APLICACIÓN DE LOS PRINCIPALES MODELOS MATEMÁTICOS DE LAS CÓNICAS

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1 APLICACIÓN DE LOS PRINCIPALES MODELOS MATEMÁTICOS DE LAS CÓNICAS Al finlizr l unidd, el lumno plicrá los principles modelos mtemáticos de ls cónics en l solución de problems. Mtemátics III Geometrí Anlític 39

2 MAPA CURRICULAR DEL MÓDULO Módulo Mtemátics III: Geometrí Anlític Unidd de prendizje 1. Aplicción de los principles modelos mtemáticos de ls rects, en l solución de problems.. Aplicción de los principles modelos mtemáticos de ls cónics, en l solución de problems. 5. Trnsformción de un ecución, trsldndo o rotndo los ejes coordin-dos un nuevo origen. h 3 h h 1.1 Grficr rects en un sistem coordendo. 5 h 1. Usr los diferentes tipos de ecuciones de un rect pr l solución de problems prácticos. 17 h Resultdos de prendizje.1 Usr ls ecuciones de l circunferenci en l solución de problems prácticos.. Usr ls ecuciones de l prábol en l solución de problems prácticos..3 Usr ls ecuciones de l elipse en l solución de problems prácticos..4 Usr ls ecuciones de l hipérbol en l solución de problems prácticos. 7 h 7 h 7 h 9 h 3.1 Usr trslción de ejes en l solución de problems. 1 h 3. Usr rotción de ejes en l solución de problems. 1 h Mtemátics III Geometrí Anlític 4

3 Sumrio Circunferenci Aplicciones de ls ecuciones de l circunferenci Prábol Aplicciones de ls ecuciones de l prábol Elipse Aplicciones de ls ecuciones de ls elipses Hipérbol Aplicciones de ls ecuciones de ls hipérbols Fig..1 C (h,k) r P (x,y) Resultdos del prendizje.1 Usr ls ecuciones de l circunferenci en l solución de problems.. Usr ls ecuciones de l prábol en l solución de problems..3 Usr ls ecuciones de l elipse en l solución de problems prácticos..1 Usr ls ecuciones de l circunferenci en l solución de problems.1.1 Circunferenci En l unidd nterior tuvimos l oportunidd de estudir lgunos lugres geométricos, como uno o vrios puntos en el plno, tmbién nlizmos detlldmente l líne rect y sus principles prámetros (pendiente, inclinción, ordend l origen), vimos lgunos criterios cerc de l perpendiculridd entre rects y ls diferentes forms en que se puede expresr l ecución de l rect, de tl form que podmos extrer de l ecución los dtos pr poder representrl gráficmente. Pues bien, hor con el estudio de l circunferenci, vmos dr otro pso delnte en el conocimiento de los principles lugres geométricos en el plno. L circunferenci l podemos definir, como el conjunto de puntos (x, y) del plno que equidistn siempre en un punto fijo C(h, k) llmdo centro, l distnci entre todos esos puntos y el centro es lo que conocemos como rdio de l circunferenci, vése l figur.1. Pr obtener nuestr ecución de l circunferenci podemos hcer uso de l ecución de l distnci entre dos puntos (ecución 1.1) que utilizmos en l unidd nterior; sí, pues, sustituyendo los vlores que nos ofrece l circunferenci, obtenemos: Ecución.1 r = ( x h) + ( y k) (.1) Que es conocid como ecución crtesin o norml de l circunferenci. Se puede notr que únicmente necesitmos conocer ls coordends del centro y l mgnitud del rdio pr obtener l ecución de l circunferenci en form norml. Ejemplo: Determinr l ecución de l circunferenci en form norml si el centro está en el origen y el rdio es igul uno. Grficndo estos dtos tenemos: Mtemátics III Geometrí Anlític 41

4 Fig.. Fig..3 P (1,) r = 1 r C (-3,-) Sbemos que l ecución norml de l circunferenci es: r = ( x h) + ( y k) Si r = 1 y, obtenemos sustituyendo: 1 = ( x ) + ( y ) ó plicndo simetrí x + y = 1 A est ecución especil se le llm tmbién ecución de l circunferenci unitri y tiene muchs plicciones en el estudio de l trigonometrí y otrs áres. Ejemplo. Obtener l ecución norml de l circunferenci, cuyo centro es el punto c 3, y ps por el punto. ( ) En este cso no conocemos el rdio pero sbemos que es l distnci entre el centro y el punto de l circunferenci, por lo tnto, plicndo l fórmul de l distnci, obtenemos: d = ( x x ) + ( y y ) d d hor bien, si entonces r = 3 r = 1 1 = r = (1 3 ) + ( ) = r = + = = 3 (4) (4) 3 4 podemos sustituir en l ecución norml de l circunferenci r = ( x h) + ( y k) ( ) y ( ) 3 = ( x 3 ) + ( ) Aplicndo simetrí tenemos por resultdo: ( x + 3) + ( y + ) = 3 Trcemos primermente nuestr gráfic: Mtemátics III Geometrí Anlític 4

5 Ecución generl de l circunferenci Como recordrás, en el cso de l líne rect, prtir de l ecución punto pendiente podemos obtener l ecución generl de l rect, en l circunferenci podemos plicr el mismo criterio y expresr l ecución norml en form generl, y el procedimiento consiste en desrrollr los binomios cudráticos, reducir los términos semejntes e igulr cero tod l expresión. término Bxy que puede presentrse en otrs curvs como elipses e hipérbols. Ejemplo Clculr l ecución generl de l circunferenci cuyo centro es (-5,) y rdio igul 3. Trzmos l gráfic: Fig..4 L Ecución generl de l circunferenci siempre se represent con el siguiente formto: x + y + Dx+ Ey+ F = Ecución. Pr conocer los vlores de D, E y F de l ecución generl, debemos desrrollr primero l ecución norml, simplificr e igulr cero, vmos proceder: plicndo ley de simetrí e igulndo cero obtenemos: ( x h) + ( y k) r = Desrrollndo los binomios l cudrdo se tiene: x xh+ h + y yk+ k r = Ordenndo términos tenemos: x + y xh yk + h + k r = Ecución.3 Comprndo ést últim expresión con l ecución., podemos decir que: x + y + Dx+ Ey+ F = x + y xh yk + h + k r = D = h Ecución.3 E = k Ecución.3 b F = h + k r Ecución.3 c Algo notble en l ecución.3 es que los términos x e y siempre son positivos y con coeficientes igules y jmás precerá el Nuestros dtos son: C( h, k ) = ( 5,) r = 3 D= h= 5 = 1 ( )( ) ( )( ) E = k = = 4 F = h + k r F = (5) + () (3) = = Por lo tnto l ecución generl es: x + y + 1x 4y+ = Mtemátics III Geometrí Anlític 43

