Apuntes de Lenguajes Formales para Compiladores. Ing. Adrian Ulises Mercado Martinez Revisión Ing. Laura Sandoval Montaño

Transcripción

1 Apuntes de Lengujes Formles pr Compildores Ing. Adrin Ulises Mercdo Mrtinez Revisión Ing. Lur Sndovl Montño 15 de ferero de 2013

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3 Índice generl 1 Lengujes Regulres Alfeto Cden Módulo de un cden Conctención de cdens Propieddes de l conctención Lenguje Expresiones Regulres (ER) Operdores de ls expresiones regulres Equivlencis Ejercicios Construcción de Expresiones Regulres Ejercicios Autómts Finitos No Determinísticos (AFN) Construcción de un AFN pr un ER Ejercicios Autómts Finitos Determinísticos(AFD) Conversión de un AFN un AFD Ejercicio: Minimizción de los AFD Ejercicios Construcción de un AFD pr un ER Ejercicios Grmátics Lires de Contexto Grmátics Clsificción de ls grmátics Producciones de un grmátic Prtes de un producción Derivciones Ejercicios Derivciones por l izquierd Derivciones por l derech Otención de un grmátic ien formd o propi Eliminción de regls innecesris Eliminción de símolos muertos Eliminción de símolos inccesiles

4 4 ÍNDICE GENERAL 2.8 Eliminción de producciones o vcís Ejercicios Eliminción de ciclos y regls unitris Grmátic ien formd o propi Algoritmo pr otener un grmátic propi o ien formd

5 Cpítulo 1 Lengujes Regulres Pr comprender de mner clr lo que es un lenguje desde el punto de vist de l teorí de lengujes formles, es necesrio definir vrios conceptos ntes de entrr de lleno en mteri; sin estos serí muy complicdo explicr qué es un lenguje, pr ello presentmos ls siguientes definiciones. 1.1 Alfeto Un lfeto es un conjunto finito de símolos. Ejemplos de lfetos son los siguientes conjuntos: Σ ={0,1,2,3,...,9}, Σ ={,,c,...,z}. Culquier conjunto puede ser un lfeto, l únic restricción es que se finito. Un lfeto se denot por l letr grieg Σ(Sigm). 1.2 Cden Un cden es culquier secuenci finit de símolos de un lfeto (Σ). Si Σ={0,1} entonces es un cden sore Σ cuy longitud es 8. Pr referirse ls cdens por lo generl se utilizn ls letrs w, x, y, z Módulo de un cden Si x es un cden, decimos que x es el módulo o longitud. L longitud de un cden es el número de elementos que l componen. Ejemplo x = entonces x =4. L cden de longitud cero sore culquier lfeto Σ, se llm cden vcí y se denot por l letr grieg. Decimos que = Conctención de cdens Llmmos conctención l sucesión de cdens; si x y y son dos cdens, l conctención de x con y se denot como xy y l conctención de y con x es yx. L conctención de un mism cden se puede simolizr usndo un superíndice de l siguiente mner: 2 = 5 = Culquier cden donde el superíndice se cero, el resultdo será l cden vcí. 0 = 5

6 6 CAPÍTULO 1. LENGUAJES REGULARES Propieddes de l conctención Son tres ls propieddes de l conctención: L conctención es socitiv (xy)z = x(yz) El elemento identidd de l conctención es l cden vcí : x = x = x El módulo de l cden resultnte es xy = x + y 1.3 Lenguje Un lenguje es un conjunto contle de cdens que se construyen siguiendo ls regls estlecids por un grmátic. Recordemos que un grmátic es un conjunto finito de regls que descrien tod secuenci de símolos que pertenecen l lenguje. L grmátic consiste de un conjunto finito de símolos no terminles(n) y otro de símolos terminles(σ), un suconjunto finito de producciones(p) y de un símolo inicil(s). Su representción es: G(N, Σ, P, S) Llmmos Φ l lenguje vcío y L() l lenguje que contiene sólo l cden vcí es decir {} Algunos ejemplos de lengujes son: 1. Tods ls plrs formds sore Σ={,} donde el número de s es pr. 2. El conjunto { n n es un número primo}. 3. Todos los progrms que se construyen de cuerdo l grmátic de un determindo lenguje de progrmción. Ahor que y semos lo que es un lenguje, vmos presentr ls operciones que podemos relizr con ellos. 1. Unión del lengujes: L 0 L 1, un cden pertenece este lenguje si pertenece L 0 o si pertenece L 1 2. Conctención de lengujes: L 0 L 1, un cden pertenece este lenguje si l primer prte de l cden pertenece L 0 y l segund prte pertenece L 1 3. Cerrdur: L es el conjunto de tods ls cdens que se puedn formr de cero o más conctenciones de este lenguje, incluye l cden vcí 4. Cerrdur positiv: L + es el conjunto de tods ls cdens que se pueden formr de un o más conctenciones de este lenguje y si L contiene l cden vcí, el lenguje resultnte l tiene.

7 1.4. EXPRESIONES REGULARES (ER) Expresiones Regulres (ER) Un expresión regulr dicho en plrs sencills, es un notción medinte l cul se puede representr un lenguje. Formlmente podemos definir un expresión regulr medinte dos regls se.. es un expresión regulr, y L() = { }; el lenguje de l cden vcí.. Si pertenece Σ, entonces es un expresión regulr, y L() = {}, el lenguje que contiene l cden Operdores de ls expresiones regulres. Existen tres operciones ásics que podemos relizr en ls expresiones regulres, ls cules nos permiten construir expresiones regulres más complejs. Sen r,s y t, expresiones regulres, decimos que: 1. t = (r) (s), es l expresión regulr que denot r o s. 2. t =rs, es l expresión regulr que denot r conctend con s. 3. t = r, es l expresión regulr que denot l conctención de cero o más veces r (cerrdur de Kleene), { ɛ, r, rr,..., rrrrrr,...r n } 4. t= r +, es l expresión regulr que denot un o más instncis de r. 5. t= r? es l expresión regulr que denot cero o un instnci de r. 6. t=[...] es l expresión regulr que denot un rngo de elementos ejemplo [-z] es equivlente... z. 7. t = r, denot el negdo de l expresión regulr. Si r = ( c), esto quiere decir que puede ser culquier crácter menos, o c; dicho en otrs plrs ni ni ni c. Un expresión equivlente es [ c] que indic exctmente ni ni ni c. El operdor sólo puede usrse dentro de los corchetes. 8. t=r, es l expresión regulr que denot r. Ejemplos: 1. ( ), denot o, es el lenguje que contiene l cden y l cden. L ={, } 2. (), denot, es el lenguje que contiene l cden. L={}. 3. ( ),denot o o, es el lenguje que contiene ls cdens, y. L= {,, } 4., el lenguje que contiene tods ls cdens de cero o más. L = {,,,...,,..., n } 5. ( ), es el lenguje de cero o más instncis de o, dicho de otr form el lenguje de tods ls cdens formds por y. Otr expresión equivlente es ( ), y que ms expresiones representn l mismo lenguje. 6. () + lenguje que contiene ls cdens formds por un o más instncis de, ejemplos:,,, etc. 7. [-z] +, lenguje que contiene culquier cden formd por un o más letrs minúsculs.

