(Tomado del texto: Cálculo Diferencial: Límites y Derivadas. Sergio Alarcón Vasco, Maria Cristina González Mazuelo, Hernando Manuel Quintana Ávila)

Transcripción

1 (Tomado del teto: Cálculo Diferencial: Límites y Derivadas. Sergio Alarcón Vasco, Maria Cristina González Mazuelo, Hernando Manuel Quintana Ávila) EJERCICIOS DE REPASO LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES. Dada la siguiente gráfica de f indique los puntos donde no es derivable, esto es, donde la razón. y f no eiste y eplique Determine si f es derivable en 0.. Determine si f 0 eiste para f 4. Determine si f eiste para f tan 5. Determine si Ln 6. Demuestre que 6 f es derivable en 0. f no es derivable en

2 7.-0 Dadas las siguientes funciones, determine f a partir de la definición de derivada como un límite. 7. f f f f. f.. f 4. f 5. f f 6. f 7. f 8. f 9. f Sen 0. f Cos -6 Determine f para cada una de las funciones que se presentan a continuación, utilizando las reglas de derivación f. f 5. f 4 4. f f 6. f f 8. f f 0. f 5 6 7

3 . f Sen. e f f Ln Cos Sec. f Tan f Ln 6. f 7. Dada f 5 6 e a. Encuentre una epresión general para la pendiente de todas las rectas que son tangentes a f b. Determine la pendiente de la recta tangente a f en 4 c. Hallar la ecuación de la recta tangente a f en el punto 4, d. Determine las coordenadas del punto sobre f para el cual la recta tangente es horizontal. e. Determine las coordenadas del punto sobre f para el cual la pendiente de la recta es y halle la ecuación de dicha recta. 8. Si h 5 a. Encuentre una epresión general para la pendiente de todas las rectas que son tangentes a h b. Determine las coordenadas del punto sobre h para el cual la recta tangente es horizontal. 8

4 c. Determine las abscisas de los puntos sobre h para los cuales la recta tangente sube, esto es, donde es la pendiente positiva. d. determine las abscisas de los puntos sobre h para los cuales la recta tangente baja, esto es, donde la derivada es negativa. e. Determine h, h 4, h 6, h 8, h 0 f. Grafique las rectas tangentes a h en, 4, 6, 8 y 0 g. De acuerdo con la información obtenida en el numeral anterior, realice una gráfica aproimada de h 9. Si g 5 7 a. Encuentre una epresión general para la pendiente de todas las rectas que son tangentes a b. Determine g, 4 g, g 5, c. Grafique las rectas tangentes a g g 6 y g 7 g en, 4, 5, 6 y 7 d. De acuerdo con la información obtenida en el numeral anterior, realice una gráfica aproimada de g 40. Si f al a curva de, encuentre la pendiente de la recta tangente f en a 9

5 e 4. Sea g Sen a. Determine la pendiente de la recta tangente a g en 0 b. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g en el punto 0,0 4. Si h Ln a. Determine la pendiente de la recta tangente a h en b. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de h en el punto,0 c. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de h y que es paralela a la recta con ecuación y 0 4. El volumen de agua en un tanque que se esta llenando está dada por: donde V t 40t 50 V t está epresada en litros y t en horas. a. Halle una epresión general para la velocidad de llenado del tanque en cualquier momento. b. Cuánta agua entra al tanque cada hora? 44. La posición de un carrito de cuerda sobre una pista recta está dada por: S t t 9 40

6 donde segundos. S t está epresada en centímetros y t en a. Halle una epresión general para la velocidad del carrito en cualquier instante. b. Cuál es la velocidad del carrito a los 0 segundos de iniciado el movimiento? c. Y cuál es su aceleración? 45. La altura H t con respecto al suelo de una pelota que se deja caer libremente desde un edificio está dada por: donde Ht t H t está epresada en metros y t en segundos. a. Halle una epresión general para la velocidad de la pelota en cualquier instante. b. Cuál es la velocidad de la pelota a los segundos? c. Cuándo llega la pelota al suelo? d. Cuál es la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo? e. Halle una epresión general para la aceleración de la pelota en cualquier instante. f. Cuál es la aceleración de la pelota a los segundos? 46. Se arroja una pelota verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de pies / seg, su altura con respecto al suelo después de t segundos está dada por: H t t 6t a. Cuál es la velocidad de la pelota en t seg? b. Cuándo alcanza su altura máima? 4