6 Ejemplo Determinr l ecución generl de l circunferenci con centro en C (, -7) y ps por el punto (-, -5). Fig..5 Por lo tnto, l ecución generl de l circunferenci será: x + y 4x+ 14y+ 33= Obtención de dtos y construcción de l gráfic prtir de l ecución generl de l circunferenci: Hbrá ocsiones en ls que tendremos l ecución generl de l circunferenci y prtir de ést, debmos obtener el centro y el rdio pr poder trzr l gráfic. P (-,-5) r C (,-7) El proceso que relizremos es muy sencillo, de hecho, será el procedimiento inverso l de encontrr l ecución generl prtir de los dtos propuestos y pr ello vmos volver usr ls ecuciones.3,.3 b y.3 c; sólo que hor vmos despejr los dtos que desconocemos que, en este cso, serán ls coordends del centro y el rdio; vemos pues: Nuestros dtos: C( h, k ) = (, 7) P( x, y ) = (, 5) clculmos el rdio: sbemos que: D= h plicndo simetrí y despejndo h: D h = Ecución.3 ( ) ( 5 7) r = + + r = + = 16 4 r = = 5 Clculndo los coeficientes de l ecución generl: ( )( ) ( )( ) D = h= = 4 E = k = 7 = 14 F = h + k r F = = 33 Si E = k entonces Ecución.3 b Si F = h + k r entonces: r = h + k F ó r r = D + E = F 4 D + E 4F E k = Mtemátics III Geometrí Anlític 44

7 Ecución.3 c Ejemplo: Clculr ls coordends del centro y rdio de l circunferenci cuy ecución generl es: x + y + 6x 4y 3= Nuestros dtos son: D = 6, E = 4 y F = 3 Aplicndo ls fórmuls: D 6 h = = = 3 ( 4) E k = = = D + E 4F r = = = = 4 Por lo tnto el centro es C( h, k ) = ( 3,) y r = 4 L gráfic es: Relizción del ejercicio Determinr l circunferenci de ls moneds de uso común en México. Pr clculrlo únicmente es necesrio conocer el rdio de l moned y sustituir este vlor en l ecución norml de l circunferenci con centro en el origen: x + y = r Ejemplo Un moned de un peso. El diámetro de est moned es de proximdmente cm, por lo que su rdio es igul 1 cm. Aproximdmente por lo que nuestr ecución quedrá: x + y = 1 ó x + y = 1 En donde los vlores de x e y serán medidos en centímetros.. Usr ls ecuciones de l prábol en l solución de problems..1 Prábol Fig..6 Es el lugr geométrico formdo por el conjunto de pres ordendos (x, y), que equidistn de un punto fijo llmdo foco y un rect llmd directriz. Vése l figur.7. x + y + 6x- 4y - 3 = Fig..7 C (-3,) r = 4 Directriz M (h-p,y) P (x,y) V (h,k) F (h+p,k) Eje focl (h-p) Mtemátics III Geometrí Anlític 45

8 Los elementos de l prábol mostrd en l figur.7 son: Vértice : v( h, k ) Foco: ( h+ p, k) Ecución de l directriz: x = h p Est es un prábol horizontl, y que el eje focl (líne rect en l que se encuentrn el foco y el vértice) es prlelo l eje. Pr obtener un prábol verticl, el eje focl deberá ser prlelo l eje, y su gráfic y prámetros se muestrn en l figur.8. Fig..8 tiene su vrinte y se l izquierd si l prábol es horizontl o hci bjo, si l prábol es verticl... Aplicciones de ls ecuciones de ls prábols Nuestr siguiente misión, es obtener ls dos ecuciones de l prábol (horizontl y verticl) prtir de l definición citd en un principio. Primermente, pr obtener l ecución de l prábol horizontl consultmos nuevmente l fig..7; vemos que los puntos que nos interesn son P( x, y ) que pertenece l prábol, el punto M ( h p, y) que corresponde l directriz y el punto fijo llmdo Foco, hor bien, recordndo l definición, sbemos que l distnci de P F es l mism distnci que hy de P, formemos ecuciones: A F (h,k+p) V (h,k) P(x,y) M (x,k-p) Directriz (k-p) Los prámetros de un prábol verticl son: Vértice: v( h, k ) d pf = d pm ( x h p) + ( y k) = ( x h+ p) Elevndo l cudrdo: ( x h p) + ( y k) = ( x h+ p) Desrrollndo los trinomios l cudrdo: hp hx px + h + p + x + y k = px hx hp + h + p + x ( ) Eliminndo términos y ordenndo: hp hx px + h + p x + y k = px hx hp + h + p + ( ) + x Foco : ( hk, + p) Ecución de l directriz: y = k p Hst hor hemos definido l prábol y grficdo los dos tipos principles (horizontl y verticl), más delnte veremos que cd un ( y k) = 4 p( x h) Ecución.4 Est es l ecución norml de l prábol horizontl en l que ( hk, ) es el vértice y p es l distnci del vértice l foco y l directriz. Mtemátics III Geometrí Anlític 46

9 Ahor sólo nos flt determinr l ecución norml de l prábol verticl; pr ello, vmos poyrnos en los dtos de l gráfic mostrd en l fig..8 y relizr el último procedimiento que plicmos en l deducción nterior. De nuevo, los puntos que nos interesn son, P( x, y ) que es un punto culquier de l F h, k+ p es el foco; por último, prábol, ( ) M ( xk, p) pertenece l directriz; según l definición: d PF = d PM, por lo tnto ( x h) + ( y k p) = ( x x) + ( y k+ p) Elevndo l cudrdo mbos miembros: ( x h) + ( y k p) = ( y k+ p) desrrollndo los trinomios l cudrdo: = py ky kp + k + p + y ( ) kp ky py + k + p + y + x h Eliminndo términos y ordenndo: kp ky py + k + p y + x h = py ky kp + k ( x h) = 4 p( y k ) Ecución.5 + ( ) + p + y ( x h) = 4 p( y k ) Ecución norml de l Prábol horizontl ( y k) = 4 p( x h) No obstnte, este pr de ecuciones, únicmente nos muestrn ls prábols positivs, en donde los fctores ( y k) y ( x h) son positivos, como podemos consultr en ls gráfics. ( y k) > y ( x h) > Por lo que, pr obtener un prábol verticl que en vez de brir hci rrib, sus rms y k deberá ser queden hci bjo, el fctor ( ) negtivo o se ( y k) prbólic deberá ser: ( x h) = 4p( y k ) Ecución.5 < y l ecución De igul form sucederá con l prábol horizontl, l cul en lugr de brir l derech, sus rms brn hci l izquierd, es decir que x h deberá ser negtivo o se el fctor ( ) ( x h) < y l ecución de l prábol quedrá expresd como: ( y k) = 4p( x h) Ecución.4 Después de éste nálisis podemos hcer un cudro sinóptico con ls cutro ecuciones y sí fácilmente identificr cd un, según se el cso. Que es l ecución norml de l prábol hk, es el verticl, en l que nuevmente ( ) vértice de l prábol y p es l distnci entre el vértice y el foco, recpitulndo, tenemos: Ecución norml de l prábol verticl Mtemátics III Geometrí Anlític 47

