Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola

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1 INTRODUCCIÓN: UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA ANTONIO JOSÉ DE SUCRE VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES SECCIÓN DE MATEMÁTICA Prof. Esther Morles (009) 1 Ls figurs que se vn estudir, tods ells conocids con el nombre genérico de cónics, se pueden obtener como intersección de un superficie cónic con un plno. Llmmos superficie cónic de revolución l superficie engendrd por un líne rect que gir lrededor de un eje mnteniendo un punto fijo sobre dicho eje; mientrs que denominmos simplemente Cónic l curv obtenid l cortr es superficie cónic con un plno. Ls diferentes posiciones de dicho plno nos determinn distints curvs: circunferenci, elipse, hipérbol y prábol. Circunferenci Prábol Elipse Hipérbol En l Geometrí Anlític ls curvs cónics se pueden representr por ecuciones de segundo grdo en ls vribles x e y. En los siguientes prtdos se presentn ls ecuciones más sencills de ls curvs cónics cuyos ejes focles son prlelos los ejes coordendos. Objetivos específicos: Determin l ecución de un circunferenci conociendo el centro y el rdio. Ps de l ecución cnónic de un circunferenci l ecución generl y vicevers. Encuentr l intersección entre un rect y un circunferenci conociendo sus ecuciones. Encuentr l ecución de l rect tngente un circunferenci conociendo l ecución de l circunferenci y el punto de tngenci. Pr ls cónics prábol, elipse e hipérbol (considerr solo los csos donde los ejes de simetrí de ls cónics son prlelos los ejes coordendos): Identific y grfic l curv prtir de su ecución Ps de l ecución generl l cnónic y vicevers. Dd l ecución encuentr los elementos principles como focos, vértices, excentricidd entre otros. 1. L circunferenci Lugr geométrico de un punto que se mueve en un plno de tl mner que se conserv siempre un distnci constnte de un punto fijo de ese plno. El punto fijo se llm centro de l circunferenci, y l distnci constnte se llm rdio. Esther Morles (009)

2 En l figur, si P es un punto culquier de l circunferenci y C es el centro. CP = r (constnte) es el rdio 1.1. Ecución de l circunferenci r C P Siendo el centro de un circunferenci el punto fijo C (h, k), un punto culquier de l curv P (x, y) estrá r uniddes de C, por tnto cumple l condición: PC = r Por distnci entre dos puntos, se tiene: Elevndo l cudrdo result: (x h) (y k) r (x - h) + (y k) = r (I) Que es l form cnónic, reducid o nturl de l ecución de un circunferenci. Desrrollndo (I) se obtiene: x - h x + h + y - k y + k - r = 0 Ordenndo se tiene: x + y - h x k y + h + k - r = 0 (II) Que es l ecución de un circunferenci en su form generl. Si comprmos l ecución (II) con l ecución generl de segundo grdo con dos incógnits que es l de form A x + B x y + C y + D x + E y + F = 0 Podemos observr que (II) result ser un cso prticulr, donde A = C y B = 0 Est es l condición necesri que debe cumplir un ecución de º grdo con dos incógnits, pr que represente un circunferenci. Así por ejemplo en l ecución (II) tenemos: A = C = 1, B = 0, D = - h E = - k F = h + k - r Ejemplos. Hllr en cd cso l ecución de l circunferenci. 1. El centro C (, 3), el rdio r = 3. El centro C ( 3, ), el rdio r = Esther Morles (009)

3 3 Solución 1: Por (I), se tiene: (x ) + (y 3) = 9 Form reducid Desrrollndo result: x - 4 x y - 6 y + 9 = 9; x + y - 4 x 6 y + 4 = 0 Form Generl En est últim ecución podemos observr que: A = C = 1, B = 0, D = -4, E = -6, F = 4 Solución : Por (I) se tiene: (x 3 ) + (y ) = 5 Form reducid Desrrollndo result: x x + + y + y = Quitndo denomindores y ordenndo se obtiene: 144 x y - 19x + 16y 575 = 0 Form generl Donde podemos observr que A = C = 144 B = 0, D = -19, E = 16, y F = -575 Observción importnte Pr que un ecución de segundo grdo con dos vribles correspond un circunferenci, es necesrio que crezc de términos en xy, y que los coeficientes de x, y sen igules. 1.. Circunferenci con centro en el origen. L ecución de un circunferenci en est posición es un cso prticulr del nterior. Siendo C (0, 0) el centro y P (x, y) un punto culquier de l curv, se cumple l condición CP = r. Esther Morles (009)

4 4 Entonces (x - 0) + (y 0) = r Que equivle : x + y = r (III) o bien x + y - r = 0 que es un ecución de segundo grdo con dos incógnits de l form A x + C y + F = 0 donde A = C = 1, F = - r Ejemplo 1. Obtener l ecución de l circunferenci con centro en el origen y rdio igul 5 uniddes. Por (III) se tiene: x + y = 5 o bien x + y - 5 = 0 donde A = C = 1, F = -5 PROBLEMAS I. Hy diferentes situciones problems, donde se proporcion l ecución de un circunferenci en su form generl, y es necesrio obtener l ecución en su form reducid, pr obtener ls coordends del centro y el rdio. L ecución generl de l circunferenci es de l form. Ax By Cx Dy C 0 que corresponde un ecución generl de segundo grdo sin términos xy. Teorem. Si los coeficientes A y B son igules y no nulos, l ecución Ax By Cx Dy C 0 Represent un circunferenci, o bien un punto o no represent ningún lugr geométrico. Ejemplo 1: Se l circunferenci cuy ecución es x + y + 6 x + 4 y 3 = 0, encontrr el centro y el rdio. Solución: Se puede empler el procedimiento de completr cudrdos en l form siguiente: Ordenndo y psndo l º miembro el término independiente Esther Morles (009)

5 5 x + y + 6 x + 4 y = 3 Completndo cudrdos con respecto ls vribles x e y: x + 6 x y + 4 y + 4 = Cómo se hizo? Recordemos que: (x - h) = x - h x + h Por otro ldo sólo tengo x + 6 x Por lo cul hgo 6 = - h; h = 6 3 ; h = 9 Luego: (x + 3) = x + 6 x + 9 En form nálog obtenemos k = - ; k = 4 Luego: (x + 3) + (y + ) = 16 Por tnto, C (-3, -), r = 4 Tmbién puede resolverse el problem considerndo que l ecución dd x + y + 6 x + 4y -3 = 0, es de l form: Comprndo tenemos: x + y - h x k y + h + k - r = h = 6, h = = -3 Por lo tnto C (-3 -) - k = 4, k = 4 = - Además h + k - r = -3; r = -3; r = = 16; r = 4 L ecución de l circunferenci en su form reducid es: (x + 3) + (y + ) = 16 Esther Morles (009)

6 6 Ejemplo : Se l circunferenci de ecución -3 x centro y el rdio. 3 y + 1 x - 5 y + 6 = 0, obtener el Solución: Observemos que diferenci del cso nterior A = C 1, por lo cul ordenmos primero y luego fctorizmos: 5-3 (x - 4 x) 3 (y + y ) = Dividiendo entre 3 mbos miembros, result: x - 4 x + y + y 3 = Completndo cudrdo: x - 4 x y Luego: (x ) + (y + ) = y + = Por tnto, el centro de l circunferenci es: C = (, - ) y su rdio es: r = 6 36 Ejemplo 3. Determin el lugr geométrico de ls siguientes ecuciones ) x y x 6y 10 0 b) x y 4x 1y 8 0 Solución. Después de l completción de cudrdo Result x 1 y 3 0 Por lo tnto su lugr geométrico es un punto (-1,3) Representción gráfic: Esther Morles (009)

7 7 Solución b. Después de l completción de cudrdo (1) Result x 1 y 3 4 Note: que l sum de dos números reles no puede ser negtiv y demás si hcemos r = 4 este vlor no pertenece un número rel.. Conclusión no represent ningún lugr geométrico en el plno, y que no existe ningún punto del plno que sustituyendo en l ecución (1) l sum de igul -4. II. En otros tipos de problems se solicitn hllr l ecución de un circunferenci tngente un rect de ecución dd. Ejemplo: Hllr l ecución generl de un circunferenci con centro C (3, ) y tngente l rect y = x + 4. Met: Cuál es l ecución de l circunferenci que es tngente l rect y = x + 4 y tiene centro en (3,)? CONCEPTOS: Ecución de un rect Circunferenci Rdio Centro de un circunferenci Distnci entre un punto y un rect Rect tngente un circunferenci Ecución generl de un circunferenci C(3,) EVENTOS y = x + 4 TRANSFORMACIONES: Expresndo l ecución de l rect en su form generl se tiene: x y + 4 = 0 Clculmos el rdio de l circunferenci solicitd plicndo l formul de distnci entre un punto y un rect. Sbiendo que existe un propiedd que dice: l tngente un circunferenci es perpendiculr l rdio trzdo l punto de contcto r = = ; r 5 = ; 1 1 r = 3,5 proximdmente Luego l ecución en su form cnónic es: (x 3) + (y ) = 5 Desrrollndo se obtiene l ecución en form generl: x + y - 1 x 8 y + 1 = 0 Representción gráfic: Esther Morles (009)

