Dado un número real positivo, a, podemos definir una función. = a n 1 an 2

Transcripción

1 . LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE... Potencis de Eponente Nturl. Ddo un número rel positivo,, podemos definir un función f : ρν ΙΡ + n n siendo n el producto de por si mismo n veces. Es fácil comprobr ue f : (ρν, +) ΙΡ +, ) es un homomorfismo: n, n 2 ρν tenemos ue f (n + n 2 ) = n + n 2 = n n 2 = f (n ) f (n 2 ) En los siguientes prtdos iremos etendiendo el dominio de l f ΖΖ y Ο hst llegr definirl sobre ΙΡ, y siempre verificndo ue sigue siendo un homomorfismo..2. Potencis de Eponente Entero. Se f : (ΖΖ, +) (ΙΡ +, ) con f homomorfismo de grupos. f verific ue z, z 2 ΖΖ f (z + z 2 ) = f (z ) f (z 2 ). Sbiendo ue f es un homomorfismo, se cumple: ) f (z) = f (z + 0) = f (z) f (0) z ΖΖ f (0) = 2) = f (0) = f (z z) = f (z) f (- z) f (- z) = f (z) Si escribimos f (z) = -z z ΖΖ +, por convenio podemos decir ue f ( z ) = z = z z ΖΖ +. Así conseguimos etender el dominio de f de ρν ΖΖ..3. Potencis de Eponente Rcionl. Se r Q un número rcionl. Entonces culuier de r, con p ΖΖ y ΖΖ-{0}. r = p siendo p un representnte /6

2 Sbemos ue f () = por ser ρν, y ue f debe ser un homomorfismo. = f () = f = f Entonces f debe ser un número rel tl ue su potenci de grdo se. Comprobemos ue ese número eiste. PROP Se g: ΙΡ + ΙΡ + con g() = n. Est función verific: ) Es continu. 2) Es estrictmente creciente en ΙΡ. 3) lim g( ) = + + 4) Es un homomorfismo de grupos. ) L función g() es continu por ser un polinomio. 2) Sen, 2 ΙΡ + con < 2. g( ) g ( ) = n n = ( )( n + n n 2 + n ) > ) Como n ρν n n ρν g() n ρν con > y como lim = + lim g() lim g() = ) Hemos de comprobr ue ( 2 ) n = n n L demostrción l hcemos por inducción. 2 n = ( 2 ) = 2 n = 2 ( 2 ) 2 = ( 2 ) ( 2 ) = 2 2 Suponemos cierto ( 2 ) n- n = n 2 2 Pr n ( ) n = ( ) n ( ) = ( n n )( ) = n n Luego l iguldd es ciert y g( 2 ) = g( ) g( 2 ) 2/6

3 De todo esto obtenemos como conclusión ue g() es un isomorfismo, eistiendo por tnto su invers H: ΙΡ + ΙΡ + con (g h)() = = (h g )() Denotremos como h() = /n Luego ΙΡ + h() = /n siendo /n el número ue verific ue su potenci de grdo n es. Podemos escribir ue f = y = f = Si r Q con r = p tenemos ue p f (r) = f = f p = f = p y hor sólo nos ued comprobr ue el resultdo obtenido representnte elegido pr r. no depende del Se r = p = P f (r) = f = dos representntes de r. Verificn ue p = p p f (r) = f = Vemos ue mbs epresiones son igules: p p p p f = f = f p = p p p f = f = f = y como p = p, mbs epresiones coinciden. p p Por convenio, denotremos f = con p ΖΖ y ΖΖ *. p p 3/6

4 PROP Si >, entonces lim n = + n + Si > = + con > 0. Por tnto n = (+ ) n = + n + n 2 + n > + n 2 3 Y como lim ( + n) = + n lim n = + n + PROP L función f : Q ΙΡ con f (r) = r verific ls siguientes propieddes: ) r r 2 = r +r 2 r, r Ο (Es homomorfismo de grupos). 2 2) ( r ) r 2 = r r 2 r, r Ο 2 3) f es estrictmente creciente si > y estrictmente decreciente si 0 < <. 4) f es continu r Q. ) Sen r = p y r = p 2 con p, p ΖΖ y, ΖΖ * ( r r 2 ) 2 = ( r ) 2 ( r 2 ) 2 p 2 p2 2 = 2 = p 2 p 2 = Como p 2 y p 2 ΖΖ tenemos = p 2 + p 2 = p 2 + p = ( r + r 2 ) 2 Por tnto r +r 2 = r r 2 r, r Q 2 2) Análogmente l nterior. 3) Y hemos comprobdo en este mismo prtdo ue l función g() = n es n creciente n ρν y g: ΙΡ + ΙΡ +, e igulmente h() = es tmbién creciente n ρν y h: ΙΡ + ΙΡ +. 4/6

