AUTÓMATAS PUSH-DOWN Y MÁQUINAS DE TURING

Transcripción

1 1 FACULTAD REGIONAL ROSARIO AUTÓMATAS PUSH-DOWN Y MÁQUINAS DE TURING GUÍA TEÓRICO-PRÁCTICA PARA ALUMNOS DE LA CÁTEDRA SINTAXIS Y SEMÁNTICA DE LOS LENGUAJES DE LA CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓN ING. EDUARDO AMAR

2 2 Jerrquí de Máquins Astrcts y Lengujes Comenzremos por ls grmátics regulres o de tipo 3, que son ls más simples, y descuriremos prolems o lengujes que exceden l cpcidd de ls máquins de ese nivel; sí nos moveremos hci niveles con lengujes y máquins más poderosos. En cd nivel vmos encontrr el mismo tipo de inconvenientes hst llegr l nivel de ls grmátics de tipo 0 y ls máquins de Turing.

3 Autómts Push-Down L clse de lengujes generdos por Grmátics Lires de Contexto (GLC) es más mpli que l clse de lengujes definidos por Expresiones Regulres. Esto signific que todos los lengujes regulres pueden ser generdos por GLC, como sí tmién lgunos lengujes no regulres (por ejemplo, { n n } y Plíndromos). Luego de introducir los lengujes regulres definidos por expresiones regulres encontrmos un clse de máquins strcts, los Autómts Finitos (AF) con l siguiente propiedd dul: pr cd lenguje regulr hy l menos un máquin que funcion exitosmente solo sore ls cdens de entrd de ese lenguje y pr cd máquin en l clse, el conjunto de plrs que cept es un lenguje regulr. Est correspondenci fue crucil pr nuestro profundo entendimiento de est colección de lengujes. El Pumping Lemm, complementos, intersección, deciilidd, fueron todos prendidos desde el punto de vist de l máquin, no desde l expresión regulr. Ahor estmos considerndo un clse diferente de lengujes pero queremos contestr lguns pregunts; por lo tnto nos gustrí nuevmente encontrr un formulción pr un máquin. Estmos uscndo un modelo mtemático de lgun clse de máquins que correspond nálogmente ls GLC, esto es, dee her l menos un máquin que cept cd GLC y el lenguje ceptdo por cd máquin es lire de contexto. Queremos reconocedores de GLC o ceptores de GLC sí como los AF son reconocedores y ceptores de lengujes regulres. Espermos que un nálisis de l máquin nos yudrá comprender los lengujes en un sentido más profundo, tl como un nálisis de AF llev teorems sore lengujes regulres. En este cpítulo desrrollmos un nuev clse de máquins. En el próximo cpítulo promos que ests nuevs máquins se corresponden con GLC en el sentido que desemos. Pr construir ests nuevs máquins, comenzmos con nuestros viejos AF e incluimos lgunos nuevos descurimientos que los mplirán y los hrán más potentes. Lo que hremos primero es desrrollr un representción diferente pr los AF, un que será fácil de umentr con nuestros gregdos. No hemos ddo hst hor un nomre l prte del AF en l que reside l cden de entrd mientrs se está ejecutndo. Llmremos l mism l CINTA de Entrd. L CINTA de entrd dee ser suficientemente lrg pr ceptr culquier posile entrd, y y que culquier plr en * es un posile entrd, l CINTA dee ser infinitmente lrg (tl CINTA es muy cr). L CINTA tiene un primer uicción pr l primer letr de l entrd, luego un segund uicción, y sí sucesivmente. Por lo tnto decimos que l CINTA es infinit en un únic dirección solmente. Alguns persons usn el término medio infinit pr est condición.

4 4 Diujmos l CINTA como se muestr quí: Ls uicciones en ls cules ponemos ls letrs de entrd se llmn celds. Nomrmos ls celds con números romnos en minúscul. celd i celd ii celd iii Ajo mostrmos un ejemplo de un CINTA de entrd y crgd con l cden de entrd. El crácter D se us pr indicr un lnco en un celd de l CINTA. L grn myorí (tods menos 4) de ls celds en l CINTA de entrd están vcís, o se que están crgds con lncos,... A medid que procesmos est CINTA en l máquin leemos un letr por vez y l eliminmos l ser usd. Cundo lcnzmos l primer celd en lnco nos detenemos. Siempre presumimos que un vez que el primer lnco es encontrdo el resto de l CINTA tmién tiene lncos. Leemos de izquierd derech y nunc volvemos trás un celd que y fue leíd. Como prte de nuestr nuev representción pr AF, introducimos los siguientes símolos: START ACCEPT REJECT Ls flechs (ordes dirigidos) que ingresn o slen de los estdos se pueden diujr en culquier ángulo. 1. El estdo de START es como el estdo, que se encuentr conectdo otros estdos en un Grfo de Trnsiciones (GT) por un rist Λ. Comenzmos el proceso llí, pero no leemos ningun letr de entrd. Avnzmos inmeditmente l próximo estdo. Un estdo de START no tiene flechs ingresndo él. 2. Un estdo ACCEPT o de ceptción es un revición pr un estdo de detención, un vez que se ingres en él, no se puede slir, tl como: + tods ls letrs