8 8 III. Otro problem común es cundo se dn ls coordends de los extremos del diámetro de un circunferenci pr obtener su ecución. Ejemplo. Hllr l ecución de l circunferenci cuyo diámetro es el segmento que une los puntos A (-1, -) y B (3, 4). Por punto medio de un segmento C (1, 1). Por distncis entre dos puntos r = CB = 1) (4 1) 3 = ( 3 Luego, l ecución de l circunferenci será: (x - 1) + (y 1 ) = 13 Form reducid. Desrrollndo se tiene: x - x y - y + 1 = 13 x + y - x y 11 = 0 Form generl. IV. Otro problem común es cundo se dn ls coordends de tres puntos que pertenecen l lugr geométrico de l circunferenci, pr hllr l ecución ordinri de l circunferenci. Ejemplo. Hllr l ecución ordinri o cnónic de l circunferenci que ps por los puntos P(3,8), Q(9,6) y R(13,-). Solución: Se sustituyen los puntos P, Q y R en l ecución generl circunferenci, nos result el sistem: x + y + Ax + By + C = 0 de l A 8B C 0 (1) A 6B C 0 () A B C 0 (3) Al eliminr C de (1) y (), l restr () de (1): -3A + B = (4) Eliminndo C de (1) y (3), l restr (3) de (1): -A + B =10 (5) Esther Morles (009)

9 9 Eliminndo B de (4) y (5), l restr (5) menos (4) se obtiene A = -6. Se sustituye este vlor en (5) pr hllr que B = 4. Luego se sustituyen en (1) estos vlores pr obtener C = -87. Conclusión l ecución generl de l circunferenci es: Al completr los cudrdos se obtiene: Circunferenci de centro (3,-) y rdio 10 x + y + -6x + 4y - 87 = 0 x y + = 100 Ecución ordinri V. En otros problems se solicitn lugres geométricos sin clrr explícitmente que se trt de un circunferenci, por lo que el que resuelve el problem depende de un plntemiento decudo inicil y luego en sus trnsformciones descubre que se trt de un circunferenci. Ejemplo 1. Un punto se mueve en form tl que el cudrdo de su distnci l origen es igul 4. Encontrr l ecución del lugr geométrico de dicho punto. Solución: Primero hgmos un representción simbólic de lo que dice el problem: Sbiendo que el punto generl es P(x,y), su distnci l origen viene dd por: PO = x y - 0 = x + y Luego el cudrdo de su distnci l origen es: PO = x + y Como el cudrdo de su distnci l origen es igul 4, tenemos que: PO = x + y = 4. Representción simbólic del evento inicil del problem. Ahor podemos concluir que l ecución del lugr geométrico corresponde un circunferenci de centro (0,0) y rdio. Esther Morles (009)

10 10 Ejemplo. Obtener l ecución del lugr geométrico de los puntos tles que l distnci l punto A (3, 0) es siempre igul l doble de su distnci del punto B (-3, 0). Met: Cuál es l ecución del lugr geométrico de los puntos tles que l distnci l punto A (3, 0) es siempre igul l doble de su distnci del punto B (-3, 0). CONCEPTOS: Circunferenci Rdio Centro de un circunferenci Distnci entre dos puntos Ecución generl de un circunferenci Ecución cnónic de un circunferenci EVENTOS Sbiendo que el punto generl es: P(x,y) Y ddo los puntos A (3, 0) y B (-3, 0), tenemos: PA = PB TRANSFORMACIONES: Ddo que PA =PB (I), pliquemos l formul de distnci pr sustituir PA y PB en (I). x y - 0 = x y - 0 x y - 0 = 4 x y - 0 x - 3 +y = 4 x + 6x y x - 6x+ 9 + y = 4x + 4x y 3x + 3y + 30x + 7 = 0 Pr identificr el lugr geométrico obtendremos su ecución cnónic: 3x + 3y + 30x + 7 = 0; x + y +10x + 9 = 0 x+5 + y = 5-9 x+5 + y =16 Conclusión: Lugr geométrico es un circunferenci de centro (-5,0) y rdio 4. Esther Morles (009)

11 11 VI. Problems de plicción: Ejemplo 1. L sección trnsversl de un remche tiene un cbez que tiene l form de un rco de círculo (vése l figur). Si los extremos del rco están seprdos por 1 milímetros y l cbez está 4 milímetros rrib de los extremos, cuál es el rdio de l circunferenci que contiene l rco? Met: Cuál es el rdio de l circunferenci que contiene l rco de l figur dd? CONCEPTOS: Circunferenci Rdio Centro de un circunferenci Distnci entre dos puntos Ecución generl de un circunferenci Ecución ordinri de un circunferenci TRANSFORMACIONES: Pr visulizr el evento inicil nos imginmos que l circunferenci tiene un sistem de coordends colocdo en el origen de l mism, sbemos que l cbez del remche mide 1 mm de ncho y 4 mm de lto, por lo tnto su extremo punto P está 6 mm del centro y r-4 mm de ltur. Por lo tnto: Sustituimos el punto P(6, r-4) en l ecución ordinri x+ y= r cuyo centro es el origen EVENTOS P(6, r-4) Resultndo: 6+ r - 4 = r (1) Desrrollndo (1) obtenemos: r = 6,5 mm Conclusión: El rdio de l circunferenci que contiene l rco es 6,5 mm Esther Morles (009)

12 1 Ejemplo. El pueblo B está loclizdo 36 mills l este y 15 mills l norte del pueblo A (vése figur). Un compñí locl de teléfonos quiere colocr un torre de trnsmisión de tl mner que l distnci desde l torre del pueblo B se dos veces l distnci desde l torre l pueblo A. Muestre que l torre debe estr en un circunferenci, encuentre el centro y el rdio de est. Met: El punto T (x,y) donde se locliz l torre está ubicdo en un circunferenci? CONCEPTOS: Circunferenci Rdio Centro de un circunferenci Distnci entre dos puntos Ecución generl de un circunferenci Ecución ordinri de un circunferenci TRANSFORMACIONES: Prtimos de TB = TA (1) Sustituimos T(x,y), A(0,0) y B(36,15) en (1) x y - 15 = x + y Desrrollmos () x y - 15 = 4 x + y x + y + 4x + 10y = 0 () EVENTOS (36,15) x y Conclusión: (3) L ecución (3) es un circunferenci de rdio 6 y de centro (-1,-5) T(x,y) punto donde se locliz l torre TB = TA Esther Morles (009)

13 13. L prábol L prábol es el lugr geométrico de los puntos del plno cuy distnci un punto fijo llmdo foco es igul su distnci un rect fij D llmd directriz y que no contiene l punto F. En l figur 1, F es el foco; y D, l directriz. El punto V es el vértice de l prábol y se encuentr situdo en el punto medio de HF. L rect HF es el eje de simetrí de l prábol o el eje focl. L distnci del foco l directriz, es decir, l longitud del segmento HF, se llm prámetro y se represent por p. Not: El prámetro en lgunos textos se represent por p, y que se consider p como l distnci del foco l vértice. F M V D H K Fig. 1 En generl, siendo M un punto culquier de l prábol se cumple l condición.1. Ldo recto. MF = MK L cuerd que ps por el foco, siendo perpendiculr l eje de simetrí (en este cso el eje y), recibe el nombre de ldo recto o ncho focl de l prábol. En l figur, E ' E es el ldo recto o ncho focl de l prábol. Esther Morles (009)

14 14 EF E'F, porque l rect HF es el eje de simetrí. Además, se tiene: Pero, EF ER Por definición de l prábol. EF ER = FH = p Luego: EE ' = 4p Fórmul que permite clculr l longitud del ldo recto. F E E V H R Fig... Ecución de l prábol, con vértice en el origen y cuyo eje de simetrí coincidente con uno de los ejes coordendos. En este cso se deben considerr ls cutro posiciones siguientes: I. Vértice en el origen, eje de simetrí o eje focl en el eje x y dirección x >0 (L prábol bre hci l derech, ver figur 3). Si M (x, y) es un punto culquier de l prábol y F (p, o) el foco, tenemos: MF = MK (1) Entonces, por distnci entre dos puntos MF = (x - p) +(y - 0) = (x - p) + y () Además, K (-p, y), y que VF VH NK p, p > 0 Luego MK = (x + p) + (y - y) = (x + p) (3) Esther Morles (009)

15 15 D N M K H X Fig.3 Sustituyendo () y (3) en (1) se obtiene: ( x p) y (x p) (x p) + y = (x + p) Desrrollndo y simplificndo result: x - p x + p + y = x + p x + p y = 4px (I) que es l ecución de l prábol en l posición dd. II. Vértice en el origen, eje focl o eje de simetrí en el eje x y dirección x < 0 (L prábol bre hci l izquierd, ver figur 4). Siendo M (x, y) un punto culquier de l prábol F (- p, 0) y K (p, y) D M N K X H Fig. 4 Esther Morles (009)

16 16 Por un rzonmiento nálogo l nterior se concluye que l ecución es: y = - 4px (II) III. Vértice en el origen, eje focl o eje de simetrí en el eje y, dirección y >0 (L prábol bre hci rrib, ver figur 5). Siendo M (x,y) un punto culquier de l prábol, donde F(O, p) y K(x, -p) Y M N X K D Fig. 5 En form nálog en los csos nteriores se tiene: x = 4py (III) IV. Vértice en el origen, eje focl o eje de simetrí en el eje y, dirección xy< 0 (L prábol bre hci bjo, ver figur 6). Siendo M (x, y) un punto culquier de l prábol F (0, -p) y K (x, p) D Fig. 6 Esther Morles (009)

