta tangente en punto (,). La curva es conocida como bruja de Agnesi. Encuentra una ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto. El procedimiento es el mismo que el ejemplo anterior. Para encontrar la ecuación de la recta tangente usa la ecuación de la recta punto-pendiente. Como ya tienes el punto ( 1, y ) 1, que es (,1) y y m( 1) 1 modo, necesitas calcular la derivada de la bruja de Agnesi. 0, sólo necesitas calcular la pendiente m. Dicho de otro d 1 y 1+ 3

4 MB0004 _MAAL1_Aplicaciones Versión: Septiembre 01 Para obtener esta derivada, usa la fórmula del cociente: d u vu uv v v Encuentra primero u y v. u 1 u 0 v 1+ v 0 + v Sustituyendo en la fórmula del cociente, tienes: Por lo tanto, y y ( 1+ )( 0) ( 1)( ) 0 ( 1+ ) ( 1+ ) ( 1+ ) m Sustituyendo el valor de 1 0 en m, se obtiene: Ahora sustituye (,1) m ( 1+ ) ( 1+ ) ( 0) ( 0) ( 1+ ) y m 0 en la ecuación de la recta punto-pendiente y y1 m( 1 ), queda: y y 1 y 1 0 y 1 0 y 1 0 y 1 m( 1) ( ( 0 ) ( 0) 0 4

5 MB0004 _MAAL1_Aplicaciones Versión: Septiembre 01 La gráfica de la bruja de Agnesi y la gráfica de la recta tangente en el punto (,1) 0 las puedes realizar en tu cuaderno o en un graficador. Deben ser similares a la gráfica que se muestra en la figura : Figura. Grafica bruja de Agnesi y recta tangente en punto (0,1). Lanzamiento de un proyectil La derivada también se puede aplicar en problemas de lanzamiento de proyectiles, entre otras cosas, debido a que, en el punto más alto de la trayectoria de un proyectil, la recta tangente a su trayectoria es horizontal (con pendiente igual a cero). Supón que se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30 m/s. La altura de la pelota después de segundos está dada por. Determina la altura máima que alcanza la pelota. Al ser lanzada la pelota, ésta describe una trayectoria como la que se muestra en la figura 3: 5

6 MB0004 _MAAL1_Aplicaciones Versión: Septiembre 01 Figura 3. Trayectoria de una pelota con lanzamiento hacia arriba. Debido a que el punto más alto ocurre cuando la pendiente de la recta tangente a la curva es cero (es decir, la derivada es igual a cero), calcula la derivada y la igualas con cero. En este ejemplo la variable independiente es t y la variable dependiente es s. La derivada es: s 30t 5t d s s 30 10t d d ( 30t 5t ) ( 30t) ( 5t ) 6

7 MB0004 _MAAL1_Aplicaciones Versión: Septiembre 01 Si la igualas a cero, puedes encontrar el valor de t s 30 10t t 0 10t t 10 t 3 Ahora que ya determinaste el tiempo que tarda la pelota en llegar al punto más alto de su trayectoria, sólo falta sustituir este valor del tiempo en la ecuación que define la posición de la pelota y queda así: s 30t 5t s 30 s 90 s 45 ( 3) 5( 3) 5( 9) s Por lo anterior, la altura máima que alcanzará la pelota será de 45 metros. Debido a que cualquier proyectil que se lance hacia arriba se detiene en un tiempo determinado, se puede determinar su altura máima y el tiempo que tardaría en alcanzarla aplicando el mismo procedimiento utilizado en este ejemplo. Razón de cambio El término razón implica comparar dos cantidades en forma de cociente, por ejemplo, la velocidad es un cambio en desplazamiento con respecto al tiempo y se puede epresar en términos de la derivada como: cambio en desplazamiento v cambio en tiempo v 7

8 MB0004 _MAAL1_Aplicaciones Versión: Septiembre 01 Otro ejemplo puede ser la aceleración, que se define como un cambio en la velocidad con respecto al tiempo, por lo que se puede epresar como sigue: cambio en velocidad a cambio en tiempo a dv Si recuerdas las derivadas sucesivas, y debido a que la velocidad es la primera derivada con respecto al desplazamiento, la aceleración se puede ver como la segunda derivada con respecto al tiempo. dv d d a También, en ocasiones, las variables que intervienen en múltiples problemas además de que varían con respecto al tiempo, se encuentran relacionadas mediante una ecuación y si se conoce cómo cambia una de estas variables con respecto al tiempo, es posible determinar de qué forma cambia la segunda variable con respecto al tiempo. Analiza los siguientes ejemplos en los que la derivada se aplica como una razón de cambio. En un edificio se encuentra recargada una escalera de 1 metros de alto y su base se está resbalando de forma horizontal a razón de 3 metros por segundo. Con qué rapidez resbala el otro etremo de la escalera si se encuentra a una altura de 10 metros? La figura 4 muestra un esquema del problema y las variables que se utilizan. 8