5 5 3. Un estdo REJECT es un estdo de detención que no es un finl ceptle. tods ls letrs Y que hemos usdo el djetivo finl pr plicrlo solo estdos de ceptción en AF, llmmos los nuevos estdos ACCEPT y REJECT, hlt sttes o estdos de detención. Previmente podrímos psr trvés de un estdo finl si no huiérmos termindo de leer los dtos de entrd; estos estdos de detención no pueden ser trvesdos. Podemos entrr un estdo ACCEPT o REJECT pero no podemos slir de ellos. Estmos cmindo nuestros digrms de AF pr que cd función que correspond un estdo se ejecute en un cj seprd del digrm. L tre más importnte desrrolld por un estdo en un AF es leer un letr de entrd y sltr otros estdos dependiendo de que letr h sido leíd. Pr hcer este trjo desde hor introducimos el estdo. Estos estdos se diujn como cjs con form de romo como se muestr continución: sig por quí si lee un Leer l próxim letr sig por quí si lee un sig por quí si lee un (l cden de entrd está vcí) Aquí nuevmente ls direcciones de ls rists en el diujo de rri muestrn solo un de ls muchs posiiliddes. Cundo el crácter es leído desde l CINTA, signific que no tenemos más letrs de entrd. Entonces, hemos termindo el procesmiento de l cden de entrd. L líne con el símolo llevrá un estdo ACCEPT si el estdo en el que nos encontrmos es un estdo finl. En nuestros viejos digrms pr AF nunc explicmos como símos que no tenímos más letrs de entrd. En estos nuevos diujos podemos reconocer este hecho leyendo un lnco desde l CINTA. Ests sugerencis no hn lterdo el poder de nuestrs máquins. Solo hemos introducido un nuev representción gráfic que no lterrá ls hiliddes de ceptción del lenguje. Los AF que solín ser grficdos de est mner: - +

6 6 (AF que cept tods ls plrs terminds en l letr, se grficn hor con el nuevo simolismo, como l máquin que se ve jo: START REJECT ACCEPT Note que l líne desde START no necesit etiquet y que START no lee ningun letr. Tods ls otrs rists requieren etiquets. Hemos diujdo ls rists como segmentos de línes rects, no curvs y loops como ntes. Tmién usmos l notción de digrms de electrónic pr tendidos de cles. Por ejemplo: Nuestr máquin es todví un AF. Ls rists etiquetds D no serán confundids con rists etiquetds con el símolo L. Ests rists,, vn solo de cjs de tipo hci estdos de detención. Hemos extrído los signos + y fuer de los círculos que se usn pr indicr estdos. Los estdos hor son solo cjs de y no tienen sttus de finles o no finles. En el AF nterior, si nos quedmos sin letrs de entrd en el estdo de l izquierd, encontrremos un en l CINTA de entrd y por lo tnto tommos l rist hst REJECT. Al leer un en el estdo que corresponde un estdo finl de un AF llegmos un estdo ACCEPT. Ejemplo Reconocimiento de un Expresión Regulr Demos otro ejemplo sore est nuev notción gráfic: - +,

7 7 Se represent como:, START ACCEPT REJECT REJECT Estos gráficos se precen más los digrms de flujo que los viejos gráficos pr los AF. El estudio generlizdo de los digrms de flujo es un estructur mtemátic que form prte de l Teorí de l Computción pero está más llá de nuestro interés. L rzón que tenemos pr construir nuevos gráficos pr los AF (que y tenín uenos gráficos) es que hor es más fácil hcer un gregdo nuestr máquin llmdo PUSHDOWN STACK o PUSHDOWN STORE o Pil Push-Down. Un PUSHDOWN STACK es un lugr en el que ls letrs de entrd (u otr informción) puede lmcenrse hst que quermos referirnos ells nuevmente. Est estructur mntiene ls letrs que hn sido leíds en un lrg líne (tnts letrs como deseemos). L operción PUSH greg un nuev letr l líne. L nuev letr es colocd en el tope del STACK y tods ls demás letrs son empujds jo o trás. Antes que l máquin comience procesr un cden de entrd el STACK se presume que está vcío lo que signific que cd uicción de lmcenmiento en el mismo contiene un lnco. Si el STACK es entonces llendo con ls letrs,, c, d en est secuenci de instrucciones: PUSH PUSH PUSH c PUSH d Entonces l letr de rri en el STACK, es d, l segund es c, l tercer es, y l curt es. Si hor ejecutmos l instrucción: PUSH L letr se gregrá l STACK en l prte de rri. L d será empujd hci jo l posición 2, l c l 3, l otr l 4 y l últim irá l posición 5. Un representción gráfic de un STACK con ests letrs incluids se muestr jo. Dejo del fondo de l presumimos que el resto del STACK, que prece un CINTA de entrd, tiene infinits uicciones de lmcenmiento, llens solo con lncos.

