UNIDAD 7: FUNCIONES ELEMENTALES

Transcripción

1 I.E.S. Rmón Girldo. FUNCIONES AFINES UNIDAD 7: FUNCIONES ELEMENTALES Ls funciones fines son funciones de l form f : donde y b son números reles no nulos. f b Si b0 y 0, entonces l función recibe el nombre de función linel. Por último, l función recibe el nombre de función constnte. f : f f : f b Geométricmente estos tres tipos de funciones representn rects en el plno. Pr dibujrls, bst con construir un tbl de vlores (con dos vlores). f f f Recuerd tmbién que tods ls funciones lineles psn por el origen de coordends. Ejercicios:. Represent ls siguientes funciones sobre unos mismos ejes: 3 f 3 f f3. Represent ls siguientes funciones y estblece l relción que hy entre ells: f f f 3 Alguns propieddes de ls funciones fines, lineles y constntes son: - Dominio:, ipri Deprtmento de Mtemátics

2 I.E.S. Rmón Girldo Afines y lineles: =, - Imgen o recorrido: Constntes: b Afines y lineles: si 0 y si 0 - Monotoní: Constntes: Como su nombre indic son constntes - Etremos reltivos: No tienen Sobre l notción: indic que l función es estrictmente creciente y que es estrictmente decreciente.. FUNCIONES CUADRÁTICAS Son funciones de l form donde cb,, y 0. f : f bc Geométricmente representn prábols, pr cuy representción seguiremos los siguientes psos: ) Se clcul el vértice: b v V v, yv donde yv f v sustituir v en l función ) Se clculn los puntos de corte con el eje OX, si los hy, pr lo que hy que resolver l ecución b c 0. Si queremos que l gráfic se ún más precis, clculremos tmbién el punto de corte con el eje OY. 3) Sólo se plic si no hemos podido usr ). Se construye un tbl de vlores con dos vlores l izquierd del vértice y otros dos l derech del mismo. Recuerd que l prábol está biert hci rrib (es conve) cundo bjo (es cóncv) cundo 0. 0, y está biert hci y y Ejercicios: 3. Represent ls siguientes funciones cudrátics: ) y 3 c) y 3 b) y 0 8 d) y 3 3 Mtemátics I

3 I.E.S. Rmón Girldo 4. Represent ls siguientes funciones cudrátics y estblece l relción que hy entre ells: f, f, f y f Represent ls siguientes prábols en el dominio que se indic: y 6 pr,6 ) b) y 3 pr 0,4 c) y 4 pr,, 3. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Pr su representción gráfic bst con hcer l correspondiente representción de cd uno de los trozos ( en su dominio ). f si si f 4 Ejercicios: 6. Represent ls siguientes funciones definids trozos: 6 si - ) f si 3 f si 0 si 0 si f 43 si si 0 b) c) 7. Un compñí de utobuses interurbnos h comprobdo que el número de vijeros (N) dirios depende del precio del billete (p) según l epresión: Np 300 6p ) Dr l epresión que nos proporcion los ingresos dirios (I) de es compñí en función del precio del billete. ) Qué ingreso dirio se obtiene si el precio del billete es 5 euros? 3) Cuál es el precio del billete que hce máimo los ingresos dirios? 4) Cuáles son esos ingresos máimos? ipri Deprtmento de Mtemátics 3

4 I.E.S. Rmón Girldo 8. L ltur en metros, H, que lcnz un pelot lnzd verticlmente hci rrib, viene dd en función del tiempo en segundos por l epresión: H t 0t t. ) Qué ltur hbrá lcnzdo los tres segundos? ) En qué momentos lcnzrá 3 m de ltur? 3) Cuál es l ltur máim que lcnz? Dónde? 9. En un estudio sobre el coste de producción de un empres de ordendores, se h concluido que producir uniddes de un determindo componente tiene un coste epresdo por l función f 0,0. L vent de uniddes de ese componente proporcion unos ingresos que vienen determindos por l función g 60,5, siendo el número de uniddes producids. ) Clculr el número de uniddes que deben producir pr que los costes sen mínimos. b) Hllr l epresión, en función de, de los beneficios, suponiendo que se venden tods ls uniddes que se producen. c) Clculr el número de uniddes que deben producir y vender pr que los beneficios sen máimos. 0. El precio, en euros, que l cción de un empres lcnz en el trnscurso de un sesión de bols, viene ddo por l función 3 pt 40t 40t 00t00 en donde t es el tiempo en hors contr desde el inicio de l sesión. Supongmos que l sesión comienz ls 0 de l mñn y finliz 7 hors después. Se pide: ) Entre qué hors el precio de cción sube? b) Entre qué hors el precio de l cción bj? c) A qué hor el precio de l cción lcnz un máimo reltivo? Cuál es ese vlor? d) A qué hor el precio de l cción lcnz un mínimo reltivo? Cuál es ese vlor? e) A qué hor el precio de l cción lcnz su vlor más grnde? Cuál es ese vlor?. El consumo de gu de un colegio viene ddo por l función: 0 si t 0 3 f( t) 0,t 0,675t,35t si 0 t 3,5 0 si t 3,5 Mtemátics I 4