10 Ecución norml verticl de l prábol Ecución norml horizontl de l prábol Ejemplo: Obtener l ecución de l prábol cuyo vértice es V ( 3, 4) y su foco es el punto. Determinr l ecución de l directriz y trzr l gráfic; vése l figur.9. Fig..9* Dtos: Positiv ( x h) = 4 p( y k) Abre hci rrib Negtiv ( x h) = 4 p( y k) Abre hci bjo Positiv ( y k) = 4 p( x h) Abre l derech Negtiv ( y k) = 4 p( x h) Abre l izquierd V ( 3, 4) F ( 1, 4) p = sustituyendo en l ecución, tenemos: ( y 4) = 4( )( x+ 3) ( y 4) = 8( x+ 3) L ecución de l directriz será: x = h p por lo tnto, l sustituir se tiene x = 3 x = 5 ó x + 5= Ecución de l directriz Ejemplo: Determinr l ecución norml de l prábol cuyo foco se ubic en el punto F ( 1, 1) y el vértice en. Obtener l ecución de l directriz y longitud del ldo recto, trzr l gráfic. Los dtos con que contmos: V ( 1, ) y ( 1, 1) F, l grficr este pr de dtos obtenemos: x = -5 V (-3,4) F (-1,4) Fig..1 V (1,) F (1,-1) Después de trzr nuestros dtos comprobmos que es un prábol horizontl positiv, es decir, que bre hci l derech, por lo tnto l ecución que utilizremos es: ( y k) = 4 p( x h) en donde h = 3 y k = 4 (coordends del vértice) y p = d VF VF ( 1 3) ( 4 4) d = ( ) d = = VF Podemos consttr que se trt de un prábol verticl negtiv por lo que l ecución que debemos empler será: ( x h) = 4p( y k ) pero ntes debemos obtener el vlor de p = d ( 1 1) ( 1 ) p= d VF = + VF Mtemátics III Geometrí Anlític 48

11 p = + 9 = 3 Sustituyendo vlores: x 1 = 4 3 y ( ) ( x 1) = 1( y ) L ecución de l directriz será, sustituyendo: y = + 3 y = 5 ó y 5= y el ldo recto L. R. = 4p LR.. = 4( 3) LR.. = 1 Ecución generl de l prábol hemos obtenido l ecución norml de l prábol en sus cutro vrintes, lo cul nos permite determinr l ecución generl, pr l cul solmente es necesrio desrrollr el binomio cudrático y simplificr. Procedemos pues: Llmremos : x Dx Ey F = Ecución generl de l prábol verticl Se ( x h) 4 p( y k ) = l ecución norml, desrrollndo tenemos: x xh + h = 4py 4pk Ordenndo e igulndo cero, se tiene: x xh 4py+ h + 4pk = Comprndo est ecución con l expresión generl, tenemos los vlores: D = h Ecución.6 E = 4 p Ecución.6 b F = h + 4 pk Ecución.6 c A trvés de ls cules podemos obtener ls coordends del vértice y foco y trzr l gráfic con todos sus prámetros. L ecución generl horizontl se expres como: y + Ey+ Dx+ F = Tomndo como punto de prtid l ecución norml horizontl: ( y k) = 4 p( x h) desrrollndo: y ky+ k = 4px 4ph ordenndo e igulndo cero tenemos: y ky px k ph = comprndo ecuciones: y ky 4px+ k + 4ph= y + Ey+ Dx+ F = E = k Ecución.7 D= 4 p Ecución.7 b F = k + 4 ph Ecución.7 c Nuevmente obtenemos todos nuestros dtos prtir de l ecución generl. Un connotción especil con respecto ls ecuciones.6 b y.7 b es, que si l hcer ls sustituciones propids de dtos de lgún problem en prticulr, el vector de p quedrá negtivo, eso signific que l prábol es negtiv, y se que br hci bjo en el primer cso, o hci l izquierd en el segundo; vmos clrr est cuestión con el siguiente: Ejemplo: Mtemátics III Geometrí Anlític 49

12 Se x + 4x+ 1y 8= l ecución generl de un prábol verticl. Obtener el vértice, foco, ecución de l directriz, ldo recto y gráfic. Nuestr ecución es: por lo tnto x x y = D= h= 4 h= E = 4p= 1 p= 3 F = h + 4pk = 8 ( ) ( ) 8 h k = = = = 4p Ahor bien, obtuvimos, es decir, que es negtivo, por lo tnto est es un prábol verticl negtiv con vértice en V (-,1) y el foco deberá estr 3 uniddes bjo del vértice por lo que sus coordends son (-, -), vemos l gráfic: Fig..11 V (-,1) F (-,-) y - 4 = Debemos recordr en todo momento que el prámetro ( p ) represent un distnci, l que hy entre el vértice y el foco, y que es igul l distnci entre el vértice y l directriz, por lo tnto, no puede ser un mgnitud negtiv, si en l sustitución de dtos preció ( p ) con signo negtivo, es pr indicr que se trt de un prábol negtiv, terminndo el cálculo de los vlores de (h, k) en donde se respet el signo negtivo, debemos nuevmente considerrl un distnci, por lo que el signo negtivo qued descrtdo y ( p ) quedrá expresdo en form positiv o se, por lo que l ecución de l directriz será: y = k+ p y = 1+ 3= 4 ó y 4= el ldo recto L. R. = 4p LR.. = 4( 3) = 1 Ejemplo. Determinr el vértice, foco, ecución de l directriz, recto y trzr l gráfic de l prábol cuy ecución es: y y x = Observndo l ecución pr un prábol horizontl, tenemos: E 4 E = k k = = = D 8 D= 4p p= = = 4 4 F = k + 4ph= 1 1 k h = 4 p 1 k 1 ( ) 8 h = = = = 1 4p 4 8 ( ) tenemos ( hk, ) = ( 1, ) Como p = es decir p es positivo l prábol es positiv y bre l derech, vemos l figur.1. Figur.1 Mtemátics III Geometrí Anlític 5