17 17 En l form nálog se tiene: Problems importntes. x = -4py (IV) De lo nteriormente estudido resultn dos problems fundmentles: I. Dd l ecución de un prábol, determinr su posición en el plno; encontrr ls coordends del vértice y el foco, l longitud del prámetro, el ncho focl y ls ecuciones de l directriz y del eje focl. Ejemplos ) Se l prábol de ecución y = 1 x Como l ecución es de l form y = 4px, se trt de un prábol con vértice en el origen, eje de simetrí en el eje x, l cul bre hci l derech Entonces: 4p =1, Ancho focl = 1 p = 6, Prámetro = 6 P = 3 V (0, 0), F (3, 0) Ecución de l directriz x = -3 Eje focl y = 0 Representción gráfic. x = -3 Esther Morles (009)

18 18 b) Se l prábol de ecución x = -4 y Como l ecución es de l form x = -4py, se trt de un prábol con vértice en el origen, eje de focl con el eje y, l cul bre hci bjo. Entonces: -4p = -4 ; 4p = 4, Ancho focl = 4 p =, prámetro = ; p = 1 V (0, 0) F (0, -1) Ecución de l directriz: y = 1 Ecución eje focl x = 0 Representción grfic. y = -1 X II. Ddo lgunos elementos de l prábol, obtener l ecución de l curv. Ejemplos ) Dtos: Vértice V (0, 0); Foco F (-4, 0) Como el vértice y el foco tienen ordend 0, el eje de simetrí coincide con el eje x. El vértice est en el origen y el foco por tener bscis -4, se encuentr l izquierd del vértice. Esto signific que l prábol bre hci l izquierd. Su ecución es de l form y = -4px. Luego como p = 4, vlor bsoluto de l bscis del foco l ecución es: y = - 16 x Esther Morles (009)

19 19 Representción gráfic: D b) Dtos: Vértice V (0, 0), directriz: y = - L directriz es prlel l eje de ls x, el eje de simetrí coincide con el eje y, y el foco está rrib del vértice. L ecución es de l form: x = 4py Como l directriz se encuentr uniddes del eje de ls y, p = y F (0, ) Por tnto l ecución de l prábol es: x = 8 y Representción gráfic.3. Prábol de vértice (h,k) y con eje focl o de simetrí prlelo los ejes de coordendos. En este cso se deben considerr ls cutro posiciones siguientes: I. Eje de simetrí prlelo l eje x, y bre hci l derech. Consideremos en l figur 7 que M (x, y) es un punto culquier de l prábol y V (h, k) el vértice. Ls coordends de mbos puntos con referenci l sistem de ejes x e y. Esther Morles (009)

20 0 D Y Y M H V F X O X Fig. 7 En cmbio, con referenci l sistem de ejes x y, dichos puntos tendrán ls coordends siguientes: M (x, y ) y V (0, 0) Pr este nuevo sistem de ejes que result de un trslción, l ecución de l prábol es de l form siguiente: (y ) = 4 p x donde: x = x h y = y k Sustituyendo estos vlores en l ecución nterior, result: (y k) = 4 p (x h) (V) L ecución (V) represent l ecución de l prábol en l posición dd. II. Eje de simetrí prlelo l eje x, y bre hci l izquierd. (ver figur 8) M (x, y) es un punto culquier de l prábol y V (h, k) es el vértice. M Y D Y H D O V X F V H M O X F Fig. 8 Fig. 8 Fig.9 Esther Morles (009)

21 1 Por un rzonmiento nálogo l nterior, se concluye que l ecución es: (y k) = -4 p (x h) (VI) III. Eje de simetrí prlelo l eje y, y bre hci rrib. (Ver figur 9) M (x, y) es un punto culquier de l prábol y V (h, k) es el vértice. Y F Y H D M O V X V F M O X H D Fig. 10 Fig. 11 Por un rzonmiento nálogo los nteriores result: (x h) = 4 p (y k) (VII) IV. Eje de simetrí prlelo l eje y, y bre hci bjo. (ver figur 10) M (x, y) es un punto culquier de l prábol y V (h, k) es el vértice. En form nálog se tiene: (x h) = - 4 p (y - k) (IV) Problem 1. Ddos lgunos elementos de l prábol, obtener l ecución de l curv Ejemplos ) Eventos: Vértice V (, 3), foco: F (6, 3) Esther Morles (009)

22 Met: Cuál es l ecución de l prábol, sbiendo que su vértice es (,3) y su foco es (6,3)? CONCEPTOS: Ecución de un prábol Prábol Vértice Foco Prámetro Directriz Prámetro p EVENTOS Prábol Vértice: V (,3) Foco: F (6,3) TRANSFORMACIONES: Como el vértice y el foco tienen l mism ordend es decir 3, el eje de simetrí es prlelo l eje x. El foco está l derech del vértice, entonces l prábol bre l derech. L ecución de l prábol es de l form (y k) = 4 p (x h) Luego, como p = VF = 6 = 4 y V(,3), l ecución es: (y - 3) = 16 (x ) Desrrollndo y simplificndo se tiene: y - 6 y + 9 = 16 x 3 y - 6 y 16x + 41 = 0 (Ecución generl) Representción gráfic: Esther Morles (009)

23 3 b) Eventos: Vértice: V (-, 5); directriz: y = 8 Met: Cuál es l ecución de l prábol, sbiendo que su vértice es (-,5) y su directriz es y = 8? CONCEPTOS: Ecución de un prábol Prábol Vértice Foco Prámetro Directriz Prámetro p EVENTOS Prábol Vértice: V (-,5) Directriz: y = 8 TRANSFORMACIONES: L directriz que tiene por ecución y = 8, es prlel l eje x. Entonces el eje de simetrí es prlelo l eje Y y el foco está bjo del vértice. L prábol tiene dirección negtiv (bre hci bjo) y su ecución es de l form (x h) = - 4 p (y k). Como V (-, 5), l distnci del vértice l directriz es 8 5 = 3, p = 3 y f (-, ) L ecución es: (x + ) = -1 (y 5) Desrrollndo y simplificndo se tiene: x + 4 x + 4 = -1 y + 60 x + 4 x + 1 y 56 = 0 (ecución generl) Representción gráfic: Problem. Dd l ecución generl de l prábol construir l ecución ordinri (I), (II), (III) o (IV), y luego encontrr ls coordends del vértice y del foco, el vlor de p, l longitud del ldo recto, ls ecuciones de l directriz y del eje de simetrí. Si desrrollmos y trnsponemos términos en l ecución: Obtenemos: (y k) = 4 p (x h) (I) Esther Morles (009)

24 4 y - 4px - ky + k + 4ph = 0 Que puede escribirse en l form: y + Dx + Ey + F = 0, ecución generl de l prábol En donde: D = -4p, E = -k y F = k + 4ph Recíprocmente, si D 0, completndo el cudrdo en y, podemos demostrr que un ecución de l form (I) represent un prábol cuyo eje es prlelo l eje x. Si D = 0, l ecución tom l form y+ Ey + F = 0 () Que es un ecución cudrátic en l únic vrible y. Si ls ríces de () son reles y desigules, digmos y y y, entonces l ecución () puede escribirse en l form: 1 y - y y - y 0 1 y el lugr geométrico correspondiente const de dos rects diferentes: y = y y y = y, prlels mbs l eje x. 1 Si ls ríces son reles e igules, el lugr geométrico const de un sol rect prlel l eje x. Finlmente, si ls ríces de () son complejs, no existe ningún lugr geométrico. Un discusión semejnte se plic l otr form ordinri de l prábol (x h) = 4 p (y k) (II) Cuy ecución generl es: x + Dy + Ex + F = 0 Si D = 0, l ecución tom l form x + Ex + F = 0 (3). Cuyo lugr geométrico si existe, es: Dos rects prlels l eje y ó un rect prlel l eje y. Esther Morles (009)

25 5 Ejemplos. ) Eventos: y - 4 y 8 x + 44 = 0 Met: Cuáles son ls coordends del vértice y del foco, l longitud de prámetro, el ncho focl, l ecución de l directriz y del eje de simetrí de l prábol dd? CONCEPTOS: Ecución de un prábol Prábol Vértice Foco Directriz Prámetro p Ldo recto EVENTOS Prábol y - 4y 8x + 44 = 0 TRANSFORMACIONES: Por el método de completr cudrdos y - 4 y = 8 x 44 y - 4 y + 4 = 8x (y ) = 8 x 40 ( y -) = 8 (x-5) est ecución es de l form (y k) = 4 p (x h) que corresponde un prábol cuyo eje de simetrí es prlelo l eje x, y bre l derech) Luego 4 p = 8, p = 4, p = V (5, ), F (7, ), ldo recto = 8 Directriz: x = 3 eje focl: y = Representción gráfic: Esther Morles (009)