9 MB0004 _MAAL1_Aplicaciones Versión: Septiembre 01 Figura 4. Edificio con escalera. Como la base de la escalera se aleja del edificio con una rapidez de 3 metros por segundo, el valor de cambia con respecto al tiempo, es decir: 3 m / s Lo que se pretende encontrar es cómo cambia el valor de y con respecto al tiempo, esto es: dy? m / s Para poder hacerlo, debes contar con una ecuación que relacione a con y. Esto se puede conseguir si aplicas el teorema de Pitágoras al triángulo que se forma entre la escalera y el edificio. Queda de la siguiente manera: + y + y Derivando esta epresión con respecto a t, aplicando el método de derivación implícita se obtiene: dy + y 0 9

10 MB0004 _MAAL1_Aplicaciones Versión: Septiembre 01 Recuerda que en el método de derivación implícita, cuando se derivan variables (en este caso, y) con respecto a una segunda variable (en este caso t) siempre debe aparecer un término ʼ o yʼ, que en este ejemplo, por conveniencia, se escriben en la forma de razón de cambio. Despejando de la ecuación anterior dy/, queda: dy y y Esta epresión relaciona las dos razones de cambio del problema, es decir, dy con. Si sustituyes el valor de y 10 en la ecuación + y 144, para determinar el valor de, tienes: + 10 ± ± 6.63 Observa que se tienen dos valores para. Toma en cuenta el positivo, ya que el negativo se podría considerar como un desplazamiento a la izquierda. Por último, sustituye todos los valores conocidos ( 6.63, y 10, / 3) en dy y y obtienes: dy dy 6.63 ( 3m / s) m / s 10 Este resultado significa que el borde superior de la escalera se mueve con una rapidez de 1.98 m/s y el signo negativo implica que el movimiento lo hace hacia abajo. 10

11 MB0004 _MAAL1_Aplicaciones Versión: Septiembre 01 La posición de una partícula está representada por la epresión, en donde s representa la posición de la partícula (dada en centímetros) y t es el tiempo (dado en segundos). Determina la posición de una partícula en t 1 segundos. Como la ecuación da la posición, se requiere sustituir t 1 en la epresión anterior, quedando de la siguiente forma: s s ( t) 4( 1) 6( 1) ( t) Esto significa que la posición de la partícula es s -1centímetro. El signo negativo puede significar un movimiento a la izquierda o hacia abajo, según sea el caso. La posición de una partícula está representada por la epresión, en donde s representa la posición de la partícula (dada en metros) y t es el tiempo (dado en segundos). Determina la velocidad de una partícula en t 1 segundos. Como la velocidad es la primera derivada del desplazamiento, deriva s(t) con respecto al tiempo; tienes: v ( t) s ( t) 8t 6 Sustituyendo t 1 en esta epresión para determinar la velocidad, tienes: v v ( 1) 8( 1) 6 ( 1) cm / s

12 MB0004 _MAAL1_Aplicaciones Versión: Septiembre 01 Por lo que la velocidad de la partícula en el tiempo t 1 segundos, es de v cm/s. Con este método se puede determinar cualquier velocidad con sólo sustituir el valor del tiempo en la primera derivada del desplazamiento. La posición de una partícula está representada por la epresión, en donde s representa la posición de la partícula (dada en metros) y t es el tiempo (dado en segundos). Determina la aceleración de una partícula en t 1 segundos. Usando la epresión determinada en el ejemplo anterior, es decir, v ( t) 8 t 6 aceleración, entonces: a a ( t) v ( t) ( 8t 6) ( t) 8 d, cuya derivada es la El valor de la aceleración tiene unidades de cm/s. Cuando la aceleración resulta positiva, significa que la velocidad va en aumento, esto es, si calculas la velocidad en un tiempo posterior a t 1, será mayor que v m/s. En caso de que la aceleración fuera negativa, implicaría que la velocidad va disminuyendo, y si la aceleración fuese cero, la velocidad sería constante. Debido a que el cálculo diferencial puede aplicarse en una gran variedad de problemas, los ejemplos analizados en esta lectura son sólo algunos de los más representativos. 1

13 MB0004 _MAAL1_Aplicaciones Versión: Septiembre 01 Bibilografía Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. ed.; J. C. Vega, Trad.). Méico: Harla. Purcell, E. J. & Varberg, D. (000). Cálculo Diferencial e Integral (6ª. ed.; J. A. Gómez, Trad.). Méico: Prentice Hall. Smith, R. T., & Minton, R. B. (000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, Trads.). Méico: McGraw-Hill. Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S, (001). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. (3ª. ed.; V. González y G. Sánchez, Trads.). Méico: Internacional Thomson Editores. 13