13 Sbemos que p = d VF p = = 1 V (1,-) F (3,-) Sustituyendo en l ecución norml horizontl negtiv: ( y k) = 4p( x h) ( y 4) = 4( 1)( x+ ) Ecución de l directriz: Coordends del Foco: x = h p (, ) ( 3, ) F = h+ p k = x = 1 = 1 x = 1 ó x + 1= ( ) LR.. = 4p= 4 = 8 Ejemplo Sen V (, 4) el vértice y ( 3, 4) F el foco de un prábol horizontl. Clculr l ecución en form generl. Grficmos primermente. Obtenemos un prábol horizontl negtiv. Figur.13 Desrrollndo, y 4 = 4 1 x+ ( ) y y x = 4 8 y y x = 4 8 y y x = Ecución generl de l prábol y 8y+ 4x+ 4= Comprobción. 8 E = k = 8 k = = 4 4 D= 4p= 4 p= = 1 4 F = k + 4ph= 4 4 k h = = = = 4p ( ) Por lo tnto, el vértice es, p = 1 o se, que l prábol es negtiv como y hbímos corddo. F (-3,4) V (-,4) Ejemplo: Cuál es l ecución generl de l prábol, cuyo vértice se encuentr en el origen y ps por el punto, suponiendo que l prábol es verticl. Figur.14 Mtemátics III Geometrí Anlític 51

14 En donde l corriente se mide en mperes (A) y l potenci en wtts (W). F (3,-) V (1,-) L gráfic será un semiprábol positiv (biert hci rrib en el primer cudrnte con vértice en el origen)..3 Usr ls ecuciones de l elipse en l solución de problems prácticos.3.1 Elipse Al trzr l gráfic comprobmos que se trt de un prábol verticl positiv por lo que l ecución que necesitmos es: x h = 4 p y k Sustituyendo ( hk, ) = (,) y. ( 1 ) = 4p ( 1 ) 1 1= 4p p= 4 Como el vértice está en el origen, l ecución generl de l prábol será: 1 ( x ) = 4 ( y ) 4 x = y ó x y = Est nuev sección l dedicremos l estudio de l elipse l cul l podemos definir como el conjunto de puntos en el plno, tles que l sum de sus distncis dos puntos fijos, llmdos focos siempre es constnte..3. Aplicciones de ls ecuciones de ls elipses Pr poder obtener l ecución que nos represente este lugr geométrico, vmos trzr en el plno: Figur.15 Trbjo en equipo Formr equipos pr oobtener l gráfic y ecución de l potenci disipd en función de l corriente pr un resistenci. L ecución que define est relción está dd por: P= i R Si l resistenci del lmbre de 1 Ω l ecución será: P= 1i Describiendo todos los dtos, tenemos: F' ( c,), F( c,) V1 (,), V (,) B 1 (, b ), B ( ), b C( h, k ) = (,) Si trzmos l elipse considerndo un punto P( x, y ) que se encuentre l mism distnci de los focos, obtenemos: Mtemátics III Geometrí Anlític 5

15 Figur.16 Elevdo l cudrdo nuevmente: 4 (( ) ) ( ) ( ) x+ c + y x c + y = ( 4 c x y ) Desrrollndo: Por lo tnto, según l definición de l elipse podemos plnter l siguiente ecución: d d FP ' + FP= trvés del teorem de Pitágors: = b + c b = c Volviendo l definición y sustituyendo dtos, se tiene: x + c + y + x c + y = x + c + y + x c + y = Elevmos l cudrdo mbos miembros pr scr ls ríces y desrrollmos los cudrdos x c y x c y x + c + y x c + y = 4 Entonces x c y x c y = 4 x+ c y x c y Entonces x + c + y x c + y = 4 c x y 4c + 4x + 4y 8cx + 8cy xy = 16+ 4c+ 4x y 16c 16x 16y + 8cx + 8cy + 8xy Entonces 4 4c 4 + 4x + 8x y + 4y y = c 4 4 8cx + 8cy 4 + 4x + 16c 16x 16y + 8cx + 8cy Entonces: + 8x y 8c x = c 16 x 16 y + 8cx c 16 x 16 y + 16c x = Dividiendo entre 16 4 c x y + c x = Fctorizndo c y + c x = c y c x = Pero b = c, entonces: b y bx = Dividiendo tod l ecución entre b Mtemátics III Geometrí Anlític 53

16 b y bx = b b b y x 1 = b y x = 1 b Multiplicndo por -1 x y b + = 1 Ecución norml de l elipse horizontl. Ecución.8 Est ecución corresponde un elipse con eje myor horizontl sobre el eje x y centro en el origen. Est ecución l podemos obtener tmbién, relizndo el proceso empledo pr obtener l ecución.8. Como hemos podido observr, tenemos de momento dos tipos de elipses: horizontl y verticl, pero mbs tienen centro en el origen; pr poder obtener nuestrs ecuciones de l elipse con centro fuer del origen vmos empler el método conocido como trslción de ejes, que veremos continución. Trslción de ejes Vmos suponer que tenemos un punto en el plno representdo por P( x, y ) y su relción con el origen está representd en el digrm siguiente: Figur.18 En consecuenci, tendremos que l ecución con centro en el origen y eje myor sobre el eje y ó eje de ordends será: x y P (x,y) x y + = 1 b Ecución.9 y l llmremos ecución norml de l elipse con centro en el origen verticl cuyo lugr geométrico es: figur.17 Supongmos hor que es proporción entre el punto y el origen l proyectremos en el plno generndo un nuevo pr de puntos cuys C h, k y coordends ls llmremos ( ) P '( x', y '), observemos est situción: Figur.19 y 1 P (x,y) P 1 (x 1,y 1 ) C (h,k) y x 1 Mtemátics III Geometrí Anlític 54

17 podemos estblecer ls siguientes relciones de los nuevos puntos con respecto l punto originl y l origen: Figur. y 1 simplificr l escritur de l ecución por lo que ls ecuciones y terminds serán: ( x h) ( y k) 1 + = Horizontl b -y 1 (h,k) P 1 (x 1,y 1 ) P (x,y) x 1 ( x h) ( y k) 1 + = Verticl b Ls llmremos ecuciones normles de l elipse con centro fuer del origen. -x 1 Estudio individul x ' = x+ h, y' = y+ k Por lo tnto obtenemos que: x = x' h e y = y' k Si sustituimos estos vlores en nuestrs ecuciones normles de l elipse obtendremos: ( x' h ) ( y' k ) I. b + = 1 Ecución norml horizontl de l elipse con centro fuer del origen. ( x' h ) ( y' k ) II. b + = 1 Ecución norml verticl de l elipse con centro fuer del origen. Ahor bien, los vlores x e y se refieren concretmente un punto en el plno, tomndo en cuent l trslción del origen l punto (h, k), pero en últim instnci, el punto P (x, y ) pertenece l elipse y lo podemos representr de nuevo con P (x, y) fin de Determinr en form individul l ecución de l elipse de un plnet con el Sol. Pr ello es necesrio conocer l distnci máxim y mínim del plnet l Sol y l excentricidd de l elipse que está dd por: c e = El Sol estrá en uno de los focos por lo que l distnci del centro de l elipse l Sol será igul "c", y l distnci del centro de l elipse l plnet será igul en el vértice. Siempre tomremos el centro de l elipse en el origen por lo que l ecución será: En donde x y b = b + c + = 1 Excentricidd y ldo recto Un crcterístic muy importnte de l elipse es l excentricidd y ést se refiere l grdo de grndmiento o redondez de l mism. En ls otrs curvs que hemos estudido (rects, prábols y circunferencis) vimos que sus forms siempre son ls misms, y lo único que cmbi son sus posiciones en el plno y en el Mtemátics III Geometrí Anlític 55