5 Como g() y h() son crecientes, si > n > n = y m m > n > Entonces si r < r 2 r 2 r > 0 r 2 r > ( r 2 r ) r > r r 2 r r > r r 2 > r r, r 2 Ο con r < r 2 f es creciente pr si >. De form nálog, si r r 2 r r 2 < d = > y si r < r con r, r Ο tenemos ue 2 2 < > r, r 2 Ο f es decreciente pr <. 4) Como y 0 y = ( y ) podemos segurr ue tenemos ue cundo y, si se verific ue y. Por tnto, pr demostrr l continuidd de f en Q, bst demostrrlo en el origen (r = 0). Se ε > 0 y > ρν / + nε > ( + ε) n > + nε > + ε > /n Y por tnto ε > /n > 0 Luego e Q con 0 r < sbiendo ue f es creciente tenemos n r < Ε Además, como 0 < n n < Ε 0 < < Ε n. Y dividiendo por n n 0 < < Ε Entonces r Q con Uniendo mbs prtes: < r 0 se verific n 0 r < Ε Ε > 0 () > 0 / r Q con r < () r < Ε Luego f es continu en r = 0 y por lo visto el inicio tmbién lo es r Q. Pr demostrrlo con <, bst tomr d = > y como f d es creciente r Q ued ue f es continu pr todo vlor positivo. 5/6

6 .4. Potencis de Eponente Rel. El homomorfismo f : Q ΙΡ definido en el punto nterior vmos etenderlo de form únic de tl mner ue su dominio se ΙΡ. Tengmos en cuent ue ΙΡ ( i ) Q con ( i ) i ρν un representnte de. PROP Si ( i ) i ρν Q es un sucesión rcionl de Cuchy entonces ( i ) i ρν ΙΡ es un sucesión de Cuchy. Se > (si = trivil) Como i es de Cuchy Ε > 0 n o ρν/ i j < Ε si n n o i j = i j i K j i (*) porue como i es de Cuchy está cotdo i K (*) K Ε y como ε es tn peueño como uermos, entonces ε es tn cercno como nos de l gn K Ε < Ε () Ε > 0 Ε > 0 (ue verifiue l propiedd () y por tnto n o ρν/ i j < Ε si n no i es de Cuchy en ΙΡ. (Análogmente si < ). Como conclusión tenemos ue ( i ) número rel ue denotremos por. es de Cuchy y por tnto define un único Est definición no depende del representnte elegido, pues si ( i ) Q es otr sucesión de Cuchy ue represent, se verificrá ue i 0 i i i y ue i ( i i ) = i y por tnto ( i ) i ρν y ( i ) i ρν tienen el mismo límite, definiendo el mismo número rel. PROP L función f : ΙΡ ΙΡ + definid por propieddes: f () = verific ls siguientes 6/6

7 ) f es estrictmente creciente si > y estrictmente decreciente si <. 2) f : (ΙΡ, +) (ΙΡ +, ) es un homomorfismo de grupos. 3) f es continu. 4) ( ) 2 = 2 y (b) = b lim = + lim = ) Si > lim = 0 y si < lim = + ) Se >. Si < 2 r, s Q / < r < s < 2 Sen ( i ) i ρν Ο y ( i ) i ρν Ο representntes de y 2 respectivmente. Como = lim i e 2 = lim i n o ρν / i n o i < r < s < i Por tnto Y entonces i < r < s < i i n o < r < s < 2 Siendo f creciente estrictmente. El cso < se demuestr de form nálog, bst tomr 2) Se f : ΙΡ ΙΡ + d = > Si, 2 ΙΡ sen ( i ) i ρν Q y ( i ) i ρν Q dos representntes de y 2. Entonces ( i + i ) i ρν es un representnte de + 2 Luego ( i ) i ρν, ( i ) i ρν y ( i + i ) i ρν son representntes de, 2 y + 2 respectivmente. 7/6

