5. Lenguajes Regulares

Transcripción

1 5. Lengujes Regulres Arceli Snchis de Miguel Agpito Ledezm Espino José A. Iglesis Mr<nez Betriz Grcí Jiménez Jun Mnuel Alonso Weer Grdo Ingenierí InformáDc Teorí de Autómts y Lengujes Formles

2 AUTÓMATAS FINITOS Y G3 2

3 Grmátic socid un AF Se el AF, A = (Σ, Q, q0, f, F), existe un G3 LD tl que L(G3LD) = L(A). Es decir, el lenguje que gener l grmádc es el mismo que reconoce el Autómt Vemos como otener l grmádc G={ΣT, ΣN, S, P} prdr del AF= {Q, Σ, q0, f, F}. 3

4 Grmátic socid un AF Se construye l grmádc G3LD (G= G={Σ T, Σ N, S, P}) de l siguiente form prdr del Autómt (AF= {Q, Σ, q 0, f, F}): ü Σ T = Σ ; Σ N = Q ; S = qo ü P= { } 1. trnsición f(p,) =q si q no es estdo finl p::= q 2. q F y f(p,) = q p::= y p::= q 3. p 0 F p 0 ::= λ 4. si f(p, λ ) = q si q no es estdo finl p ::= q; 5. q F y f(p, λ ) = q p ::= q y q::= λ 4

5 AF socido un G3LD Se l G3LD, G = (Σ T, Σ N S, P), existe un AF, A, tl que: L(G3LD) = L(A) Como se construye AF prdr de G3LD: ü Σ = Σ T ü Q = Σ N U {F}, con F Σ N ü qo = S ü F = {F} ü f: Si A ::= B f(a,) = B Si A ::= f(a,) = F Si S ::= λ f( S, λ) = F 5

6 AF socido un G3 (cundo es LD) ü Se h visto el procedimiento pr otener el AF que cept el lenguje descrito por un G3LD, sin emrgo, ese procedimiento no siempre conduce un AFD. ü Lo hitul es: G3 AFND AFD ü Ejemplo. Se l G3LD hllr el AF correspondiente. G = ({d,c}, {A,S,T}, A, {A ::= cs, S::= d cs dt, T::= dt d}) 6

7 AF socido un G3 (cundo es LD) De AF G3: Ejemplo Se el AF descrito por l siguiente tl, hllr l G3 LD que gener el lenguje por ell descrito. Compror que los lengujes son igules 0 1 A A C B A C C* C B 7

8 AF socido un G3 Y si queremos otener un AF prdr de un G3LI? G3LI à G3LD à AF Y si queremos otener un G3LI prdr de un AF? AF à G3LD à G3LI 8

9 EXPRESIONES REGULARES 9

10 Definición Expresiones y Lengujes Regulres Equivlencis Teorems 10

11 DeIinición de ER(I) Metlenguje pr expresr el conjunto de plrs ceptds por un AF (es decir, pr expresr lengujes de Dpo 3 o regulres) Kleene,

12 DeIinición de ER(I) Ejemplo Ddo el lfeto Σ= {0,1}, L ER 0*10* es un plr del metlenguje que represent ls infinits plrs del lenguje regulr formdo por un 1, precedido y seguido de 0, 1 o infinitos 0s. El lenguje Σ* puede representrse medinte l ER: (0+1)* El lenguje {01, 101} puede representrse medinte l ER: L ER 1(1+0)* represent tods ls cdens que empiezn por el símolo 1. 12

13 DeIinición de ER(II) Ddos los símolos : Σ, (conjunto vcío), λ (cden vcí) y ls operciones: + (unión), (conctención), *(cierre o clusur) se cumple que: ü es un ER ü λ es un ER ü culquier Σ es un ER ü si α y β son EERR entonces α+β y α β son EERR ü si α es un ER entonces α* es un ER, donde α*= U α i i=0 13

14 DeIinición de ER(III) Solo son EERR ls que se odenen de plicr ls regls nteriores un número finito de veces sore símolos de Σ,, λ L prioridd de ls operciones es l siguiente: * + 14

15 Definición Expresiones y Lengujes Regulres Equivlencis Teorems 15

16 EERR y LR Cd Expresión Regulr (ER) descrie o expres un lenguje regulr A cd ER α, se le soci un suconjunto de Σ*, L(α), que es el LR descrito por α. Este lenguje se define con: ü si α =, L(α) = ü si α = λ, L(α) = {λ} ü si α =, Σ, L(α) = {} ü si α y β son EERR L(α + β) = L(α) L(β) ü si α y β son EERR L(α β) = L(α) L(β) ü si α * es un ER L(α *) = L(α)* 16