18 cso de l prábol y l circunferenci, su tmño; pues bien, en l elipse ocurre igul, pero quí tmbién puede cmbir, de un cso otro, su form, es decir que podemos tener elipses muy plnds o elipses csi circulres, y ello depende precismente de l excentricidd. L excentricidd, mtemátic-mente hblndo se define como l rzón entre l distnci del centro l foco y l distnci del centro l vértice, en símbolos: c e= ; Sbemos que es myor que, por lo tnto l excentricidd siempre será un vlor menor que 1 y myor que cero o se. Si el vlor de e es muy cercno 1 entonces l elipse será muy lrgd; si, por otro ldo, e es muy cercno cero, l elipse será csi un circunferenci. Por otro ldo, el ldo recto o L.R. es l longitud del segmento de l rect que ps por los focos y el perpendiculr l eje focl e intersec con l elipse en mbos extremos, vése l figur.1. Despejndo, obtenemos: pero c = b y b = ó b y c c = 1 = b y b = 4 Extryendo ríz cudrd se tiene: b y =, finlmente podemos sustituir este vlor en l ecución del ldo recto: b LR.. = Ecución que clcul l mgnitud del ldo recto. Ejemplo. Determin l ecución de l elipse con centro en el origen, uno de los focos en F (,) y un vértice en; clculr l excentricidd y el ldo recto: Trcemos nuestr gráfic. Por lo que podemos observr en l gráfic, en el ldo recto es el doble de l distnci del foco l punto Q, es decir: L. R. = d = c c + y = y FQ Figur. que es dos veces el vlor de l ordend l foco Q c, y en de l elipse; si sustituimos el punto ( ) l ecución de l elipse, obtendremos: x y + = 1 b c y + = 1 b F (-,) V (5,) Mtemátics III Geometrí Anlític 56

19 Observndo los dtos de l gráfic vemos que se trt de un elipse horizontl con centro en el origen; sbemos que c es l distnci del centro l foco, por lo tnto: c = + = es l distnci del centro del vértice, por lo que: = 5 + = 5 Sbemos tmbién que: b = c o se que: b = 5 = 5 4= 1 b = Con estos vlores podemos trzr nuestr elipse sin ningún problem; obteniendo excentricidd y ldo recto: L excentricidd será: c e = e = =.4 5 L longitud del ldo recto será: ( ) b 1 LR.. = = = V ( 5, ) F (,) V '5, ( ) F ', ( ) B (, 1) B ', ( 1) Finlmente l ecución será, como se trt de un elipse horizontl con centro en el origen: Ejemplo: x y b x y + = = 1 Determin l ecución de l elipse con centro en V,5 y foco en el origen y un vértice en ( ) F (, 4) clculr l excentricidd y l longitud del ldo recto y ls coordends de los dtos fltntes. Trzmos los dtos que tenemos. Figur.4 V F Ls coordends de los vértices y focos son: Figur.3 B Se not por simple inspección que se trt de un elipse verticl, clculmos c y: V F F 1 B 1 V 1 c = + 4 = 4 c = 4 = + 5 = 5 Mtemátics III Geometrí Anlític 57

20 Por lo que b es: b = c b = 5 16 = 9 b= 3 El vlor de l excentricidd es: c 4 e = = 5 L longitud del ldo recto es: b 9 ( ) 18 LR.. = = = = Ejemplo. Determinr l ecución de l elipse con centro en, foco en F (, ) y vértice en V (, ). Obtén ls coordends restntes, excentricidd y ldo recto. Como y es costumbre trzmos los dtos pr drnos ide de lo que se trt: Figur.6 Con todos estos dtos, podemos trzr nuestr elipse: Figur.5 C F V V F (, ) ( 3, ) C h k = B B 1 F (, ), nos d un elipse horizontl. F 1 V 1 Ls coordends de los vértices y focos son: V (,5) B( 3, ) V ', ( 5) B '3, ( ) F (, 4) F (, 4) Como nuestr elipse es verticl l ecución estrá dd por: x y + = 1 b x y + = Clculmos c y: c = = 3 = = 5 Pr obtener b emplemos: b = c b = 5 9 = 16 b= 4 Sbemos que pr obtener B y B ' podemos utilizr: B = ( h, k+ b) y B' = ( h, k b) Por lo que los puntos B y B ' son: B = ( 3, + 4) = ( 3, ) Mtemátics III Geometrí Anlític 58

21 B ' = ( 3, 4) = ( 3, 6) El foco y el vértice que fltn los obtenemos con: F = ( h c, k) y V = ( h, k) Por lo tnto, tendremos: F = 3 3, = 6, V = ( 3 5, ) = ( 8, ) Por lo último, l excentricidd y el ldo recto serán: c e = = Usr ls ecuciones de l hipérbol en l solución de problems prácticos.4.1 Hipérbol Sen F 1 y F dos puntos fijos y un número positivo ddo, l hipérbol es el conjunto de puntos en el plno que tienen l propiedd de que un punto P pertenece l hipérbol si, y sólo si el vlor bsoluto de l diferenci de ls PF 1 y PF de P los puntos fijos y F 1 y F, es igul. Fig..8 L longitud del ldo recto es: b 16 ( ) 3 LR.. = = = = P P 1 L gráfic de nuestr elipse es: F V V 1 F 1 P 3 P 4 B V F C B 1 F 1 Como podemos observr, nuestr elipse es horizontl con centro en (h, k), por lo tnto l ecución será: ( x h) ( y k) + = 1 b ( x+ 3) ( y+ ) + = V 1 Obteniéndose l ecución: PF1 PF = Los puntos fijos F 1 y F se llmn focos de l hipérbol, y l distnci que los sepr se represent usulmente por; es fácil ver, por l ecución que < c o se que. L rect que ps por los focos de un hipérbol recibe el nombre de eje focl; los puntos V 1 y V en que l curv encuentr l eje focl se llmn vértices; el segmento VV 1 es el eje trnsverso de l hipérbol y su punto medio de l distnci focl ( FF 1 ) es el centro. Pr estblecer l ecución de l hipérbol se introduce un sistem coordendo en el plno de l curv, de modo que el origen esté en el centro Mtemátics III Geometrí Anlític 59

