TEMA 5: Logaritmos y ecuaciones logarítmicas. Tema 5: Logaritmos y ecuaciones logarítmicas 1
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- Emilia Valdéz Espejo
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1 TEMA : Logritmos y ecuciones rítmics Tem : Logritmos y ecuciones rítmics
2 ESQUEMA DE LA UNIDAD.- Logritmos...- Logritmo de un número rel...- Logritmos decimles y neperinos..- Propieddes de los ritmos..- Ecuciones rítmics..- LOGARITMOS..- Logritmo de un número rel Imginr un potenci en l que l bse se un número myor que cero y distinto de uno, por ejemplo = 8. Al número lo llmmos BASE y l número EXPONENTE; pues bien, l eponente se le llm tmbién LOGARITMO. Al número 8 lo llmremos ARGUMENTO. Así, en = 8, decimos que es el ritmo en bse de 8, y lo representmos por (Form eponencil) Argumento 8 = (Form rítmic) Bse Logritmo Dicho de otr mner, el ritmo es el número l que hy que elevr l bse pr que dé como resultdo el rgumento. Psos pr clculr ritmos: A. Igulr el ritmo. B. Escribir l form eponencil socid l ritmo que hy que clculr. C. Si el rgumento es myor que l bse Descomponer el rgumento. D. Si el rgumento es menor que l bse Descomponer l bse. E. Not A veces hy que descomponer ls dos coss, bse y rgumento. F. Buscr que l iguldd entre potencis que qued tengn l mism bse. G. Igulr los eponentes. Ejemplo: clcul los siguientes ritmos ) 6 Igulmos el ritmo : 6 Escribimos l epresión nterior en form eponencil: 6 Tem : Logritmos y ecuciones rítmics
3 b) Descomponemos el rgumento: 4 4 Resolvemos l ecución eponencil: 4 Luego Igulmos el ritmo : 7 Escribimos l epresión nterior en form eponencil: Descomponemos: Resolvemos l ecución eponencil: Luego 7 7 c) 0 0, ,00 0 0, d) Logritmos decimles y neperinos En Mtemátics y en l Cienci en generl, los números que más se utilizn pr ls bses son el 0 un número probblemente desconocido hst hor llmdo número e y que vle e =,78 Cundo se trbj con ess bses, los ritmos se les llm de un mner especil: - Si l bse de un ritmo es el número 0, se denomin LOGARITMO DECIMAL y se represent por el símbolo. - Si l bse de un ritmo es el número e, se denomin LOGARITMO NEPERIANO y se represent por el símbolo ln. Tem : Logritmos y ecuciones rítmics
4 .- PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Los ritmos tienen ls siguientes propieddes:. p q p q Ejemplo: p. p q q Ejemplo: n. p n p Ejemplo: n p p n Ejemplo: Ejemplo: Tem : Logritmos y ecuciones rítmics 4
5 .- ECUACIONES LOGARÍTMICAS Son ecuciones en ls que l incógnit prece dentro de un ritmo. Se resuelven dndo los siguientes psos: Comprobr que en cd uno de los términos de l ecución hy un ritmo. En el cso de que eist lgún término donde no lo hy, se multiplic dicho término (que es un número) por un ritmo cuy bse y rgumento se el mismo número (que será el que tengn ls bses de los ritmos que hy en los otros términos de l ecución). Si hy lgún término de l ecución que teng un signo menos delnte, se cmbi de sitio en l ecución pr que se conviert en positivo. Reducir cd término de l ecución un solo ritmo (pr ello se utilizn ls propieddes de los ritmos). "Tchr" los ritmos quedndo iguldos los rgumentos. Quedrá sí un ecución sin ritmos que hy que resolver. Comprobr si l solución o soluciones de l ecución nterior tmbién lo es o lo son de l ecución rítmic. Pr ello hy que sustituir ls posibles soluciones en los rgumentos de los ritmos que precen en l ecución inicil. Si l operr TODOS slen números positivos, es porque el número sustituido SÍ es solución. Por el contrrio, si ALGÚN rgumento sle negtivo o cero, entonces en número sustituido NO es solución de l ecución rítmic. Ejemplo: resuelve ls siguientes ecuciones rítmics. ) Como los tres términos de l ecución contienen un ritmo y todos son positivos, psmos directmente l tercer pso. Hy que plicr ls propieddes de los ritmos pr que tnto l izquierd como l derech del "=" solmente prezc un solo ritmo: Al "tchr" los ritmos qued l siguiente ecución: Posible solución de l ecución rítmic. Comprobción: es solución de l ecución rítmic? Como TODOS los rgumentos hn slido positivos, podemos firmr que sí es solución de l ecución rítmic. Tem : Logritmos y ecuciones rítmics
6 b) En este cso todos los términos de l ecución tienen un ritmo, pero uno de los términos tiene signo "menos" delnte, por lo que lo psmos l otro ldo de l ecución cmbiándole el signo: Ahor grupmos cd término de l ecución en un solo ritmo plicndo ls propieddes: Si "tchmos" los ritmos nos qued l siguiente ecución: Resolvemos l ecución: Posible solución Posible solución Comprobción: es solución de l ecución rítmic? - - Como un rgumento h slido negtivo, podemos firmr que no es solución de l ecución rítmic. Comprobción: es 9 solución de l ecución rítmic? 9/ 9/ - 9/ / Tem : Logritmos y ecuciones rítmics 6
7 Como TODOS los rgumentos hn slido positivos, podemos firmr que solución de l ecución rítmic. 9 sí es c) 6 El segundo término de l ecución no tiene un ritmo, es solo un número, por lo que debemos multiplicr dicho número por un ritmo cuy bse coincid con el rgumento y tl que l bse se l mism que l del resto de ritmos que precen en l ecución (en este cso son ritmos decimles, por lo que tnto l bse como el rgumento del ritmo por el que debemos multiplicr el segundo término de l ecución es el 0): A prtir de quí se repiten los psos que se dieron en el ejemplo nterior: = Posible solución Posible solución Comprobción: es 80 solución de l ecución rítmic? Como TODOS los rgumentos hn slido positivos, podemos firmr que 80 sí es solución de l ecución rítmic. Tem : Logritmos y ecuciones rítmics 7
8 Comprobción: es 0 solución de l ecución rítmic? Como TODOS los rgumentos hn slido positivos, podemos firmr que 0 sí es solución de l ecución rítmic. FIN DEL TEMA Tem : Logritmos y ecuciones rítmics 8
3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m
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