17 Definición Expresiones y Lengujes Regulres Equivlencis Teorems 17

18 Equivlenci de EERR (I) Dos EERR son equivlentes, α = β, si descrien el mismo lenguje regulr, si L(α ) = L(β) Se cumple: 1) (α + β) + σ = α + (β + σ) (+ es socidv) 2) α + β = β + α (+ es conmutdv) 3) (α β) σ = α (β σ) ( es socidv) 4) α (β + σ) = (α β) + (α σ) (+ es distriudv (β + σ) α = (β α) + (σ α) respecto de ) 5) α λ = λ α = α ( Dene elemento neutro) 6) α + = + α = α (+ Dene elemento neutro) 7) λ* = λ 8) α = α = 18

19 Equivlenci de EERR (II) 9) * = λ 10) α* α* = α* 11) α α* = α* α 12) (α *)* = α* (IMPORTANTE) 13) α* = λ + α + α α n + α n+1. α* 14) α* = λ + α α* (13 con n=0) (IMPORTANTE) 15) α* = (λ + α )n- 1 + αn α* (de 14, susdtuyendo) 16) Se f un función, f:e n Σ E Σ se verific: f(α, β,..., σ) + (α + β σ)* = (α + β σ)* 17) Se f un función, f:e n Σ E Σ se verific: (f(α*, β*,..., σ*))* = (α + β σ)* 19

20 Equivlenci de EERR (III) 18) (α* + β*)* = (α* β*)* = (α + β)* (IMPORTANTE) 19) (α β)* α = α ( β α)* 20) (α* β)* α* = (α + β)* 21) (α* β)* = λ + (α + β)* β (de 14 con 20) 22) Regls de Inferenci: Dds tres EERR (L, A y B), se l ecución L = AL + B, donde λ A, entonces se verific que L = A*B 20

21 Definición Expresiones y Lengujes Regulres Equivlencis Teorems 21

22 Teorems de nálisis y síntesis de Kleene Teorem de nálisis de Kleene Todo lenguje ceptdo por un AF es un lenguje regulr. Solución l prolem de nálisis: Encontrr el lenguje socido un determindo AF: Ddo un AF, A, encontrr l ER que descrie L(A). Teorem de síntesis de Kleene Todo lenguje regulr es el lenguje ceptdo por un AF. Solución l prolem de síntesis: Encontrr un reconocedor pr un lenguje regulr ddo: Dd un ER que represent un lenguje regulr, construir un AF que cepte ese lenguje regulr. 22

23 Solución l prolem de nálisis. Ecuciones crcterístics. Resolución: Prolem Análisis: AF - > ER Ddo un AF, escriir ls ecuciones crcterísdcs de cd uno de sus estdos, resolverls y otener l ER uscd. 23

24 Solución l prolem de nálisis. Ecuciones crcterístics. ECUACIONES CARACTERÍSTICAS Descrien tods ls cdens que se pueden reconocer desde un estdo ddo Se escrie un ecución x i por estdo q i ü Primer miemro: x i ü El segundo miemro Dene un término por cd rm que slg de q i o o o o Ls rms Denen l form ij x j donde ij es l edquet de l rm que une q i con q j, x j es l vrile correspondiente q j Se ñde un término ij por cd rm que une qi con un estdo finl Se ñde λ si q i es finl. Si de un estdo q i no sle ningun rm, el segundo miemro será: l si es finl: x i = λ l si no es finl: x i = 24

25 Solución l prolem de nálisis. Ecuciones crcterístics. Ecuciones CrcterísDcs de un AF Ejemplo 1: p q X 0 X 1 El AF Dene 2 estdos, por lo que tendrá 2 ecuciones crcterísdcs: Conjunto de plrs que permiten psr desde el estdo p un estdo finl. X 0 = X 0 + X 1 + X 1 = X 1 + X λ Porque q es un estdo finl Porque q es un estdo finl 25

26 Solución l prolem de nálisis. Ecuciones crcterístics. Ejemplo 2: p q X 0 X 1 Ecuciones Crcterís/cs: X 0 = X 1 X 1 = X 2 + X 1 + X 2 = X λ r X 2 26