5 I.E.S. Rmón Girldo en donde t es el tiempo en hors contr desde l pertur del colegio y f(t) es el consumo en m 3. Se supone que l jornd escolr comienz ls 0 hors y finliz ls 3,5 hors. Se pide: ) Cuándo el consumo de gu es creciente? Cuándo el consumo es decreciente? ) En qué momento el consumo es máimo y en qué momento es mínimo? 4. APLICACIÓN: FUNCIONES DE OFERTA Y DEMANDA L función o curv de demnd del mercdo muestr l relción entre l cntidd demndd de un bien por todos los individuos y su precio, mnteniendo constntes otros fctores (gustos, rent, precio de bienes relciondos ) L función de demnd, fd p, pr culquier bien o producto, es l función que nos d el número de uniddes de producto en función del precio, p, de cd unidd que los consumidores están dispuestos comprr. En su epresión mtemátic más simple l función de demnd puede ser: Linel: fd pmpn con m0 Cudrátic: f p p bp c con 0 d L función o curv de ofert del mercdo muestr l relción entre l cntidd ofrecid de un bien por todos los productos y su precio, mnteniendo constnte otros fctores (tecnologí, precio de fctores productivos ). L función de ofert, fo p, pr culquier bien o producto, es l función que nos d el número de uniddes que los fbricntes están dispuestos producir en función del precio unitrio del producto. En su epresión mtemátic más simple l función de ofert puede ser: Linel: fo pmpn con m0 Cudrátic: f p p bp c con 0 o Cundo se ponen en contcto consumidores y productores con sus respectivs funciones de demnd y ofert, podemos nlizr cómo se llev cbo l coordinción de mbos tipos de gentes. Pr ello debemos relizr un estudio conjunto de ls gráfics de mbs funciones. L cntidd de equilibrio es el número de uniddes del producto que se debe fbricr pr que l ofert y l demnd sen igules. El precio correspondiente l cntidd de equilibrio, es decir, quel precio en el que coinciden los plnes de los demndntes o consumidores y de los ofertntes o productores se llm precio de equilibrio. cntidd cntidd de equilibrio función demnd p Equilibrio p precio ipri Deprtmento de Mtemátics 5 fd precio de equilibrio función ofert p fo

6 I.E.S. Rmón Girldo 5. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Son funciones de l form f : 0 0 k f donde k es un número rel no nulo. Geométricmente representn hipérbols equiláters cuys síntots son los ejes coordendos: * Asíntot horizontl: y 0 * Asíntot verticl: 0 Ejercicio:. Represent ls siguientes funciones de proporcionlidd invers: ) y c) y b) y d) y 3 6. FUNCIONES RACIONALES ESPECIALES Son funciones de l form donde bcd,,,. Pr su representción gráfic (que es un hipérbol equiláter) construiremos un tbl de vlores y prtir de ell deduciremos sus propieddes. Ests gráfics poseen ls siguientes síntots: * Asíntot horizontl: y c * Asíntot verticl: b d f c d c d c d 0 c Ejercicio: 3. Represent ls siguientes funciones rcionles: ) y c) y b) y d) y 7. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO DE UNA FUNCIÓN Mtemátics I 6

7 I.E.S. Rmón Girldo L función vlor bsoluto de un función f f, se define por: Pr su representción gráfic usremos culquier de los siguientes dos procedimientos: () Representr f y los trozos de curv que estén en l prte negtiv del eje OY ponerlos positivos (medinte sus simétricos) () Escribir l función y f como un función definid trozos, y representr cd uno de los trozos correspondientes. f si f 0 f si f 0 Ejercicio: 4. Represent ls siguientes funciones: ) f 3 3 si 0 f si si 3 b) c) si 0 f( ) si 0 si d) si 3 f( ) si si 0 8. TRASLACIONES Y GIROS DE FUNCIONES Este es un procedimiento pr representr de form rápid muchs funciones, conociendo l gráfic de lguns funciones básics ( y, y, y,...) Seguiremos los siguientes psos: ipri Deprtmento de Mtemátics 7

8 I.E.S. Rmón Girldo f (º) Se represent l función básic ( y, y, y,...) que notremos por (º) Trslciones verticles: Nuestr función será de l form h. Pues bien, si f h0 trsldmos h uniddes l gráfic de f( ) hci rrib h 0 trsldmos h uniddes l gráfic de f( ) hci bjo (3º) Trslciones horizontles: Nuestr función será de l form f k. Pues bien, si (4º) Si nuestr función es de l form f h k, seguiremos los psos nteriores, en ese orden k 0 trsldmos k uniddes l gráfic de f( ) hci l izquierd k 0 trsldmos k uniddes l gráfic de f( ) hci l derech Ejemplo: Representr y Psos: º) y º) 3º) 4º) y y y 9. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Logritmo de bse El logritmo en bse 0 y pr que dé dicho número: log N N de un número N es el eponente l que hy que elevr l bse Mtemátics I 8

