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Transcripción

1 ALGORITMOS Y ESTRUCTURAS DE DATOS Convoctori de junio Curso 2000/2001 Soluciones propuests 1. (1 punto) L complejidd temporl de un cierto lgoritmo, en términos del tmño del prolem n, viene dd por l siguiente recurrenci: n = 0 T (n) = n = 1, T (n 1)+1 T (n 2) n > 1 con, > 0. Oténgnse los 10 primeros términos, es decir, T (n) pr n = 0, 1,..., 9, y después de nlizr el resultdo y rzonndo l respuest dígse cuál es el orden de complejidd de T (n) en notción Θ( ). Solución propuest T (0) = T (5) = T (1) = T (6) = T (2) = 1+ T (7) = 1+ T (3) = T (4) = = 1++ = T (8) = 1++ = (1+)(1+) (1+) = 1+ T (9) = 1+ = = Aprece un secuenci de cinco vlores que se repiten periódicmente. Si demás tenemos en cuent que, > 0, dichos vlores son finitos y estrictmente positivos. Por tnto, si llmmos: m = Minimo,, 1 +, 1 + +, 1 + } se tiene que: sí que, por definición, T (n) Θ(1). M = Mximo n n,, 1 +, 1 + +, 1 + } T (n) M T (n) O(1) T (n) m T (n) Ω(1) = 2. (3 puntos) Disponemos de un conjunto T de n tornillos, con n 1, de tmños diferentes, y un conjunto R de n tuercs de tmños tmién diferentes. Cd tornillo encj exctmente en un tuerc. Se dese emprejr cd tornillo con su tuerc correspondiente, teniendo en cuent que no se pueden comprr los tornillos entre sí, ni ls tuercs entre sí. Pr concretr, l solución consistirá en reordenr los dos vectores T y R, de mner que l finl cd tornillo T [i] encje exctmente en l tuerc R[i], pr i = 1, 2,..., n. () (2 puntos) Diseñr un lgoritmo Divide y Vencerás pr resolver el prolem. Utilícense los tipos TORNILLO y TUERCA, sí como sends vriles gloles T y R, definids como sigue: T: rry[1..max] de TORNILLO R: rry[1..max] de TUERCA

2 siendo MAX un constnte tl que n MAX. Asímismo será necesrio utilizr l función enrosc(), de complejidd temporl Θ(1): función enrosc(t: TORNILLO, r: TUERCA): entero que devuelve -1 si el tornillo t es más grnde que l tuerc r, 0 si t y r encjn perfectmente, y 1 si t es más pequeño que r. () (1 punto) Estudir l complejidd temporl del lgoritmo diseñdo en el prtdo nterior pr los csos mejor y peor. Sugerenci: l estrtegi de resolución es similr l del lgoritmo quicksort, pero nótese que pr estlecer un prtición en el conjunto de tornillos h de utilizrse un tuerc como elemento pivote, y vicevers. Solución propuest () Como se dice en el enuncido, se vn considerr dos vriles gloles, T y R, pr representr tornillos y tuercs, de modo que el lgoritmo sólo v necesitr dos rgumentos enteros, izq y der, que definirán el intervlo de ordención. Se supone que 1 izq der n MAX. Asimismo se prte de l hipótesis de que en el intervlo [izq,der] cd uno de los tornillos encj exctmente con un de ls tuercs. El lgoritmo no devolverá ningún vlor; su único efecto será ordenr los tornillos y tuercs en el intervlo [izq,der]: procedimiento ordenr TR (izq: entero, der: entero) El método comienz ordenndo los tornillos en se un de ls tuercs del intervlo, siguiendo pr ello un esquem muy similr l quicksort: i izq j der r R[(i+j) div 2] /* tuerc pivote */ repetir mientrs enrosc (T[i],r)=1 hcer i i+1 fmientrs mientrs enrosc (T[j],r)=-1 hcer j j-1 fmientrs si i<j entonces t T[i] T[i] T[j] T[j] t fsi hst i=j Hy vrios cmios importntes con respecto l quicksort: ls comprciones se relizn trvés de l función enrosc, y que no podemos comprr tornillos con tornillos, ni tuercs con tuercs, de modo que se utiliz un tuerc como pivote pr ordenr los tornillos, el intercmio sólo se produce cundo i j (no cundo i=j); si mos índices lcnzn el mismo vlor sólo puede ser porque mos puntn l tornillo que encj exctmente en l tuerc pivote, trs el intercmio no se modificn los índices; esto signific que el tornillo que encj con l tuerc pivote no v quedr en el interior de un de ls regiones de l prtición, sino que, un vez encontrdo, es sometido sucesivos intercmios, sltndo de un región otr, hst que finlmente ocup justo l posición fronteriz, precismente, el ciclo repetir-hst termin cundo i=j, es decir, cundo mos índices señln l posición del tornillo que encj exctmente en l tuerc pivote, quedndo los tornillos más pequeños en el suintervlo [izq,i-1] y los tornillos más grndes en el suintervlo [i+1,der]. Trs ordenr el intervlo [izq,der] de tornillos, los rrys T y R quedn como sigue:

3 T tornillos tornillos... menores myores... R que T[i] izq i 1 i+1 der tuercs desordends, tuercs desordends,... menores y myores menores y myores... que R[(izq+der) div 2] i que T[i] que R[(izq+der) div 2] izq (izq+der) div 2 der Como vemos, el intervlo [izq,der] del rry de tuercs continú desordendo. L siguiente operción consistirá precismente en generr un prtición en dicho intervlo, utilizndo un cierto tornillo como pivote, pero qué tornillo? Si queremos utilizr el mismo lgoritmo recursivmente, necesitmos generr en el intervlo [izq,der] del rry de tuercs l mism prtición que hemos otenido en el rry de tornillos, tl que cd tornillo de uno de los dos suintervlos encje exctmente con un tuerc del mismo suintervlo. De quí deducimos que el pivote hrá de ser T[i]: k izq l der t T[i] /* tornillo pivote: el correspondiente l tuerc pivote */ repetir mientrs enrosc (t,r[k])=-1 hcer k k+1 fmientrs mientrs enrosc (t,r[l])=1 hcer l l-1 fmientrs si k<l entonces r R[k] R[k] R[l] R[l] r fsi hst k=l Cundo slimos de est segund prte del lgoritmo tenemos que k=i, es decir, l tuerc pivote c ocupndo l mism posición que el tornillo pivote, puesto que prtímos de un relción uno uno entre tornillos y tuercs en el intervlo [izq,der]: T izq i 1 i i+1 tornillos tornillos... menores myores... que T[i] que T[i] tuercs tuercs... menores myores... que R[k] i=k der tornillo pivote tuerc pivote que R[k] R izq k 1 k k+1 der Después de llevr co ls prticiones de los vectores T y R en el intervlo [izq,der], y sólo nos qued ordenr recursivmente los suintervlos otenidos: si izq<i-1 entonces ordenr TR (izq,i-1) fsi si i+1<der entonces ordenr TR (i+1,der) fsi () Si llmmos m = der izq + 1, entonces l operción de prtición del intervlo [izq,der] en el rry de tornillos tiene coste linel, y lo mismo puede decirse de l prtición en el rry de tuercs; como ms operciones se relizn consecutivmente, no de form copld, el resultdo tendrá tmién coste linel. Si esto le ñdimos ls dos llmds recursivs, podemos proximr el coste T (m) del lgoritmo medinte l siguiente recurrenci:

4 T (m) = 1 m = 1 T (s) + T (m s) + m m > 1, donde s = i izq es el tmño de uno de los suintervlos generdos y m s proxim el tmño del otro suintervlo, que relmente vle der i = m s 1. Como no semos qué vlor v tomr s en cd llmd ordenr TR, vmos considerr dos csos extremos: quél en que s = 1 (peor cso: prtición completmente desequilird) en tods ls llmds, y quél en que s = m/2 (mejor cso: prtición perfectmente equilird) en tods ls llmds: En el peor cso nos qued l siguiente recurrenci: 1 m = 1 T P (m) = T P (m 1) + m m > 1, cuy solución es T P (m) = 1 2 m m2. Por tnto, como T (m) O(T P (m)) y T P (m) Θ(m 2 ), deducimos que T (m) O(m 2 ). En el mejor cso nos qued l siguiente recurrenci: T M (m) = 1 m = 1 2T M (m/2) + m m > 1, cuy solución es T M (m) = m + m log m. Por tnto, como T (m) Ω(T M (m)) y T M (m) Θ(m log m), deducimos que T (m) Ω(m log m). 3. (3 puntos) Un list se define se define como un secuenci de 0 o más elementos. El hecho de que se trte de un secuenci quiere decir que los elementos de l list ocupn un posición concret dentro de l mism, de modo que podemos hlr del primer elemento, del segundo elemento, etc. Un list L se podrí representr como sigue: L = ( 1, 2, 3,..., n ), donde n es l longitud de l list, 1 el primer elemento o cez de l list y n el último elemento o col de l list. En generl, i es el elemento que ocup l posición i de l list. Pr definir el TAD LISTA empezremos por suponer definidos los tipos ELEMENTO, qué definirá el contenido o vlor de cd elemento de l list, y POSICIÓN, que consistirá en lgún tipo de referenci o índice que identificrá l posición de un elemento dentro de l list. Se define tmién un vlor especil, que llmremos POSICIÓN NULA, pr indicr un posición fuer de l list o un posición erróne. Finlmente, el conjunto de operciones pr el TAD LISTA es: función insertr(ref L: LISTA, x: ELEMENTO, i: POSICIóN): ooleno Añde un nuevo elemento l list L en l posición i. Devuelve TRUE si h sido posile ñdir el elemento y FALSE en cso contrrio. función otener(l: LISTA, i: POSICIóN): ELEMENTO Devuelve el vlor del elemento que ocup l posición i en l list L. Precondición: el vlor de i h de corresponder un posición válid dentro de l list L. función eliminr(ref L: LISTA, i: POSICIóN): POSICIÓN Elimin el elemento que ocup l posición i en l list L; devuelve l posición en l nuev list del elemento siguiente l elemento elimindo, o POSICIÓN NULA si se trt del último elemento. Precondición: el vlor de i h de corresponder un posición válid dentro de l list L. función longitud(l: LISTA): entero Devuelve l longitud de l list L. procedimiento nulr(ref L: LISTA) Elimin todos los elementos de l list L, dejándol vcí. función cez(l: LISTA): POSICIóN Devuelve l posición del primer elemento de l list L, o POSICIÓN NULA si l list está vcí. función col(l: LISTA): POSICIóN Devuelve l posición del último elemento de l list L, o POSICIÓN NULA si l list está vcí.

5 función siguiente(l: LISTA, i: POSICIóN): POSICIÓN Devuelve l posición del elemento siguiente l que ocup l posición i en l list L, o POSICIÓN NULA si l posición i corresponde l último elemento de l list. Precondición: el vlor de i h de corresponder un posición válid dentro de l list L. función nterior(l: LISTA, i: POSICIóN): POSICIÓN Devuelve l posición del elemento nterior l que ocup l posición i en l list L, o POSICIÓN NULA si l posición i corresponde l primer elemento de l list. Precondición: el vlor de i h de corresponder un posición válid dentro de l list L. () (1 punto) Escriir en lenguje lgorítmico el código de un función que devuelv l posición que ocup en un list L l primer prición de un cierto vlor x, o POSICIÓN NULA si x L. Pr ello, se deerá hcer uso únicmente de ls operciones del TAD LISTA. Dich función deerá tener el siguiente formto: función loclizr(l: LISTA, x: ELEMENTO): POSICIÓN () (2 puntos) Escriir en lenguje lgorítmico un procedimiento que elimine de un list L todos los elementos repetidos, de modo que cd elemento prezc un sol vez. Hcer uso únicmente de ls operciones del TAD LISTA. El procedimiento tendrá el siguiente formto: procedimiento limpir(ref L: LISTA) Solución propuest () función loclizr (L: LISTA, x: ELEMENTO): POSICIÓN vr i: POSICIÓN fvr principio i cez (L) mientrs i POSICIÓN NULA hcer si otener (L,i) = x entonces devolver i fsi i siguiente(l,i) fmientrs devolver POSICIÓN NULA fin () procedimiento limpir (L: LISTA) vr i, j: POSICIÓN x, y: ELEMENTO fvr principio i cez (L) mientrs i POSICIÓN NULA hcer x otener (L,i) j siguiente(l,i) mientrs j POSICIÓN NULA hcer y otener (L,j) si y = x entonces j eliminr (L,j) sino j siguiente (L,j) fsi fmientrs i siguiente(l,i) fmientrs fin