7 c. Cuándo cae al suelo? d. Cuál es la velocidad de la pelota cuando cae al suelo? e. Halle una epresión general para la aceleración de la pelota en cualquier instante Funciones que se presentan a continuación utilizando la regla de la cadena. 47. f f f 50. f 5. f Cos Cos 4 5. f 5. f Sen 54. f Cos 5 f 56. f e 55. Ln f Tan Ln 9 f e Sen f 60. f Sec f e 6. f e Cos 5 Ln 6. 9 f 64. f Csc 9 Sen f Cot f Csc Ln 67. f e Cos f Sen Sen 69. f Csc f LnCos f Lne f e e 4

8 7. f 5 Cot Tan 75. f e 74. f 76. f Csc Cot Ln Sec dy Encuentre por derivación implícita. d y y y y y y C 8. y y 0 8. y 8. y 84. 4Cos Seny y y 85. y 86. e y 5 e e 88. Seny 87. y Lny ysen seny 90. y e y e Seny 9. Sen y ysen e y 9. y Cosy y e y 94. e Seny e Cos Hallar una ecuación de la recta tangente a las gráficas de las funciones dadas en el punto indicado. 95. f en f e en P 0,0 4

9 97. Ln f en P 0,0 en P, f Tan Sen y y 9 en P, 00. y 5 en 0. y e 5Ln en P, en P, Csc en P, 5 0. y 5 Cos 6 0. y Sen 04. y Ln ` Tan Sec en P, Dadas las siguientes funciones, hallar los puntos sobre la gráfica de f para los cuales la recta tangente es horizontal. f 06 f ( ) sen f ( ) y 4y y 6 0 f ( ) cos 4 f ( ) e sen f ( ) sen Aplicaciones de la derivada Gráfica de funciones - Para cada una de las siguientes funciones que se presentan a continuación: 44

10 a. Determine el dominio de la función. b. Encuentre las asíntotas verticales y/o horizontales si las tiene. c. Determine las coordenadas de los interceptos con los ejes. d. Determine las coordenadas de los puntos críticos. e. Halle los intervalos donde la función es creciente y decreciente. f. Determine las coordenadas de los puntos de infleión. g. Halle los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. h. De acuerdo con la información obtenida en los numerales anteriores, realice la gráfica de i. Determine el rango de la función. f. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 8 f f 0 f f f 45 7 f 4 f 6 f f f 8 f Cos

11 9 f 4Cos 0 f e f Ln f Sen e Problemas de optimización: máimos y mínimos En una central de abastos, el precio del fríjol por Kg varia durante el año de acuerdo con el siguiente modelo. P t 7.5t 00t 800 Donde t está epresada en meses a partir del primero de enero y P t en pesos. a. En qué mes el precio del fríjol registros su mínimo valor? b. Cuál es el precio mínimo registrado? 4 La sección transversal del techo de un auditorio tiene la forma de una parábola tal como se muestra a continuación. H 46

12 La altura H del techo medida en metros con respecto al piso está dada por H 8 Donde representa el ancho del auditorio, medido desde una de los muros del mismo. a. A qué distancia de horizontal medida desde uno de los muros el techo tiene su altura máima? b. Cuál es la altura máima del techo? 5 En un cultivo de mangos, el número de mangos cosechados tiende a variar periódicamente, de acuerdo con el siguiente modelo matemático: Donde Nt sent N t representa el número de mangos cosechados y t el número de años transcurridos a partir del 005. a. Cuándo se da la mayor cosecha? b. Cuál es la cantidad máima de mangos cosechados durante el año? 6 Una cadena de televisión realizó una encuesta sobre el rating de sus novelas entre las 5:00 pm. y la media noche. La epresión: R t t 7t 08t 40 8 Representa la cantidad de personas (medida en porcentaje) que sintonizan el canal t horas después de las 5:00 pm. 47

13 a. A qué horas entre las 5:00 pm. y la media noche ven las novelas del canal el mayor número de personas? b. A qué horas el menor número de personas? c. Cuál es el mayor porcentaje de sintonía del canal entre las 5:00 pm. y la media noche? 7 El ritmo aeróbico de una persona de años está representado por: Ln A 0 Para 0años A qué edad se maimiza la capacidad aeróbica? 8 En una finca se pretende destinar un área rectangular de 50m para un potrero. Si al potrero hay que colocarle un cerramiento compuesto por líneas de alambre de púas: a. Cuáles deben ser las dimensiones del potrero para que la cantidad de alambre de púas necesarias para el cerramiento sea mínima? b. Cuántos metros de alambre de púas se necesita para el cerramiento? 9 Se va a diseñar una lata con la forma de un cilindro circular recto con una capacidad de envasar un alimento en conserva? 60cm para 48