26 6 b) Evento: x + 6x 4 y + 9 = 0 Met: Cuáles son ls coordends del vértice y del foco, l longitud de prámetro, el ncho focl, l ecución de l directriz y del eje de simetrí de l prábol dd? CONCEPTOS: Ecución de un prábol Prábol Vértice Foco Prámetro p Directriz Ldo recto EVENTOS Prábol x + 6x 4 y + 9 = 0 TRANSFORMACIONES: Por el método de completr cudrdos x + 6 x = 4 y 9 x + 6 x + 9 = 4 y (x + 3) = 4 y (x + 3) = 4 (y 0) Est ecución es de l form (x h) = 4 p (y k) que corresponde un prábol cuyo eje de simetrí es prlelo l eje y, y bre hci rrib. Luego. 4p = 4, p = ; p = 1 V (-3, 0), F (-3, 1), ldo recto = 4 Directriz: y = -1 Eje focl: x = -3 Representción gráfic: Problem 3. Determinr el lugr geométrico de l curv dd. Ejemplo () y y 0 Observe que crece de termino Cx, es decir C = 0, por lo tnto el lugr geométrico no es un prábol. Al fctorizr tenemos: Esther Morles (009)

27 7 y y (y )(y 1) 0 Por consiguiente el lugr geométrico son dos rects y =- e y = 1. Representción gráfic: Ejemplo (b). x 4x 4 0 Observe que crece de termino Dy, es decir D = 0, por lo tnto el lugr geométrico no es un prábol. Al fctorizr tenemos: x 4x 4 (x ) 0 Por consiguiente el lugr geométrico es un rect; x =. Representción gráfic: Esther Morles (009)

28 8 Ejemplo. x 4x 1 0 Observe que crece de termino Dy, es decir D = 0, por lo tnto el lugr geométrico no es un prábol. Al intentr fctorizr, nos encontrmos que l ecución no es fctorizble, es decir no existe ningún punto del plno que hg est ecución igul cero. Por lo tnto, no tiene lugr geométrico. Problem 4. En otros problems se solicitn lugres geométricos sin clrr explícitmente que se trt de un prábol, por lo que, el que resuelve el problem depende de un plntemiento decudo inicil y luego en sus trnsformciones descubre que se trt de un prábol. Ejemplo. Un punto se mueve de tl mner que su distnci l punto (6,) es siempre igul su distnci l rect x = 0. Hllr e identificr l ecución del lugr geométrico. Solución: Representción inicil del problem Sbiendo que P(x,y) es el punto generl, l distnci entre P y (6,) est dd por: x y - (I) Clculmos l distnci de P l rect x - = 0: PR x - x - (II) 1+0 Luego igulmos (I) y (II) x y - = x - (III) Desrrollemos l ecución (III) x y - = x - ; y - 8x 3; y - 8 x 4 Esther Morles (009)

29 9 De lo cul concluimos que el lugr geométrico es un prábol de vértice (4,), que bre hci l derech, y su eje focl es prlelo l eje x. Problems de plicción: L prábol tiene un propiedd interesnte: Si unimos culquier punto, P, de l prábol con su foco, el ángulo que formn el rdio focl con l tngente en ese punto, es igul l ángulo que form l tngente en ese punto con l rect prlel l eje de l prábol. Est propiedd se utiliz en l construcción de espejos (de luz y sonido), pues l emisión, de luz o sonido, desde el foco se reflej prlelo l eje y vicevers (un emisión, de luz o sonido, prlel l eje de l prábol se concentr en el foco. Los fros de los coches y ls ntens prbólics hcen uso de est propiedd. (ojo, en mbos csos son prboloides no prábols, pero l propiedd se mntiene). Hy otros problems de plicción que se resuelven teniendo los conocimientos básicos de los conceptos estudidos en est sección. Esther Morles (009)

30 30 Problem 1. L tryectori de un proyectil disprdo desde el nivel del suelo es un prábol biert hci bjo. Si l ltur máxim lcnzd por el proyectil es de 100 metros y su lcnce horizontl es de 800 metros. Cuál es l distnci horizontl del punto de dispro l punto donde el proyectil lcnz por primer vez un ltur de 64 metros? Met: Cuál es el vlor de x1, donde el proyectil lcnz por primer vez 64 m? CONCEPTOS: Ecución de un prábol Prábol Vértice Prámetro p metro TRANSFORMACIONES: Construido los eventos iniciles, obtenemos: Vértice V (400,100) Punto de inicio P (0,0) Punto de lcnce máximo Q (800,0). Sustituimos V y Q en l ecución ordinri (x h) = -4 p (y k) EVENTOS Pr obtener el vlor de p (distnci del vértice l foco). ( ) =- 4p ( 0-100) p = 100 Luego sustituimos p y 64 en l ecución ordinri pr determinr el vlor de x x1 y x es el vlor en el cul el proyectil lcnz l ltur de 64 m (x - 400) =- 400 (64-100) ; x = 50 Como 50 está l derech de 400 entonces suponemos que el primer vlor donde lcnz por primer vez 64 m es Así concluimos que el vlor solicitdo es: x1 = 80 m Esther Morles (009)

31 31 Problem. Supong que el gu, l slir del extremo de un tubo horizontl que se encuentr 7,5 metros de rrib del suelo, describe un curv prbólic, estndo el vértice en el extremo del tubo. Si en un punto,4 m por debjo del nivel del tubo, el flujo de gu se encuentr 3 m de l verticl que ps por el extremo del tubo, qué distnci de est verticl llegrá el gu l suelo? Met: A qué distnci de l verticl llegrá el gu l suelo? CONCEPTOS: Ecución de un prábol Prábol Vértice Prámetro p Metro TRANSFORMACIONES: Construido los eventos iniciles, obtenemos: Vértice V (0, 7,5) Punto que pertenece l prábol P (3, 5,1) Q (x,0) punto de lcnce del flujo de gu desde l verticl. Sustituimos V y P en l ecución ordinri (x h) = -4 p (y k) EVENTOS (3, 5,1) Pr obtener el vlor de p (distnci del vértice l foco) (3 ) =- 4p (5,1 7,5) p = 0,94 Luego sustituimos p en l ecución ordinri pr obtener: (x ) =-3,76 (y 7,5) (I) x es l distnci de l verticl l que llegrá el gu l suelo Luego sustituimos Q (x,0) en (I), pr obtener el vlor de x por despeje. x = 5,3 m A 5,3 m de l verticl llegrá el gu l suelo Esther Morles (009)

32 3 3. L elipse. Lugr geométrico de un punto que se mueve en un plno de tl mner que l sum de sus distncis dos puntos fijos de ese plno es siempre igul un constnte, myor que l distnci entre los dos puntos. Los dos puntos fijos se llmn focos de l elipse. Si M es un punto móvil de l curv y F y F los focos, se cumple l condición: En l figur 1 MF + MF ' = constnte AA ' Y BB ' son los ejes de simetrí de l elipse y O su centro de simetrí. AA ' Es el eje myor, diámetro myor o eje focl BB ' Es el eje menor, diámetro menor o eje no focl FF ' Es l distnci focl FM + F'M Se llmn rdios vectores o simplemente vectores. B M A A F F B Fig Ecución de l elipse cuyos ejes coinciden con los ejes coordendos. En este cso se deben considerr ls dos posiciones siguientes: I. Eje myor coincide con el eje x, y el eje menor coincide con el eje y. Se M (x, y) un punto culquier de l elipse (ver figur 3) y F (c, o) y F (-c, o) los focos. Esther Morles (009)

33 33 Y B M(x,y) r p A M F O Q F A X B Fig.3 De cuerdo con l definición de l curv MF + MF = (1) donde >c>0 Por distnci entre dos puntos MF = ( x c) y y MF = ( x c) y Sustituyendo en (1) se tiene: (x c) y (x c) Pr eliminr los rdicles en l ecución nterior, procedemos en l form siguiente: ( x c) y = - ( x c) y Elevndo l cudrdo (x c) + y = 4-4 ( x c) y + (x + c) + y Desrrollndo y simplificndo x - c x + c + y = 4-4 ( x c) y + x + c x + c + y 4 (x c) y 4 4cx Esther Morles (009)

34 34 (x c) y cx Elevndo l cudrdo (x + c) + y = 4 + c x + c x (x + c x + c ) + y = 4 + c x + c x x + c x + c + y = 4 + c x + c x x - c x + y = 4 - c Fctorizndo x ( -c ) + y = ( -c ) Como - c 0, podemos hcer - c= b con b>o result: b x + y = b Dividiendo mbos miembros entre b se obtiene: y b x =1 ( I ) L ecución (I) es l ecución de l elipse en l posición dd. Note que los puntos de cortes con el eje x son (o,-) y (o,), y los puntos de cortes con el eje y son (0,-b) y (0,b), luego, l longitud del eje myor es y l longitud del eje menor es b. Es inmedito que l distnci focl es c. II. Eje myor coincide con eje y, y el eje menor coincide con el eje x. (ver fig.4) Se M (x, y) un punto móvil. Y A F Q M B` O B X F Fig. 4 A Esther Morles (009)

35 35 Por un rzonmiento nálogo l nterior obtenemos (II) x b y =1 ( II ) que es l ecución de l elipse en l posición dd. Donde l longitud del eje myor es, l longitud del eje menor es b y l distnci focl es c. Ejemplos ) Hllr l ecución de l elipse, sbiendo que sus dos vértices del eje myor son respectivmente A (6, 0), A (-6, 0) y l longitud del eje menor es b = 10. Solución: Según los eventos ddos, se trt de un elipse, cuyo eje myor coincide con el eje x y su eje menor coincide con el eje y. Como = 1 y b = 10; = 6 y b = 5 Por (I), tenemos: y x o se: 5x + 36y = 36(5); 5x + 36y = 0 Representción gráfic b) Hllr l ecución de l elipse, sbiendo que sus dos vértices del eje myor son respectivmente: A (0, 8), A (0, -8) y un foco está ubicdo en F (0, 6). Solución: Se trt de un elipse cuyo eje myor coincide con el eje y, tiene como centro el origen por tnto BB coincide con el eje x. Esther Morles (009)