6 4. (3 puntos) Considérese el siguiente segmento de código, expresdo en lenguje lgorítmico: constntes MAX = 100 fin constntes tipos CADENA=rry[1..MAX] de crácter PAIS=registro nomre: CADENA dycentes: puntdor ooleno fin registro MAPA=registro n: entero p: puntdor PAIS fin registro fin tipos función crgr mp(s: CADENA): puntdor MAPA vr fp: FICHERO m: MAPA i, j, k: entero : entero fin vr us rir fichero() cerrr fichero() leer entero() leer crcter() fin us principio fp rir fichero(s) m.n leer entero(fp) m.p reservr(m.n,pais) prtodo i [1..m.n] hcer m.p[i].dycentes reservr(m.n,ooleno) j 0 repetir j j + 1 m.p[i].nomre[j] leer crcter(fp) hst m.p[i].nomre[j] = TERMINADOR CADENA leer entero(fp) prtodo k [1..m.n] hcer si it(k,) = 1 entonces m.p[i].dycentes[k] TRUE si no m.p[i].dycentes[k] FALSE fin si fin pr fin pr cerrr fichero(fp) devolver direccion(m) fin /* crgr mp */ () (2 puntos) Trducir lenguje C el código nterior.

7 () (1 punto) En el código mostrdo hy un error importnte. Explíquese en qué consiste y cómo podrí solucionrse. Solución propuest () # include < stdio.h > # include < stdli.h > # define TRUE 1 # define FALSE 0 # define MAX 100 typedef chr CADENA [ MAX ]; typedef struct pis CADENA nomre ; int * dycentes ; } PAIS ; typedef struct mp int n; PAIS *p; } MAPA ; MAPA * crgr_mp ( CADENA s) FILE * fp ; MAPA m; int i, j, k; int ; int ; } fp = fopen (s,"r"); fred (( void *)& m.n, sizeof ( int ),1, fp ); m.p=( PAIS *) mlloc (m.n* sizeof ( PAIS )); for ( i =0; i <m.n ; i ++) m.p[i]. dycentes =( int *) mlloc (m.n* sizeof ( int )); j= -1; do j ++; fred (( void *)& m.p[i ]. nomre [j], sizeof ( chr ),1, fp ); } while (m.p[i]. nomre [j ]!= \0 ); fred (( void *)&, sizeof ( int ),1, fp ); for (k =0, =1; k<m.n ; k ++, < <=1) if } fclose ( fp ); return & m; (&) m.p[i]. dycentes [k ]= TRUE ; else m.p[i]. dycentes [k ]= FALSE ; () El error grve consiste en devolver l dirección de un vrile locl, y que dicho espcio de memori dejrá de estr hilitdo en cunto l función finlice su ejecución. Pr corregir el error st con sustituir l vrile por un puntdor, reservr dinámicmente el loque de memori correspondiente l vrile, y retornr l dirección del loque en lugr de l dirección de l vrile. A continución se muestr el código corregido de l función, en el que ls línes modificds se hn mrcdo con l cden <!!!>: MAPA *crgr mp(cadena s) FILE *fp; <!!!> MAPA *m; int i, j, k; int ; int ;

8 <!!!> m=(mapa *)mlloc(sizeof(mapa)); fp=fopen(s, r ); <!!!> fred((void *)&m->n,sizeof(int),1,fp); <!!!> m->p=(pais *)mlloc(m->n*sizeof(pais)); <!!!> for (i=0; i<m->n; i++) <!!!> m->p[i].dycentes=(int *)mlloc(m->n*sizeof(int)); j=-1; do j++; <!!!> fred((void *)&m->p[i].nomre[j],sizeof(chr),1,fp); <!!!> }while (m->p[i].nomre[j]!= \0 ); fred((void *)&,sizeof(int),1,fp); <!!!> for (k=0, =1; km->n; k++, =1) if (&) <!!!> m->p[i].dycentes[k]=true; else <!!!> m->p[i].dycentes[k]=false; } fclose(fp); <!!!> return m; }