22 y el eje x coincid con el eje focl; los focos son hor los puntos F1 ( c,) y F1 ( c,) como se preci en l figur.9. Fig.9 L hipérbol de focos F 1 (, c ) y F ( c, ) en l cul es el vlor bsoluto de l diferenci de ls distncis de un punto culquier de ell mbos focos, es l gráfic de: x y = 1 b L L 1 P (x,y) Ecución norml de l hipérbol con centro en el origen, en donde b es un número positivo definido por: F (-c,) V V 1 F 1 (c,) b = c. R R 1 Sbemos por l definición que: PF1 PF = o se que: ( ) PF1 = x c + y y 1 ( ) PF = x + c + y x c + y x+ c + y = Elevndo l cudrdo mbos miembros y procediendo mtemáticmente podemos llegr est expresión: ( c ) x y ( c ) = Dividiendo entre: x y = 1 ( c ) Nuevmente prtir del dibujo y plicndo el teorem de Pitágors podemos obtener que, entonces x y = 1 b Ls bsciss en el origen, de l hipérbol representd por l ecución norml son y y consecuentemente ls coordends V 1 y V son, respectivmente, lo que d (,) y ( ) como longitud del eje trnsverso. No existen ordends en el origen de l hipérbol, porque si en l ecución norml de l hipérbol se hce, l ecución en y que result, no tiene soluciones en el cmpo de los números reles; esto justific el nombre de eje no trnsverso ddo l perpendiculr l eje trnsverso trzd por el centro. L gráfic de l hipérbol norml con centro en el origen es simétric con respecto l eje, l eje y y l origen, como puede verificrse fácilmente. Despejndo obtiene: y de l ecución norml se b x y =± O se, pr que y se rel, x no debe tomr vlores en el intervlo (, ) y consecuentemente debe pertenecer. Se concluye que l hipérbol está formd por dos rms distints, como se ve en l figur.9. Por otr prte, si se despej x de l mism ecución norml se obtiene: Mtemátics III Geometrí Anlític 6

23 x=± y + b b x y b = 1 Lo cul muestr que todo vlor rel de y le corresponden vlores tmbién reles de. El segmento que l hipérbol determin sobre l perpendiculr l eje focl trzdo por uno de los focos, se llm ldo recto; l longitud de éste vle, como en l elipse (se dej l lector el verificr este teorem). Se G l gráfic de un relción cuyo dominio, y l intervlo contiene l intervlo [ ) (, ] donde es un número rel y se P( x, y ) un punto de G. Si existe un rect L con l propiedd de que l distnci d de P (x, y) L puede hcerse tn pequeñ como se quier, cundo x tom vlores suficientemente grndes (o suficientemente pequeños), entonces L se llm un síntot de G. Ver figur. 3. Fig..3 Representción gráfic de l hipérbol Pr dibujr un hipérbol de ecución conocid, se trzn primero ls síntots y se construyen los vértices y los extremos de los ldos rectos, después se unen estos puntos con un trzo continuo, usndo ls síntots como guís, y que son línes que nunc encuentrn l curv pero ls cules se cerc más y más l hipérbol cundo sus rms se lejn indefinidmente. Si ls síntots son perpendiculres entre sí, l hipérbol se llm equiláter y l ecución quedrá de l form: 1 xy = L gráfic será: Figur.31 d P (x,y) y = b x y = - b x Por lo que ls ecuciones de ls síntots serán: bx y = ; bx y = Pr l ecución norml de l hipérbol con centro en el origen: En este cso ls síntots son los ejes coordendos y l curv quedrá trzd en el I y III cudrntes. L otr hipérbol equiláter con ejes coordendos como síntots pero trzd l curv en los cudrntes II y IV se muestr en l figur.3 Fig..3 Mtemátics III Geometrí Anlític 61

24 L gráfic finlmente, se muestr en l figur.33. Fig..33 L 6 L 1 4 cuy ecución quedrá expresd por: F V V 1 F Ejemplo: xy 1 = R -4-6 R 1 Construy l gráfic 16x 9y 144 = L ecución expresd en form norml. Donde x y = = 9 y b = 16 Por lo tnto, obtenemos los siguientes dtos: = 3; b = 4 ; y c= + b = = 5. V y V ( ) 3, Entonces los vértices son ( ) 1 3, y los focos están en ( ) 1 5, L longitud del ldo recto es: ( ) b 4 3 LR.. = = = 3 3 F y ( ) Ls ecuciones de ls síntots son: 4x 4x y = ; y = 3 3 F 5,. Hipérbol con centro fuer del origen L hipérbol con centro en C( h, k ) cuy semidistnci focl es c y cuyo eje trnsverso es horizontl y de longitud, es l gráfic de: ( x h) ( y k) = 1 b Es l ecución norml de l hipérbol con centro hk, en donde: en ( ) b= c Ls ecuciones de ls síntots están dds por: b( x h) y k = b( x h) y k = Cundo l hipérbol fuer del origen tiene eje trnsverso verticl l ecución quedrá expresd por: Mtemátics III Geometrí Anlític 6

25 ( y k) ( x h) = 1 b y ls ecuciones de ls síntots son: ( x h) y k = b ( x h) y k = b Estudio individul eléctrics. Determin l gráfic de l resistenci de un lmbre por el cul circuln diferentes corrientes L resistenci que present un lmbre permitirá o limitrá el pso de un corriente, es decir, que en un lmbre de bj resistenci podrá circulr un corriente lt y un lmbre de lt resistenci permitirá el pso de un corriente bj, este fenómeno está explicdo por l ecución conocid como Ley de Ohm. V I = R En donde V es el voltje l que está sometido el lmbre en sus extremos, R es l resistenci del lmbre e I es l corriente que podrá circulr trvés de él. L gráfic de éste comportmiento nos drá un hipérbol equiláter positiv (cudrnte I) en donde resistencis muy lts el pso de corriente será cd vez menor; y resistencis muy pequeñs l corriente circulnte será muy lt. Mtemátics III Geometrí Anlític 63

26 Problems 1. Hll l ecución de l circunferenci cuyo centro es el punto (3, -1) y rdio = 5. Solución. x + y - 6x - y - 15 =. Hll el centro y el rdio de l circunferenci cuy ecución es: x + y - 8x + 1y -1 = Solución. C (4, -5) y r = Hll l ecución de l prábol cuyo vértice es (-, 3) y foco (1, 3). Solución. y - 6y - 1x - 15 = 4. Dd l prábol 3x - 9x - 5y - =, clcul ) vértice, b) foco, c) ldo recto, d) ecución de l directriz. Solución. ) (3/, -7/4), b) (3/, -4/3), c) (5/3) 5. Hll l ecución de l elipse con centro en el origen, semieje myor de 4 uniddes de longitud sobre el eje y y longitud del ldo recto = 9/. Solución. 16x + 9y = L órbit de l tierr es un elipse en uno de cuyos focos está el Sol. Sbiendo que el semieje myor de l elipse es de millones de Km y que l excentricidd vle e =.17, encuentr l máxim y l mínim distnci de l Tierr l sol. Solución. (15 máxim, 146 mínim) millones de km. 7. Encuentr l ecución de l hipérbol de centro en el origen eje trnsverso sobre el eje de coordends y, longitud del ldo recto = 36 y distnci entre los focos = 4. Solución. 3y - x = Hll ls coordends de ) el centro, b) los focos, c) los vértices, y d) ls ecuciones de ls síntots, de l hipérbol 9x - 16y - 36x - 3y - 14 =. Solución. ) (, -1); b) (7, -1); c) (6, -1) (-, -1); d) y + 1 = ±3/4 (x - ). Mtemátics III Geometrí Anlític 64

