TEORÍA DE AUTÓMATAS I Informática de Sistemas

Transcripción

1 TEORÍA DE AUTÓMATAS I Informátic de Sistems Soluciones ls cuestiones de exmen del curso 25/6 Ferero 26, ª semn. Se un utómt finito M={S, Σ, δ, ι, F,}. Sen p,q S;, Σ. Indique cuál de ls siguientes firmciones es verdder: ) Si existe un símolo tl que δ(p,) = δ(q,), M no es determinist ) Si existe un estdo p tl que δ(p,) = δ(p,), M no es determinist c) Si δ(ι,) = δ(p,), δ(ι,) = δ(q,) y δ(p,) δ(q,), M no es determinist Solución: C. Pr que un utómt finito se determinist δ h de ser un función. 2. Indique cuál de ls siguientes firmciones es fls: ) Todo suconjunto de un lenguje regulr es regulr ) Todo lenguje regulr tiene un suconjunto regulr c) Pr todo lenguje regulr existe un utómt determinist que lo reconoce Solución: A. El lenguje {x n y n n }, por ejemplo, es suconjunto de x*y* y no es regulr. B es verdder : el conjunto vcío es un lenguje regulr y es suconjunto de culquier conjunto. C es verdder, y que semos que pr todo lenguje regulr existe un utómt finito determinist que lo reconoce. 3. Se M un utómt de pil. Indique cuál de ls siguientes firmciones es fls: ) Se L={, }. L puede ser ceptdo por un utómt de pil determinist que siempre llegue los estdos de ceptción con pil vcí ) Se L={, }. L puede ser ceptdo por un utómt de pil determinist que siempre llegue los estdos de ceptción con pil vcí c) Si M es un utómt de pil determinist que siempre lleg los estdos de ceptción con pil vcí, entonces L(M) no puede ser ceptdo por un utómt de pil no determinist Solución: C. A y B son cierts, y que L es un lenguje regulr. C es fls: pr todo lenguje reconocido por un utómt de pil determinist existe un utómt de pil determinist que lo reconoce y cept. 4. Sen α, β y γ tres expresiones regulres ritrris. Indique cuál de ls siguientes firmciones es fls: ) (α β γ)* = (α* β* γ*)* ) α *(α β γ)* = (α* β* γ*α *)*α * χ) Depende de ls expresiones concrets de α, β y γ Solución: C. Tods ls expresiones coinciden con (α β γ)*, independientemente de ls expresiones concrets de α, β y γ

2 2 5. Considere l máquin de Turing de l figur e indique cuál de ls siguientes firmciones es fls: /,L /2,L 2/4,L 3/6,L 4/8,L Δ / Δ,L 5/,L 6/2,L 7/4,L 8/6,L 9/8,L /,R /,R 2/2,R 3/3,R 4/4,R /,L /3,L 2/5,L 3/7,L 4/9,L 5/5,R 6/6,R 7/7,R 8/8,R 9/9,R Δ / Δ,R Δ /,L 5/,L 6/3,L 7/5,L 8/7,L 9/9,L ) L máquin puede utilizrse pr multiplicr por dos un número en se. Inicilmente el número se encuentr en l cint (un cifr por csill prtir de l segund, en l primer csill hy un crácter lnco, y el resto de l cint está tmién en lnco) y l cez de lectur señl l primer cifr del número. Al detenerse l máquin, se h sustituido el número por el resultdo y l cez lector señl l primer csill de l cint ) Si l máquin se rrnc con l configurción ΔΔ5477Δ..., termin con l configurción Δ9542Δ... c) L máquin puede tener un terminción norml Solución: A. En el cso de que se llegue l estdo de prd por l trnsición diujd l derech, l máquin tiene un terminción norml. 6. Considere l grmátic G = {S S/ A/, A B/ S, B B/ B, C A/ C} y G 2 = {S S/ A/, A S}. Sen L y L 2 los lengujes generdos respectivmente por G y G 2 ; entonces (Not: denot inclusión estrict): ) L L 2 ) L 2 L c) L =L 2 Solución:C. Ls regls que implicn los no terminles B y C no genern ningun cden 7. Indique cuál de los siguientes lengujes no es independiente del contexto: ) El conjunto de cdens de ceros y unos tles que en ninguno de sus prefijos el número de ceros excede l número de unos en más de dos, ni el número de unos excede l número de ceros en más de dos ) El conjunto de cdens de ceros, unos y doses tles que el cero no es el crácter que ocurre con más frecuenci en l cden c) El conjunto de cdens de ceros, unos y doses tles que el número de ceros es myor que l sum del número de unos y doses