36 36 Como: = AA ' = 16, = 8 c = OF = 6 Por tnto, plicndo l relción - c= b, se tiene que b = = 8 Por (II), result: y + x = O se: 8 y + 64 x = 64.8; 64x + 8y = 179; 16x + 7y = 448 Representción gráfic. Luego 16x + 7y = 0 F M A A F 3.. Ecución de l elipse cuyos ejes son prlelos los ejes coordendos y de centro (h,k). En este cso se deben considerr ls dos posiciones siguientes: I. Eje myor prlelo l eje x Consideremos l elipse cuyo centro está en el punto (h,k) y cuyo eje focl es prlelo l eje x. Tl como se indic en l figur 5. Fig. 5 Esther Morles (009)

37 37 Si los ejes coordendos son trslddos de mner que el nuevo origen 0 coincid con el centro (h,k) de l elipse, l ecución de l elipse referid los nuevos ejes x y y está dd por: x y + 1 b Ls sustituciones x = x h y y = y k conducen : (x - h) (y - k) + b = 1 (III) Que es l ecución de l elipse en l posición dd. (Ver Fig.5) II. Eje myor prlelo l eje y. Consideremos l elipse cuyo centro está en el punto (h,k) y cuyo eje focl es prlelo l eje y. Tl como se indic en l figur 6. Fig. 6 Por un rzonmiento nálogo lo nterior: ( y k) (x h) b = 1 (II) que es l ecución de l elipse en l posición dd. Esther Morles (009)

38 38 Problem 1 Ddos lgunos elementos de l elipse, obtener l ecución de l curv Ejemplos ) Obtener l ecución de l elipse que cumple con ls siguientes condiciones: su centro es C (3, ), eje myor es prlelo l eje x, l longitud del eje myor es = 4, y l longitud del eje menor es b = 3. Met: Cuál es l ecución de l Elipse, que stisfce ls condiciones plnteds en los eventos iniciles? CONCEPTOS: Ecución de un elipse Elipse Eje myor Eje menor Centro b c Focos Vértices TRANSFORMACIONES: Por ser el eje myor AA prlelo l eje x, l ecución de l elipse es de l form (x h) (y k) 1 b Como = y b = 3 y C(3,), se tiene: (x 3) (y ) Quitndo denomindores y simplificndo result: EVENTOS Elipse Centro: C (3,) eje myor eje x = 4 b = (x 3) 4(y ) (4)( ) (x - 6x + 9) + 16 (y - 4 y + 4= 36 9x - 54x y - 64y + 64 = 36 9x + 16y - 54x 64y + 109= 0 Representción gráfic. Esther Morles (009)

39 39 b) Obtener l ecución de l elipse que cumple con ls siguientes condiciones: los vértices en el eje myor son A (, 8), A (, -), sus focos son F (, 6) y F (, 0). Met: Cuál es l ecución de l elipse que stisfce ls condiciones iniciles dds del problem? CONCEPTOS: Ecución de un elipse Elipse Eje myor Eje menor Centro b c Focos Vértices Elipse A (, 8) y A (, -) F (, 6) y F (, 0) EVENTOS TRANSFORMACIONES: Por tener A y A l mism bscis, el eje myor AA es prlelo YY. Entonces l ecución es de l form: (y k) (x h) 1 b Como el centro de l elipse es el punto medio de AA ' y de FF ', se tiene: C = (, 3) Además, por ser los ejes de l elipse prlelos los ejes coordendos, result: = AA ', 8 (-) = 10, = 5 c = FF ', 6 0 = 6, c = 3 b = 5 9 = 16 4 Sustituyendo tenemos: (y 3) (x ) Quitndo denomindores y simplificndo 16 (y 3) + 5 (x- ) = 5 (16) 16 (y - 6y + 9) + 5 (x ) = y - 96y x - 100x = x + 16 y x 96 y 156 = 0 Representción gráfic. Esther Morles (009)

40 Ldo recto. Recibe este nombre culquier de ls cuerds que ps por los focos y es perpendiculr l eje focl. En l figur 7, MM' y NN' son ldos rectos de elipse. De l ecución x b Fig. 7 y =1 (*) se desprende un corolrio que permite estblecer un importnte propiedd de l elipse, que recibe el nombre de PROPIEDAD INTRINSECA. L cul se obtiene l sustituir en ( * ) x por OQ ( distnci del centro l pie de l perpendiculr que ps por M) y por PQ (distnci de P l eje myor) Es decir: OQ PQ + b = 1 Propiedd intrínsec de l elipse. A prtir de est propiedd podemos obtener el ldo recto de l siguiente mner: OF + MF b = 1 Despejndo MF se tiene: MF b 1- OF ; MF b ( -OF ) ; MF = b ( -OF ) Esther Morles (009)

41 41 y como OF = c, entonces c MF = b ( ) Además, - c = b, entonces: MF = b 4 b ; MF = y como l distnci se consider en su vlor bsoluto, luego MF = b por tnto; MM ' = MF = b ; MM ' = b (**) L fórmul (**) nos permite clculr l longitud del ldo recto de l elipse, conociendo ls longitudes de sus ejes de simetrí Excentricidd. Dd un elipse, se define como su excentricidd el número resultnte de dividir su distnci focl entre l longitud de su eje myor. L excentricidd se denot por e. Luego e = c = c El specto de un elipse depende del vlor de su excentricidd. Si e = 0, entonces c = 0 y = b. Entonces los dos focos coinciden en el centro y l elipse es un círculo. Conforme e crece, los focos se seprn, lejándose del centro y b decrece. Conforme e se cerc 1, c se cerc y b se cerc 0. Por est rzón, l elipse que comenzó como círculo se vuelve más y más ngost. Si e = 1, l definición de elipse requiere que l representción gráfic se el segmento de rect que conect los focos. Resumiendo se tiene un elipse rel si 0< c < 1 Esto signific que el vlor de l excentricidd debe estr comprendido entre 0 y 1. Cundo e es ligermente myor que cero, l elipse es csi un círculo; cundo e es ligermente menor que 1, l elipse es reltivmente lrg y ngost. Esther Morles (009)

42 Form generl de l ecución de un elipse Si desrrollmos l ecución (x - h) (y - k) + b = 1 (III) Obtenemos: b x + y - b hx - ky + b h + k - b = 0 (III) L ecución (III) puede escribirse en l form: Donde A = b ; C = Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 (IV) ; D = b h ; E = k ; F = bh + k - b Obvimente los coeficientes A y B son de igul signo y no nulos. Recíprocmente, si considermos l ecución (III) completndo cudrdos obtenemos: x + D E y + A C + = CD +AE - 4ACF C A 4A C (V) y considermos hor vrios csos posibles, llmndo N = N 4A C CD + AE - 4ACF y M = Tenemos: ) Si N = 0, entonces l ecución (V) represent un único punto D, E b) Si N 0, l ecución (V) equivle A C Esther Morles (009)

43 43 x + D E y + A MC C + =1 (VI) MA y quí como A y C son de igul signo, entonces MC y MA son del mismo signo. i) Si MC > 0 y MA > 0, l ecución (V) represent un elipse de ejes prlelos los ejes coordendos y centro D, E A C ii) Si MC < 0 y MA < 0, l ecución (V) no represent ningún lugr geométrico. En generl: Teorem: Si los coeficientes A y C son diferentes y del mismo signo y no nulos, entonces l ecución de segundo grdo Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 represent un único punto, un elipse de ejes prlelos los ejes coordendos o ningún lugr geométrico. Esther Morles (009)

44 44 Problem. Dd l ecución generl (III), determinr el lugr geométrico que describe l ecución, en cso de ser elipse construir l ecución ordinri, luego encontrr ls coordends del centro de simetrí, ls longitudes del eje myor y del menor, l distnci focl, l longitud del ldo recto y el vlor de l excentricidd. Ejemplo (): x + 9 y = 0 Met: Cuál es el lugr geométrico que describe l ecución dd? Es un elipse? Cuáles son ls longitudes del eje myor y del menor, l distnci focl, l longitud del ldo recto y el vlor de l excentricidd, de l elipse dd? CONCEPTOS: Lugr geométrico Ecución de un elipse Elipse Eje myor Eje menor Centro b c Focos Vértices Excentricidd Ldo Recto TRANSFORMACIONES: Según los teorems nteriores podemos previmente suponer que el lugr geométrico de l ecución dd posiblemente es o un elipse, un punto o ningún lugr geométrico. Y que A = y B = 9 son diferentes y positivos Por tnto l ecución x + 9y = 900 (I) L dividimos entre 900 y simplificndo x y y x 1 ; 1 (II) L ecución (II) es de l form y x 1 b Conclusión tenemos un elipse de: EVENTOS x + 9 y = 0 (I) Centro (0, 0) Longitud eje myor = 0 Longitud eje menor b =1 Entonces l longitud del vértice l foco es c = b c = b Ldo recto = (36) 7 Entonces: Ldo recto = e = 10 5 Representción gráfic: Esther Morles (009)