27 Algoritmo de resolución prolem de Análisis. 1. Escriir ls ecuciones crcterísdcs del AF 2. Resolverls 3. Si el estdo inicil es q 0, X 0 nos d el conjunto de cdens que conducen desde q 0 q f y por tnto el lenguje ceptdo por el AF 27

28 Solución de ls ecuciones crcterístics. Son l Ecución CrcterísDc de l form: X = AX + B, donde: X: conjunto de cdens que permiten psr de q i q f F A: conjunto de cdens que permiten, prdendo de un estdo q, llegr q. B: conjunto de cdens que permiten llegr l estdo finl, sin volver psr por el q i de prdd. (solución de Arden o reducción l surdo) L solución es: X = A* B 28

29 Solución l prolem de nálisis. Ecuciones crcterístics. Ejemplo 1: p q X 0 X 1 Ecuciones Crcterís/cs: X 0 = X 1 X 1 = X 2 + X 1 + X 2 = X λ r X 2 29

30 Solución l prolem de nálisis. Ecuciones crcterístics. Ejemplo 1: p q X 0 X 1 Ecuciones Crcterís/cs: X 0 = X 1 X 1 = X 2 + X 1 + X 2 = X λ r X 2 Recuerd: L=AL+B L=A*B 30

31 Solución l prolem de nálisis. Ecuciones crcterístics. Ejemplo 1: p q X 0 X 1 Ecuciones Crcterís/cs: X 0 = X 1 X 1 = X 2 + X 1 + X 2 = X λ r X 2 Recuerd: L=AL+B L=A*B X 2 = * ( + λ) = * + * = * 31

32 Solución l prolem de nálisis. Ecuciones crcterístics. Ejemplo 1: p q X 0 X 1 Ecuciones Crcterís/cs: X 0 = X 1 X 1 = X 2 + X 1 + X 2 = X λ r X 2 Recuerd: L=AL+B L=A*B X 2 = * ( + λ) = * + * = * X 1 = * + X 1 + X 1 = X 1 + * + X 1 = *(*+) = ** 32

33 Solución l prolem de nálisis. Ecuciones crcterístics. Ejemplo 1: p q X 0 X 1 Ecuciones Crcterís/cs: X 0 = X 1 X 1 = X 2 + X 1 + X 2 = X λ r X 2 33

34 Solución l prolem de nálisis. Ecuciones crcterístics. Ejemplo 1: p q X 0 X 1 Ecuciones Crcterís/cs: X 0 = X 1 X 1 = X 2 + X 1 + X 2 = X λ r X 2 Recuerd: L=AL+B L=A*B 34

35 Solución l prolem de nálisis. Ecuciones crcterístics. Ejemplo 1: p q X 0 X 1 Ecuciones Crcterís/cs: X 0 = X 1 X 1 = X 2 + X 1 + X 2 = X λ r X 2 Recuerd: L=AL+B L=A*B X 2 = * ( + λ) = * + * = * 35

36 Solución l prolem de nálisis. Ecuciones crcterístics. Ejemplo 1: p q X 0 X 1 Ecuciones Crcterís/cs: X 0 = X 1 X 1 = X 2 + X 1 + X 2 = X λ r X 2 Recuerd: L=AL+B L=A*B X 2 = * ( + λ) = * + * = * X 1 = * + X 1 + X 1 = X 1 + * + X 1 = *(*+) = ** 36

37 Solución l prolem de nálisis. Ecuciones crcterístics. Ejemplo 1: p q X 0 X 1 Ecuciones Crcterís/cs: X 0 = X 1 X 1 = X 2 + X 1 + X 2 = X λ r X 2 Recuerd: L=AL+B L=A*B X 2 = * ( + λ) = * + * = * X 1 = * + X 1 + X 1 = X 1 + * + X 1 = *(*+) = ** X 0 = ** 37

38 Prolem de Síntesis: Algoritmo Recursivo (I) Dd un ER que represent un lenguje regulr, construir un AF que cepte ese lenguje regulr. Se α un Expresión Regulr ü si α=, el utómt será: ü si α= λ, el utómt será: ü si α=, Σ, el utómt será: p *q λ p *q p *q 38

39 Prolem de Síntesis: Algoritmo Recursivo (II) Dd un ER que represent un lenguje regulr, construir un AF que cepte ese lenguje regulr (cont.) ü si α=β+σ, con los utómts de β y σ el resultdo es: β λ p 1 q 1 λ p σ *q λ p 2 q 2 λ β p 1 *q 1 σ p 2 *q 2 39