8 8 CAPÍTULO 1. LENGUAJES REGULARES Equivlencis + = ( ) = ( )? = ( ) Ejercicios De ls siguientes expresiones regulres dig en sus propis plrs qué lengujes descrien. 1. ( ) 2. ( )( )( ) ( ) (( )( ) ( )( ) ) Construcción de Expresiones Regulres Ejemplos de cómo construir expresiones regulres. Se dee recordr que un expresión regulr complej se puede construir prtir de expresiones regulres más simples. 1. Tods ls cdens que inicien con un letr seguids de un dígito. Pr construir est expresión regulr primero construimos un que represente ls letrs y otr que represente los dígitos, después ls conctenmos. letr =[A-Z-z] dígito = [0-9] cden = letr dígito 2. Tods ls cdens de solo constntes en minúsculs. letrsm = [-df-hj-ñp-tv-z] cden = letrsm + 3. Tods ls cdens que inicien con un letr conctend con cero o más instncis de números. letr = [-za-z] dígito = [0-9] cden = letr dígito 4. Expresión regulr pr los identificdores en lenguje C letr = [-za-z] letr = (letr ) dígito = [0-9] id = letr ( letr dígito)

9 1.5. AUTÓMATAS FINITOS NO DETERMINÍSTICOS (AFN) 9 5. Expresión regulr pr los números en com flotnte. dígito = [0-9] dígitos = dígito+ número = (dígitos.dígitos.dígitos) (E[+-]?dígitos)? Ejercicios Construy ls expresiones regulres pr: 1. Tods ls cdens de letrs myúsculs, donde ls cinco vocles estén en orden y l vez ls vocles puedn repetirse. 2. Tods ls cdens de letrs con orden lexicográfico scendente. 3. Comentrios que consisten en un cden encerrd entre /* y */, sin ningún */ intermedio, exclusivmente que este prezc entre comills. Ejemplo: /* comentrio sigue */ Ejemplo: /* comentrio */ sigue */ Ejemplo incorrecto: /* comentrio */ sigue */ 4. Tods ls cdens de dígitos con lo sumo un dígito repetido. 5. Tods ls cdens de 0 y 1 con un número pr de 0s e impr de 1s. 6. Tods ls cdens de 0 y 1 que no contienen l sucden Tods ls cdens de dígitos sin ningún dígito repetido. 8. Tods ls cdens de 0 y 1 que contienen 111 pero no Tods ls cdens de y que contienen l sucden. 1.5 Autómts Finitos No Determinísticos (AFN) Un utómt finito (AF) es un modelo mtemático que represent un máquin de estdos que cept cdens de un lenguje. El modelo consiste de un lfeto(σ), un conjunto de estdos (Q) y un conjunto de trnsiciones entre los estdos( ), que dependen de los símolos de l cden de entrd. El utómt finito cept un cden de entrd ω si l secuenci de trnsiciones correspondientes pr los símolos de ω conducen del estdo inicil un estdo de ceptción. Los utómts finitos se pueden clsificr en Determinísticos y No Determinísticos. Un utómt finito no determinístico es un máquin finit de estdos compuest por un tupl de cinco vlores. N=(Q, Σ,, S, F)

10 10 CAPÍTULO 1. LENGUAJES REGULARES donde Q: es el conjunto de estdos de l máquin. Σ: es el lfeto : es l función de trnsición. : QxΣ 2 Q. Esto indic que puede ir de un estdo muchos o de muchos estdos muchos estdos S: es el conjunto de estdos iniciles. F: es el conjunto de estdos de ceptción. Rut: es un secuenci de estdos, prtiendo de culquier estdo hci culquier otro siguiendo ls trnsiciones del utómt. Cden ceptd: un cden es ceptd si existe un rut, prtiendo del estdo inicil, hci un estdo de ceptción. Lenguje que reconoce: es el conjunto de tods ls cdens que nos conducen un estdo finl o de ceptción. En un AFN: pueden existir vris ruts pr un mism cden, si un de ls ruts nos llev l estdo finl, l cden es ceptd. Mcroestdo: es el conjunto de estdos que se lcnzn en cd pso del reconocimiento de un cden. L cden es ceptd si en el mcroestdo se contiene un estdo finl l terminr de leer l cden de entrd. Ejemplos: Q = {0,1,2,3,4}, Σ={,,c} (0,)={1,2}, (1,)={3}, (1,c)={1,4}, (2,)={2,,4}, (2,c)={1}, (3,c)={4} S={0}, F= {3,4} Figure 1.1: Ejemplo de un AFN En l Figur 1.1 se muestr el digrm de trnsiciones de un AFN, pr este utómt podemos oservr que de un mismo estdo pueden existir dos trnsiciones distints etiquetds con un mismo símolo del lfeto; es decir tenemos dos trnsiciones igules hci dos distintos estdos. Por ejemplo l cden x= c, tiene dos posiles ruts pr llegr l estdo finl, 0,1,1,3 ó 0,2,1,3. En l Figur 1.2 se ilustr otro AFN, quí oservmos que puede incluir trnsiciones etiquetds con, pr que el utómt lcnce más de un estdo l vez.