3 3 Solución: B. El lenguje de l opción A es independiente del contexto: podrí reconocerlo un utómt de pil que comenzse sus operciones gurdndo dos 's en l pil; prtir de entonces meterí un en l pil por cd leído y scrí un de l pil por cd leído, y un cden serí rechzd en cunto se leyese un con l pil vcí. El diseño de un utómt de pil que reconozc el lenguje de l opción C es igulmente sencillo. En cunto l lenguje de l opción B, es fácil ver que se requerirí el recuento independiente de ceros, unos y doses, operción que no puede hcerse con un únic pil. 8. Considere funciones f(l ) = L 2, donde L y L 2 son lengujes con lfeto {,}. Un función f se denomin regulr si siempre que L 2 es regulr entonces tmién L es regulr. Indique cuál de ls siguientes funciones no es regulr: ) L función que ñde l sucden l finl de tod cden de L ) L función que reeemplz todos los unos por ceros y todos los ceros por unos en ls cdens de L c) El lenguje que conserv de L l cden vcí y elimin el primer crácter de todo el resto de ls cdens Solución: C. L función de l opción A es regulr: si existe un expresión regulr que define ls cdens de L 2, entonces st con eliminr de ell l suexpresión pr otener l expresión regulr que define ls cdens de L. Pr l otención de l expresión regulr que define ls cdens de L prtir de l expresión que define ls cdens de L 2 en el cso B st con intercmir ceros y unos. En cunto l cso C, es fácil encontrr un contrejemplo: Si L es el lenguje cuys cdens verificn que el primer símolo es un símolo cundo l longitud de l cden es un número primo, y en cso contrrio (un lenguje no regulr), L 2 result ser {,}*, un lenguje regulr. 9. Se L el lenguje representdo por l expresión regulr ( ) ( ) ( )* y L 2 el lenguje reconocido por el utómt de l figur. Indique cuál de ls siguientes firmciones es verdder (Not: denot inclusión estrict): ) L L 2 ) L 2 L c) L =L 2, Solución: C. Ddo que el estdo situdo en el centro l derech no tiene rcos de slid, es fácil ver que L y L 2.. Indique cuál de ls siguientes firmciones es verdder: ) Los utómts finitos tienen un número finito de estdos

4 4 Solución: A. ) Los utómts finitos sólo pueden ceptr lengujes finitos c) Ls máquins de Turing y los utómts de pil son utómts finitos. Indique cuál de los siguientes lengujes no es regulr: ) L = { w {,}* cd loque de 5 símolos consecutivos contiene l menos dos ceros} ) L = { w {,}* contiene dos ceros seprdos por un número finito de dígitos que es múltiplo de cutro} c) L = { w {}* su longitud es cudrdo perfecto} Solución: C. Es fácil diseñr utómts finitos que reconozcn los lengujes de ls opciones A y B. En cunto l lenguje de l opción C, ni siquier es independiente del contexto (es fácil ver que no cumple el lem de omeo pr los lengujes independientes del contexto. 2. Indique cuál de ls siguientes firmciones es verdder: ) Si L es un lenguje regulr, entonces L* = (L*)* ) {λ}* {λ} c) Pr todo lenguje L, L* (L*)* Solución: A. Por definición, L* (L*)*. Vemos hor que (L*)* L*. Supongmos w (L*)*, w = w... w n. Por definición de l estrell de Kleene, i [..n], w i = w i... w imi, con w ij L, j mi, mi N. Por tnto, w = w...w m...w n... w nmn. 3. Se c(l) el complementrio de L. ) Es posile que existn dos grmátics en form norml de Chomsky, un pr L y otr pr c(l) ) Es imposile que existn dos grmátics en form norml de Chomsky, un pr L y otr pr c(l) c) Existe un grmátic G en form norml de Chomsky tl que ien L(G) = L o ien L(G) = c(l). Solución: B. Un grmátic en form norml de Chomsky no puede generr l cden vcí. (L respuest C no es correct porque puede ocurrir que ni L ni c(l) sen independientes de contexto.) 4. Supongmos un lenguje L ceptdo por un utómt de pil M. Entonces, el utómt M C, otenido l intercmir en M estdos de ceptción por estdos de no ceptción y vicevers: ) Acept siempre el lenguje L C, lenguje complementrio de L ) Sólo podemos segurr que cept L C si M es un utómt determinist c) Sólo podemos segurr que cept L C si M es un utómt finito Solución: B. Culquier utómt sencillo no determinist (como el de l figur) puede utilizrse de contrejemplo pr mostrr l flsedd de A. L demostrción correspondiente l cso determinist se deriv de l propi definición de ceptción de un cden por un utómt.