8 8 STACK d c : L instrucción pr tomr un letr y scrl del STACK se llm. Esto cus que l letr que está más rri en el STACK se scd del mismo. El resto de ls letrs son movids un posición hci rri cd un. Un STACK PUSH DOWN es llmdo un rchivo LIFO (Lst In First Out, Ultimo Entrdo Primero Slido). No es como un áre de lmcenmiento norml de un computdor, que permite cceso directo (podemos recuperr ojetos de culquier prte, más llá del orden en que fueron lmcendos). Un STACK PUSHDOWN permite leer solo l letr lmcend en su prte superior. Si queremos leer l tercer letr del STACK deemos ejecutr,,, pero entonces hremos dicionlmente extrído ls dos primers letrs y y no estrán más en el STACK. Tmpoco tenemos instrucciones simples pr determinr l últim letr del STACK, o pr decir cunts letrs hy en el mismo. Ls únics operciones permitids sore el STACK son PUSH y. Si ejecutmos sore un STACK vcío, sí como leer un CINTA vcí, nos d el crácter lnco. Podemos gregr un STACK PUSHDOWN y ls operciones PUSH y nuestros nuevos digrms de AF incluyendo tntos estdos como quermos y los estdos PUSH PUSH Ls rists que slen de un estdo son etiquetds de l mism form que ls rists de un estdo, por el momento un pr cd crácter que prezc en el STACK, incluyendo el lnco.

9 9 Note que l seprción en rms puede ocurrir en un estdo pero no en un estdo PUSH. Podemos dejr los estdos PUSH solo por l únic rut indicd, pesr que podemos entrr un estdo PUSH desde culquier dirección. Cundo un AF h sido expndido con un STACK y los estdos PUSH y, podemos llmrlo Autómt Push-Down, revido APD. Estos APD fueron introducidos por Anthony Oettinger en 1961 y Mrcel Schützenerger en 1963 y fueron luego estudidos por Roert Every, tmién en L noción de PUSHDOWN STACK como un estructur de dtos existí desde hce tiempo, pero los mtemáticos luego reconocieron que l incorporr est estructur los AF, ls cpciddes pr reconocer lengujes umentron considerlemente. Schützenerger desrrolló un teorí mtemátic de lengujes plicndo los AF y los APD. L definición precis se drá pronto, luego de unos ejemplos. Ejemplo Reconocimiento de un GLC Considere el siguiente APD: START PUSH,, REJECT REJECT ACCEPT REJECT Antes de empezr nlizr est máquin en generl, veámosl en operción sore l cden de entrd. Comenzmos sumiendo que est cden h sido puest en l CINTA. Siempre comenzmos l operción del APD con el STACK vcío como se muestr: STACK : Deemos comenzr por START. Desde llí vmos directmente l primer, un estdo que lee l primer letr de entrd. Es un, por lo tnto l tchmos de l

10 10 CINTA (h sido leíd) y vnzmos por l rist desde el estdo. Est rist nos llev l estdo PUSH que nos hce ingresr un en el STACK. Ahor l CINTA y el STACK se ven de l siguiente mner: STACK : L rist desde el estdo PUSH nos llev de vuelt l mism cj, por lo que retornmos este estdo. Ahor leemos otr y procedemos como ntes lo lrgo de l rist pr ingresrl l STACK. Nuevmente volvemos l cj. Leemos nuestr tercer y l ingresmos l STACK. L CINTA y el STACK hor se ven como: STACK : Luego del tercer PUSH, volvemos l. Est vez, sin emrgo, leemos l letr. Esto signific que tommos l rist hci el estdo que está más jo. Al leer l nos qued l CINTA como: El estdo tom el elemento superior del STACK. Es un. Dee ser o y que los únicos crcteres ingresdos l STACK en todo el progrm son. Si fuer un o l imposile elección, tendrímos que ir un estdo REJECT. Sin emrgo, est vez, cundo scmos del STACK un letr, es un, quedndo el STACK como: STACK :

11 11 Siguiendo el cmino desde nos llev l otro. L próxim letr en l CINTA ser leíd es. Esto dej l CINTA como: El cmino desde el segundo estdo hor nos llev nuevmente de vuelt l estdo. Por lo tnto, tommos otr del STACK. El STACK hor qued con un sol : STACK : L líne del nos llev l mismo. Hy un sol letr en l CINTA, un. L leemos y dejmos l CINTA vcí, o se, todos lncos. Sin emrgo l máquin ún no se que l CINTA está vcí. Descurirá esto solo cundo trte de leer l CINTA y encuentre un. L letr que leímos vuelve l estdo. Entonces tommos l últim del STACK y lo dejmos vcío, todos lncos. L nos llev del de l derech l otr vez. Est vez lo único que podemos leer de l CINTA es un lnco,. L rist v hci otro l derech. Este tom un letr del STACK, pero l estr vcío, decimos que extremos un. Esto signific que deemos seguir l rist, que nos llev directmente l estdo ACCEPT. Por lo tnto l plr es ceptd por est máquin. Se puede oservr más de esto. El lenguje de plrs ceptds por est máquin es exctmente: { n n, n >= 0} STACK : Hemos mostrdo que el lenguje ceptdo por el APD nterior no podrí ser ceptdo por ningún AF, por lo tnto los APD son más potentes que los AF. Podemos decir más potentes porque todos los lengujes regulres pueden ser ceptdos por lgún APD y que pueden ser ceptdos por lgún AF y éstos son como APD sin el uso de un STACK.