11 1.5. AUTÓMATAS FINITOS NO DETERMINÍSTICOS (AFN) 11 2 c 0 1 c 3 Figur 1.2: Ejemplo de un AFN con trnsiciones Construcción de un AFN pr un ER Semos que un Expresión Regulr represent un lenguje, pero l herrmient que permite reconocer ls cdens que pertenecen l lenguje son los Autómts Finitos (AF). En este prtdo hlremos del proceso de construcción de dich herrmient. Si es un expresión regulr el utómt que l reconoce se muestr en l Figur 1.3 i f Figur 1.3: AFN pr. Pr l expresión regulr, se construye el AFN que se muestr en l Figur 1.4. i f Figur 1.4: AFN pr l expresión regulr Sen r,s,t expresiones regulres. Si r = s t entonces su AFN se construye colocndo prlelos los utómts que reconocen r y s luego se greg un estdo inicil y se une los estdo iniciles nteriores medinte trnsiciones y se greg un nuevo estdo finl que conect con los estdos finles de l mism mner que el estdo inicil, esto se muestr en l Figur 1.5. s i f t Figur 1.5: AFN pr r = s t

12 12 CAPÍTULO 1. LENGUAJES REGULARES Si r = st entonces su AFN se construye colocndo el utómt que reconoce t inmeditmente después del utómt que reconoce s y se trsld el estdo de ceptción l finl. Figur 1.6. i s t f Figur 1.6: AFN pr r = st Por último, si r = s entonces su utómt corresponde l de l Figur 1.7. i s f Propieddes del AFN resultnte. Figur 1.7: AFN pr r = s El AFN tiene como máximo el dole de estdos que el número de símolos y operdores de l expresión regulr El AFN tiene un estdo inicil y un estdo finl Cd estdo tiene tn sólo un trnsición con un símolo del lfeto, o dos trnsiciones. Ejemplo Dd l siguiente expresión regulr, construir su AFN. ( ) De l Figur 1.8 l Figur 1.11 se muestr como se v conformndo el utómt finl Figur 1.8: AFN pr ( )

13 1.5. AUTÓMATAS FINITOS NO DETERMINÍSTICOS (AFN) 13 Figur 1.9: AFN pr ( ) Figur 1.10: AFN pr ( ) Ejercicios Figur 1.11: AFN pr ( ) Pr ls siguientes expresiones regulres encontrr su AFN, siguiendo el procedimiento mostrdo de l Figur 1.8 l Figur ( ) 2. ( ) ( ) 3. ( ) 4. ( )

14 14 CAPÍTULO 1. LENGUAJES REGULARES 1.6 Autómts Finitos Determinísticos(AFD) Un utómt finito determinístico es un máquin finit de estdos compuest por un tupl de cinco vlores. D=(Q, Σ, δ, s, F) donde Q: es el conjunto de estdos de l máquin. Σ: es el lfeto δ: es l función de trnsición. δ : QxΣ Q. Esto quiere decir que con un símolo del lfeto sólo se puede psr otro estdo prtiendo de un estdo fijo. s: es el estdo inicil. F: es el conjunto de estdos de ceptción. Conceptos Rut: es un list de estdos en l que, prtir de cd estdo, se puede llegr l siguiente por medio de un trnsición del utómt. Cden ceptd: si existe un rut del estdo inicil un estdo de ceptción pr un cden, éset es ceptd. Lenguje reconocido por el utómt: es el conjunto de cdens ceptds En un AFD sólo existe un rut posile, es decir, dd un cden, sólo es posile llegr un estdo prtir del estdo inicil. Ejemplos de AFD. strt Figur 1.12: AFD que reconoce ) 2 strt Figur 1.13: AFD que reconoce ( )

15 1.6. AUTÓMATAS FINITOS DETERMINÍSTICOS(AFD) 15 Otr form de representr los AFD, es medinte ls tls de trnsiciones que definen el comportmiento del utómt con respecto los símolos del lfeto, por ejemplo l tl 1.1 muestr el utómt de l Figur ESTADO Es de ceptción No No No Sí Cudro 1.1: AFD pr ( ) Conversión de un AFN un AFD Los AFD poseen el mismo poder de cómputo que un AFN, sin emrgo un AFN no puede implementrse en un progrm de computdor, por ello existen lgoritmos que nos permiten psr de un AFN su equivlente AFD. Ahor veremos cómo relizr l conversión de un AFN un AFD, pr ello tenemos que definir tres funciones que nos permitirán efectur este proceso. Operciones sore los estdos del AFN Operción cerrdur-(s) cerrdur-(t) goto(t,) Descripción Conjunto de estdos del AFN los que se pueden cceder desde el estdo s, sólo con trnsiciones ɛ. Conjunto de estdos del AFN los que podemos llegr desde cierto estdo s que pertenece l conjunto T, sólo con trnsiciones. Conjunto de estdos del AFN pr los cules hy un trnsición sore el símolo, prtir del estdo s en T. Definids ls tres operciones nteriores procedemos presentr el lgoritmo 1. Considerciones pr ejecutr el lgoritmo 1 Todos los estdos en un AFN tienen un trnsición hci si mismos. El estdo inicil del AFD es el estdo otenido prtir de cerrdur-(s 0 ) donde S 0 es el conjunto de estdos iniciles. Los estdos de ceptción del AFD son quellos estdos que contienen l menos uno de los estdos de ceptción del AFN.

16 16 CAPÍTULO 1. LENGUAJES REGULARES Algoritmo 1 Conversión de un AFN un AFD Entrd: Un Autómt Finito No Determinístico. Slid: Un Automt Finito Determinístico equivlente. 1: Inicir el AFD con cerrdur-(s 0 ) y gregrlo l list de estdos por nlizr (D estdos ). 2: mientrs (Exist un estdo q sin mrcr en l list D estdos ) hcer 3: mrcr q en l list; 4: pr (cd símolo en Σ) hcer 5: Q = cerrdur-(goto(q,)); 6: si (Q no est en D estdos ) entonces 7: Agregr Q l list de estdo por nlizr. 8: fin si 9: Agregr trnsiciones[q,]=q; 10: fin pr 11: fin mientrs Ejemplo Vmos mostrr cómo funcion el lgoritmo 1 pr el AFN de l Figur Figur 1.14: AFN pr l ER ( ). Inicimos con l {cerrdur (0)}, est operción l podemos oservr en l Figur 1.15.