9 I.E.S. Rmón Girldo Los logritmos de bse 0 se llmn decimles y se representbn por log, y los logritmos de bse e se llmn neperinos o nturles y se representbn por ln o L. Propieddes: ) log MN log M log N ) 3) Trnsformción de logritmos: ln N 4) log N ln Otrs propieddes: 5) Los logritmos de un número en dos bses inverss y son opuestos. 6) Conocidos los logritmos en un bse myor que se pueden hllr fácilmente en culquier otr bse. Función logritmo de bse log M log M log N siempre que N 0 N m log N mlog N m log : 0, log 0 y Propieddes: ) Domlog 0, ) Img log 3) Continu y estrictmente monóton (creciente si y decreciente si ) 4) Biyectiv, luego tiene invers que es l función eponencil de bse. lim log 0 Si lim log 5) lim log 0 Si lim log f ' log e 6) Curvtur: conve si e f '' log e f es cóncv si e Actulmente, est notción está en desuso y se utiliz l notción log pr representr el logritmo nturl o neperino. ipri Deprtmento de Mtemátics 9

10 I.E.S. Rmón Girldo Ejercicio: 5. Represent ls siguientes funciones logrítmics: ) y log c) y log b) y log0 d) y log 0. FUNCIONES EXPONENCIALES Dos funciones eponenciles f g Propieddes: Dom f ) ) Img f 3) f está cotd inferiormente, pero no superiormente 4) f no es pr ni impr 5) f es continu 6) f es estrictmente creciente y por tnto inyectiv (luego tiene invers) 7) f no tiene etremos reltivos 8) lim f 0 y lim f 9) f log 0) f es sobreyectiv y como consecuenci, es biyectiv Mtemátics I 0

11 I.E.S. Rmón Girldo ) Domg ) Img g 3) g está cotd inferiormente pero no superiormente 4) g no es pr ni impr 5) g es continu 6) g es estrictmente decreciente y por tnto inyectiv (luego tiene invers) 7) g no tiene etremos reltivos 8) lim g y lim g 0 9) g log 0) g es sobreyectiv y como consecuenci, es biyectiv Dos funciones eponenciles especiles f e (donde ln f : e y ln y) g 0 Propieddes: ) DomgDomg ) Img gimg g 0, 3) f y g son estrictmente crecientes y como consecuenci inyectivs 4) f y g están cotds inferiormente pero no superiormente 5) f y g son continus 6) lim f lim g 0 y lim f lim g 7) f y g son sobreyectivs y, por tnto, biyectivs 8) f ln y g log Función Eponencil f : 0, ln f := e con 0 y Propieddes: Dom f ) ) Dom f 0, ipri Deprtmento de Mtemátics

12 I.E.S. Rmón Girldo 3) f 0 y f 4) 5) y y f y f f y f es continu 6) 7) creciente si f es estrictmente decreciente si 0 lim f 0 Pr 0 se tiene que lim f lim f Pr se tiene que lim f 0 8) Curvtur: f es conve Ejercicio: 6. Represent ls siguientes funciones eponenciles: ) y c) y e b) y d) y e. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Función seno sen :, sen Propieddes: ) L función seno es impr: sen sen ) Es continu 3) sen, es decir, está cotd 4) Es periódic: sen sen 3 creciente en k, k 5) sen es estrictmente 3 decreciente en k, k 3 6) Tiene máimos reltivos en k, y mínimos reltivos en k,. 7) Cortes con el eje OX: k con k 8) sen :,, biyectiv sen rcsen :,, Mtemátics I

13 I.E.S. Rmón Girldo tl que rcsen sen sen rcsen Función seno Función rco seno Función coseno cos :, cos Propieddes: ) L función coseno es pr: cos cos ) Es continu 3) cos, es decir, está cotd 4) Es periódic: cos cos creciente en k, k 5) cos es estrictmente decreciente en k, k 6) Tiene máimos reltivos en k, y mínimos reltivos en k,. 7) Cortes con el eje OX: k con k 8) cos : 0,, biyectiv cos rccos :, 0, tl que cosrccos rccoscos Función coseno Función rco coseno ipri Deprtmento de Mtemátics 3

14 I.E.S. Rmón Girldo Función tngente tg : k : k tg Propieddes: ) L función tngente es impr: tg tg ) Es continu 3) No está cotd ni superior ni inferiormente 4) Es periódic: tg tg 5) Cortes con el eje OX: k con k 6) tg es estrictmente creciente 7) No tiene etremos reltivos tg :, 8) biyectiv tg rctg :, tl que tg rctgtg tg rctg Función tngente Función rco tngente Mtemátics I 4