5 5 5. Indique cuál de ls siguientes firmciones es fls: ) Todo lenguje decidile es independiente del contexto ) Si L es un lenguje decidile por máquins de Turing, tmién lo es el lenguje complementrio de L c) Si L es decidile, tmién lo es el lenguje formdo por ls cdens inverss de L. Solución: A. L opción A es fls (contrejemplos: {x n y n z n ), {ww w {,}*). L vercidd de l opción B se deriv de l propi definición de lenguje decidile. L opción c) es verdder: si M es l máquin de Turing que reconoce L, es posile otener un máquin que reconozc el lenguje de ls cdens inverss de ls cdens de L sin más que preceder M de operciones que inviertn l cden de entrd. 6. Indique cuál de ls siguientes firmciones es verdder: ) L tesis de Turing implic que pr todo lenguje existe un máquin de Turing que lo cept, y se el lfeto finito o infinito. ) L tesis de Turing no implic que los lengujes más generles que existn sen los lengujes estructurdos por frses. c) Dd un máquin de Turing, existe un grmátic estructurd por frses que gener el mismo lenguje que cept el utómt si y sólo si l máquin es determinist. Solución: B. Ferero 26, 2ª semn 7. Se L el lenguje generdo por l grmátic {S R, S R, R R 2, R R 2, R, R, R 2 R 3, R 3 R 2, R 3 }, y L 2 el lenguje reconocido por el utómt de l figur. Indique cuál de ls siguientes firmciones es verdder (Not: denot l inclusión estrict): ) L L 2 ) L 2 L c) L =L 2,

6 6 Solución: C. Ddo que el estdo situdo en el centro l derech no tiene rcos de slid, es fácil ver que tnto L como L 2 coinciden con el lenguje representdo por l expresión regulr ( ) ( ) ( )* 8. Sen α, β y γ tres expresiones regulres ritrris. Indique cuál de ls siguientes firmciones es fls: ) α *(α β γ)* = (α* β* γ*α *)*α * ) (α β γ)* α * = (α* β* γ*α *)*α * c) λ α* β* β*α * = (α β)* Solución: C. Así por ejemplo, l expresión regulr de l derech represent l cden αβα, que no represent l expresión regulr de l izquierd. Ls expresiones regulres de ls opciones A y B equivlen tods ells l expresión (α β γ)*. 9. Considere el lenguje L = { w w tiene 3k+ s pr lgún k número nturl}. Indique cuál de ls siguientes firmciones es fls: ) L puede representrse medinte l expresión regulr **(****)* ) El lenguje es independiente del contexto c) El lenguje no verific el lem de omeo pr lengujes independientes del contexto Solución: C. El lenguje es regulr y puede representrse medinte l expresión regulr **(****)*. Es fácil ver que cumple el lem de omeo considerndo sucdens del tipo *. 2. Considere el lenguje formdo por ls cdens de ceros y unos que cumplen un de ls siguientes condiciones: ) terminn en y tienen en lgún lugr l sucden ; 2) terminn en y tienen en lgún lugr l sucden. Indique cuál de ls siguientes firmciones es fls: ) Existe un utómt no determinist con menos de 2 estdos que reconoce el lenguje ) No existe ningún utómt determinist que reconozc el lenguje c) Existe un utómt no determinist con menos de 4 rcos que reconoce el lenguje Solución: B. El utómt de l figur es no determinist, tiene menos de 2 estdos (y por tnto menos de 4) y reconoce el lenguje. L potenci de reconocimiento de lengujes de los utómts finitos no determinists y los determinists es idéntic, y por tnto l opción B es fls. 2. Indique cuál de ls siguientes firmciones es fls :