12 12 Los APD son ls máquins que necesitmos pr reconocer GLC. Tod GLC puede ser definid como un lenguje ceptdo por lgún APD y el lenguje ceptdo por lgún APD puede ser definido por lgun GLC. Tomemos un instnte pr considerr que hce ests máquins más podeross que los AF. L rzón fundmentl es que tienen un cpcidd ilimitd de memori. Pueden ser donde hn estdo y cunts veces. L cus por l que un AF no puede ceptr el lenguje n n es que no puede llevr un cuent de l cntidd de veces que h loopedo sore l rist de letrs, pr después comprrl con l letr. Hy dos puntos que deemos discutir. 1. El primero es que no necesitmos restricciones sore usr el mismo lfeto pr cdens de entrd que pr el uso del STACK. En el ejemplo nterior podrímos her leído un desde l CINTA y luego gregr un X en el STACK y dejr que X lleve l cuent del número de ingresds. En este cso cundo testemos el STACK con un estdo, vnzmos por l rist X o. L máquin entonces se verí como: START ACCEPT PUSH X X X REJECT Hemos diujdo est versión del APD con lguns vriciones menores. Los estdos deen proveer rists pr, o. Los estdos deen proveer rists pr X o. Eliminmos dos estdos REJECT y todos vn l mismo lugr. Cundo definimos el APD se requiere l especificción del lfeto Σ de l CINTA y del lfeto Γ del STACK, que pueden ser diferentes. 2. El segundo punto que deemos discutir es l posiilidd de indeterminismo. En nuestr úsqued de máquins equivlentes GLC vimos que un dispositivo de memori de lgun clse se requiere pr ceptr el lenguje n n.

13 13 Es suficiente el gregdo del STACK pr ceptr tods ls GLC o se necesit lgún cmio? L considerción del lenguje PALINDROME pronto nos convencerá que l nuev máquin APD necesitrá ser indeterminist si queremos corresponderl con un GLC. Un APD determinist es tl que pr tod cden de entrd tiene un único cmino trvés de l máquin. Un APD no determinist es quel en el que en determinds ocsiones tendremos que elegir entre diferentes posiles cminos trvés de l máquin. Decimos que un cden de entrd es ceptd por est máquin si lguno de los cminos elegidos nos llev un estdo ACCEPT. Si pr todos los posiles cminos l cden de entrd llev REJECT, entonces es rechzd. Los APD que son equivlentes GLC son l clse de los no determinists. Pr los AF vimos que el no determinismo que nos llev AFN o GT, no ument el poder de l máquin pr ceptr nuevos lengujes. Pr los APD esto es diferente. El siguiente digrm de Venn muestr el poder reltivo de estos tres tipos de máquins. Lengujes ceptdos por APD no determinists Lengujes ceptdos por APD determinists Lengujes ceptdos por AFD, AFN o GT

14 14 Antes de dr un ejemplo concreto de un lenguje ceptdo por un APD no determinist que no puede ser ceptdo por un APD determinist, consideremos un nuevo lenguje. Ejemplo Reconocimiento de un GLC con un APD determinist Introduzcmos el lenguje PALINDROMEX, que cept tods ls plrs de l form: s X reverse(s) Donde s es culquier cden de l form (+)* Ls plrs ceptds por este lenguje son: { X X X X X X X X X...} Tods ests plrs son plíndromos y que se leen igul hci delnte o trás. Contienen un X que mrc el centro de l plr. Podemos construir un APD determinist que cepte el lenguje PALINDROMEX. Sorprendentemente tiene l mism estructur ásic que el APD que tenímos pr el lenguje { n n }. En l primer prte de l máquin el STACK es crgdo con ls letrs de l cden de entrd. Por convenienci, cundo leemos un X semos que hemos llegdo l mitd de l entrd. Podemos empezr comprr l mitd que qued en l cden de entrd con l mitd que está lmcend en el STACK. Comenzmos lmcenndo l primer mitd de l cden en el STACK con l siguiente prte de l máquin: START PUSH X PUSH Si leemos un, insertmos un, si leemos un, insertmos un, hst que encontrmos un X en l CINTA. Cundo leemos l X, no l insertmos en el STACK. Se us pr trnsferirnos l fse 2. Aquí es donde comprmos l CINTA con el STACK. Pr lcnzr el estdo ACCEPT, deen ser igules crácter crácter hst hllr los lncos.

15 15 X ACCEPT X,, REJECT, REJECT L máquin diseñd es determinist. El lfeto de entrd quí es Σ = {,, X}, tl que cd estdo tiene 4 rists que slen de él. El lfeto del STACK tiene dos letrs Γ = {, }, tl que cd tiene 3 rists que slen de él. Pr cd y cd hy un únic dirección que l entrd puede tomr. Cd cden de l CINTA gener un único cmino trvés de este APD. Podemos grficr un esquem menos complicdo pr este APD sin los estdos REJECT si no nos import que l ingresr cdens de entrd inválids se loquee el utómt l no tener cmino pr seguir. El APD completo (sin REJECT) se diuj quí: START PUSH X PUSH ACCEPT Ejemplo Reconocimiento de un GLC con un APD no determinist Ahor consideremos que clse de APD podrí ceptr el lenguje ODD-PALINDROME. Este es el lenguje que cept tods ls cdens de y que son plíndromos y tienen un número impr de letrs. Ls plrs en este lenguje son igul que en PALINDROMEX pero no poseen l letr X en el centro y que h cmido por un o.