17 1.6. AUTÓMATAS FINITOS DETERMINÍSTICOS(AFD) Figur 1.15: cerrdur-({0}) Decimos que A= cerrdur (0) = {0,1,2,4,7 } y D estdos = {A} Tenemos que clculr l cerrdur (goto(a, )). Vmos dividir el cálculo en dos psos, primero goto(a, ).Figur Figur 1.16: goto(a, ) Los estdos en color ros mostrdos en l Figur 1.16, son los estdos los que llegmos usndo trnsiciones etiquetds con prtir del estdo A Clculmos l cerrdur ({3,8}).Figur 1.17.

18 18 CAPÍTULO 1. LENGUAJES REGULARES Figur 1.17: cerrdur-({3,8}) B = cerrdur (goto(a, )), y Trnsiciones[A, ] = B El pso siguiente es clculr cerrdur (goto(a, )). dividimos en dos psos. De igul form que el nterior lo Clculmos goto(a, ). Figur Figur 1.18: goto(a, ) Cerrdur-({5}). Ver Figur 1.19.

19 1.6. AUTÓMATAS FINITOS DETERMINÍSTICOS(AFD) Figur 1.19: cerrdur-({5}). B. C = cerrdur (goto(a, )) ={1,2,4,5,6,7} y Trnsiciones[A, ] = C. Clculmos l cerrdur (goto(b, )). goto(b, )={3, 8} y l cerrdur de esto nos d el estdo B. Agregmos Trnsiciones[B, ] = Clculemos l cerrdur (goto(b, )). goto(b, ).Recordndo que B son los estdos en color ros y ellos con trnsiciones etiquetds con nos llevrán los estdos 5 y 9. Ver Figur Figur 1.20: goto(b, ) L cerrdur-({5, 9}) se muestr en l Figur 1.21.

20 20 CAPÍTULO 1. LENGUAJES REGULARES Figur 1.21: cerrdur-({5, 9}) D = cerrdur (goto(b, ))={1,3,4,5,6,7,9} y Trnsiciones[B, ]= D. Clculemos hor cerrdur (goto(c, )). Primero l función goto(c, ), que nos llev los estdos 3 y 8. Ver Figur ɛ Figur 1.22:.goto(C, ) L cerrdur-({3, 8}) = B, y Trnsiciones[C, ]=B Vmos clculr cerrdur-(goto(c, )). Primero goto(c, ) nos llev l estdo 5. Lo oservmos en l Figur 1.23.

21 1.6. AUTÓMATAS FINITOS DETERMINÍSTICOS(AFD) Figur 1.23: goto(c, ) L cerrdur-({5}) = C y Trnsiciones[C, ] = C. Psmos clculr los movimientos del estdo D, cerrdur-(goto(d, )). Clculmos goto(d, )= {3,8}. Se muestr en l Figur Figur 1.24: goto(d, ) Semos que l cerrdur-({3, 8})= B, solo flt gregr Trnsiciones[D, ]= B. Continumos con cerrdur-(goto(d, )). En l Figur 1.25 oservmos goto(d, ) = {5,10}

22 22 CAPÍTULO 1. LENGUAJES REGULARES Figur 1.25: goto(d, ) En l Figur 1.26 vemos l cerrdur-({5, 10}) Figur 1.26: cerrdur-({5,10} E= cerrdur-(goto(d, )) = {1,3,4,5,6,7,10} y Trnsiciones[ D, ]=E Vmos trjr hor con el estdo E. Clculmos cerrdur-(goto(e, )). En l Figur 1.27 vemos que el resultdo de goto(e, ) ={3,8} Figur 1.27: goto(e,)

23 1.6. AUTÓMATAS FINITOS DETERMINÍSTICOS(AFD) 23 L cerrdur-({3, 8}) = B y Trnsiciones[E, ]=B. Finlmente clculmos cerrdur-(goto(e, )). Hcemos el cálculo de goto(e, ) = {5} que se muestr en l Figur Figur 1.28: goto(e, ) L cerrdur-(5) = C y Trnsiciones[E, ]= C Finlmente mostrmos el AFD resultnte en l Figur C A B D E Figur 1.29: Autómt Finito Determinístico pr ( )

24 24 CAPÍTULO 1. LENGUAJES REGULARES Ejemplo: Pr el utómt de l Figur 1.30 clculr el AFD equivlente. 4 letr 5 letr digito 7 Figur 1.30: Aútomt No Determinísitco pr l Expresión Regulr letr(letr digito) Inicir con l cerrdur-(0) = {0} es decir utilizndo sólo trnsiciones- podemos lcnzr prtir del estdo inicil 0 el mismo estdo inicil; lo renomrmos como A y D estdos ={A}. 1. Pr el estdo A B=cerrdur-(goto(A, letr))=cerrdur-({1})={1,2,3,4,6,9} D estdos = {A,B} y trnsiciones[a,letr] = B A no tiene trnsiciones con digito por lo cul no clculmos cerrdur-(goto(a, digito)); es decir cerrdur-(goto(a, digito)) = Φ 2. Pr el estdo B. C = cerrdur-(goto(b, letr)) = cerrdur-({5}) = { 3, 4, 5, 6, 8, 9 } D estdos ={A,B, C} y trnsiciones[b, letr] = C D = cerrdur-(goto(b, digito))= cerrdur-({7} ) = { 3, 4, 6, 7, 8, 9 } D estdos = {A,B,C, D} y trnsiciones[b, digito] = D 3. Pr el estdo C. cerrdur-(goto(c, letr))=cerrdur-({5}) = C, éste estdo y est en D estdos por lo cul no se greg; pero si se greg trnsiciones[c,letr]=c cerrdur-(mover(c, digito)=cerrdur-({7}) = D. Este estdo y est en el conjunto de estdos y no se greg; incluimos lo siguiente: trnsiciones[c,digito] = D 4. Pr el estdo D. cerrdur-(goto(d, letr))= cerrdur-({5}) = C. Este estdo y está en D estdos por lo cul no se greg pero trnsiciones[d,letr]=c