7 7 ) Ddo un utómt finito determinist que reconoce un lenguje L, es posile diseñr un lgoritmo que dé un respuest positiv si el L tiene más de cdens ) Ddo un utómt de pil no determinist que reconoce un lenguje L, no es posile diseñr un lgoritmo que dé un respuest positiv si L tiene más de cdens c) Dd un máquin de Turing que reconoce un lenguje L, es posile diseñr un lgoritmo que dé un respuest positiv si L tiene más de cdens Solución: B. En culquier de los csos podrí diseñrse un lgoritmo que, por ejemplo, fuese generndo cdens de longitud creciente, siguiendo el orden lexicográfico, comprondo si pertenecen l lenguje e incrementndo un contdor cd vez que un cden fuese identificd. 22. Considere l grmátic S S, S S, S S, S λ e indique cuál de ls firmciones siguientes es verdder: ) L grmátic S S, S S, S λ gener el mismo lenguje ) Cd cden del lenguje generdo se otiene medinte un único árol de derivción c) No existe ningún utómt de pil determinist que reconozc el lenguje generdo que llegue siempre con l pil vcí los estdos de ceptción Solución: A. En mos csos se gener el lenguje { }*. B es fls, st considerr como contrejemplo l cden. C es fls, y que se trt de un lenguje regulr. 23. Indique cuál de los siguientes lengujes no es regulr: ) El conjunto de cdens de ceros y unos tles que en ninguno de sus prefijos el número de ceros excede l número de unos en más de dos ni el número de unos excede l número de ceros en más de dos ) El conjunto de cdens de ceros y unos tles que el número de unos es exctmente dos veces el número de ceros c) El conjunto de cdens de ceros, unos y doses con l menos cien crcteres de cd uno de los tres símolos Solución: B. 24. Considere funciones f(l ) = L 2, donde L y L 2 son lengujes con lfeto {,}. L función f se denomin regulr si siempre que L 2 es regulr entonces tmién L es regulr. Indique cuál de ls siguientes funciones es regulr: I ) L función que invierte ls cdens de L : f(l ) = L ) L función que reeemplz todos los unos por ceros en ls cdens de L c) L función que ñde L tods ls cdens de ceros: f(l) = L L(*) Solución: A. L función de l opción B no es regulr: el lenguje 2n es regulr, y se otiene l reemplzr todos los unos por ceros en el lenguje no regulr n n. L función de l opción C tmpoco es regulr: el lenguje L( n ), donde n es un número primo, no es regulr, mientrs que l unión de este lenguje con el lenguje L(*) es el lenguje L(*), que es regulr (en generl, un lenguje regulr puede tener suconjuntos no regulres). 25. Indique cuál de ls siguientes firmciones es verdder:

8 8 ) Nunc se puede firmr con seguridd que un utómt finito no determinist cept un cden ) Un utómt finito no determinist sólo puede utilizrse pr ceptr lengujes finitos c) Un utómt finito no determinist cept un cden cundo es posile que su nálisis deje l máquin en un estdo de ceptción Solución: C. 26. Se el lenguje L = { ww i w {,}* y w i denot l cden que result l invertir l cden w. Indique cuál de ls siguientes firmciones es fls: ) L no es un lenguje regulr ) Se un cden ww i del lenguje con w=uv, w i = v i u i ; es posile generr otrs cdens del lenguje sin más que omer (repetir) l sucden centrl vv i c) L cumple el lem de omeo pr lengujes regulres, luego es regulr Solución: C. Se trt del lenguje de plíndromos de {,}, lenguje que no es regulr. 27. Si inicimos l máquin de Turing de l figur con l cden Δ yxδδδ..., ) L máquin se detiene l co de un cierto número de operciones, hiendo modificdo el contenido de su cint ) L máquin termin normlmente c) L máquin entr en un ucle y no termin nunc Solución: A. x, y u R Δ L } # R Δ R Δ u L # u 28. Indique cuál de ls siguientes firmciones es fls: ) El lenguje {w {,}* w contiene l menos un } es decidile por máquins de Turing ) El lenguje {w {,}* w contiene tnts s como s} es decidile por máquins de Turing c) El lenguje {w {,}* w contiene tnts s como s} no es decidile por máquins de Turing Solución: C. Los tres lengujes descritos son independientes del contexto, y por tnto decidiles por máquins de Turing. 29. Considere l grmátic G = {S AA, A AAA, A, A A, A A}. Indique cuál de ls siguientes firmciones es verdder: ) Existen l menos cutro derivciones distints pr l cden ) Sólo existe un form posile de derivr l cden prtir de l grmátic c) Existen exctmente tres derivciones distints. Solución: A. Existen muchs derivciones posiles. Así, p.e., l plicción Así p.e., l plicción de regls permite otener l expresión AA l menos de cutro forms distints: S AA AA AA (plicndo l 5ª regl l primer A)