16 16 ODDPALINDROME = { } El prolem quí es que no está l letr del centro, por lo que es más difícil reconocer donde termin l primer mitd y donde comienz l segund mitd de l cden. En relidd, esto es imposile. Un APD, igul que un AF lee l entrd en form secuencil de izquierd derech y no tiene ide de cunts letrs quedn por leer. Pero no estmos completmente perdidos. El lgoritmo puede cmirse pr justrse nuestrs necesiddes introduciendo no determinismo. Consideremos: START PUSH, PUSH ACCEPT Est máquin es l mism que l máquin nterior excepto que h cmido l X por,. Est máquin hor es no determinist y que el estdo izquierdo tiene dos cminos pr elegir en el cso de l letr y dos cminos pr l letr. Si elegimos el cmino correcto, en el momento justo l cden de entrd será ceptd y en cso contrrio rechzd. Definición Un Autómt Push-Down (APD) es un colección de 8 coss: 1. Un lfeto S de letrs de entrd. 2. Un CINTA de entrd (infinit en un dirección). Inicilmente l cden de letrs de entrd se uic en l CINTA comenzndo en l celd i. El resto de l CINTA tiene lncos. 3. Un lfeto G de crcteres del STACK. 4. Un STACK pushdown (infinito en un dirección). Inicilmente el STACK está vcío (contiene todos lncos). 5. Un estdo START que contiene solo rists de slid, no rists de entrd.

17 17 START 6. Estdos de Detención de dos clses: lgunos ACCEPT y lgunos REJECT. Tienen rists de entrd y no rists de slid. ACCEPT REJECT 7. Un número finito de estdos PUSH sin rmificción que introducen crcteres en l prte superior del STACK. Son de l form: PUSH X donde X es culquier letr en Γ 8. Un número finito de estdos con rmificción de dos clses: i) Estdos que leen l próxim letr no usd de l CINTA y que pueden tener rists de slid etiquetds con letrs de Σ y el crácter lnco, sin restricciones de duplicción de etiquets y sin oligción de que hy un etiquet pr cd letr de Σ, o un. ii) Estdos que leen el crácter superior del STACK que pueden tener rists de slid etiquetds con ls letrs de Γ y el crácter lnco, nuevmente sin restricciones. Ejecutr un cden de letrs de entrd en un APD signific comenzr desde el estdo START y seguir ls rists no etiquetds y ls etiquetds que generen un cmino trvés del digrm. El cmino terminrá en un estdo de detención o hrá crsh en lgún estdo que no pose rmificción nte l lectur de un crácter de l entrd desde l CINTA.

18 18 Un cden de entrd con un cmino que termin en un estdo ACCEPT se dice que es ceptd. Un cden de entrd que sigue un list de cminos se dice que es ceptd si l menos uno de esos cminos lleg un estdo ACCEPT. El conjunto de tods ls cdens ceptds por un APD se llm el Lenguje Aceptdo por el APD o el Lenguje Reconocido por el APD. Ejemplo Considere el lenguje generdo por l GLC: S S + S S * S 4 Los terminles son +, * y 4 y el único no terminl es S. El siguiente APD cept este lenguje: 4 + * START S + * ACCEPT PUSH 1 S PUSH 2 S S S PUSH 5 S PUSH 3 + PUSH 6 * PUSH 4 S PUSH 7 S

19 19 Máquins de Turing Lenguje definido por Expresión Regulr Grmátic Lire de Contexto Grmátic de tipo 0 Aceptor Correspondiente Autómt Finito Grfo de Trnsición Autómt PushDown Máquin de Turing Máquin de Post Ejemplo de plicción Editores de texto, circuitos secuenciles Sentencis de lengujes de progrmción Compildores Computdors Vemos en l entrd inferior l derech de l tl que estmos por cumplir l promes hech en l introducción. Pronto dremos un modelo mtemático pr l fmili complet de computdors moderns. Este modelo nos hilitrá no solo pr estudir lguns limitciones teórics sore ls tres que pueden relizr ls computdors, tmién será un modelo que podemos usr pr mostrr quells operciones que pueden ser hechs por computdors. Hy un progresión definid en ls fils de l tl. Todos los lengujes regulres son lengujes lires de contexto, y veremos que todos los lengujes lires de contexto son lengujes de Máquins de Turing. Históricmente, el orden de invención de ests ides es: Los lengujes regulres y AF fueron desrrolldos por Kleene, Mely, Moore, Rin y Scout en los ños 50. Ls GLC y los APD fueron desrrolldos posteriormente, por Chomsky, Oettinger, Schützenerger, y Evey, myormente en los ños 60. Ls máquins de Turing y su teorí fueron desrrollds por Aln Mthison Turing y Emil Post entre los ños 30 y 40. Sorprende que ests fechs están fuer de orden y que el trjo de Turing fue previo l invención de l computdor mism. Turing no est nlizndo un espécimen que tení frente sí, est inventndo l esti. Est es otr demostrción de que no hy nd más práctico que un uen teorí strct. Y que ls Máquins de Turing serán nuestro último modelo de computdors, necesrimente tendrán cpciddes de slid. L slid es muy importnte, tn importnte que un progrm sin sentencis de slid precerí totlmente inútil porque nunc drí los humnos los resultdos de sus cálculos. Prolemente hymos escuchdo decir que l únic sentenci que ningún progrm puede dejr de tener es un sentenci de slid.