27 Práctics y Lists de Cotejo Unidd prendizje: de Práctic número: 5 Nombre de l práctic: Propósito de l práctic: Escenrio: Durción: Construcción de ecuciones de circunferencis. Al finlizr l práctic el lumno construirá y grficrá ls ecuciones de l circunferenci prtir de condiciones dds. Aul 3 hrs. Mteriles Mquinri y equipo Herrmient Bitácor Lápiz Ppel Juego de geometrí Clculdor Mtemátics III Geometrí Anlític 65

28 Procedimiento Aplicr ls medids de seguridd e higiene en el desrrollo de l práctic. Limpir el áre de trbjo. Evitr l mnipulción de líquidos y limentos cerc de los documentos de trbjo. En est práctic se vn explicr como construir ls ecuciones de un circunferenci sobre l bse de condiciones dds. 1. Investig y escribe en tu reporte l definición de circunferenci.. Reliz un tbl que conteng 1 vlores pr el rdio y 1 coordends (, ) x y pr sus respectivos centros. 3. Ddo el rdio r de l circunferenci y ls coordends de su centro, dibuj ls circunferencis pr los vlores ddos en el punto. 4. Escribe sus ecuciones respectivs en l form cnónic. 5. Escribe sus ecuciones respectivs en l form generl. 6. Determin l ecución y l gráfic de l circunferenci de rdio 7 y cuyo centro es el punto de intersección de ls rects 3x y 4= y. 7. Reduce l siguiente ecución l form ordinri de l ecución de l circunferenci; si l ecución dd represent un circunferenci determin su centro, su rdio y trz su grfic correspondiente: x + y + 4x+ 8y+ 4= 8. Determin l ecución, centro y rdio de l circunferenci que ps por los tres puntos A(-,), B(4,1) y C(1, -6). 9. Determin l ecución de l rect tngente trzd del punto A(11,4) l circunferenci x + y 8x 6y =. 1. Elborr de mner individul el reporte escrito de l práctic que deberá incluir ls conclusiones de l mism. Utilizr ls hojs por mbs crs y ls de desecho colocrls en el recipiente destindo pr su posterior envió reciclje. Mtemátics III Geometrí Anlític 66

29 List de cotejo de l práctic número 5 Construcción de rects tngentes Nombre del lumno: Instrucciones: A continución se presentn los criterios verificr en el desempeño del lumno. De l siguiente list mrque con un quells ctividdes que hyn sido cumplids por el lumno durnte su desempeño. Desrrollo Sí No No Aplic Aplicó ls medids de seguridd e higiene en el desrrollo de l práctic. Limpió el áre de trbjo. Evitó l mnipulción de líquidos y limentos cerc de los documentos de trbjo. 1. Escribió l definición de circunferenci.. Relizó l tbl de 1 vlores pr el rdio y ls 1 coordends de sus centros. 3. Dibujó ls respectivs circunferencis. 4. Escribió ls 1 ecuciones de ls circunferencis en su form cnónic. 5. Escribió ls 1 ecuciones de ls circunferencis en su form generl. 6. Determinó el punto de intersección de ls rects. 7. Determinó l ecución de l circunferenci de rdio 7 y centro en el punto de intersección de ls rects nteriores. 8. Redujo l ecución x + y + 4x+ 8y+ 4= su form norml y trzó su gráfic. 9. Determinó l ecución, centro y rdio de l circunferenci que ps por los puntos A, B y C ddos. 1. Determinó l ecución de l rect tngente l circunferenci x + y 8x 6y = en el punto A(11,4). 11. Elboró el reporte escrito de l práctic que deberá incluir ls conclusiones de l mism. Colocó ls hojs desechbles en el recipiente destindo pr ls misms. Observciones: PSP: Hor inicio: de Hor término: de Evlución: Mtemátics III Geometrí Anlític 67

30 Unidd prendizje: de Práctic número: 6 Nombre de l práctic: Propósito de l práctic: Escenrio: Durción: Construcción de ecuciones de prábols. Al finlizr l práctic el lumno construirá y grficrá ls ecuciones de l prábol prtir de condiciones dds. Aul 3 hrs. Mteriles Mquinri y equipo Herrmient Bitácor Lápiz Ppel Juego de geometrí. Clculdor Procedimiento Mtemátics III Geometrí Anlític 68

31 Aplicr ls medids de seguridd e higiene en el desrrollo de l práctic. Limpir el áre de trbjo. Evitr l mnipulción de líquidos y limentos cerc de los documentos de trbjo 1. Investig y escribe en el reporte l definición de prábol.. Determin los elementos de l prábol, reliz un gráfic donde indiques los mismos. 3. Un prábol cuyo vértice est en el origen y cuyo eje coincide con el eje x ps por el punto A(3, 6), determin l ecución ordinri de l prábol, ls coordends de su foco, l ecución de su directriz y l longitud de su ldo recto, trz l grfic correspondiente indicndo los puntos ntes clculdos. 4. Escribe l ecución de l prábol en su form generl. 5. Determin l ecución de l prábol cuyo eje de simetrí es prlelo l eje y que ps por los tres puntos L(-,9), M(,1) y N(3,4). 6. Grfic l prábol del punto Anliz l estructur del puente colgnte que se muestr en l figur, determin l ecución de l prábol y l longitud totl de los nueve cbles verticles igulmente espcidos fijos l prábol. 8. Elborr de mner individul el reporte escrito de l práctic que deberá incluir ls conclusiones de l mism. Utilizr ls hojs por mbs crs y ls de desecho colocrls en el recipiente destindo pr su posterior envió reciclje. Mtemátics III Geometrí Anlític 69