8 Como f : Q ΙΡ + es un homomorfismo de grupos, se verific entonces i + i = i i + 2 = 2, ΙΡ 2 Y como f ( + 2 ) = + 2 = 2 = f ( ) f ( 2 ) Entonces f : ΙΡ ΙΡ + es homomorfismo. 3) Análogmente l cso de l función eponencil rcionl, bst ue demostremos ue f es continu = 0. Sbemos ue Ε > 0 () > 0 / Q < () < Ε ΙΡ con < () r, s Q / () < r < < s < () Si > r < < s Entonces Ε < r < < s < + Ε Y Ε > 0 () > 0 / ΙΡ con < () < Ε Si < r > > s Entonces Ε < s < < r < + Ε Y Ε > 0 () > 0 / ΙΡ con < () < Ε 4) ( ) 2 = 2 Se ( i ) i ρν Q un representnte de y ( i ) i ρν Q de 2. Entonces lim i = y lim i = 2 Como ( i ) i = i i (y visto en el punto nterior) y si tenemos en cuent ue: ) lim i = 8/6

9 2) g() = i es continu i Q tenemos ue ( ) i = i y como f es continu ( ) 2 = 2 (b) = b Inmedit. 5) Pr >. Que lim = + es consecuenci de lim n = + y ue f es creciente. + n + lim = lim y = lim + y + y = 0 De form nálog se demuestr pr <. PROP L función eponencil de bse ( ), f : (ΙΡ, +) (ΙΡ +, ) es un isomorfismo de grupos. ) Como + 2 = 2 f es homomorfismo. 2) f () = es estrictmente creciente Inyectiv f es continu y Rec f = ΙΡ + supryectiv. Si f es homomorfismo y biyectiv f es Isomorfismo. 2. LA FUNCIÓN LOGARITMO DE BASE. En el punto nterior hemos demostrdo ue l función f : (ΙΡ, +) (ΙΡ +, ) f () = es un isomorfismo de grupos. Por tnto eiste l función recíproc de f, llmremos función Logritmo en bse, y se denot por log. f f, ue f : (ΙΡ +, ) (ΙΡ, +) 9/6

10 f () = log verificándose log ( ) = = log y ue ( f f )() = = ( f f )() PROP L función log : ΙΡ + ΙΡ verific ls siguientes propieddes: ) log es estrictmente creciente si > y estrictmente decreciente si <. 2) log : (ΙΡ +, ) (ΙΡ, +) es un homomorfismo de grupos. 3) log es continu. 4) Si > lim log = + + lim log = y si < lim log + lim log = = + ) Se > y < 2 Sbemos ue < 2 y ue l función es creciente estrictmente. = log = log = log 2 = log 2 2 Supongmos ue log log 2 Entonces log log 2 lo ue es un contrdicción. Luego log log 2 y l función log es un función estrictmente creciente. De form nálog se demuestr <. 2) Como 0 = log = 0 ( f (e) = e trnsform el neutro en el neutro)., 2 ΙΡ + = log 2 log log +log = 2 = log log 2 = log log 2 0/6

11 Al ser un función inyectiv se verific ue es lo mismo ue: 3) Inmedit. log 2 = log + log 2 f ( ) = f ( ) + f ( 2 ) 2 4) Los límites son inmeditmente deducibles sin más ue tener en cuent ue log y son funciones recíprocs. PROP Se verific: ) log = log y ΙΡ y y > 0 2) log y = log b y log b, b, y > 0 ) y = ( log y ) = log y Entonces log y = log log y = log y Luego log y = log y 2) Sbemos ue y = b log b y Entonces log y = log b log b y Y plicndo el prtdo nterior log b log b y = log b y log b Luego log y = log b y log b /6

12 Hy un cso especil de funciones eponenciles, ue son uells en ls ue l bse es el número e. Estos son muy útiles l hor de hcer estudios físicos y ue precen con grn frecuenci en los problems de crecimiento de poblciones. L función recíproc de l eponencil f() = e, es el logritmo en bse e de, o tmbién llmdo logritmo neperino de (en honor Jun Neper), Ln. En concreto, pr los mtemáticos, el logritmo en bse e es el ms importnte debido en grn prte ue es l integrl de l función f () =, unue esto se slg del tem, pero su utilizción es muy grnde y l tendenci nturl es mnejrlos con myor frecuenci ue ninguno, pudiendo trnsformr culuier otro logritmo en neperino medinte l epresión: log = ln ln 3. FUNCIÓN POTENCIAL. DEF Llmmos función potencil f: ΙΡ + ΙΡ + con f() = r siendo r ΙΡ +. L definición tiene sentido y ue r ΙΡ + y como ΙΡ + el símbolo r podrí ser considerdo de form puntul como l función eponencil de bse. PROP L función potencil f() = r verific ls siguientes propieddes: ) Es estrictmente creciente si r > 0 y estrictmente decreciente. 2) Si r < 0 f: (ΙΡ +, ) (ΙΡ +, ) f() = r es un homomorfismo de grupos. 3) Es continu en todo su dominio. 4) Si r > lim r = 0 lim r y si r < 0 lim 0 r = + + lim r = 0 + = + + Est proposición csi en su totlidd l tene mos demostrd ntes en el cso de ue r se un nturl. Demostrémosl hor con r ΙΡ. Si tenemos en cuent ue r = r log Podemos definir g() = y h() = r log Verificándose ue f () = (g h)() 2/6