20 20 Esto no es exctmente cierto. Considere el siguiente progrm (escrito en ningún lenguje prticulr): X IF X=1 THEN END IF X=2 THEN DIVIDE X BY 0 IF X>2 THEN GOTO STATEMENT 4 Asummos que l entrd es un entero positivo. Si el progrm termin nturlmente, entonces semos que X vle 1. Si termin crendo overflow o es interrumpido por lgún mensje de error de cálculo ilegl (crsh), entonces semos que X vle 2. Si encontrmos que nuestro progrm terminó porque excedí nuestro tiempo de proceso en l computdor, entonces semos que X es myor que 2. Veremos en un momento que ls misms ides se plicn Máquins de Turing. Definición Un Máquin de Turing, denotd MT, es un colección de seis coss: 1. Un lfeto S (sigm) de letrs de entrd, que por cuestión de clridd no contiene el símolo lnco. 2. Un CINTA dividid en un secuenci de celds numerds cd un conteniendo un crácter o un lnco. L plr de entrd se present l máquin un letr por celd comenzndo por l celd de más l izquierd, llmd celd i. El resto de l CINTA se complet inicilmente con lncos. celd i celd ii celd iii 3. Un CABEZA de CINTA que puede en un pso leer el contenido de un celd de l CINTA, reemplzrlo con lgún otro crácter, y reposicionrse en l próxim celd l derech o l izquierd de quel que h sido recién leído. Al principio del proceso, l CABEZA de CINTA siempre empiez leyendo l entrd de l celd i. L CABEZA de CINTA nunc puede moverse hci l izquierd de l celd i. Si se le dn órdenes de hcerlo, l máquin fll. 4. Un lfeto G (gmm), de crcteres que pueden ser impresos en l CINTA por l CABEZA de CINTA. Estos pueden incluir Σ. Aún cundo permitmos l CABEZA de CINTA imprimir un llmmos esto orrr y no incluir el lnco como un letr del lfeto Γ. 5. Un conjunto finito de estdos que incluye exctmente un estdo START desde el cul comienz l ejecución (y en el que podemos reingresr durnte l ejecución) y lgunos (quizá ninguno) estdos de HALT que cusn que l ejecución termine

21 21 cundo se ingres en ellos. Los otros estdos no tienen funciones, solo nomres: 1, 2, 3, 6. Un progrm, que es un conjunto de regls que nos dicen, en se l letr que l CABEZA de CINTA h leído, como cmir de estdo, que imprimir, donde mover l CABEZA de CINTA. Diseñmos l progrm como un colección de rists direccionds que conectn estdos. Cd rist está etiquetd con un triplete de informción: (letr, letr, dirección) L primer letr ( o un letr de Σ o Γ) es el crácter que l CABEZA de CINTA lee desde l celd l que está puntndo. L segund letr (tmién o un letr de Γ) es lo que l CABEZA de CINTA imprime en l celd ntes de dejrl. El tercer componente, l dirección, le dice l CABEZA de CINTA si moverse un celd l derech, R, o un celd l izquierd, L. No se hce ningun estipulción sore si cd estdo tiene un rist que sle de él pr cd letr posile en l CINTA. Si estmos en un estdo y leemos un letr que no ofrece ningun elección de cmino posile hci otro estdo, fllmos; esto signific que terminmos l ejecución en form fllid. Pr terminr l ejecución de un entrd exitosmente deemos llegr un estdo de HALT. L plr en l CINTA de entrd se dice que es ceptd por l MT. Un fllo tmién ocurre cundo estmos en l primer celd de l CINTA y trtmos de mover l CABEZA de CINTA hci l izquierd. Por definición tods ls máquins de Turing son determinists. Esto signific que no hy un estdo q que teng dos o ms rists que slen de él etiquetds con l mism primer letr. Por ejemplo: (,,R) q 2 q 1 (,,R) q 3 no está permitido.