32 List de cotejo de l práctic número 6: Construcción de ecuciones de prábols Nombre del lumno: Instrucciones: A continución se presentn los criterios que vn ser verificdos en el desempeño del lumno medinte l observción del mismo. De l siguiente list mrque con un quells observciones que hyn sido cumplids por el lumno durnte su desempeño. Desrrollo Sí No No Aplic Aplicó ls medids de seguridd e higiene en el desrrollo de l práctic. Limpió el áre de trbjo. Evitó l mnipulción de líquidos y limentos cerc de los documentos de trbjo. 1. Escribió l definición de prábol.. Relizó l gráfic indicndo los elementos de l prábol. 3. Determinó l ecución ordinri de l prábol y los elementos solicitdos. 4. Escribió l prábol en su form generl. 5. Determinó l ecución de prábol con ls condiciones dds. 6. Grficó l prábol del punto Determinó l ecución de l prábol del puente colgnte. 8. Elboró el reporte escrito de l práctic que deberá incluir ls conclusiones de l mism. Colocó ls hojs desechbles en el recipiente destindo pr ls misms. Observciones: PSP: Hor inicio: de Hor término: de Evlución: Mtemátics III Geometrí Anlític 7

33 Unidd prendizje: de Práctic número: 7 Nombre de l práctic: Propósito de l práctic: Escenrio: Durción: Construcción de ecuciones de elipses. Al finlizr l práctic el lumno construirá y grficrá ls ecuciones de ls elipses prtir de condiciones dds. Aul 3 hrs. Mteriles Mquinri y equipo Herrmient Bitácor Lápiz Ppel Clculdor Mtemátics III Geometrí Anlític 71

34 Procedimiento Aplicr ls medids de seguridd e higiene en el desrrollo de l práctic. Limpir el áre de trbjo. Evitr l mnipulción de líquidos y limentos cerc de los documentos de trbjo. En est práctic se vn explicr como construir ls ecuciones de un elipse sobre l bse de condiciones dds. 1. Investig y escribe l definición de elipse.. Reliz un gráfic donde indiques los elementos de l elipse. 3. Un elipse tiene su centro en el origen y su eje myor coincide con el eje x, si uno de sus focos es el punto F(3,) y l excentricidd es igul ; determinr ls coordends del otro foco, ls longitudes de los ejes myor y menor, l ecución de l elipse y l longitud de cd uno de sus ldos rectos; trzr l gráfic correspondiente. 4. Escribe l ecución de l elipse en su form generl. 5. Determin si l ecución x + 3y 8x 18y+ 9= represent o no un elipse; en su cso, determinr sus elementos correspondientes. 6. Determin l ecución de l rect tngente l siguiente elipse, 4x + 5y = y de pendiente. 7. Elborr de mner individul el reporte escrito de l práctic que deberá incluir ls conclusiones de l mism. Utilizr ls hojs por mbs crs y ls de desecho colocrls en el recipiente destindo pr su posterior envió reciclje. Mtemátics III Geometrí Anlític 7

35 List de cotejo de l práctic número 7: Construcción de ecuciones elipses Nombre del lumno: Instrucciones: A continución se presentn los criterios que vn ser verificdos en el desempeño del lumno medinte l observción del mismo. De l siguiente list mrque con un quells observciones que hyn sido cumplids por el lumno durnte su desempeño. Desrrollo Sí No No Aplic Aplicó ls medids de seguridd e higiene en el desrrollo de l práctic. Limpió el áre de trbjo. Evitó l mnipulción de líquidos y limentos cerc de los documentos de trbjo. 1. Escribió l definición de elipse.. Reliz un gráfic donde indiques los elementos de l elipse. 3. Determinó l ecución de l elipse con ls condiciones dds y trzó su gráfic. 4. Escribió l ecución de l elipse en su form generl. 5. Determinó si l ecución en el punto 5 er un elipse y de ser sí, determinó sus elementos. 6. Determinó l ecución de l rect tngente. 7. Elboró el reporte escrito de l práctic que deberá incluir ls conclusiones de l mism. Colocó ls hojs desechbles en el recipiente destindo pr ls misms. Observciones: PSP: Hor inicio: de Hor término: de Evlución: Mtemátics III Geometrí Anlític 73

36 Unidd prendizje: de Práctic número: 8 Nombre de l práctic: Propósito de l práctic: Escenrio: Durción: Construcción de ecuciones de hipérbols. Al finlizr l práctic el lumno construirá y grficrá ecuciones de hipérbols prtir de condiciones dds. Aul 3 hrs. Mteriles Mquinri y equipo Herrmient Bitácor Lápiz Ppel Juego de geometrí Clculdor Mtemátics III Geometrí Anlític 74

37 Procedimiento Aplicr ls medids de seguridd e higiene en el desrrollo de l práctic. Limpir el áre de trbjo. Evitr l mnipulción de líquidos y limentos cerc de los documentos de trbjo. 1. Investig y escribe en el reporte l definición de hipérbol.. Reliz un gráfic donde indiques los elementos de l hipérbol. 3. Los vértices un hipérbol son los puntos V(3, -1) y V (3, 3) y su excentricidd es 3/; determin l ecución de l hipérbol y todos sus elementos. 4. Escribe l ecución de l hipérbol en su form generl. 5. Escribe l definición de síntot. 6. Determin ls síntots de l hipérbol 7. El físico Ernest Rutherford descubrió que cundo se disprn prtículs lf hci el núcleo de un átomo, lleg un momento en que son repelids por el núcleo según tryectoris hiperbólics. El dibujo represent l tryectori de un prtícul que se dirige hci el origen sobre l rect 1 y = x y lleg 3 uniddes de distnci respecto del núcleo. Determin l ecución de l tryectori. 8. Elborr de mner individul el reporte escrito de l práctic que deberá incluir ls conclusiones de l mism. Utilizr ls hojs por mbs crs y ls de desecho colocrls en el recipiente destindo pr su posterior envió reciclje. Mtemátics III Geometrí Anlític 75

38 List de cotejo de l práctic número 8: Construcción de ecuciones de hipérbols Nombre del lumno: Instrucciones: A continución se presentn los criterios verificr en el desempeño del lumno. De l siguiente list mrque con un quells ctividdes que hyn sido cumplids por el lumno durnte su desempeño. Desrrollo Sí No No Aplic Aplicó ls medids de seguridd e higiene en el desrrollo de l práctic. Limpió el áre de trbjo. Evitó l mnipulción de líquidos y limentos cerc de los documentos de trbjo. 1. Escribió l definición de hipérbol.. Relizó un gráfic donde indic los elementos de l hipérbol. 3. Determinó l ecución de l hipérbol y todos sus elementos 4. Escribió l ecución de l hipérbol en su form generl 5. Escribió l definición de síntot. 6. Determinó ls síntots de l hipérbol. 7. Determinó l ecución de l tryectori de ls prtículs lf. 8. Elboró el reporte escrito de l práctic que deberá incluir ls conclusiones de l mism. Colocó ls hojs desechbles en el recipiente destindo pr ls misms. Observciones: PSP: Hor inicio: de Hor término: de Evlución: Mtemátics III Geometrí Anlític 76