45 45 Ejemplo (b): x -8x + 3 y -18y + 9 = 0 Met: Cuál es el lugr geométrico que describe l ecución dd? Es un elipse? Cuáles son ls longitudes del eje myor y del menor, l distnci focl, l longitud del ldo recto y el vlor de l excentricidd, de l elipse dd? CONCEPTOS: Lugr geométrico Ecución de un elipse Elipse Eje myor Eje menor Centro b c Focos Vértices Excentricidd Ldo Recto EVENTOS x -8x + 3 y -18y + 9 = 0 TRANSFORMACIONES: Según los teorems nteriores podemos previmente suponer que el lugr geométrico de l ecución dd posiblemente es o un elipse, un punto o ningún lugr geométrico. Y que A = y B = 3 son diferentes y positivos Trtemos de construir l ecución ordinri. Por el método de completr cudrdos se obtiene: x - 8 x + 3y - 18 y = -9 (x - 4 x) + 3 (y - 6 y) = -9 (x - 4 x + 4) + 3 (y - 6y + 9) = (x ) + 3 (y 3) = 6 Dividiendo entre 6, mbos miembros, tenemos: (x ) (y 3) 1 3 Luego l ecución es de l form (x h) (y k) 1 b Conclusión tenemos un elipse de: C (, 3), = 3, b = c = Ldo recto proximdmente e = 0.57 proximdmente 3 3 Representción grfic. Esther Morles (009)

46 46 Ejemplo (c): 4x 9y 8x 36y 16 0 (x ) (y ) Ecución ordinri El lugr geométrico es un elipse de centro (,) Longitud del eje myor 6, prlelo l eje x Longitud del eje menor 4 Representción gráfic: Ejemplo (d): 4x 9y 8x 36y 5 0 Después de l completción de cudrdo (x ) (y ) Result El lugr geométrico es el punto (,) Representción gráfic Ejemplo (e): 4x 9y 8x 36y 88 0 Después de l completción de cudrdo (x ) (y ) Result Esther Morles (009)

47 47 De quí se desprende que 4 y b 9, lo que permitirí firmr que y b no tienen longitudes reles, luego el lugr geométrico no existe en el plno. Problem 3: En otros problems se solicitn lugres geométricos sin clrr explícitmente que se trt de un Elipse, por lo que, el que resuelve el problem depende de un plntemiento decudo inicil y luego en sus trnsformciones descubre que se trt de un prábol. Ejemplo (): Obtener l ecución del lugr geométrico de los puntos tles que l sum de sus distncis los puntos A (3, 0) y B (-3, 0) es igul 10. Met: Cuál es el lugr geométrico de los puntos tles que l sum de sus distncis los puntos A (3, 0) y B (-3, 0) es igul 10? CONCEPTOS: Lugr geométrico Ecución de un elipse Elipse Eje myor Eje menor Centro Vértices y b. EVENTOS Sbiendo que el punto generl es: P(x,y) Y ddo los puntos A (3, 0) y B (-3, 0), tenemos: PA + PB = 10 TRANSFORMACIONES: Ddo que PA + PB = 10 (I), pliquemos l formul de distnci pr sustituir PA y PB en (I). x y x y - 0 = 10 x y - 0 = 10 - x y - 0 x - 3 =100-0 x y + x x + 3 +y =1x x + 3 +y 3x 5 5 x + 3 +y 9x 150x 65 x - 3 +y = x y + x y x - 6x+ 9 =100-0 x + 3 +y + x + 6x + 9 5x 150x 5 5y 9x 6x 65 16x 5y 400 0; 16x 5y 400 x y Lugr geométrico: Un elipse con C(0,0) y eje myor prlelo l eje x, = 10 y b = 4. Esther Morles (009)

48 48 Ejemplo (b): Hllr e identificr l ecución del lugr geométrico de un punto que se mueve que se mueve de tl mner que su distnci l rect y = -8 es siempre igul l doble de su distnci del punto (0,-). Met: Cuál es el lugr geométrico de los puntos tles que se mueve4 de tl mner que su distnci l rect y = -8 es siempre igul l doble de su distnci del punto (0,-). CONCEPTOS: Ecución de un elipse Elipse Eje myor Eje menor Centro Vértices y b. TRANSFORMACIONES: Ddo que PR = PA (I), pliquemos l formul de distnci pr sustituir PR y PA en (I). y 8 = x y y 8 = x y + Elevndo l cudrdo y simplificndo tenemos: EVENTOS Sbiendo que el punto generl es: P(x,y) Y ddo el punto A (0,-) y l rect R: y = -8 PR = PA 4x + 3y - 48 = 0 (II) Completndo cudrdo en (II) y x + = Lugr geométrico: Un elipse con C(0,0) y eje myor prlelo l eje x, = 4 y b = 1. Aplicción de l elipse L elipse tiene un propiedd muy interesnte: Si unimos culquier punto, P, de l elipse con sus focos, el ángulo que formn los rdios focles con l tngente en ese punto son igules. Esther Morles (009)

49 49 Est propiedd se utiliz en l construcción de espejos (de luz y sonido), pues l emisión, de luz o sonido, desde uno de los focos se reflej en el otro foco. Hy otros problems de plicción que se resuelven teniendo los conocimientos básicos de los conceptos estudidos en est sección. Problem 1: L tierr se mueve sobre un órbit elíptic con el sol en uno de sus focos. Si l longitud de l mitd del eje myor es 93 millones de mills y l excentricidd es 0,017. Hllr ls distncis mínim y máxim entre l tierr y el sol. Met: Cuál es l distnci mínim y máxim entre l tierr y el sol? CONCEPTOS: Lugr geométrico Ecución de un elipse Elipse Eje myor Eje menor Centro Vértices Focos EVENTOS TRANSFORMACIONES: L solución de este problem depende de un buen plntemiento inicil en el cul se reliz un representción del evento prtiendo de un elipse centrd en el origen y conociendo previmente que l tierr se encuentr en los vértices ubicdos en el eje myor; l izquierd del sol pr clculr l distnci mínim entre ell y el sol, y l derech del sol pr clculr l distnci máxim de l tierr l sol. Pr clculr ests distncis prtimos de eje myor 93 millones de mills. Luego Sbiendo que: Excentricidd = c = 0,017, entonces podemos obtener: c = 1,581. Con el vlor de c, clculmos l distnci del centro l foco, es decir l distnci del centro de l elipse l sol. Pr ello se rest l longitud = 93 l longitud c, es decir; 93-1,581 = 91,419 millones de mill. eje myor 93 millones de mills excentricidd 0,017 L tierr se mueve sobre un orbit elíptic gir y el sol está ubicdo en uno de los focos Conclusión: L distnci mínim del sol l tierr es 91,419 millones de mills. L distnci máxim del sol l tierr es + c = 94,419 millones de mills. Esther Morles (009)

50 50 Problem : El techo de un psillo de 10 m de ltur tiene l form de un semielipse y 9 metros de ltur en el centro, sí como 6 m de ltur en ls predes lterles. Clcule l ltur del techo m de un pred. Met: Cuál es l ltur del techo m de un pred? CONCEPTOS: Lugr geométrico Ecución de un elipse Elipse Eje myor Eje menor Centro Vértices Focos TRANSFORMACIONES: L solución de este problem depende de un buen plntemiento inicil en el cul se reliz un representción del evento prtiendo de un elipse centrd en el origen y considerndo todos los dtos proporciondos. De l gráfic deducimos que se tiene que obtener l ecución de l elipse pr luego sustituir el vlor de x = 3 ó x = -3 lo cul represent l posición del punto m de cd pred lterl. Conocemos demás el vlor de: L longitud del semi eje myor = = 5m L longitud del semi eje menor =b = 3m EVENTOS Lo cul nos permite obtener l ecución ordinri de l elipse dd: x y + = 1 (I) 5 3 Luego sustituimos el vlor de x = 3 ó x = -3 en (I) y despejmos el vlor de y y 3 + = 1; y 9 81 ; y Conclusión: El dibujo represent un techo en form de semi-elipse con 10 m de nchur y ls predes lterles de 6 m de ltur. L ltur del techo m de l pred es 1 m 5 Esther Morles (009)

51 51 4. L hipérbol Lugr geométrico de un punto que se mueve en un plno de tl mner que el vlor bsoluto de l diferenci de sus distncis dos puntos fijos del plno, llmdos focos, es siempre igul un cntidd constnte, positiv y menor que l distnci entre los focos. Si M es un punto culquier de l curv y F y F los focos, se cumple l condición. MF - MF = CONSTANTE En l figur 1: L1 y L son los ejes de simetrí de l hipérbol y O su centro de simetrí. L1 es el eje focl de l hipérbol, eje trnsverso o eje rel A y A se encuentrn en el eje focl y se denominn vértices de l hipérbol. AA ' es l longitud del eje rel L es el eje no focl, eje imginrio o eje conjugdo B y B están situdos de modo que AB= BB ' es l longitud del eje conjugdo FF ' es l distnci focl MF y AB ' = OF MF' se llmn rdio vectores o, simplemente, vectores. L1 L Fig. 1 Esther Morles (009)