25 1.6. AUTÓMATAS FINITOS DETERMINÍSTICOS(AFD) 25 cerrdur-(goto(d, digito)= cerrdur-({7}) = D. Este estdo y est en el conjunto de estdos y no se greg, pero si gregmos trnsiciones[d,digito] = D Finlmente en l Figur 1.31 se muestr el utómt determinístico. letr letr C A letr B digito letr digito D digito Figur 1.31: Autómt Finito Determinístico pr letr(letr digito) ESTADO letr digito A A Φ B C D C C D D C D Tl 2. AFD pr letr(letr digito) L Tl 2 muestr ls trnsiciones del AFD de l Figur 1.30 pr l expresión regulr letr(letr digito) Ejercicio: Trnsforme el utómt de l Figur 1.32 en un AFD digito Figur 1.32: AFD pr [+ ]?digito +

26 26 CAPÍTULO 1. LENGUAJES REGULARES Minimizción de los AFD Algoritmo 2 Algoritmo pr minimizr un AFD. Entrd: Un Autómt Finito Determínistico Slid: Un Autómt Finito Determinístico Mínimo equivlente. 1: Formr dos grupos, uno con los estdos de no ceptción y otro con los de ceptción. 2: repetir 3: Prticionr G en sugrupos, dos estdos s y t están en el mismo sugrupo, si y solo si, pr todos los símolos de entrd, los estdos s y t tienen trnsiciones hci los mismos sugrupos. 4: Sustituir G por los sugrupos formdos. 5: hst que no se generen nuevos sugrupos. Considerciones pr el lgoritmo 2 El estdo inicil del AFD mínimo es el representnte del grupo que contiene l estdo inicil del AFD originl. Los estdos de ceptción del AFD mínimo son los representntes de los grupos que contienen l menos un estdo de ceptción del AFD originl. Ejemplo: Otener el utómt mínimo del siguiente utómt que se represent en l tl siguiente. ESTADO Es de ceptción A B C No B B D No C B C No D B E No E B C Sí Tl 3. AFD pr ( ) Dividimos nuestro utómt en dos grupos, el de los estdos de ceptción y de los estdos de no ceptción y clculmos que grupo se dirigen con los símolos del lfeto usndo l tl originl; pero en lugr de notr los estdos notmos el grupo l que pertenecen. Grupo ESTADO A E1 E1 E1 B E1 E1 C E1 E1 D E1 E E E E1 E1 Tl 4. Prtición del AFD en dos grupos los de ceptción y no ceptción De l Tl 4 oservmos que del grupo E1 podemos seprr el estdo D deido que un de sus trnsiciones no es idéntic ls de los otros estdos.

27 1.6. AUTÓMATAS FINITOS DETERMINÍSTICOS(AFD) 27 Grupo ESTADO A E1 E1 E1 B E1 E2 C E1 E1 E2 D E1 E E E E1 E1 Tl 5. Segund iterción en el proceso de minimizción. De l Tl 5 vemos que hor del grupo E1 podemos seprr el estdo B, pues no cumple con los requisitos pr seguir en este grupo. Grupo ESTADO E1 A E3 E1 C E3 E1 E3 B E3 E2 E2 D E3 E E E E3 E1 Tl 6. AFD mínimo pr ( ) En este punto y no podemos dividir más los grupos, por lo tnto el utómt de l Tl 6, y es el mínimo. En l Figur 1.33 mostrmos el digrm de trnsiciones el AFD mínimo clculdo en este ejemplo. E1 E3 E2 E Figur 1.33: AFD mínimo pr ( ) Ejercicios Minimizr los siguientes utómts utilizndo el lgoritmo El AFD de l Figur El AFD otenido del AFN de l Figur 29.

28 28 CAPÍTULO 1. LENGUAJES REGULARES 1.7 Construcción de un AFD pr un ER. En est sección vmos hlr sore un lgoritmo que otiene un AFD mínimo prtir de l expresión regulr sin necesidd de construir el AFN, pr ello se us un operdor (punto); que gener elementos l colocrlo en diferentes posiciones de l expresión regulr, los cules serán l se pr l otención del AFD. Ejemplo: Se r= letr digito, los elementos que se pueden generr con el operdor punto son los siguientes. letr digito letr digito letr digito Un conjunto de elementos, es un conjunto formdo por distintos elementos como los nteriores. Un elemento se puede clsificr en ásico y no ásico, dependiendo de los operdores plicdos ls expresiones regulres que prticipn en él. Un elemento ásico es quel que tiene l form α γ donde Σ. Los elementos no ásicos son quellos que contienen lguno de los operdores de ls expresiones regulres. En l Tl 7 se muestrn los elementos no ásicos y sus trnsformciones. Elementos no ásicos Trnsformciones α (β)γ α( β)γ α(β )γ α(β) γ α (β) γ α( β) γ α(β) γ α(β ) γ α(β) γ α( β) γ α (β) + γ α( β) + γ α(β ) + γ α(β) + γ α( β) + γ α (β)?γ α(β)? γ α( β)?γ α(β )?γ α(β)? γ α (β 1... β i... β n )γ α( β 1... β i... β n )γ α(β 1... β i... β n )γ α(β 1... β i... β n )γ α(... β i...)γ α(... β i...) γ Tl 7. Elementos no ásicos y sus trnsformciones Vmos presentr hor ls dos funciones(cerradura y goto) que nos permitirán ejecutr el lgoritmo 5 presentdo más delnte, pr otener el AFD.

29 1.7. CONSTRUCCIÓN DE UN AFD PARA UNA ER. 29 Función CERRADURA Algoritmo 3 Algortimo de l función CERRADURA(I) Entrd: Un conjunto de elementos I Slid: Un conjunto de elementos cerrdur 1: C=I 2: V = {} 3: mientrs (exist un elemento T no ásico en C) hcer 4: C =C-{T} 5: V =V {T} 6: C = C trnsformciones(t)-v 7: fin mientrs 8: devolver C [H] El lgoritmo 3 descrie cómo otener todos los elementos que pertenecen un estdo del AFD, usndo movimientos ; función de CERRADURA. Est función solo recie un rgumento que es el conjunto de elementos l que hy que clculr l cerrdur. Función goto Algoritmo 4 Algoritmo pr l función goto(i,x) Entrd: Un conjunto de elementos I y un símolo X Slid: Un conjunto de elementos 1: Inicir J = {} 2: pr (cd elemento α Xγ en I) hcer 3: gregr en J αx γ 4: fin pr 5: devolver CERRADURA(J) El lgoritmo 4 nos sirve pr conocer ls trnsiciones entre los estdos del AFD; función goto. Que recie dos prámetros el primero índic el conjunto de elementos, y el segundo índic el símolo con el que nos queremos mover del estdo.