22 22 Un máquin Turing es un mecnismo computcionl hipotético formdo por un unidd de control de estdo finito copld un cint infinit. Cd pso en un computción de máquin Turing consiste en escriir un símolo en l cint, correr l cint hci l izquierd o hci l derech y dquirir un nuevo estdo interno. L cción prticulr que se reliz en cd pso está determind por el estdo ctul de l máquin y el símolo rstredo en ese momento. A cus de l nturlez simple y mecánic de sus computciones, ls máquins Turing pueden ciertmente ser considerds como lgoritmos eficces. Hy vris mners en que el modelo ásico de l máquin Turing puede ser modificdo sin que se fecten sus cpciddes últims de computción. Entre ls generlizciones del modelo que no umentn su poder computcionl están el uso de cints con vris pists, el uso de más de un cez lector o el uso de más de un cint. Entre ls restricciones que no disminuyen el poder del modelo ásico están el uso de cints infinits en sólo un dirección, l limitción un solo símolo no lnco o l limitción solo dos estdos internos. Así, unque un vrinte del modelo de máquin Turing puede resultr más eficiente o conveniente que otr pr un plicción dd, ls cpciddes fundmentles de ls máquins Turing no dependen de l vrinte prticulr doptd. ( Hennie 77, pp ) Un máquin Turing consiste en un cint indefinidmente lrg copld un unidd de control finit... L cint, que ctú como l memori de l máquin, está dividid en cudrdos. Cd cudrdo puede ser estmpdo con un solo símolo del lfeto finito designdo o puede estr en lnco... L unidd de control puede correr l cint pr los dos ldos l trvés de l cez lector, pero en un momento prticulr l cez lector puede exminr, o rstrer, solmente un cudrdo de l cint. L operción de un máquin Turing se crcteriz por l siguiente secuenci de eventos. L máquin recie inicilmente un cint en l cul lgún número finito de cudrdos están estmpdos con símolos y el resto permnece en lnco. Un determindo cudrdo de l cint es designdo pr estr inicilmente jo l cez lector, y l unidd de control es forzd sumir un cierto estdo inicil predesigndo. L máquin ps entonces por un computción que consiste en un serie de movids ásics. Est computción puede continur indefinidmente, o puede terminr después de un número finito de movids. Si de hecho termin, el ptrón de símolos que qued en l cint se tom como el resultdo de l computción. Un máquin Turing comienz con un cint inicil y reliz un trnsformción en es cint. Si l máquin se detiene, el resultdo de l trnsformción es el contenido de l cint en el momento del detenimiento. Si l máquin nunc se detiene, el resultdo no está definido. (Kin 72, pp ) En su rtículo de 1936, A. M. Turing define l clse de máquins strcts que hoy llevn su nomre. Un máquin Turing es un máquin de estdo finito socid con un clse especil de miente su cint en el cul puede gurdr (y más trde recorr) secuencis de símolos... Son máquins muy simples. En cd momento l prte que es un máquin de estdo finito otiene su estímulo de entrd medinte l lectur del símolo escrito en cierto punto lo lrgo de l cint. L respuest de l máquin puede cmir tl símolo y tmién mover l máquin un pequeñ distnci en lgun de ls dos direcciones lo lrgo de l cint. El resultdo es que el estímulo pr el nuevo ciclo de operción vendrá de un "cudrdo" distinto de l cint, y l máquin puede sí leer un

23 23 símolo que hy sido escrito hí mucho ntes. Esto signific que l máquin tiene cceso un especie de memori exterior rudimentri, demás de l que es suplid por su prte de estdo finito. Y como no ponemos límite en l cntidd de cint disponile, est memori tiene en efecto un cpcidd infinit... ( Minsky 67, p. 107) Un máquin Turing es un máquin de estdo finito socid con un lmcén externo o memori. Est memori tiene l form de un secuenci de cudrdos, mrcdos en un cint linel. L máquin está copld un cint medinte un cez, situd en cd momento sore lgún cudrdo de l cint. L cez tiene tres funciones, tods ls cules se ejercen en cd ciclo de operción de l máquin de estdo finito. Ests funciones son leer el cudrdo de l cint rstredo en ese momento, escriir en el cudrdo rstredo y mover l máquin un cudrdo dycente (que ps ser el cudrdo rstredo en el siguiente ciclo de operción). ( Minsky 67, p. 117) Lo que está en l cint cundo l máquin pr dependerá de un modo complicdo de lo que l cint tení l comenzr. Por eso podemos decir que el resultdo de l computción presente en l cint es un función de l entrd. Exctmente cuál función se, eso dependerá, por supuesto, de l máquin Turing que se use. Entonces, podemos pensr que un máquin Turing define un función o l comput, o incluso que es un función. ( Minsky 67, p. 132)

24 24 Ejemplo Reconocimiento de un Lenguje Regulr L siguiente es l CINTA de un máquin de Turing que correrá sore l entrd. celd i celd ii celd iii celd iv El progrm pr est MT es ddo como un grfo dirigido con rists etiquetds como se muestr continución: (,,R) (,,R) (,,R) (,,R) (,,R) 2 3 START 1 HALT 4 (,,R) Note que el loop en el estdo 3 tiene dos etiquets. Ls rists desde el estdo 1 l estdo 2 podrín her sido diujds como un rist con dos etiquets. Comenzmos, como siempre, con l CABEZA de CINTA leyendo l celd i y el progrm en el estdo START, que está etiquetdo como estdo 1. Escriimos esto como: 1 El número de rri es el número del estdo en el que estmos. Dejo se encuentrn los contenidos de l CINTA. Es posile encontrr símolos dentro de est cden. Surymos el crácter de l celd que está por ser leíd. En este punto de nuestro ejemplo, l CABEZA de CINTA lee l letr y seguimos por l rist (,,R) hci el estdo 2. Ls instrucciones de est rist l CABEZA de CINTA son le un, imprim un, muévse l derech. L CINTA hor se ve como: celd i celd ii celd iii celd iv Podemos registrr el proceso de ejecución escriiendo: 1 2