40 Prolem de Síntesis: Algoritmo Recursivo (III) Dd un ER que represent un lenguje regulr, construir un AF que cepte ese lenguje regulr. (cont.) ü si α=β σ, con los utómts de β y σ el resultdo es: β p 1 q 1 λ σ p 2 *q 2 p 1 β *q 1 p 2 σ *q 2 40

41 Prolem de Síntesis: Algoritmo Recursivo (IV) Dd un ER que represent un lenguje regulr, construir un AF que cepte ese lenguje regulr. (cont.) ü si α=β*, con el utómt de β el resultdo es: λ p p 1 λ β λ λ q 1 *q β p 1 *q 1 41

42 Prolem de Síntesis: Algoritmo Recursivo (IV) Ejemplo: Se α= * p 1 *q 1 : *: Entonces: * p 1 q 1 λ p λ 2 p 3 λ p 2 p 3 λ λ λ q λ 2 *q 3 λ q 2 *q 3 λ 42

43 Prolem de Síntesis: Algoritmo Recursivo (IV) Ejemplo: Se α=( *)* λ λ λ λ λ p 0 p p 2 p 1 q λ 1 3 q 2 q 3 *q 0 λ λ λ 43

44 Prolem de Síntesis: Derivd de un ER. Dd un ER, construir un AF que reconozc el lenguje que l ER descrie. Solución: derivr l ER y otener un G3LD y de ell un AF Derivd de un ER: D(R) = { x x R }. ü Derivd de ER R respecto de Σ es el conjunto de cols de tods ls plrs representds por R cuy cez es. Vemos un definición recursiv 44

45 Prolem de Síntesis: Derivd de un ER ER - > AF (Derivr l ER - > G3LD - > AF. D(R) = { x x R } Derivd de un ER. Definición recursiv, Σ y R,S expresiones regulres ü D ( ) = ü D (λ) = ü D () = λ, Σ ü D () =,, Σ ü D (R+S) = D (R) + D (S) ü D (R S) = D(R) S + δ(r) D(S) R λ R δ(r) = λ λ R δ(r) = ü D (R*) = D(R) R* 45

46 Solución l prolem de Síntesis. Derivd de un ER Definición: D(R)=D(D(R)) A prdr de l Derivd de un ER. Se otendrá l grmádc regulr linel derech: El número de derivds disdnts de un ER es finito. Un vez que se hn otenido tods, se puede otener l G3 Se D(R) = S, con S Φ S λ R ::= S P S = λ R ::= P Se δ(d(r)) = S δ(d(r)) = λ R::= P δ(d(r)) = Φ no se incluye ningun regl en P El xiom es R (ER de prdd) Σ T = símolos que formn l ER de prdd Σ N = letrs que disdnguen cd un de ls derivds disdnts 46

47 Ejemplos. Derivd Expresiones Regulres Otener ls G3 LD equivlentes ls ER dds: R = * *, Σ={,} D(R) = D() * * = * * D(R) = D(R) = D(* *) = D(*) * + λ D( *) = ** = D(R) D(R) = D(* *) = D(*) * + λ D( *) = * D(R) = D(*) = D(R) = D(*) = D() * = * = D(R) D(R)= ** δ(d(r))= D(R)= ** δ(d(r))= D(R)= * δ(d(r))= λ D(R)= * δ(d(r))= λ R = * * es igul que R = * * 47

48 Ejemplos. Derivd Expresiones Regulres R0=** R1=** R2=* D(R0)=R1 D(R1)=R1 D(R1)=R2 D(R2)=R2 δ(d(r0))= δ(d(r1))= δ(d(r1))= λ δ(d(r2))= λ D(R)=S R S δ(d(r))= λ R R0 R R1 R1 R1 R2 R2 R R1 R2 48

49 BiliogrIí Liro Básico 1 Biliogrz (AAM). Enrique Alfonsec Cuero, Mnuel Alfonsec Cuero, Roerto Moriyón Slomón. Teorí de utómts y lengujes formles. McGrw- Hill (2007). Aprtdo 7.2 Liro Básico 2 Biliogrz (HMU). John E. Hopcro}, Rjeev Motwni, Jeffrey D.Ullmn. Introducción l teorí de utómts, lengujes y computción (3ª edición). Ed, Person Addison Wesley. Tem 3 Liro Básico 4 Biliogrz (AAM). Mnuel Alfonsec, Justo Sncho, Miguel Mr<nez Org. Teorí de lengujes, grmádcs y utómts. Pulicciones R.A.E.C Tem 7 49