13 ) Si elegimos <, g() es estrictmente creciente y h() tmbién en cso de ue r > 0. Si r < 0 entonces h() es estrictmente decreciente. Al componer mbs funciones, se demuestr lo ue uerímos. 2) f() = r es un homomorfismo de grupos por ser composición de dos homomorfismos. Por tnto f ( 2 ) = f ( ) f ( 2 ) Y es ( = r r 2 ) r 2 3) f() = r es continu por ser composición de funciones dominio. 4) Inmedito. 4. SITUACIONES REALES EN LAS QUE APARECEN. 4.. Función Eponencil. ) L desintegrción tómic. N (t ) = N o e Kt siendo N o = número de átomos inicil (t = 0) K = constnte de desintegrción del elemento. b) Enfrimiento de un cuerpo. K = constnte. f (t ) = be Kt + e b = tempertur en t =. kt t M(t) = tempertur mbientl. Kn K M (n) e dn c) Cíd de un cuerpo en un medio resistente. mg gm 2 Kt f (t) = + K K 2 m e d) Crecimiento de Poblciones. continus en todo su L función eponencil prece l clculr el crecimiento de un poblción donde l ts de crecimiento se mntiene constnte, pudiendo ser positiv o negtiv. 3/6

14 P = P o e Kt P o = tmño inicil de l poblción. K = ts de crecimiento. t = tiempo trnscurrido. Con el pso del tiempo, diversos fctores influyen en el crecimiento de l poblción hciendo ue l función eponencil de dpte l función logístic, moderndo su crecimiento (o decrecimiento). Ls funciones logístics tienen como epresión c(t ) = B + A e Kt e) Problems de Interés Compuesto y Continuo. En los problems de interés compuesto, disponemos de un cpitl inicil ue v incrementándose l ñdirle los intereses producidos. Si el cpitl inicil es C o y el interés es I, el cpitl C ue tendremos l cbo de t ños será C = C (+ I ) t o llmdo cpitl compuesto. Si los intereses se devengn cd instnte (cd infinitésimo de tiempo) l epresión pr el cpitl C es llmdo cpitl continuo Función Logrítmic. ) L Escl de Richter. C = lim + I nt = n rt C C o e o n L escl de Richter es un escl logrítmic de bse 0 ue mide l fuerz o intensidd de los terremotos. Al ser su bse 0, un terremoto de intensidd 5 es 0 veces myor ue otro de intensidd 4, 00 veces myor ue otro de intensidd 3 y sí sucesivmente. Teniendo en cuent esto, un terremoto de escl 8 4 es 5 0 veces más intenso ue otro de escl 7 7, y ue 4/6

15 b) ph = El ph de un solución es l medid de su cidez, y mide l concentrción de iones [H + ], ue son los átomos de hidrógeno por litro. ph = log 0 [H O ] + c) Regl de Cálculo. 3 L regl de Cálculo sirvió, hst l prición de ls clculdors, pr simplificr operciones complicds. Se poy en ls propieddes de los logritmos ue permiten trducir productos en sums, cocientes en rests, potencis y ríces en productos y cocientes, etc. Bibliogrfí Recomendd. Análisis Mtemático I. Aut. J.A. Fernández Viñ. Ed. Tecnos Lecciones de Cálculo Infinitesiml I. Aut. R. Molin Legz, M. Frnco. Ed. Universidd de Murci. Principios de Análisis Mtemático. Aut. W. Rudin. Ed. McGrw-Hill Curso de Análisis Mtemático I. Aut. E.L. Lun. Ed. Eduns, 99. Clculus. Aut. M. Spivk. Ed. Reverté. Análisis Mtemático. Aut. M. de Guzmán, B. Rubio. Ed. Pirámide. Clculus. Aut. Apostol. Ed. Reverté Introducción l Análisis Mtemático. Aut. J.M. Orteg. Ed. Lbor 5/6