9 9 S AA AA AA (plicndo l 4ª regl l segund A) S AA (plicndo ls regls 4ª o 5ª ) AA De l expresión AA se puede derivr de dos forms distints AA, y de ést se puede derivr de vris forms. 3. De entre ls siguientes firmciones, señle l firmción verdder: ) Pr cd utómt finito no determinist M existe un grmátic en l form norml de Chomsky que gener el lenguje L(M), siempre que éste no conteng l cden vcí ) Pr todo utómt de pil determinist M que vcí su pil ntes de ceptr un cden existe un grmátic regulr que gener el lenguje L(M). c) Ls máquins de Turing no determinists son más potentes que ls determinists Solución: A. Porque todo utómt finito, no determinist o determinist, cept un lenguje regulr, y todo lenguje regulr que no conteng l cden vcí puede escriirse en l form norml de Chomsky 3. Indique cuál de ls siguientes firmciones es fls: ) Todo conjunto finito de cdens es un lenguje regulr ) Si L es un lenguje ceptle por máquins de Turing, tmién lo es el lenguje complementrio de L c) Medinte utómts de pil de 2 pils podrí reconocerse un myor número de lengujes que medinte los usules utómts de un sol pil. En cd trnsición, el utómt podrí lmcenr y leer dtos de dos pils distints. Solución: B. 32. Indique cuál de ls siguientes firmciones es verdder: ) L conctención de un lenguje regulr con su complementrio puede no ser regulr ) L conctención de un lenguje estructurdo por frses decidile y su complementrio puede no ser estructurdo por frses c) El complementrio de un lenguje independiente de contexto puede ser regulr Solución: C. El complementrio de un lenguje regulr es regulr, y l conctención de dos lengujes regulres es siempre regulr. El complementrio de un lenguje estructurdo por frses es estructurdo por frses, y l conctención de dos lengujes estructurdos por frses es un lenguje estructurdo por frses. Finlmente, el complementrio de un lenguje independiente del contexto regulr, por ejemplo, es siempre regulr.

10 Septiemre originl. Considere l grmátic definid por ls regls: S SSS, S S, S. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA: ) L grmátic gener exctmente 8 cdens de longitud menor o igul 4 ) Tods ls cdens generds tienen un número impr de s c) Tods ls cdens generds tienen l form w, donde w es culquier cden de (,)* con un número pr de s Solución: B. Ls cdens generds de longitud menor o igul 4 son:,,,,,,,. L cden, p.e., tiene un número pr de ceros. Tods ls cdens tienen un número impr de s y que, en cd reescritur de S, prece un número impr de no terminles S, y el único terminl en que se reescrie S es un. Y que tods ls cdens tienen l form w (l prte derech de tods ls regls empiez por S), w tiene un número pr de s. L regl S S permite l prición de un ritrrio número de s l derech de culquier. 2. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA: ) Pr todo lenguje L de un lfeto Σ, L Σ*, existe un lenguje L, L L, que NO es decidile ) Se f un función computle definid pr todo w Σ*, f: Σ* Σ*. Entonces, el lenguje L ={ (x,y) tl que f(x) = y} es decidile c) Un lenguje cofinito (un lenguje es cofinito si y sólo si su complementrio contiene un número finito de cdens) siempre es regulr Solución: A. Siendo L = Σ* - {} ( Σ), los únicos lengujes que contienen L son Σ* y el propio L, mos decidiles. Es fácil diseñr un máquin de Turing que decid el lenguje definido en l opción B; tl máquin computrí l función f en un primer cint y comprrí el resultdo con y, que se lmcenrí durnte l computción en un segund cint. C es verddero porque todo lenguje finito es regulr, y todo lenguje regulr tiene un complementrio tmién regulr. 3. Indique cuál de ls siguientes opciones NO descrie un lenguje: ) El conjunto de ls plrs definids en el diccionrio de l Rel Acdemi Espñol ) Los números rcionles escritos en notción deciml c) El conjunto de los progrms sintácticmente válidos escritos en C Solución: B. Un lenguje se define como un conjunto de cdens formds por los símolos de un lfeto. Algunos números rcionles (p.e., /3) son cdens de longitud infinit. 4. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA:

11 ) Un lenguje es reconocido por un utómt finito determinist si y sólo si es reconocido por un utómt finito NO determinist ) Un lenguje es reconocido por un utómt de pil NO determinist si y sólo si es reconocido por un utómt de pil determinist c) Un lenguje es reconocido por un utómt de pil NO determinist si es reconocido por un utómt finito NO determinist Solución: B. 5. Siendo R un expresión regulr, indique cuál de ls siguientes relciones es fls: ) (λ R)* = R* ) R RS* = RS* c) R = R = R Solución: C. Ls equivlencis de A y B son cierts, y que l estrell de Kleene de un lenguje siempre incluye l cden vcí. L equivlenci de C es fls, y que R = R = ; como el conjunto vcío no tiene ningun cden, ls expresiones regulres R y R representn ningun cden conctend con ls cdens representds por R. 6. Sen el lfeto Σ = {, } y el utómt de l figur: 2 3 ) El utómt puede procesr l cden de 4 forms distints ) Sólo existe un modo en que el utómt puede procesr l cden c) Al procesr l cden, el último estdo visitdo es siempre el estdo 3 o ien el estdo 2 Solución: A. El utómt puede procesr l cden de 4 forms distints, correspondientes ls siguientes secuencis de estdos: {,,3,3,3,3}, {,,,2,3,3}, {,,,,,2}, {,,,,,}. 7. Ddo el lfeto Σ = {, } y los dos utómts de l figur:

12 2 2 ) Los dos utómts reconocen el mismo lenguje ) Sólo uno de los dos utómts es determinist c) Ninguno de los digrms está completo (flt el estdo de cptción glol) Solución: A. Los dos utómts reconocen el lenguje representdo por l expresión regulr λ ( )*. Amos digrms son determinists y están completos (desde cd estdo existe un y sólo un trnsición explícit por cd símolo del lfeto). 8. Se h: {,}* {,}* tl que h(w) es l cden resultnte de sustituir en w cd símolo por l sucden y cd símolo por l sucden. Sen L lenguje generdo por l expresión regulr ()* y L 2 el lenguje generdo por l expresión regulr ( )*. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA: ) h(l ) = L 2 ) h(l ) L 2 y h(l ) L 2 c) Si w L h(w) L 2 Solución: A. Ls cdens de L 2 con un número impr de símolos no son imgen medinte h de ningun cden de L. Como ls cdens de L responden l ptrón w=() n, h(w) = () n L 2. Si w ()*, entonces: ) si w empiez por, h(w) empiez por y ( )* ) si w termin por, h(w) termin por y ( )*, c) si w contiene l sucden entonces h(w) contiene l sucden y ( )*, d) si w contiene l sucden entonces h(w) contiene l sucden y ( )*. 9. El lenguje L = { i j j es múltiplo de i}. Se cumple que: ) Es regulr y cumple el lem de omeo pr lengujes regulres ) NO es regulr pero cumple el lem de omeo pr lengujes regulres

13 3 c) NO es regulr y NO cumple el lem de omeo pr lengujes regulres Solución: B. El lenguje no es regulr y sin emrgo cumple el lem de omeo (repitiendo n veces l sucden j otenemos cdens del lenguje, y que si j es múltiplo de i, j n tmién lo será).. Indique pr qué vlores de ls etiquets Etiquet y Etiquet2 el utómt representdo en l figur reconoce l estrell de Kleene del lenguje {x n y n }: x,λ;x λ,λ;# y,x;λ Etiquet λ,#;λ λ,λ;x Etiquet 2 ) Etiquet = y,x;λ y Etiquet2 = x,λ;# ) Etiquet = y,λ;x y Etiquet2 = y,x;λ c) Etiquet = y,x;λ y Etiquet2 = y,λ; x Solución: A. Los utómts resultntes de relizr ls sustituciones de B y C no reconocen, p.e. l cden xxyy y l cden xyxy, respectivmente.. Indique pr qué vlores de ls etiquets Etiquet y Etiquet2 l máquin de Turing representd en l figur cept l cden xyy: / /R x/r Etiquet y/l x/r y/r Etiquet2 y/x ) Etiquet = x / y Etiquet2 = / ) Etiquet = / y Etiquet2 = x / c) L cden no puede ser ceptd, independientemente del vlor de ls etiquets Solución: C. Se cul se el vlor de ls dos etiquets, l máquin entr en un ucle de dos trnsiciones: x/r y y/l.

14 4 2. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA: ) Un máquin de Turing es cpz de ceptr un cden sin leer todos sus símolos ) L máquin de Turing denotd como R x es quell que recorre l cint l derech de su posición inicil en usc de un celd que conteng el símolo x: si lo encuentr se detiene y en cso contrrio continu l úsqued hst tener un terminción norml c) Si existe un máquin de Turing que sólo se detiene con ls cdens de un lenguje, entonces existe un máquin de Turing que sólo se detiene con ls cdens de dicho lenguje y con l configurción de cint Y Solución: B. L máquin se desplz hci l derech y por tnto no puede tener un terminción norml. 3. Indique cuál de los siguientes lengujes NO es regulr: ) L = { w {,}* cd loque de 5 símolos consecutivos contiene l menos dos ceros} ) L = { w {,}* contiene dos ceros seprdos por un número finito de dígitos que es múltiplo de cutro} c) L = { w {}* su longitud es un cudrdo perfecto} Solución: C. Es fácil conceir utómts finitos que cepten los lenguje de ls opciones A y B. El lenguje de l opción c) no es ni siquier independiente del contexto: no verific el lem de omeo pr lengujes independientes del contexto. 4. Si L es el lenguje representdo por l expresión regulr ( )*(()* )* y L 2 el reconocido por el utómt de l figur, entonces (Not: el símolo denot l relción de inclusión estrict): ) L L 2