14 a. Cuáles son las dimensiones que debe tener la lata para que la cantidad de metal utilizada en su fabricación sea mínima? b. Cuál es el área de metal necesaria para la fabricación de la lata? 40 Se va a construir un tanque rectangular abierto de base cuadrada y un volumen de m. Si el costo por metro cuadrado de la base es de $ y para los lados es de $ encontrar las dimensiones del tanque para que el costo de construcción sea mínimo. 4 Un ingeniero diseña un canal de drenaje con una sección transversal trapezoidal tal como se muestra en la figura 60cm h 50cm Si se considera que la capacidad de drenaje del canal depende directamente de la sección transversal del mismo, cuál debe ser el ángulo para obtener la máima capacidad? 4 A la :00 pm el barco A se encuentra a 0 millas al sur del barco B y viaja hacia el norte a 5 millas por hora. El barco B viaja hacia el oeste a 0 millas por hora. 49

15 A qué hora será la mínima distancia entre los dos barcos? 4 Un conductor viaja por la autopista y observa que el tráfico adelante está detenido, por lo que aplica los frenos. La distancia recorrida por el automóvil durante el frenado está representada por: S t 4 t t 80t Donde S t está dada en pies y t en segundos. a. Halle una epresión general para la velocidad de frenado del automóvil. b. Cuál es la velocidad del auto después de segundos? c. Cuánto demora el auto en detenerse? d. Cuál era la velocidad del vehiculo cuando pisó el freno? e. Halle una epresión general para la aceleración del automóvil. f. Cuál fue la aceleración del auto a los segundos? g. Trace las curvas que representan la velocidad y la aceleración de frenado del automóvil. 44 El desplazamiento de una cuerda que vibra está representado por: S t 0 sen 0t Donde 4 S t está dada en centímetros y t en segundos. 50

16 a. Halle una epresión para la velocidad de la cuerda después de t segundos. b. Cuál es la velocidad de la cuerda a los segundos de iniciada la vibración? c. Halle una epresión para la aceleración de la cuerda después de t segundos. d. Cuál es la aceleración de la cuerda a los segundos de iniciada la vibración? 45 En ciertas circunstancias, una información enviada por correo electrónico se esparce según la ecuación: t Donde P 0. 5t 0e P t representa la población (medida en porcentaje) que conoce la información después de un tiempo t (medido en minutos). a. Halle una epresión para la velocidad a la cual viaja la información para cualquier tiempo t. Problemas de razones de cambio de variables relacionadas 46 Una persona situada en el etremo de un muelle a 8pies del agua hala una cuerda atada a una boya de agua. Si la cuerda se hala a una velocidad de pies min con qué rapidez se acerca la boya al muelle cuando se encuentra a 6pies de este? 5

17 47 Un niño que vuela una cometa, suelta el hilo a razón de pies seg, mientras la cometa se mueve horizontalmente a una altura de 00pies. Suponiendo que el hilo no se pondera, encuentre la velocidad con la que se mueve la cometa en el momento en que se han soltado 5pies de hilo. 48 Se bombea gas a un globo esférico a razón de 5 m min. Si la presión se mantiene constante, cuál es la razón de cambio del radio cuando el diámetro mide 80cm. 49 Un vehículo que viaja hacia el norte a 60 Km h y un camión que viaja al este a 45 Km h se alejan de una intersección al mismo tiempo. A qué velocidad cambia la distancia entre ellos horas mas tarde? 50 Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto, A medida de que se calienta, su longitud y su diámetro aumentan a razón de cm min y 0.00 cm min respectivamente. A razón de cuantos cm min aumenta el volumen de la barra en el momento de que esta mide 40cm. de la largo y cm. de diámetro. 5 Un faro giratorio que se encuentra a 00mts del punto más cercano P sobre una playa recta, da vueltas cada 5 segundos. Calcule la velocidad con que el rayo de luz se mueve a lo largo de la playa en un punto a 400mts de P. 5

18 (Nota: si el faro da vuelta cada 5 segundos, entonces da 4 vueltas por minuto, por tanto, el ángulo que se forma entre el rayo de luz y la recta trazada del faro a P cambia a razón de 8 rad por minuto). 5 Un avión vuela con una velocidad constate a una altura de 000mts a lo largo de una trayectoria que lo hará pasar eactamente arriba de un observador que está en el suelo. En un instante dado el observador nota que el ángulo de elevación al avión es de 60 grados y que este aumenta a razón de grado por segundo. Cuál es la velocidad del avión en ese instante? 54. En la mañana de un día en el que el sol pasará eactamente por el cenit, la sombra de un edificio de 4mts sobre suelo mide 8mts de largo. En ese mismo instante el ángulo que el sol forma con el suelo crece a razón de 0.7º min. Con qué rapidez decrece la sombra? 4m 5