30 30 CAPÍTULO 1. LENGUAJES REGULARES Algoritmo 5 Algoritmo pr otener un AFD pr un ER Entrd: Un Expresión Regulr (ER) Slid: Un Autómt Finito Determinístico. 1: Inicir C= {CERRADURA( ER)} 2: repetir 3: pr (cd estdo I en C) hcer 4: pr (cd símolo X después del punto) hcer 5: si (goto(i,x) no está en C entonces 6: gregr goto(i,x) 7: fin si 8: fin pr 9: fin pr 10: hst que (no se greguen más estdos) Considerciones pr el lgoritmo 5 El estdo inicil del utómt es el que contiene.er Los estdos de ceptción son quellos que contienen l elemento ER. Ls trnsiciones entre estdos están dds por l función goto(i,x). Ejemplo: Se r= letr digito C = {CERRADURA( letr digito)} ={{ letr digito}} letr digito Figur 1.34: Estdo inicil del AFD pr letr digito Como letr está después del punto es el elemento con el que podemos slir de ese estdo es decir goto(i 0, letr). goto(i 0,letr) = { letr digito} letr digito letr letr digito Figur 1.35: Primeros dos estdos del AFD pr letr digito

31 1.7. CONSTRUCCIÓN DE UN AFD PARA UNA ER. 31 Del nuevo estdo podemos slir con digito ddo que se encuentr después del punto; es decir, goto(i 1, digito) goto(i 1, digito)={ letr digito } letr digito letr digito letr digito letr digito Figur 1.36: AFD pr letr digito Como en este último estdo el punto se encuentr l finl de l expresión regulr por ls considerciones del lgoritmo 5 decimos que es un estdo de ceptción. Ver Figur Ejemplo: Se r = ( cd te) ESTADO Elementos Trnsiciones Es de ceptción 0 ( cd te) goto(0,)=1 No 1 ( cd te) goto(1,)=2 No ( cd te) ( cd te) goto(1,t)=3 2 ( cd re) goto(2,)=4 No ( cd te) goto(2,c)=5 3 ( cd t e) goto(3,e)=6 No 4 ( cd te) Sí 5 ( c d re) goto(5,d)=6 No 6 ( cd te) goto(6,)=4 No Tl 8. AFD pr ( cd te) Ce clrr que cundo en un estdo dos o ms elementos tienen después del punto un mismo símolo, pr clculr el nuevo estdo se tomn en cuent todos estos elementos. En l Figur 1.37 se puede oservr el AFD correspondiente l AFD de l Tl 8. 3 e t 4 d 2 c 5 Figur 1.37: AFD pr l expresión regulr ( cd te)

32 32 CAPÍTULO 1. LENGUAJES REGULARES Ejemplo: Se r=( ) ESTADO Elementos Tnsiciones Es de ceptción 0 ( ) got(0,)=1 No ( ) goto(0,)=0 ( ) 1 ( ) goto(1,)=1 No ( ) ( ) goto(1,)=2 ( ) 2 ( ) goto(2,)=1 No ( ) goto(2,)=3 ( ) ( ) 3 ( ) goto(3,)=1 Sí ( ) goto(3,)=0 ( ) ( ) Tl 9. AFD pr ( ) Figur 1.38:. AFD mínimo pr ( ) Ejercicios Usndo el lgoritmo 5 oteng el AFD de ls siguientes expresiones regulres. 1. ( ) 2. ( )( )( ) 3.

33 1.7. CONSTRUCCIÓN DE UN AFD PARA UNA ER ( ) ( ) 5. ( ) (( )( ) ( )( ) )

34 34 CAPÍTULO 1. LENGUAJES REGULARES

35 Cpítulo 2 Grmátics Lires de Contexto 2.1 Grmátics. Como vimos en el cpítulo nterior un grmátic es un conjunto finito de regls que descrien tods ls secuencis de símolos que pertenecen un lenguje Clsificción de ls grmátics. Chomsky clsificó ls grmátics en cutro grndes grupos(g 0, G 1, G 2, G 3 ), cd uno de los cules incluye los siguientes de cuerdo l siguiente regl G 3 G 2 G 1 G 0 Grmátics tipo 0 o Estructur de frse En este tipo de grmátics no hy restricción en su producciones y tienen l form siguiente. Donde: α (Σ N) + β (Σ N)* α β Es decir, que l prte izquierd de un regl puede ser un cden de símolos culesquier de N y Σ, y l prte derech lo mismo y demás puede ser nul. Grmátics tipo 1 o Dependientes del contexto Ls regls de este tipo de grmátic presentn l siguiente form: Donde: α y β (Σ N) A N γ (Σ N) + αaβ αγβ El contexto de l grmátic está definido por α y β 35

36 36 CAPÍTULO 2. GRAMÁTICAS LIBRES DE CONTEXTO Grmátics del tipo 2 o Lires de contexto. L form de ls producciones pr este tipo de grmátic es: Donde: A N α (Σ )N A α Es decir, el conjunto P es un suconjunto del producto crtesino N x (N Σ) Grmátics del Tipo 3 o Regulres. Este tipo de grmátics son ls ms sencills y sus regls de producción solo pueden tener un de ls dos siguientes forms. Donde: A y B N Σ A B A Grmátics Lires de Contexto(GLC) A trvés de ls Grmátics Lires de Contexto podemos descriir l sintxis de los lengujes de progrmción, por ello es importnte comprender en qué consiste y cómo podemos usrl. Teniendo clros los conceptos ásicos será más fácil comprender el desrrollo de nlizdores sintácticos. Formlmente un grmátic lire de contexto (GLC) es un cuádrupl Donde: G = (N, Σ, P, S) N es un conjunto finito de símolos no terminles. Σ es un conjunto de símolos terminles; es decir N Σ= Φ. P es un suconjunto finito de Nx(N Σ). Ls regls de producción de l grmátic. S es el símolo inicil de l grmátic y pertenece N. En generl se usn letrs myúsculs pr representr los símolos no terminles, letrs minúsculs pr los símolos terminles y ls letrs griegs minúsculs descrien secuencis de terminles y no terminles.