15 5 ) L 2 L c) L = L 2 Solución: C. 5. Indique cuál de los siguientes lengujes es independiente del contexto: ) L = { n n n } ) L = {www w {,}*} c) L = { m n c p m n o ien n p o ien m p } Solución: C. El lenguje de l opción C puede verse fácilmente como unión de lengujes independientes del contexto. Los dos primeros lengujes no verificn el lem de omeo pr lengujes independientes del contexto. 6. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA: ) Cd regl de un grmátic independiente del contexto puede plicrse sin importr el contexto donde se encuentre el símolo no terminl que reescrie ) En todo lenguje independiente del contexto que contiene un número infinito de cdens existe un cden de l form svuwt, donde s,v,u,w y t son sucdens, v, u y w no vcís, y sv n u n w n t está en el lenguje pr cd n N+ c) Tod grmátic independiente del contexto que no genere l cden vcí puede expresrse en l form norml de Chomsky Solución: B. P.e, el lenguje x n zy n es independiente del contexto y no verific est condición. Sí verific, por el contrrio, el lem de omeo, de enuncido ligermente distinto: en todo lenguje independiente del contexto que contiene un número infinito de cdens existe un cden de l form svuwt, donde s,v,u,w y t son sucdens, por lo menos un de v y w no vcí, y sv n uw n t está en el lenguje pr cd n N+. Septiemre. Reserv 7. Considere el lfeto Σ = {, } y los dos utómts de l figur, e indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA 2

16 6 2 ) Los dos utómts reconocen el mismo lenguje ) Uno de los dos utómts es determinist c) Ninguno de los digrms está completo (flt el estdo de cptción glol)) Solución: C. Los dos utómts reconocen el lenguje de ls cdens del lfeto Σ = {, } terminds en l sucden. El segundo puede otenerse plicndo l primero el procedimiento de otención de utómts finitos determinists prtir de no determinists descrito en el liro de texto de l signtur. El segundo digrm está completo (desde cd estdo existe un trnsición explícit por cd símolo del lfeto). 8. Indique cuál de ls siguientes firmciones es verdder: ) Si L es un lenguje no decidile, entonces su intersección con culquier otro lenguje es un lenguje tmién no decidile ) L unión de un lenguje no decidile con otro lenguje puede ser decidile c) Pr tod grmátic independiente del contexto existen derivciones ritrrimente lrgs Solución: B. L (Σ* - L) =, que es un lenguje decidile. L (Σ* - L) = Σ*, que es un lenguje decidile. L grmátic S tiene un únic derivción de longitud. 9. Indique cuál de ls siguientes opciones NO descrie un lfeto: ) El conjunto de todos los crcteres ASCII ) El conjunto de tods ls letrs minúsculs c) El conjunto vcío Solución: C. Un lfeto se define como un conjunto no vcío de símolos. 2. Siendo L un lenguje, indique cuál de ls siguientes relciones es verdder: ) L* = LL* ) L* = LL* L*L c) LL* = L*L Solución: C. L* = LL* λ (siempre que L no conteng l cden vcí l opción A es fls). Puesto que LL* = L*L tmién l opción B es fls.

17 7 2. Considere el lenguje { j } tl que existe un k pr el que j= k! ) Es regulr ) Es independiente del contexto, no regulr c) Es estructurdo por frses, no independiente del contexto Solución: C. No verific el lem de omeo. 22. Indique cuál de ls siguientes expresiones regulres NO represent l lenguje L = {w {,} y se lternn en w} ) ()* ()* ()* ()* ) ()* ()* ()* ()* ()* ()* c) (λ ) ()* (λ ) Solución: A. L expresión de l opción A no gener ls cdens que tienen un número impr de símolos, p.e., l cden. L expresión regulr de l opción B relmente podrí simplificrse en ()* ()* ()* ()*, pero tmién gener el lenguje L. 23. Indique pr qué vlores de ls etiquets Etiquet y Etiquet2 el utómt representdo en l figur NO reconoce el lenguje x n y m z n, n y m enteros positivos n,m : x,λ ;x y,λ ;λ z, x;λ λ,λ ;# λ,#;λ Etiquet Etiquet2 ) Etiquet = λ,λ;λ y Etiquet2 = λ,λ;λ ) Etiquet = λ,λ;x y Etiquet2 = λ,x; λ c) Etiquet = y,λ;λ y Etiquet2 = z,x;λ Solución: C. El utómt resultnte de relizr l sustitución C no reconoce ls cdens con n= y/o m=. 24. Indique pr qué vlores de ls etiquets Etiquet y Etiquet2 l máquin de Turing representd en l figur reconoce el lenguje formdo por los plíndromos (plrs cpicús ) del lfeto {x, y, z}:

18 8 Etiquet ω R } S L R L Etiquet2 L ) Etiquet = x,y,z y Etiquet2 = ω ) Etiquet = x,y,z y Etiquet2 = x c) L máquin no puede reconocer el lenguje en ninguno de los dos csos nteriores Solución: C. L máquin resultnte l relizr ls sustituciones tnto A como B cept l cden xy 25. Indique cuál de ls siguientes expresiones regulres NO represent l lenguje de Σ={,,c} que consiste en cdens con uno o más pres tl que entre cd pr puede her exctmente un c o ningun: ) (( c) ( )) ( ) ) ( ) (( ) (c ( ))) c) ( ) (( ) ( ( ) c )) Solución: C. 26. Considere l grmátic G = {S S, S A, S, A B, A S, B B, B B, C A, C C} y G 2 = {S S, S A, S, A S}. Sen L y L 2 los lengujes generdos respectivmente por G y G 2 ; entonces (Not: el símolo denot l relción de inclusión estrict): ) L L 2 ) L 2 L c) L = L 2 Solución: C. Ls regls que implicn los no terminles B y C no genern ningun cden. 27. Indique cuál de los siguientes lengujes no es regulr: ) L = { w {,,2,3,4,5}* su último símolo prece l menos dos veces} ) L = { w {,}* el símolo que ocup l posición k (k ) de w es un } c) L = {www w {,}*} Solución: C. Es fácil conceir utómts finitos que cepten los lengujes de ls opciones A y B. El lenguje de l opción C ni siquier es independiente del contexto (no verific el lem de omeo de los lengujes independientes del contexto).

19 9 28. Considere l grmátic S Rc, R RR, R λ. Siendo w un cden culquier generd por dich grmátic, indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA: ) w = xc x ( )* ) El número de letrs es igul l de letrs en w c) El número de letrs es myor o igul l de letrs en todo prefijo de w. Prefijo de un cden w es tod cden no vcí x pr l que existe un cden u tl que w = xu. Solución: A. P.e., l cden w = c no es generd por l grmátic. A l vist de ls regls se deduce que ls opciones B y C son cierts. 29. Indique cuál de ls siguientes firmciones es verdder: ) L unión de infinitos conjuntos NO regulres NO puede ser regulr ) L estrell de Kleene de un lenguje NO regulr puede ser regulr c) Un conjunto cuyo complementrio se finito puede NO ser regulr Solución: B. L unión de infinitos conjuntos no regulres puede ser regulr ( l unión infinit de los lengujes L m = x n y n+m es un lenguje regulr). Un conjunto cuyo complementrio se finito (L) puede expresrse como diferenci entre dos conjuntos regulres (Σ*-L), y por tnto es regulr. L estrell de Kleene de un lenguje no regulr puede ser regulr (p.e. ddo L = {x j, j número primo}, L* es regulr). 3. Supong que se dese construir un máquin de Turing que enumere en orden sore su cint todos los números enteros. Indique cuál de ls siguientes firmciones es verdder: ) L máquin necesrimente hrí de proporcionr el resultdo en notción inri ) L máquin podrí devolver el resultdo en notción deciml c) No existe ningun máquin de Turing, y que el prolem plntedo no es computle Solución: B. Es fácil construir un máquin de Turing que enumere en orden sore su cint todos los números enteros, y nd impide que se escrin números en notción deciml en su cint. 3. Considere un lfeto Σ. Indique cuál de ls siguientes firmciones es verdder: ) El número de lengujes sore Σ es infinito numerle ) El número de lengujes sore Σ es infinito no numerle c) Depende de Σ Solución: B. 32. Indique cuál de ls siguientes firmciones es FALSA:

20 2 ) Un grmátic forml estructurd por frses siempre puede descriirse medinte regls de reescritur ) Derivr un cden de un grmátic forml es plicr regls sustituyendo el ldo izquierdo por el derecho hst llegr un secuenci de símolos terminles c) Se dice que L es el lenguje generdo por l grmátic G cundo tods ls cdens de L pueden derivrse de G Solución: C. Un lenguje es generdo por un grmátic cundo tods sus cdens y SOLAMENTE sus cdens pueden derivrse de dich grmátic. Por ejemplo, l grmátic: S xsy S λ no gener el lenguje L = {xy}, pesr de que tods ls cdens de L pueden derivrse de ell. L es sólo un suconjunto del lenguje generdo.