52 Ecución de l hipérbol cuyos ejes coinciden con los ejes coordendos. En este cso se deben considerr ls dos posiciones siguientes: I. Eje rel coincide con el eje x y el eje imginrio coincide con el eje y. Se M (x, y) un puntos culquier de l hipérbol (ver figur ); F (c, 0) y F (-c, 0) los focos. M Fig. De cuerdo con l definición de l curv MF` - MF = (1) Donde 0 < < c Por distnci entre dos puntos MF = ( x c) y y MF = ( x c) y Sustituyendo en (1) se tiene: (x + c) + y - (x - c) +y = Aplicndo definición de vlor bsoluto: ( x c) y - ( x c) y = Despejndo ( x c) y = + ( x c) y Esther Morles (009)

53 53 Elevndo l cudrdo mbos miembros de est últim iguldd y simplificndo obtenemos: ( x c) y = c x - Elevndo l cudrdo y regrupndo obtenemos:. x (c - ) - y = (c - ) (1) Como 0 < < c, podemos escribir c - = b, con b>0 y sí (1) se trnsform en: b x - y = b Dividiendo mbos miembros entre b se obtiene: x y 1 (I) b L ecución (I) represent l ecución ordinri o cnónic en l posición dd. Ls intersecciones con el eje x son (,0) y (,0), luego l longitud del eje rel es igul. L longitud del eje conjugdo es b y l distnci focl es c. II. Eje rel coincide con eje y, el eje imginrio coincide con el eje x. Se M(x, y) un punto móvil culquier de l hipérbol (ver figur 3). Fig.3 En form nálog probmos que: Esther Morles (009)

54 54 y x 1 (II) b L ecución (II) represent l ecución ordinri o cnónic en l posición dd. Igulmente, pr este cso, l longitud del eje rel es igul., l longitud del eje conjugdo es b y l distnci focl es c. Ejemplos Hllr l ecución ordinri de l hipérbol que cumple ls siguientes condiciones: ) Sus focos son respectivmente F (-3, 0) y F (3, 0), l longitud del eje rel es = 4. b) Sus vértices son A (0, 7) y A (0, -7), y B = (5, 0), B (-5, 0) Solución(): Ls coordends de los focos nos dicen de form implícit que se trt de un hipérbol cuyo eje focl coincide con el eje x, por lo cul el eje no focl coincide con el eje y. FF ' = c = 6 distnci focl considerd desde -3 hst 3; c = 3 De = 4 se deduce que: = Como: b = c- ; b = Por (I) tenemos: y x - = Ecución ordinri de l hipérbol Representción gráfic. Esther Morles (009)

55 55 Solución (b): En los eventos se observ que se trt de un hipérbol en l que BB ' coincide con el eje x. AA ' = = 14, = 7 BB ' = b = 10, b = 5 y x Por (II) tenemos: O se: 5y - 49 x = 15 AA ' coincide con el eje y y Luego: 49 x - 5 y - 15 = 0 es l ecución de l hipérbol estudid. Representción gráfic 4. Ldo recto. Recibe este nombre culquier de ls cuerds que ps por los focos y es perpendiculr l eje focl. En l figur, MM y NN son ldos rectos de l hipérbol (Ver figur 4) Esther Morles (009)

56 56 Fig.4 Al sustituir x = c en l ecución (II) y usr l relción extremos de un ldo recto son: c= + b, se encuentr que los c, - b y c, b Por lo tnto l longitud es b Est fórmul nos permite clculr l longitud del ldo recto de l hipérbol, conociendo ls longitudes de sus ejes de simetrí. 4.3 Asíntots de un curv. Si l distnci un rect desde un punto móvil de un curv tiende cero, cundo dicho punto se mueve en determind dirección, se dice que l rect es síntot de l curv. M O Q P En l figur, l distnci MQ del punto M l rect OP tiende cero, medid que se mueve en l dirección OP. L rect OP es síntot de l curv. Asíntots de l hipérbol. Ls rects determinds por ls digonles del rectángulo de ldos y b, y de centro el centro de l hipérbol como prece en l figur 5 son ls síntots de l hipérbol. r 1 y r son ls síntots de l hipérbol. Esther Morles (009)

57 57 Es decir, r 1 y r son ls digonles extendids del rectángulo formdo por ls rects de ecuciones x =, x = -, y = b, y = -b. Por trtrse de rects que psn por el origen, ls ecuciones de r 1 y r son del tipo y = mx r 1 r Fig. 5 Como m = b pr r 1, m = b pr r Ls ecuciones de ls síntots son: y = b x, y = - b x pr r 1 y r respectivmente. Tmbién se pueden obtener ls ecuciones de ls síntots prtir de l ecución de l hipérbol. x y - = 1 b Despejndo y, result: y x y x = - 1 ; ; y = b b Lo que se puede expresr sí: b x y = b x x ( ) x Esther Morles (009)

58 58 y = b x (1 ) x y = b x 1 x Se observ que si l bscis de un punto móvil M de l hipérbol es un vlor muy grnde positivo o negtivo, l frcción es un vlor que se cerc cero, por tnto el rdicl 1 se x x cerc 1. Se obtiene entonces: y = b x, que son ls ecuciones de ls síntots. L distnci MP es cd vez menor y l hipérbol tiende coincidir con ls rects r 1 y r. 4. Excentricidd. L excentricidd e de un hipérbol se expres por l rzón e = c. El ángulo de intersección de ls síntots y el specto de l hipérbol, depende del vlor de e. Como c >, el vlor de e es myor que 1. Si c es solo un poco myor que, de modo que e est cerc de 1, l relción c= + b muestr que b es pequeño, comprdo con. Entonces ls síntots tomn un pr de ángulos pequeños. Ls rms de l hipérbol, encerrdos por ángulos pequeños divergen lentmente. Si e crece, ls rms están encerrds por ángulos myores, y los ángulos pueden estr cerc de 180º l tomr vlores grndes de e Relción entre los puntos de un hipérbol y sus síntots. x y Se l hipérbol de ecución 1 b Ls síntots de l curv tienen por ecuciones: r 1 : y = b r : y = - x b x o se: bx y = 0 o se: bx + y = 0 Esther Morles (009)

59 59 Si considermos M (x, y), un punto culquier de l hipérbol (ver figur 6), por distnci de un punto un rect, se tiene: MN = bx - y + b (1) bx y MP () b Multiplicndo miembro miembro (1) y () MN x MP = b x y b b Es decir: MN x MP = cons tn te b Por tnto, se puede concluir que el producto que result de multiplicr ls distncis de un punto culquier de un hipérbol sus síntots, es un cntidd constnte. Est propiedd nos permite determinr ls ecuciones de sus síntots y de ls coordends de un punto culquier de l curv. Ejemplo Obtener l ecución de l hipérbol que ps por el punto M (4, 0) y cuys síntots tienen por ecuciones: (R1) 3 x 4 y = 0, (R) 3 x + 4 y = 0 Solución: Fig. 6 Esther Morles (009)

60 60 Se reliz un representción de lo plntedo de form implícit pr tener un ide inicil de lo que dice el problem: R N R1 M P Por l propiedd estblecid. MN x MP = K (constnte) (1) Por lo estudido nteriormente (distnci entre un punto y un rect), tenemos: MN = 3x - 4y = 3x - 4y 5 () MP = 3x + 4y = 3x + 4y 5 (3) Sustituyendo () y (3) en (1), result: 3x - 4y 3x + 4y 5 5 = K (4) Como sbemos que M (4, 0) es un punto de l curv, sustituyendo en (4), se obtiene: 3(4) 4(0) 3(4) 4(0) 1 1 K K Sustituyendo el vlor de K en (4), tenemos: 3x - 4y 3x + 4y 5 5 = Esther Morles (009)

61 61 9x - 16y = x - 16 y = 144 9x - 16 y = 144 x y Luego: 1 y 16 9 solicitds. x + = 1 son ls ecuciones de ls ecución de l hipérbols 16 9 y 4.6. Hipérbol equiláter. Recibe este nombre l hipérbol cuyos ejes, rel e imginrio, tienen igul longitud. L hipérbol de l figur 8 es equiláter porque: = b x y Dd su posición en el plno su ecución es: 1, y que = b Tmbién puede escribirse sí: x - y = Además se puede firmr que ls síntots de l hipérbol equiláter son perpendiculres por coincidir con ls digonles de un cudrdo. Ejemplo: y x - = Hipérbol de centro (0,0) y longitud del eje rel = longitud del eje conjugdo = 4. Ver Fig.7. Fig. 7 Esther Morles (009)

62 Hipérbols conjugds. En lgunos csos se introduce el término de hipérbols conjugds, pr denotr dos hipérbols en ls que el eje rel de un es eje imginrio de l otr, como vemos en l figur 8. Fig. 8 Cundo los ejes de l hipérbol coinciden con los ejes coordendos, como sucede en este cso sus ecuciones son: x y x y 1 y 1 respectivmente b b 4.8. Ecución de l hipérbol cuyos ejes son prlelos los ejes coordendos y centro (h,k). Si el centro de l hipérbol no está en el origen, pero sus ejes son prlelos los ejes coordendos, sus ecuciones pueden obtenerse tl como se determinron mbs forms de l ecución de l elipse. En este cso se deben considerr ls dos posiciones siguientes: I. Eje focl prlelo l eje x Sen M (x, y) un punto culquier de l hipérbol y su centro C (h, k). L ecución de l hipérbol es de l form: ( x h) ( y k) - b = 1 (III) Ejemplo gráfico: Esther Morles (009)