37 2.2. PRODUCCIONES DE UNA GRAMÁTICA Producciones de un grmátic Un producción de un GLC l escriimos como A α Utilizmos un rr verticl pr indicr un revición en ls producciones de l grmátic que tienen el mismo ldo izquierdo, por ejemplo podemos reescriirls como: A α 1 A α 2 A α Prtes de un producción A α 1 α 2 α 3 Llmmos encezdo l prte que se encuentr del ldo izquierdo de l flech, y cuerpo de l producción todo lo que se encuentr del ldo derecho, l flech l leemos como produce. Ejemplo: Grmátic lire de contexto (GLC). Se G un grmátic lire de contexto representd como sigue Ls prtes de l grmátic son: N = {E,T,F} Σ = {+,-,*,/,(,),i} E E + T E T T T T F T/F F F (E) i P = { E E + T, E E T, E T, T T F, T T/F, T F, F (E), F i } S = S 2.3 Derivciones Antes de definir lo que es un derivción necesitmos dos conceptos importntes: sentenci es un cden formd únicmente por símolos terminles, y un form sentencil es un cden compuest por símolos terminles y no terminles. Llmmos derivción l proceso de otener un sentenci prtir del símolo inicil de un grmátic; en cd pso de l derivción sólo se puede sustituir un símolo no terminl por el cuerpo de un de sus producciones. Sen α y β dos forms sentenciles, decimos que β es derivle de α en un solo pso y lo denotmos de l siguiente mner:

38 38 CAPÍTULO 2. GRAMÁTICAS LIBRES DE CONTEXTO α β Si β se puede otener de α en cero o más psos de derivción, lo denotmos de l siguiente mner: α β Tmién si β se otiene de α en uno o más psos de derivción, lo denotmos de l siguiente mner: α + β Ejemplo Se grmátic S S derivr. Comenzmos prtir del símolo inicil. S S S S En los tres primeros psos plicmos S S y en último de los psos S ɛ. Decimos que l sentenci es derivle en cutro psos.podemos generlizr que pr derivr n n se requieren n+1 psos. Ejemplo L grmátic siguiente descrie el lenguje de tods ls cdens que son plíndromos, sore el lfeto {,} S S S Ls primers dos producciones genern culquier número lncedo de o, ls siguientes tres producciones son usds pr terminr ls derivciones. Además S o S son usds pr generr ls cdens impres de o como plíndromos. N = { S } Σ = {, } P = { S S, S S, S, S, S } S=S Derivr l sentenci. S S S S S

39 2.3. DERIVACIONES Ejercicios 1. Derivr ls siguientes cdens usndo l grmátic S S.. 2. Derivr ls siguientes sentencis usndo l grmátic S S S.. c Derivciones por l izquierd Decimos que un derivción es por l izquierd cundo en cd pso de l derivción seleccionmos sustituir el no terminl que se encuentr más l izquierd. Ejemplo: Se l grmátic G A (A)A Derivr por l izquierd ((())) A (A)A ((A)A)A (((A)A)A)A ((()A)A)A ((())A)A ((()))A ((())) Ejemplo: Se l grmátic G E E + E E E (E) Derivr *+(*) por l izquierd. E E + E E E + E E + E + E + (E) + (E E) + ( E) + ( ) Derivciones por l derech Un derivción es por l derech cundo en cd uno de los psos de l derivción siempre se sustituye el no terminl que se encuentr más l derech. Ejemplo: Se l grmátic G A (A)A Derivr por l derech l sentenci ((())). A (A)A (A) ((A)A) ((A)) (((A)A)) (((A))) ((()))

40 40 CAPÍTULO 2. GRAMÁTICAS LIBRES DE CONTEXTO Ejemplo: Se l grmátic G E E + E E E (E) Derivr *+(*) por l derech. E E + E E + (E) E + (E E) E + (E ) E + ( ) E E + ( ) E + ( ) + ( ) 2.4 Otención de un grmátic ien formd o propi. Por lo regulr l construir l grmátic que descrie l sintxis de un lenguje de progrmción se otiene un grmátic que no es l decud, deido que puede tener ciclos innecesrios o símolos que no son útiles, por est rzón se presentn un serie de lgoritmos que nos conducirán trvés del cmino pr otener un grmátic ien formd o propi y que pued ser utilizd pr plicr los lgoritmos necesrios en l progrmción de compildores. 2.5 Eliminción de regls innecesris Tod regl de producción de l form A A es un regl innecesri que puede ser fácilmente elimind sin que fecte l grmátic. 2.6 Eliminción de símolos muertos Un símolo muerto es quel símolo no terminl tl que no exist A α, donde α Σ En otrs plrs un símolo muerto es quel símolo no terminl que no tiene producciones en donde el cuerpo de l producción sólo conteng símolos terminles. Algoritmo 6 Algoritmo de Eliminción de símolos muertos Entrd: Un grmátic G con símolos muertos Slid: Un grmátic G equivlente sin símolos muertos. 1: Inicir N = {} y P ={} 2: repetir 3: Agregr N todo no terminl A tl que A α, y α (Σ N ) 4: hst que Y no se puedn gregr más símolos N 5: Agregr P tods ls regls de P cuyos símolos Σ N 6: si S N entonces 7: ñdirlo. 8: fin si

41 2.7. ELIMINACIÓN DE SÍMBOLOS INACCESIBLES. 41 Ejemplo Se l siguiente grmátic: S A B D A A A B ce B C d E D D Pso 1. N ={} y P ={} Repetir N ={B} por l regl B puesto que Σ N = {B, C}, C por l regl C d N = {B,C,E}. E por E N = {B,C,E, S}. S por S B N = {B,C,E,S,A}. A por A B y A ce Agregr ls regls P P = { S A B, A A A B ce,b,c d, E } 2.7 Eliminción de símolos inccesiles. Un símolo X(terminl o no terminl) es inccesile si no existe ningun derivción tl que S αxβ con α, β (Σ N )* Algoritmo 7 Algoritmo pr eliminr símolos inccesiles Entrd: Un Grmátic G Slid: Un grmátic G equivlente sin símolos inccesiles 1: Inicir N = {S}, P y Σ vcíos. 2: repetir 3: pr todo ( A y A α) hcer 4: Agregr A α en P 5: Agregr todos los no terminles B en α N 6: Agregr todos los terminles en α Σ 7: fin pr 8: hst que No se greguen más regls de producción P