25 25 Ahor estmos en el estdo 2. Seguimos l rist etiquetd por (,,R). L CABEZA de CINTA reemplz l con un y se mueve l derech un celd. L ide de reemplzr un letr consigo mism puede precer tont, pero unific l estructur de ls instrucciones de ls Máquins de Turing, pr que tods tengn el mismo formto (ls de reemplzo y ls de desplzmiento). En este momento l situción es l siguiente: celd i celd ii celd iii celd iv Psmos l estdo 3, leemos un, y hcemos un loop. Finlmente leemos un y nos movemos l estdo 4. L cden de entrd h sido ceptd por est Máquin de Turing. Est MT prticulr no cmi ningun de ls letrs de l CINTA, por lo que l finl de l ejecución l CINTA permnece: En resumen, l ejecución complet puede ser expresd como l siguiente trz: HALT Qué cdens de entrd cept est MT? Culquier letr, o, nos llev l estdo 2. Desde llí l estdo 3 leemos un letr. Finlmente se gener un loop hst que l CABEZA de CINTA encuentr un. El lenguje ceptdo por est MT está formdo por tods ls plrs que comienzn con un o, luego tienen un y finlmente tienen culquier número de o. Este es un lenguje regulr porque puede ser definido tmién por l expresión regulr: (+)(+)* Est MT es tmién un reminiscenci de los AF, y que hce un solo pso sore l cden de entrd, moviendo su CABEZA de CINTA siempre hci l derech y nunc cmindo un letr que h leído.

26 26 Ejemplo Reconocimiento de un GLC, ceptd por un APD determinist Considere l siguiente MT. Est MT cept el lenguje { n n, con n>=1} (,,R) (B,B,R) (B,B,L) (B,B,R) START 1 (,A,R) 2 (,B,L) 3 (A,A,R) 5 (A,A,R) 4 (,,L) (,,R) (,,L) HALT Técnicmente, el lfeto de entrd es Σ = {, } y el lfeto de slid es Γ = {, A, B}. El siguiente cudro muestr los contenidos de l CINTA en cd pso del procesmiento de l cden. Recuerde que durnte el seguimiento l posición de l CABEZA de CINTA se indic medinte el surydo de l letr que v ser leíd. 1º prte 2º prte A A A AB AB AB AB AAB AAB AAB AABB AABB AABB AABB AAABB AAABB AAABB AAABBB AAABBB AAABBB AAABBB AAABBB AAABBB AAABBB HALT

27 27 Ejemplo Reconocimiento de un GLC, ceptd por un APD no determinist Considere l siguiente MT. Est MT cept el lenguje PALINDROME (,,R) (,,R) (,,L) (,,L) (,,R) 2 (,,L) 3 (,,R) 4 (,,R) (,,R) (,,R) 1 START 8 HALT (,,R) (,,R) 5 (,,L) 6 (,,R) 7 (,,R) (,,R) (,,R) (,,L) (,,L) El siguiente cudro muestr los contenidos de l CINTA en cd pso del procesmiento de l cden. Recuerde que durnte el seguimiento l posición de l CABEZA de CINTA se indic medinte el surydo de l letr que v ser leíd. 1º prte 2º prte HALT

28 28 Nuestro primer ejemplo er solmente un AF convertido, y el lenguje que cept er Regulr. El segundo ejemplo cept un lenguje Lire de Contexto y No Regulr y l MT dd emple lfetos seprdos pr escriir y leer. L tercer máquin cept un lenguje que er tmién Lire de Contexto, pero que solo podí ser ceptdo por un APD No Determinístico, sin emrgo l MT diseñd es Determinístic. Hemos visto que podemos usr l CINTA pr más que un STACK PUSHDOWN. En los últimos dos ejemplos recorrimos hci delnte y trás l CINTA pr hcer oservciones y cmios en l cden. Veremos más delnte que l CINTA puede ser usd pr más tres ún. Puede ser usd como un espcio de trjo pr cálculo y slid. Ejemplo Reconocimiento de un Grmátic Dependiente del Contexto, que no puede ser ceptd por un APD Considere l siguiente MT. Est MT cept el lenguje { n n n, con n>=0} (,,R) (,,R) 2 (,,R) 3 (,,L) 4 (,,R) HALT (,,R) (,*,R) 1 START 5 (,,R) (*,*,R) (,,L) 8 (,,L) 7 (,,L) 6 (,,L) (,,L)

29 29 El siguiente cudro muestr los contenidos de l CINTA en cd pso del procesmiento de l cden. Recuerde que durnte el seguimiento l posición de l CABEZA de CINTA se indic medinte el surydo de l letr que v ser leíd. 1º prte 2º prte 3º prte 1 8 * 8 ** 2 * 8 * 8 ** 2 * 8 * 8 ** 2 * 8 * 8 ** 3 * 8 * 1 ** 3 * 1 * 2 *** 3 * 2 ** 3 *** 4 * 2 ** 4 *** 5 * 3 ** 5 *** 5 * 3 ** 5 *** 5 * 4 ** 6 *** 5 * 5 ** 7 *** 6 * 5 ** 8 *** 7 * 5 ** 1 *** 8 * 6 ** Hlt *** 8 * 7 ** Luego de diseñr l máquin y siguiendo el recorrido son ovis lguns considerciones: 1. Ls únics plrs ceptds son de l form { n n n, con n>=0}. 2. Cundo l máquin se detiene, l CINTA contiene tntos * como letrs hí en l entrd. 3. Si l entrd er n n n, l CABEZA de CINTA estrá en l celd (n + 2) l detenerse l máquin. Este ejemplo sugiere que ls MT son más podeross que los APD, y que los APD no pueden ceptr este lenguje.