63 63 II. Eje focl prlelo l eje y. Se M (x, y) un punto culquier de l hipérbol y su centro C (h, k). L ecución de l hipérbol es de l form: (y - k) - (x - h) b = 1 (IV) Ejemplo gráfico: Pr cd hipérbol: es l longitud del semieje trnsverso b es l longitud del semieje conjugdo c es l distnci del centro cd uno de los focos., b y c están ligds por l relción: c= + b 4.9. Form generl de l ecución de un hipérbol Si desrrollmos l ecución (x - h) (y - k) - b = 1 (II) Obtenemos: b x - y - b hx + ky + b h - k - b = 0 (III) L ecución (III) puede escribirse en l form: Esther Morles (009)

64 64 Donde A = Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 (IV) b ; C = - ; D = -b h ; E = k ; F = b h - k - b Obvimente los coeficientes A y C difieren en el signo y son no nulos. Recíprocmente, si considermos l ecución (IV) completndo cudrdos obtenemos: x + D E y + A C - = CD +AE - 4ACF C A 4A C y considermos hor vrios csos posibles, llmndo (V) N = N 4A C CD + AE - 4ACF y M = Tenemos: c) Si N = 0, entonces l ecución (V) represent dos rects: y = x + D - E A C d) Si N 0, l ecución (V) equivle x + D E y + A MC y y = -x - D + E A C - =1 (VI) MA y quí como A y C son de diferentes signos, entonces l ecución (IV) podrá ser tmbién de l form: x + D E y + A C + =1 MC MA donde MC y MA siempre serán positivos, distintos o igules. En generl: Si los coeficientes A y C son de diferentes signos y no nulos, entonces l ecución de segundo grdo Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 C Esther Morles (009)

65 65 represent dos rects que se cortn o un hipérbol de ejes prlelos los ejes coordendos. Ejemplos ) Obtener l ecución generl de l hipérbol que cumple con ls siguientes condiciones: Centro C (3, 5), longitud del eje rel; = 4, l longitud del semieje conjugdo b = 6, eje rel es prlelo l eje x. Por los eventos se observ que l ecución de l hipérbol es de l form ( x h) ( y k) - b = 1 Como = y b = 3, sustituyendo se tiene: (x 3) 4 (y 5) 9 = 1 O se: 9 (x 3) - 4 (y 5) = 36 9 (x - 6 x + 9) 4 (y - 10 y + 5) = 36 9 x - 54x y + 40 y 100 = 36 9 x - 4 y - 54 x + 40y 55 = 0 Ecución generl de l hipérbol b) Encontrr l ecución generl de l hipérbol siendo: Solución: F (-4, 5), F (-4, -3) y A (-4, -1) Por los eventos se observ que los focos y el punto A están situdos sobre un prlel l eje y, que tiene l mism bscis. Por tnto, l ecución es de l form ( y k) ( x h) - = 1 b Esther Morles (009)

66 66 C (-4, 1), por ser punto medio de FF CA = = Por diferenci de ls ordends de los puntos C y A CF = c = 4 Por diferenci de ordends de los puntos C y F b = c (y 1) (x 4) Sustituyendo en (IV) se tiene: O se: 1 (y 1) - 4 (x + 4) = 48 1 (y - y + 1) 4 (x + 8 x + 16) = 48 1y - 4 y x - 3x 64 = 48-4x + 1 y - 3 x 4 y = 0 - x - 3 y - 8 x 6 y 5 = 0 x - 3y + 8x + 6y + 5 = 0 Representción grfic. c) Determin el lugr geométrico de l ecución: 4x 9y 8x 36y 50 0 Esther Morles (009)

67 67 (x ) (y ) Solución: Ecución ordinri El lugr geométrico es un hipérbol de centro (,) Longitud del eje rel 6, prlelo l eje x Longitud del eje imginrio 4 Representción gráfic: d) Determin el lugr geométrico de l ecución: 4x 9y 8x 36y 4 0 (x ) (y ) Luego de completr cudrdo qued: El lugr geométrico son dos rects ( x ) (y ) 4(x ) 9(y ) 0; (x ) 3(y ) 0 Luego (x ) 3(y ) (x ) 3(y ) (x ) 3(y ) 0 Por lo tnto (x ) 3(y ) 0 ó (x ) 3(y ) 0 Simplificndo se obtienen ls rects: 3y + x-10 = 0 y -3y + x + = 0 Representción gráfic Obtención de los elementos de un hipérbol. Esther Morles (009)

68 68 Problem 1. Dd l ecución de un hipérbol cuyos ejes coinciden o son prlelos los ejes coordendos, encontrr ls coordends del centro, ls longitudes de los ejes rel e imginrio, l distnci focl, ls coordends de los vértices y de los focos, l longitud del ldo recto, el vlor de l excentricidd y ls ecuciones de ls síntots. Ejemplos (): Evento: 4 x - 9 y = 36 Met: Cuáles son ls coordends del centro, ls longitudes de los ejes rel e imginrio, l distnci focl, ls coordends de los vértices y de los focos, l longitud del ldo recto, el vlor de l excentricidd y ls ecuciones de ls síntots, de l hipérbol dd? TRANSFORMACIONES: CONCEPTOS: Ecución de un hipérbol Hipérbol Eje focl Eje rel Eje imginrio Distnci focl Centro Focos Vértices Ldo recto Excentricidd Asíntots Hipérbol EVENTOS 4 x - 9 y = 36 Dividendo los dos miembros de l ecución entre 36 y simplificndo, tenemos: x y 1 (I) 9 4 L ecución (I) es l ecución ordinri de un hipérbol centrd en el origen. Longitud eje myor coincide con el eje x. Longitud eje menor coincide con el eje y. El centro es: C (0, 0) = 3, =6 b =, b = 4 Luego: C = b = A (3, 0), A (-3, 0); F ( 13, 0), F (- 13, 0) Ldo recto = b = (4) 3 c 13 e =, e = 3 r 1 : y = x o se x 3 y = 0 Asíntot 3 r : y = - x, o se x + 3 y = 0 Asíntot 3 Representción gráfic 8 3 Esther Morles (009)

69 69 b) Evento: x - 9 y - 4 x + 36 y 41 = 0 Met: Cuáles son ls coordends del centro, ls longitudes de los ejes rel e imginrio, l distnci focl, ls coordends de los vértices y de los focos, l longitud del ldo recto, el vlor de l excentricidd y ls ecuciones de ls síntots, de l hipérbol dd? CONCEPTOS: Ecución de un hipérbol Hipérbol Eje focl Eje rel Eje imginrio Distnci focl Centro Focos Vértices Ldo recto Excentricidd Asíntots Trinomio cudrdo perfecto Hipérbol EVENTOS x - 9 y - 4 x + 36 y 41 = 0 TRANSFORMACIONES: Por el método de completr cudrdos, tenemos: x - 4 x 9 y + 36y = 41 x - 4 x 9(y - 4y) = 41 x - 4 x (y - 4 y + 4) = (x - ) - 9 (y ) = 9 (x ) (y ) L ecución es de l form (x h) (y k) 1 b Luego eje rel es prlelo l eje x. Eje conjugdo es prlelo l eje y. El centro es: C (, ) = 3, = 6; b = 1, b = c = b = A (5, ), A (-1, ); F ( + 10, ) Ldo recto = c e =, e = b ; Ldo recto = 10 3 (1) 3 Como ls síntots r 1 y r son rects que psn por el punto C (, ) y de pendiente b 1 m =, es decir, m = 3 Sus ecuciones son: r 1 : y = 3 1 (x ); x 3 y + 4 = 0 Asíntots r : y = (x - ); x + 3 y = -8 = 0 Asíntots Representción gráfic Esther Morles (009)

70 70 c) Evento: 9 x - 16y - 54x + 5 = 0 Met: Cuáles son ls coordends del centro, ls longitudes de los ejes rel e imginrio, l distnci focl, ls coordends de los vértices y de los focos, l longitud del ldo recto, el vlor de l excentricidd y ls ecuciones de ls síntots, de l hipérbol dd? CONCEPTOS: Ecución de un hipérbol Hipérbol Eje focl Eje rel Eje imginrio Distnci focl Centro c b Focos Vértices Ldo recto Excentricidd Asíntots Trinomio cudrdo perfecto Hipérbol EVENTOS 9 x - 16y - 54x + 5 = 0 TRANSFORMACIONES: Por el método de completr cudrdos, tenemos: 9 (x - 6x ) 16y = (x - 6x + 9) 16 y = (x-3) - 16y = (x 3) 16y y (x 3) L ecución es de l form (y k) (x h) 1 b Luego eje rel es prlelo l eje y, eje conjugdo es coincide con el eje x El centro es: C (3, 0) = 3, = 6; b = 4, b = 8 c = b = A (3, 3), A (3, -3); F (3, 5), F (3, -5) Como ls síntots son rects que psn por el punto C (3, 0) y de pendiente m = b, es decir, 4 3 sus ecuciones son: 3 r 1 : y 0 = (x 3) ; 4 3 x 4y 9 = 0 3 r : y 0 = - (x 3) ; 4 3x + 4y 9 = 0 Representción gráfic: Esther Morles (009)