42 42 CAPÍTULO 2. GRAMÁTICAS LIBRES DE CONTEXTO Ejemplo: Se l siguiente grmátic S A B A A A B ce B C d E Inicir N ={S} P = {} y Σ ={} Agregr símolos y regls P = { S A B}, N ={S,A,B}, Σ ={} P = { S A B, A A A B ce}, N ={S,A,B,E}, Σ ={,,c} P = { S A B, A A A B ce, B }, N ={S,A,B,E}, Σ ={,,c} P = { S A B, A A A B ce, B, E ɛ }, N ={S,A,B,E}, Σ ={,,c} 2.8 Eliminción de producciones o vcís Ls regls de l form A se conocen como producciones-. Los símolos no terminles tl que A, se conocen como símolos nulles. Este es el lgoritmo pr encontrr los no terminles nulles. Algoritmo 8 Detección de no terminles nulles Entrd: Un Grmátic G Slid: Un conjunto H con los símolos nulles 1: H = {} 2: pr todo (producción A ɛ) hcer 3: H = H {A} 4: fin pr 5: mientrs (H no cmie) hcer 6: pr todo (producción B A 1 A 2...A n, A i H) hcer 7: H= H {B} 8: fin pr 9: fin mientrs Cundo y hemos clculdo todos los símolos nulles, podemos hor plicr el lgoritmo pr eliminr ls producciones.

43 2.8. ELIMINACIÓN DE PRODUCCIONES O VACÍAS 43 Algoritmo 9 Eliminción de producciones- 1: Eliminr tods ls producciones vcís (A ɛ) 2: pr todo (Producción de l form B x 1 x 2...x n )) hcer 3: Agregr B y 1 y 2...y n donde ls y i stisfcen 4: y i = x i si x i no es nulle 5: y i = x i o si x i es nulle. 6: fin pr Ejemplo: Se l grmátic siguiente Otención de los nulles S A B A A A BEE B B E H= {B, E} por ls producciones vcís que tienen. Ahor por l líne 6 del lgoritmo 6 gregmos H H={B, E, A, S} por ls producciones A BEE y S B Eliminción de ls producciones- Quitmos ls producciones vcís. S A B A A A BEE B B Sustituimos ls regls S A B A A A BEE EE BE B E B B Si l grmátic gener l cden vcí tmién es necesrio gregr un producción-ɛ, est producción solo puede estr relciond con el símolo inicil de l grmátic, si y solo si, el símolo inicil no prece en el cuerpo de ningun de ls producciones.

44 44 CAPÍTULO 2. GRAMÁTICAS LIBRES DE CONTEXTO Ejemplo: Dd l siguiente grmátic vmos eliminr ls producciones- S (A), A (A), A AA, A Cálculo de H Pr este ejemplo H ={A} Sustituir ls regls. S (A), S (), A (A), A (), A AA, A A Semos que A A se elimin de l grmátic porque es un regl innecesri Ejercicios. Eliminr ls producciones- de ls siguientes grmátics 1. S U V, U T U T T, V T V T T, T T T T T 2. S S A, A 3. S S A, A 4. S Sc B, B Bc 2.9 Eliminción de ciclos y regls unitris Un regl unitri o de ciclo es un regl de tipo A B con A y B N, este tipo de regls es necesrio eliminrls y que pueden generr ciclos indefinidos. El siguiente lgoritmo muestr como eliminrls. Algoritmo 10 Elimnción de ciclos Entrd: Un grmátic G sin producciones- Slid: Un grmátic G sin ciclos. 1: pr todo A N hcer 2: U(A) = {B N A B solo con producciones unitris} 3: fin pr 4: Inicir P ={} 5: pr (cd A N y cd B U(A) hcer 6: pr (cd regl B α no unitri) hcer 7: ñdir A α P 8: fin pr 9: fin pr

45 2.9. ELIMINACIÓN DE CICLOS Y REGLAS UNITARIAS 45 Ejemplo: Dd l grmátic siguiente plicr el lgoritmo de eliminción de ciclos y regls unitris. Cálculo de los conjuntos U S A C E BE A A B B S C B E c Siempre un No terminl estrá en su propio conjunto U U(S) ={ S, C, E, B} U(A) = { A } U(B) = {B, S, C, E} U(C) = { C, B, S, E} U(E) = {E} Creción de P Pr S: S A BE por S nd por C S c por E S B por B Pr A: A A por A Pr B: B B por B B A BE por S nd por C B c por E Pr C: nd por C C B por B C A BE por S C c por E Pr E: E c por E Finlmente G qued de l siguiente mner. S A BE c B

46 46 CAPÍTULO 2. GRAMÁTICAS LIBRES DE CONTEXTO A A B A BE c B C A BE c B E c Clrmente se puede ver que el no termin C es un símolo inccesile por lo cuál se puede eliminr y l grmátic resultnte es l siguiente. S A BE c B A A B A BE c B E c 2.10 Grmátic ien formd o propi Un grmátic G= (N, Σ, S, P) se dice ien formd si: 1. No tiene símolos inccesiles. 2. No tiene símolos muertos. 3. No tiene regls innecesris. 4. No contiene regls de producciones-. 5. No contiene regls unitris. 6. En cso de que conteng l regl S ɛ, tmién l grmátic G = (N,Σ, S, P ) con P = P- {S } es un grmátic ien formd Algoritmo pr otener un grmátic propi o ien formd Algoritmo 11 Algoritmo pr un grmátic propi o ien formd Entrd: Un grmátic G Slid: Un grmátic G ien formd. Eliminr regls innecesris. Eliminr regls de producciones-. Si G contiene S ɛ, plicr el lgoritmo sin est regl y gregrl l finl del proceso. Eliminr ls regls unitris. Eliminr los símolos muertos. Eliminr los símolos inccesiles.

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